Formeln für die Berechnung des Kapitalwerts (KW)

Hochschule Magdeburg-Stendal (FH)
Fachbereich: Wirtschaft
Studiengang: Betriebswirtschaftslehre
Prof. Dr. W. Patzig
Investition
Sommersemester 2008
Formeln für die Berechnung des Internen Zinsfusses (r):
Herleitung der Berechnung des Internen Zinsfuß (Effektivzinssatz, Rendite)
Die Kapitalwertformel lautet:
C0 = e0 − a 0 +
e1 − a1 e 2 − a 2 e3 − a 3 e 4 − a 4
e −a
Rn
+
+
+
+ .... + n nn +
1
2
3
4
(1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )
(1 + i ) (1 + i )n
Gegeben waren die Ein- und Auszahlungen (e, a, R) sowie der Zinssatz i.
Bei der Berechnung des internen Zinsfusses r ist der Zins gesucht, bei dem der Kapitalwert gerade
gleich 0 ist:
Allgemeinster Ansatz: 0 = E 0 − A 0 +
e1 − a1 e 2 − a 2 e3 − a 3 e 4 − a 4
e −a
Rn
+ .... + n nn +
+
+
+
1
2
3
4
(1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )
(1 + r ) (1 + r )n
Meist wird unterstellt, dass in der Periode (t = 0), in der investiert wird, keine Einzahlungen
E0 = 0 stattfinden: 0 = −A 0 +
e1 − a1 e 2 − a 2 e3 − a 3 e 4 − a 4
e −a
Rn
+
+
+
+ .... + n nn +
1
2
3
4
(1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )
(1 + r ) (1 + r )n
Hierbei stehen die Symbole:
at
für die
unterschiedliche Auszahlung in den Perioden 1 bis n
A = a0 für die
Anfangsauszahlung in der Periode null; Investitionsauszahlung („heute“)
et
für die
unterschiedliche Einzahlungen in den zukünftigen Perioden 1 bis n
i
für den
Zinssatz
r
für den
interner Zinssatz oder Zinsfuß
C0
für den
Kapitalwert der Periode 0 (Startperiode)
Rn
für den
Restwert, Liquidationserlös (, der auch negativ sein kann Æ Entsorgung)
n
für die
letzte betrachtete Periode
t
für
Index Zeit(-periode) (time)
1. Vereinfachung: Mit et – at = ZÜt zu:
ZÜ1
ZÜ 2
ZÜ 3
ZÜ 4
ZÜ n
Rn
A0 =
+
+
+
+ .... +
+
1
2
3
4
n
(1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r )
(1 + r ) (1 + r )n
Hierbei steht das Symbol:
für die
Zahlungsüberschüsse (, die auch teilweise negativ sein können) oder g
ZÜt
2. Vereinfachung: Sollten die Zahlungsüberschüsse in jeder Periode die gleiche Höhe haben, gilt:
ZÜ1 = ZÜ2 = ... = ZÜn = ZÜ. Somit vereinfacht sich die Formel zu:
A 0 = ZÜ ⋅
(1 + r )n − 1 + R n
n
(1 + r )n
r ⋅ (1 + r )
= ZÜ ⋅ DSFn + R n ⋅ AbFn mit R n = 0 zu
A0
Æ in der entsprechenden Tabelle den Zinssatz nachschlagen und Rendite ablesen.
ZÜ
3. Vereinfachung: Sollte die Laufzeit der Investition gegen „unendlich“ gehen, vereinfacht sich
DSFn =
die Formel zu:
ZÜ
ZÜ
oder r =
(Ewige Rente)
r
A0
Problem der Lösbarkeit: Nullstellensuche für Polynom n-ter Ordnung
A0 =
Nur dann eine eindeutige Lösung, wenn Zahlungsreihe nur einen Vorzeichenwechsel aufweist.
Ohne größeren Aufwand sind nur Lösungen (ein- und) zweiperiodiger Fragestellungen möglich. Æ
ZÜ1
ZÜ 2
+
− A = 0 Multiplikation auf beiden Seiten mit q2 führt zu:
1
(1 + r ) (1 + r )2 o
ZÜ1 ⋅ (1 + r ) + ZÜ 2 − A o ⋅ (1 + r ) = 0 Æ Quadratische Gleichung
Mehrperiodige Probleme mit Excel Formel „ikv“ lösbar.
2
30. Juni 2008
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