2013 WS Einführung in die Geometrie und Topologie - KIT

Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. Frank Herrlich
Dipl.-Math. Sandra Lenz
Einführung in Geometrie und Topologie (WS 2013/2014)
Übungsblatt 2
Aufgabe 1 (Homöomorphismen) - 4 Punkte
(a) Weisen Sie nach, dass jedes oene Intervall (a, b) für a, b ∈ R mit a < b homöomorph zu (0, 1) ist.
(b) Zeigen Sie, dass (0, 1) homöomorph zu R ist.
(c) Sind R und R2 homöomorph?
Aufgabe 2 (Die allgemeine lineare Gruppe GLn (R)) - 4 Punkte
Es bezeichne wie üblich GLn (R) die allgemeine lineare Gruppe, also
n×n
| A ist invertierbar}. Zeigen Sie:
GLn (R) = {A ∈ R
(a) Die Zuordnung A = (aij )i,j∈{1,...,n} 7→ (a11 , a12 , . . . , ann ) identiziert GLn (R) mit einer oenen
2
Teilmenge von Rn . Wir versehen GLn (R) mit der Spurtopologie.
(b) Die Determinantenabbildung det : GLn (R) → R ist stetig.
(c) GLn (R) ist nicht zusammenhängend.
(d) Bestimmen Sie die Zusammenhangskomponenten von GLn (R).
Aufgabe 3 (Produkttopologie) - 4 Punkte
Es sei I eine (Index-)menge und für jedes i ∈ I sei Xi ein topologischer Raum. Weiter seien X := Πi∈I Xi
das kartesische Produkt der Xi , und pi : X → Xi für jedes i ∈ I die Projektion auf die i-te Komponente.
Die Produkttopologie auf X ist die von den Mengen p−1
i (U ) für alle i ∈ I und alle oenen Mengen U ⊆ Xi
erzeugte Topologie.
(a) Beweisen Sie, dass pi stetig ist für jedes i ∈ I .
(b) Zeigen Sie: Ist Y ein toplogischer Raum und fi : Y → Xi für jedes i ∈ I eine stetige Abbildung, so
gibt es genau eine stetige Abbildung f : Y → X mit fi = pi ◦ f für alle i ∈ I .
(c) Es sei X 0 ein weiterer topologischer Raum und p0i : X 0 → Xi für jedes i ∈ I eine stetige Abbildung,
sodass für X 0 und die p0i auch die Eigenschaft aus (b) erfüllt ist. Weisen Sie nach, dass es dann
einen eindeutig bestimmten Homöomorphismus ϕ : X → X 0 gibt mit pi = p0i ◦ ϕ für alle i ∈ I .
Aufgabe 4 (Cantorsches Diskontinuum) - 4 Punkte
Für jeden i ∈ N sei Pi := {0, 1} (mit der diskreten Topologie) und weiter P :=
(a) Beschreiben Sie die oenen Mengen von P .
(b) Bestimmen Sie die Zusammenhangskomponenten von P .
Q
i∈N
Pi .
Abgabe bis Montag, 11. November 2013, 13:05 Uhr in die farbigen Kästen im 1. Stock (Flur 1C) des AllianzGebäudes (Geb. 05.20). Die Abgabe darf auch in Zweiergruppen aus demselben Tutorium erfolgen. Heften
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