Sommersemester 2002 C. Preston ¨Ubungen zu Analysis II Blatt 1 1

Sommersemester 2002
C. Preston
Übungen zu Analysis II
Blatt 1
1. Für jedes n ≥ 0 definiere Abbildungen Sn , Cn : R+ → R durch
Z x
Z x
n
Sn (x) =
t sin(t) dt und Cn (x) =
tn cos(t) dt .
0
0
Man zeige: Für alle n ≥ 1, x ≥ 0 gilt
Sn (x) = −xn cos(x) + nCn−1 (x) und Cn (x) = xn sin(x) − nSn−1 (x) .
Man berechne S4 und C4 .
2. Sei I das Intervall [0, b], wobei b > 0, und sei f : I → R die durch f (x) = 3x2
definierte Abbildung. Man finde für jedes ε > 0 Treppenfunktionen g, h ∈ T(I)
Rb
Rb
mit g ≤ f ≤ h, so dass 0 g > b3 − ε und 0 h < b3 + ε.
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
für jedes n ≥ 1.
k2 =
Hinweis: Es gilt
6
k=1
In den restlichen Aufgaben sei {pn }n≥0 eine monoton wachsende unbeschränkte
Folge natürlicher Zahlen mit p0 ≥ 1 und sei {ℓn }n≥0 eine Folge reeller Zahlen
mit ℓn > 0 für jedes n ≥ 0 und limn→∞ pn ℓn = 0. Sei I = [a, b], wobei a, b ∈ R
mit a < b und für jedes n ≥ 0 sei Dn eine Teilmenge von I mit den folgenden
Eigenschaften:
(1) Dn+1 ⊂ Dn für jedes n ≥ 0.
(2) Dn ist die disjunkte Vereinigung von pn abgeschlossenen Intervallen, wobei
jedes dieser Intervalle die Länge ℓn hat.
(3) Jedes Intervall in Dn enthält mindestens ein Intervall aus Dn+1 .
T
Setze D = n≥1 Dn und sei f : I → R die Abbildung mit f (x) = 1 für alle x ∈ D
und f (x) = 0 für alle x ∈ I \ D.
3. Man zeige: Die Abbildung f ist Riemann integrierbar mit
4. Man zeige:
Rb
a
f = 0.
(1) Die Menge D ist unendlich.
(2) Für jede Treppenfunktion g ∈ T(I) gibt es ein x ∈ I mit |f (x) − g(x)| ≥ 1/2.
(3) Es gibt keine Folge aus T(I), die gleichmäßig gegen f konvergiert.
Zusatzaufgabe: Nehme nun zusätzlich an, dass p0 = 2 und jedes Intervall in Dn
genau zwei Intervalle aus Dn+1 enthält. (Es gilt also pn = 2n+1 für jedes n ≥ 0.)
Man beweise, dass es eine injektive Abbildung γ : P(N) → D gibt und man
schließe daraus, dass es keine surjektive Abbildung von N auf R geben kann.
2
Analysis II: Blatt 2
Sommersemester 2002
C. Preston
Übungen zu Analysis II
Blatt 2
Ein normierter Vektorraum (E, k · k) wird hier BW-Raum genannt, wenn jede
beschränkte Folge aus E eine konvergente Teilfolge besitzt.
5. Seien (E1 , k · k1) und (E2 , k · k2) normierte K-Vektorräume, setze E = E1 × E2
(also ist E ein K-Vektorraum) und definiere k · k1,2 : E → R+ durch
k(x, y)k1,2 = max{kxk1 , kyk2}
für alle x ∈ E1 , y ∈ E2 . Dann sieht man leicht, dass k · k1,2 eine Norm auf E ist.
(1) Sei {zm }m≥p eine Folge aus E mit zm = (xm , ym) für jedes m ≥ p und sei
z = (x, y) ∈ E. Man zeige: Die Folge {zm }m≥p konvergiert genau dann gegen z
in E, wenn die Folge {xm }m≥p gegen x in E1 und die Folge {ym }m≥p gegen y in
E2 konvergiert.
(2) Man zeige: Sind (E1 , k · k1 ) und (E2 , k · k2 ) beide BW-Räume, so ist auch
(E, k · k1,2 ) ein BW-Raum.
6. Man zeige, dass jede beschränkte Folge in Kn eine konvergente Teilfolge besitzt.
(Der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt also in Kn .)
7. Sei f : Kn → R+ eine Abbildung mit den Eigenschaften:
(1) Für alle x, y ∈ Kn gilt f (x + y) ≤ f (x) + f (y).
(2) Für jede Folge {xm }m≥p aus Kn mit lim xm = 0 gilt lim f (xm ) = 0.
m→∞
m→∞
Setze S = {x ∈ Kn : kxk = 1}. Man zeige: Es gibt ein u ∈ S, so dass f (u) ≤ f (x)
für alle x ∈ S.
8. Sei k · ko : Kn → R+ eine beliebige Norm auf Kn .
(1) Man zeige: Es gibt ein c1 > 0, so dass kxko ≤ c1 kxk für alle x ∈ Kn .
(2) Man zeige mit Hilfe von Aufgabe 7, dass es ein c2 > 0 gibt mit kxk ≤ c2 kxko
für alle x ∈ Kn .
3
Analysis II: Blatt 3
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Übungen zu Analysis II
Blatt 3
Betrachte den K-Vektorraum K∞ = Abb(N, K) aller Abbildungen von N nach K.
Für die Elemente von K∞ wird die übliche Schreibweise für Folgen verwendet:
Die Abbildung ̺ : N → K wird also mit {xn }n≥0 bezeichnet, wobei xn = ̺(n) für
jedes n ∈ N.
∞
Sei ℓK
2 die Teilmenge
P∞ von K2 , die aus den Folgen {xn }n≥0 besteht, für die die
unendliche Reihe n=0 |xn | konvergiert.
9. (In dieser Aufgabe soll ȳn einfach als yn interpretiert werden, wenn K = R.)
∞
(1) Man zeige, dass ℓK
ist. (Folglich kann und wird
2 ein Untervektorraum von K
K
ℓ2 als K-Vektorraum angesehen werden).
Hinweis Man stelle zunächst fest, dass |x + y|2 ≤ 2(|x|2 + |y|2) für alle x, y ∈ K.
P∞
(2) Man zeige: Für alle {xn }n≥0, {yn }n≥0 ∈ ℓK
2 konvergiert die Reihe
n=0 xn ȳn
absolut.
Hinweis Man stelle zunächst fest, dass |xȳ| ≤ 12 (|x|2 + |y|2) für alle x, y ∈ K.
K
Nach (2) kann eine Abbildung h·, ·i : ℓK
2 × ℓ2 → K definiert werden durch
h{xn }n≥0 , {yn }n≥0 i =
∞
X
xn ȳn .
n=0
(3) Man zeige, dass h·, ·i ein Skalarprodukt auf ℓK
2 ist.
p
10. Sei k · k : ℓK
R+ die durch kwk = hw, wi definierte Norm auf ℓK
2 →q
2 . (Es gilt
P∞
K
2
also k{xn }n≥0 k =
n=0 |xn | .) Sei {wm }m≥p eine Cauchy-Folge in (ℓ2 , k · k)
mit wm = {xm
n }n≥0 für jedes m ≥ p.
(1) Man zeige: Für jedes n ≥ 0 konvergiert die Folge {xm
n }m≥p in K.
Setze xn = limm→∞ xm
n . Auf dieser Weise wird also ein Element w = {xn }n≥0 von
K∞ definiert.
P
2
K
(2) Man zeige, dass die Reihe ∞
n=0 |xn | konvergiert. Damit ist w ∈ ℓ2 .
(3) (Zusatzaufgabe) Man beweise, dass lim kwm − wk = 0.
m→∞
Dies zeigt, dass jede Cauchy-Folge in (ℓK
2 , k · k) konvergiert.
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Analysis II: Blatt 3
Seien a, b ∈ R mit a < b, setze I = [a, b] und sei C(I, R) der reelle Vektorraum
aller stetigen Abbildungen von I nach R. Sei h·, ·i : C(I, R) × C(I, R) → R die
Abbildung, die definiert ist durch
Z b
hf, gi =
fg .
a
11. Man zeige, dass h·, ·i ein Skalarprodukt auf C(I, R) ist.
qR
b
p
+
12. Sei k · k : C(I, R) → R die durch kf k = hf, f i =
f 2 definierte Norm
a
auf C(I, R). Man finde eine Cauchy-Folge in (C(I, R), k · k), die nicht konvergiert.
Hinweis Wähle c ∈ (a, b) und δ > 0, so dass [c − δ, c + δ] ⊂ (a, b). Für jedes n ≥ 1
definiere eine stetige Abbildung fn : I → R durch

0
falls x ∈ [a, c − δ/n),

fn (x) = 12 (n/δ)(x − (c − δ/n)) falls x ∈ [c − δ/n, c + δ/n],

1
falls x ∈ (c + δ/n, b].
Man zeige, dass {fn }n≥1 eine Cauchy-Folge ist, die nicht konvergieren kann.
Hinweis für die Zusatzaufgabe Sei k ≥ p und q ≥ 1; für alle m ≥ p gilt dann
2
kwm − wk =
=
∞
X
n=0
q−1
X
n=0
≤
q−1
X
n=0
|xm
n
|xm
n
|xm
n
2
− xn | =
2
− xn | +
2
≤
|xm
n
X
|xm
n
X
|xm
n
n=0
n=0
∞
X
n=q
− xn | + 2
q−1
X
q−1
X
2
|xm
n
2
− xn | +
∞
X
n=q
k 2
k
2
(|xm
n − xn | + |xn − xn | )
2
q−1
≤
n=0
2
− xn | + 2kwm − wk k + 4
q−1
=
n=0
2
n=q
2
|xm
n − xn |
k
k
2
|xm
n − xn + xn − xn |
− xn | + 2kwm − wk k + 2
2
∞
X
2
− xn | + 2kwm − wk k + 4
∞
X
n=q
∞
X
n=q
∞
X
n=q
|xkn − xn |2
(|xkn |2 + |xn |2 )
|xkn |2
+4
∞
X
n=q
|xn |2 .
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Analysis II: Blatt 4
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C. Preston
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Blatt 4
13. (1) Seien A, B, P ∈ M(n × n, K) mit P invertierbar und A = P BP −1. Man
zeige, dass exp(A) = P exp(B)P −1 .
(2) Man zeige: Ist D ∈ M(n × n, K)

λ1
 ...
0
die Diagonalmatrix

··· 0
.
..
. ..  ,
· · · λn
so ist exp(D) die Diagonalmatrix


exp(λ1 ) · · ·
0
..
..
..
.

.
.
.
0
· · · exp(λn )
(3) Für jedes
man die
t ∈R berechne 2×2 reellen Matrizen exp(tA) und exp(tB),
11
11
wobei A =
und B =
.
01
02
Zusatzaufgabe: Sei A ∈ M(n × n, C) eine komplexe Matrix. Man zeige: Es gibt
Matrizen P, N ∈ M(n × n, C) mit P invertierbar und N n = 0, so dass


!
exp(tλ1 ) · · ·
0
n−1
X
..
..
..

exp(tA) = P 
tk N k /k! P −1
.
.
.
0
· · · exp(tλn )
k=0
für alle t ∈ C, wobei λ1 , . . . , λn die Eigenwerte von A sind.
In den folgenden Aufgaben sei (X, d) ein metrischer Raum.
14. Sei A eine Teilmenge von X und x ∈ X. Man zeige, dass x ∈ Ā genau dann
gilt, wenn A ∩ B(x, ε) 6= ∅ für alle ε > 0.
15. Man zeige: Für jedes A ⊂ X gilt X \ Ā = (X \ A)◦ und X \ A◦ = X \ A.
16. Zeige: Für jedes A ⊂ X gilt ∂A = Ā \ A◦ , A◦ = A \ ∂A und Ā = A ∪ ∂A.
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Analysis II: Blatt 5
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Blatt 5
17. Sei (X, d) ein metrischer Raum und für jede nichtleere Teilmenge A von X
definiere eine Abbildung dA : X → R durch
dA (x) = inf{d(x, y) : y ∈ A} .
Man zeige:
(1) Die Abbildung dA ist stetig.
(2) Es gilt dA (x) = 0 genau dann, wenn x ∈ Ā.
(3) Sind A und B nichtleere abgeschlossene Teilmengen von X mit A ∩ B = ∅,
so gibt es eine stetige Abbildung g : X → R mit 0 ≤ g(x) ≤ 1 für alle x ∈ X,
A = {x ∈ X : g(x) = 0} und B = {x ∈ X : g(x) = 1}.
18. Für jede nichleere Teilmenge A von Kn definiere dA : Kn → R durch
dA (x) = inf{ky − xk : y ∈ A} .
(1) Sei A eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge von Kn . Man zeige: Zu jedem
x ∈ Kn gibt es ein y ∈ A mit dA (x) = ky − xk.
(2) Seien A und B nichtleere abgeschlossene Teilmengen von Kn mit mindestens
einem von A und B beschränkt. Man zeige: Es gibt x ∈ A und y ∈ B, so dass
ky − xk ≤ kv − uk für alle u ∈ A, v ∈ B.
In den folgenden Aufgaben sei E ein K-Vektorraum, sei h·, ·i p
: E × E → K ein
Skalarprodukt auf E und sei k · k : E → R+ die durch kxk = hx, xi definierte
Norm auf E. Nehme weiter an, dass (E, k · k) ein Banachraum ist, es konvergiert
also jede Cauchy-Folge in E.
Sei ferner U ein abgeschlossener Untervektorraum von E, d.h., U ist ein Untervektorraum von E, der gleichzeitig eine abgeschlossene Teilmenge des metrischen
Raums E ist.
19. Man zeige: Zu jedem x ∈ E gibt es ein eindeutiges Element pU (x) ∈ U, so
dass kpU (x) − xk ≤ ky − xk für alle y ∈ U.
Hinweis: Man stelle folgendes fest:
(1) Es gilt ku + vk2 + ku − vk2 = 2(kuk2 + kvk2) für alle u, v ∈ E.
(2) Es gilt ky −zk2 = 2(ky −xk2 +kz −xk2 )−4k 21 (y +z)−xk2 für alle x, y, z ∈ E.
Analysis II: Blatt 5
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(3) Sei x ∈ E fest und setze α = inf{ky − xk : y ∈ U}. Für jedes n ≥ 1 gibt es
also ein yn ∈ U mit kyn − xk < α + 1/n. Dann ist {yn }n≥1 eine Cauchy-Folge.
(Zum Beweis benutze man (2).)
(4) Setze x̆ = limn→∞ yn . Dann ist x̆ ∈ U und es gilt kx̆ − xk = α.
(5) Ist x̂ ∈ U mit kx̂ − xk = α, so ist x̂ = x̆. (Zum Beweis kann (2) wieder
nützlich sein.)
20. Sei x ∈ E. Man zeige, dass pU (x) das eindeutige Element von U ist mit
hpU (x) − x, yi = 0 für alle y ∈ U.
Hinweis: Sei y ∈ U. Man stelle folgendes fest:
(1) Für jedes λ ∈ K ist kpU (x) − xk2 ≤ k(pU (x) + λy) − xk2 und damit ist
2 Re(λ̄hpU (x) − x, yi) + |λ|2 kyk2 ≥ 0.
(2) Es gibt ein z ∈ K mit |z| = 1, so dass zhpU (x) − x, yi = |hpU (x) − x, yi|.
(3) Für alle δ > 0 ist −2|hpU (x) − x, yi| + δkyk2 ≥ 0 und daraus ergibt sich, dass
|hpU (x) − x, yi| = 0.
Zusatzaufgabe: Man zeige:
(1) Die Abbildung pU : E → E ist linear.
(2) Für alle x ∈ E ist kpU (x)k ≤ kxk.
(3) Es gilt pU (x) = x genau dann, wenn x ∈ U.
(4) Es gilt pU ◦ pU = pU (d.h., pU (pU (x)) = pU (x) für alle x ∈ E).
(5) Für alle x, y ∈ E ist hpU (x), yi = hx, pU (y)i.
(6) Ist V ein weiterer abgeschlossener Untervektorraum von E mit V ⊂ U, so
gilt pV ◦ pU = pV . (Nach (3) gilt auch pU ◦ pV = pV , da pV (x) ∈ V ⊂ U für alle
x ∈ E.)
Setze U ⊥ = {x ∈ E : hx, yi = 0 für alle y ∈ U}. Man zeige:
(7) U ⊥ ist ein abgeschlossener Untervektorraum von E.
(8) Es gilt pU (x) = 0 genau dann, wenn x ∈ U ⊥ , d.h., U ⊥ = Kern pU .
(9) Für alle x ∈ E ist x = pU (x) + pU ⊥ (x).
(10) Es gilt pU ⊥ (x) = 0 genau dann, wenn x ∈ U, d.h., U = Kern pU ⊥ .
(11) Es gilt (U ⊥ )⊥ = U.
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Analysis II: Blatt 6
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Blatt 6
21. Sei n ≥ 2 fest, und für jedes k = 1, . . . , n sei pk : Kn → K die durch
pk (x1 , . . . , xn ) = xk
definierte Projektionsabbildung. Sei nun (X, d) ein metrischer Raum, A ⊂ X und
f : A → Kn eine Abbildung; für jedes k = 1, . . . , n sei fk = pk ◦ f (also ist
fk eine Abbildung von A nach K). Dann ist f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x)) für jedes
x ∈ A, und folglich schreibt man f = (f1 , . . . , fn ). Es ist klar, dass die Abbildung
f eindeutig durch die Abbildungen fk , 1 ≤ k ≤ n, bestimmt ist.
Sei x ∈ A. Man zeige: Die Abbildung f ist genau dann an der Stelle x stetig,
wenn für jedes k = 1, . . . , n die Abbildung fk : A → K an der Stelle x stetig ist.
22. Sei (X, d) ein metrischer Raum.
(1) Sei F eine abgeschlossene Teilmenge von X und x ∈ X \F . Man zeige: Es gibt
offene Mengen U, V mit x ∈ U, F ⊂ V und U ∩ V = ∅. (Hinweis: Aufgabe 17.)
(2) Sei K eine kompakte und F eine abgeschlossene Teilmenge von X. Man zeige:
Ist K ∩F = ∅, so gibt es offene Mengen U, V mit K ⊂ U, F ⊂ V und U ∩V = ∅.
23. Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei A eine Teilmenge von X.
(1) Man zeige, dass A genau dann total beschränkt
ist, wenn es zu jedem ε > 0
S
eine endliche Menge ∆ ⊂ X gibt, so dass A ⊂ x∈∆ B(x, ε).
(2) Man zeige, dass Ā kompakt ist, falls X vollständig und A total beschränkt
ist.
24. Sei B = {x ∈ Rn : kxk ≤ 1} und sei A ∈ M(n × n, R) eine symmetrische
Matrix (d.h., A = (ajk ) mit ajk = akj für alle j, k).
(1) Man zeige: Es gilt hAx, yi = hx, Ayi = hAy, xi für alle x, y ∈ Rn .
(2) Man zeige: Es gibt ein x ∈ B, so dass hAx, xi ≥ hAy, yi für alle y ∈ B.
Sei nun x ein Element aus B mit hAx, xi ≥ hAy, yi für alle y ∈ B. Man zeige:
(3) Es gilt hAx, xi ≥ hAx, yi für alle y ∈ B.
Hinweis: Für jedes y ∈ B, t ∈ [0, 1] ist (1 − t)x + ty ∈ B und damit gilt
hAx, xi ≥ hA((1 − t)x + ty), (1 − t)x + tyi .
(4) Ist hAx, xi > 0, so ist kxk = 1 und es gilt Ax = λx mit λ = hAx, xi.
Analysis II: Blatt 6
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(5) Man beweise, dass jede symmetrische reelle Matrix einen Eigenwert besitzt.
Hinweis: Für jedes ω > 0 sei Aω = A + ωEn. Man stelle fest: Ist µ Eigenwert von
Aω , so ist µ − ω Eigenwert von A. Ist ferner ω groß genug, so gibt es ein y ∈ B
mit hAω y, yi > 0.
Zusatzaufgabe: Sei E ein K-Vektorraum, sei h·, ·ip
: E × E → K ein Skalarprodukt
+
auf E und sei k · k : E → R die durch kxk = hx, xi definierte Norm auf E.
Nehme weiter an, dass (E, k · k) ein Banachraum ist, es konvergiert also jede
Cauchy-Folge in E.
Sei ϕ : E → K eine stetige lineare Abbildung. Man zeige: Es gibt ein eindeutiges
Element x ∈ E, so dass ϕ(y) = hy, xi für alle y ∈ E.
Hinweis: (1) Die Aussage ist trivial richtig, falls ϕ = 0, d.h., falls ϕ(y) = 0 für alle
y ∈ E. Es kann also angenommen werden, dass es ein z ∈ E gibt mit ϕ(z) 6= 0.
(2) Setze U = Kern ϕ = {y ∈ E : ϕ(y) = 0}. Man stelle zunächst fest, dass U
ein abgeschlossener Untervektorraum von E ist.
(3) Mit Hilfe von Aufgaben 19 und 20 finde man ein v ∈ E mit kvk = 1, so dass
hy, vi = 0 für alle y ∈ U.
(4) Man stelle fest, dass ϕ(y) = ϕ(v)hy, vi für alle y ∈ E.
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Analysis II: Blatt 7
Sommersemester 2002
Übungen zu Analysis II
C. Preston
Blatt 7
25. Sei (X, d) ein nichtleerer kompakter metrischer Raum und sei A die Algebra
C(X, R) aller stetigen Abbildungen von X nach R. Eine Teilmenge I von A heißt
Ideal von A, wenn I Untervektorraum von A ist und f g ∈ I für alle f ∈ A, g ∈ I.
Ein Ideal I von A heißt maximal, wenn I 6= A und es gilt: Ist J ein Ideal von A
mit I ⊂ J, so ist entweder J = I oder J = A.
Für jedes x ∈ X sei Ix = {f ∈ A : f (x) = 0}. Man zeige, dass {Ix : x ∈ X}
genau die Menge der maximalen Ideale von A ist. Hinweis: Man stelle fest:
(1) Das einzige Ideal von A, das ein invertierbares Element von A enthält, ist A
selbst.
(2) Für jedes x ∈ X ist die Abbildung y 7→ d(x, y) ein Element von Ix .
26. Sei I ein Intervall, das mehr als einem Punkt enthält, und betrachte I als
Teilmenge von C. Seien a, b ∈ I mit a < b. Man finde eine stetige Abbildung
f : I → C, die in I ◦ differenzierbar ist, für die gilt: f (a) = f (b) aber f ′ (ξ) 6= 0
für alle ξ ∈ (a, b).
27. Seien a, b, c, d ∈ R und seien x, y : R → R differenzierbare Abbildungen mit
x′ (t) = 2ax(t) + by(t) und y ′(t) = cx(t) + 2dy(t)
p
für alle t ∈ R. Setze ξ = a + d und η = |(a − d)2 + bc| (mit η ≥ 0). Man zeige:
(1) Ist (a − d)2 + bc > 0, dann gibt es α, β, γ, δ ∈ R, so dass für alle t ∈ R:
x(t) = α exp((ξ + η)t) + β exp((ξ − η)t) ,
y(t) = γ exp((ξ + η)t) + δ exp((ξ − η)t) .
(2) Ist (a − d)2 + bc < 0, dann gibt es α, β, γ, δ ∈ R, so dass für alle t ∈ R:
x(t) = α cos(ηt) + β sin(ηt) exp(ξt) ,
y(t) = γ cos(ηt) + δ sin(ηt) exp(ξt) .
(3) Ist (a − d)2 + bc = 0, dann gibt es α, β, γ, δ ∈ R, so dass für alle t ∈ R
x(t) = α + βt exp(ξt) und y(t) = γ + δt exp(ξt) .
28. Seien ω, κ ∈ R+ . Man zeige: Es gibt eine eindeutige zweimal differenzierbare
Abbildung x : R → R mit x(0) = x′ (0) = 1, für die gilt:
x′′ (t) = −ω 2 x(t) − 2κx′ (t) für alle t ∈ R .
Man bestimme diese Abbildung.
11
Analysis II: Blatt 8
Sommersemester 2002
Übungen zu Analysis II
C. Preston
Blatt 8
29. Sei (F, k · k) eine Banachalgebra mit Eins und sei f : R → F eine Abbildung
mit f (0) = 1, für die gilt:
(1) f (s + t) = f (s)f (t) für alle s, t ∈ R.
(2) Der Limes lim(f (t) − 1)/t existiert.
t→0
Setze x = limt→0 (f (t) − 1)/t. Man zeige, dass f (t) = exp(tx) für alle t ∈ R.
(Hinweis: Man stelle fest, dass f differenzierbar ist mit f ′ (t) = xf (t) für alle
t ∈ R.)
30. Sei I = [a, b], wobei a, b ∈ R mit a < b und sei (F, k · k) ein Banachraum.
Man zeige: Für jede rektifizierbare Kurve f : I → F gilt
L = sup{p(f, U) : U ist eine Unterteilung von I} ,
wobei L die Bogenlänge von f ist. (Hinweis: Man stelle fest:
(1) Für jede Verfeinerung V einer Unterteilung U von I ist p(f, V) ≥ p(f, U).
(2) Sei U eine Unterteilung von I. Zu jedem δ > 0 gibt dann es eine Verfeinerung
V von U mit Feinheit µ(V) < δ.
(3) p(f, U) ≤ L für jede Unterteilung U von I.)
31. Definiere eine Abbildung h : [0, 1] → R durch
t cos(π/t), falls t ∈ (0, 1] ,
h(t) =
0,
falls t = 0 ,
und eine Abbildung f : [0, 1] → R2 durch f (t) = (t, h(t)) für alle t ∈ [0, 1]. Man
zeige:
(1) Die Abbildung f ist stetig, d.h., f ist eine Kurve in R2 .
(2) Die Kurve f ist nicht rektifizierbar. (Hinweis: Man stelle zunächst fest, dass
kf (1/(n + 1)) − f (1/n)k ≥ 1/n für alle n ≥ 1.)
32. Sei I = [a, b] ein Intervall mit a < b und sei f = (f1 , f2 ) : I → R2 eine
differenzierbare (bzw. stetig differenzierbare) Kurve mit f1′ (t) 6= 0 für alle t ∈ I.
Man ziege: Es gibt ein Intervall J = [c, d] mit c < d und eine differenzierbare
(bzw. stetig differenzierbare) Abbildung h : J → R, so dass f (I) = g(J), wobei
g : J → R2 die durch g(s) = (s, h(s)) definierte Abbildung ist.
12
Analysis II: Blatt 8
Zusatzaufgabe: Sei (F, k · k) eine Banachalgebra mit Eins und sei f : R+ → F
eine Abbildung, für die gilt:
(1) f (s + t) = f (s)f (t) für alle s, t ∈ R+ .
(2) Der Limes lim(f (t) − 1)/t existiert.
t→0
Setze x = limt→0 (f (t) − 1)/t. Man zeige, dass f (t) = exp(tx) für alle t ∈ R+ .
Hinweis: Man stelle fest:
(1) Ist u ∈ F mit k1 − uk < 1, so ist u invertierbar mit
k1 − u−1 k ≤ (1 − k1 − uk)−1k1 − uk .
(2) Es gibt ein η > 0, so dass k1 − f (t)k ≤
1
2
für alle t ∈ (0, η).
(3) Für alle t ∈ (0, η) ist f (t) invertierbar mit k1 − f (t)−1 k ≤ 2k1 − f (t)k.
(4) Es gilt f (0) = 1.
(5) Die Abbildung f ist in 0 differenzierbar; insbesondere ist f an der Stelle 0
stetig.
(6) Die auf [0, η) definierte Abbildung f −1 (mit f −1 (t) = f (t)−1 ) ist an der Stelle
0 stetig.
(7) Es gilt lim(f (t) − 1)f −1 (t)/t = x.
t→0
(8) Die Abbildung f ist differenzierbar und es gilt f ′ (t) = xf (t) für alle t ∈ R+ .
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Analysis II: Blatt 9
Sommersemester 2002
C. Preston
Übungen zu Analysis II
Blatt 9
33. Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum.
(1) Für jedes
S n ≥ 0 sei Un eine offene Teilmenge von X mit Un ⊂ Un+1 für alle
n ≥ 0 und n≥0 Un = X. Man zeige: Es gibt ein m ≥ 0, so dass Um = X.
(2) Für jedes n ≥ 0 sei fn : X → R eine stetige Abbildung mit fn (x) ≤ fn+1 (x)
für alle n ≥ 0, x ∈ X. Nehme an, es gibt eine stetige Abbildung f : X → R,
so dass f (x) = limn→∞ fn (x) für alle x ∈ X. Man zeige: Die Folge {fn }n≥0
konvergiert gleichmäßig gegen f . (Hinweis: Sei ε > 0 und betrachte die Folge
{Un }n≥0 , wobei Un = {x ∈ X : f (x) − fn (x) < ε}.)
34. Sei I = [a, b] ein Intervall mit a < b und seien F und G Banachräume.
(1) Sei g : I → F eine Treppenfunktion und h : F → G eine lineare
R Abbildung.
Rb
b
Man zeige, dass h ◦ g eine Treppenfunktion ist und a (h ◦ g) = h a g .
(2) Sei f ∈ R(I, F ) und sei h : F → G eine beschränkte
lineare Abbildung. Man
R Rb
b
zeige, dass h ◦ f ∈ R(I, G) und a (h ◦ f ) = h a f .
35. Sei E ein normierter Vektorraum und sei U ein Untervektorraum von E. Man
zeige, dass der Abschluß Ū von U auch ein Untervektorraum von E ist.
36. Sei E ein normierter Vektorraum und F ein Banachraum. Sei ferner U ein
Untervektorraum und sei f : U → F eine beschränkte lineare Abbildung. (D.h.:
f : U → F ist linear und es gibt ein c ≥ 0, so dass kf (x)k ≤ ckxk für alle x ∈ U.)
Man zeige: Es gibt eine eindeutige beschränkte lineare Abbildung g : Ū → F mit
g(x) = f (x) für alle x ∈ U.
Hinweis: Man stelle fest:
(1) Ist {xn }n≥p eine Folge aus U, die gegen x ∈ Ū konvergiert, so konvergiert die
Folge {f (xn )}n≥p in F .
(2) Sind {xn }n≥p und {x′n }n≥q Folgen aus U, die beide gegen x ∈ Ū konvergieren,
so ist lim f (xn ) = lim f (x′n ).
n→∞
n→∞
(3) Es gibt eine eindeutige Abbildung h : Ū → F , für die gilt: Ist x ∈ Ū und ist
{xn }n≥p eine Folge aus U, die gegen x konvergiert, so ist h(x) = lim f (xn ).
n→∞
(4) Es gilt h(x) = f (x) für alle x ∈ U.
(5) Die Abbildung h ist linear und beschränkt.
(6) Ist g : Ū → F eine beliebige beschränkte lineare Abbildung mit g(x) = f (x)
für alle x ∈ U, so ist g = h.
Analysis II: Blatt 10
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Sommersemester 2002
C. Preston
Übungen zu Analysis II
Blatt 10
37. Sei f : R2 → R die Abbildung, die definiert ist durch
f (x, y) = x3 y 4
für alle (x, y) ∈ R2 . Man zeige, dass f differenzierbar ist und man berechne die
Ableitung ∂f (x, y) für jedes (x, y) ∈ R2 .
38. Sei f : R2 → R die Abbildung, die definiert ist durch
42
f (x, y) = sin(2x) + cos(3y)
für alle (x, y) ∈ R2 . Man zeige, dass f differenzierbar ist und man berechne die
Ableitung ∂f (x, y) für jedes (x, y) ∈ R2 .
39. Sei f : R2 → R die Abbildung, die definiert ist durch

 xy 2
, falls (x, y) 6= (0, 0) ,
f (x, y) = x2 + y 2

0,
falls (x, y) = (0, 0) .
Man zeige:
(1) f ist stetig.
(2) f ist nicht differenzierbar im Punkt (0, 0).
40. Sei E ein reeller Vektorraum, sei h·, ·i : p
E × E → R ein Skalarprodukt auf
+
E und sei k · k : E → R die durch kxk = hx, xi definierte Norm auf E. Sei
ψ ∈ L(E, E) und definiere f : E → R durch f (x) = hx, ψ(x)i für jedes x ∈ E.
Man zeige:
(1) Für jedes y ∈ E ist die Abbildung ξ 7→ hξ, yi von E nach R ein Element von
L(E, R).
(2) Für jedes x ∈ E ist die Abbildung ξ 7→ hx, ψ(ξ)i von E nach R ein Element
von L(E, R).
(3) Die Abbildung f ist differenzierbar und für jedes x ∈ E gilt
∂f (x)(ξ) = hξ, ψ(x)i + hx, ψ(ξ)i
für alle ξ ∈ E.
15
Analysis II: Blatt 10
Zusatzaufgabe: Sei E ein K-Vektorraum, sei h·, ·ip
: E × E → K ein Skalarprodukt
auf E und sei k · k : E → R+ die durch kxk = hx, xi definierte Norm auf E.
Nehme weiter an, dass (E, k · k) ein Banachraum ist, es konvergiert also jede
Cauchy-Folge in E.
Sei f : E → E eine beschränkte lineare Abbildung. Man zeige: Es gibt eine
eindeutige beschränkte lineare Abbildung f ∗ : E → E, für die gilt:
hf (x), yi = hx, f ∗ (y)i
alle x, y ∈ E. (Hinweis: Man wende die Zusatzaufgabe vom Blatt 6 an.)
Analysis II: Blatt 11
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Sommersemester 2002
C. Preston
Übungen zu Analysis II
Blatt 11
41. (1) Sei f : R2 → R die Abbildung, die definiert ist durch
f (x, y) = (x2 y + xy 2 )4
für alle (x, y) ∈ R2 . Man zeige, dass f differenzierbar ist und man berechne die
Ableitung ∂f (x, y) für jedes (x, y) ∈ R2 .
(2) Sei f : R3 → R die Abbildung, die definiert ist durch
f (x, y, z) = z cos(x2 y 3 )
für alle (x, y, z) ∈ R3 . Man zeige, dass f differenzierbar ist und man berechne die
Ableitung ∂f (x, y, z) für jedes (x, y, z) ∈ R3 .
42. Seien f : R2 → R3 und g : R3 → R2 die Abbildungen, die gegeben sind durch
f (x, y) = (x + y, xy, x2 + y 2 ) ,
g(x, y, z) = (sin(xyz), exp(x + y 2)) .
Man berechne:
(1) Die Jacobimatrix von f in (x, y) für jedes (x, y) ∈ R2 .
(2) Die Jacobimatrix von g in (x, y, z) für jedes (x, y, z) ∈ R3 .
(3) Die Jacobimatrix von g ◦ f in (−1, 1).
(4) Die Jacobimatrix von f ◦ g in (−4, 2, 0).
43. Sei U eine offene Teilmenge von Rn und sei a ∈ U.
(1) Seien f, g : U → R Abbildungen, die in a differenzierbar sind. Man zeige:
Für die Produktabbildung f g : U → R gilt
∇(f g)(a) = f (a)∇g(a) + g(a)∇f (a) .
(2) Seien f, g, h : U → R Abbildungen, die in a differenzierbar sind. Man zeige:
Die Produktabbildung f gh : U → R ist auch in a differenzierbar und es gilt
∇(f gh)(a) = f (a)g(a)∇h(a) + f (a)h(a)∇g(a) + g(a)h(a)∇f (a) .
(3) Für jedes k ≥ 1 sei fk : U → R eine Abbildung, die in a differenzierbar ist.
Man zeige, dass für jedes m ≥ 2 die Produktabbildung f1 · · · fm : U → R auch
17
Analysis II: Blatt 11
in a differenzierbar ist und man finde eine Formel für ∇(f1 · · · fm ) (a), die die
Formel für ∇(f gh)(a) in (2) verallgemeinert.
44. Sei U eine offene Teilmenge von Rn und f : U → R eine differenzierbare
Abbildung.
(1) Sei I ein offenes Intervall und sei γ : I → Rn eine differenzierbare Abbildung
mit γ(I) ⊂ U. Man zeige: Für die Abbildung g = f ◦ γ : I → R gilt
g ′(t) = hγ ′ (t), ∇f (γ(t))i
für jedes t ∈ I.
(2) Sei x ∈ U und setze y = f (x). Sei I ein offenes Intervall und γ : I → Rn eine
differenzierbare Abbildung mit γ(I) ⊂ Nf (y), wobei Nf (y) = {z ∈ U : f (z) = y}.
Man zeige: Gilt γ(a) = x für ein a ∈ I, so ist hγ ′ (a), ∇f (x)i = 0.
Analysis II: Blatt 12
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Sommersemester 2002
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Übungen zu Analysis II
Blatt 12
Für x > 0 und α ∈ R setze xα = exp(α log(x)). Ferner setze 0α = 0, falls α 6= 0
und 00 = 1. (Für α ∈ Z stimmt dieses mit der üblichen Definition von xα überein.)
Man stellt fest:
(1) Für x > 0 ist x1 = x und x0 = 1; ferner ist xα > 0 und x−α = 1/xα für jedes
α ∈ R.
(2) Für jedes x > 0 und alle α, β ∈ R ist xα+β = xα xβ .
(3) Für alle x, y ∈ R+ und jedes α ∈ R ist xα y α = (xy)α .
(4) Für jedes α ∈ R definiere ̺α : (0, +∞) → R durch ̺α (x) = xα . Dann ist ̺α
stetig differenzierbar und es gilt ̺′α = α̺α−1 .
45. (1) Sei h : Rn → R die Abbildung, die gegeben ist durch
h(x1 , . . . , xn ) = x21 · · · x2n .
Man berechne max{h(v) : kvk = c} für jedes c > 0.
√
(2) Man zeige: Für alle y1 , . . . , yn ∈ R+ gilt n y1 · · · yn ≤ (y1 + · · · + yn )/n.
46. Seien p, q > 0 mit 1/p + 1/q = 1. Man zeige: Es gilt
!1/p
!1/q
n
n
n
X
X
X
|xk yk | ≤
|xk |p
|yk |q
k=1
k=1
k=1
für alle (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn .
Hinweis: Sei U = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0}, sei c > 0 und definiere h, f : U → R
durch h(x, y) = xp /p + y q /q und f (x, y) = xy − c für alle (x, y) ∈ U. Setze
M = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = 0}. Man stelle fest:
(1) Die Abbildung h besitzt ein Minimum auf M.
(2) Für alle (x, y) ∈ M ist h(x, y) ≥ c.
(3) Es gilt xy ≤ xp /p + y q /q für alle x, y ∈ R+ .
47. Sei f : R3 → R die Abbildung, die gegeben ist durch
f (x, y, z) = 3x2 − 2xy + 8z 3 .
Man bestimme die Maxima und Minima von f auf dem ‘Zylinder’
{(x, y, z) ∈ R3 : 4x2 + y 2 ≤ 1, |z| ≤ 1} .
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Analysis II: Blatt 12
48. Nehme an, dass die Gesamtproduktion y einer Volkswirtschaft als Funktion
der Arbeit A (gemessen in Mrd. Arbeitsstunden) und dem Produktionskapitel K
(gemessen in Mrd. Dollar) durch die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
y = aAα K 1−α
bestimmt wird, wobei a und α Konstante sind mit a > 0 und 0 < α < 1. Die
Kosten pro Mrd. Arbeitsstunden betragen k1 Dollar und die Kosten pro Mrd.
Dollar Produktionskapitel betragen k2 Dollar, wobei k1 , k2 > 0. Man bestimme
die minimalen Kosten k1 A + k2 K für eine fest vorgegebene Gesamtproduktion y
(mit y > 0).