Zusätzliche Dimensionen der Raumzeit

Zusätzliche Dimensionen der Raumzeit
Mark Wirges
Institut für Physik, Fachbereich 08
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
18. Juni 2015
Betreuerin: Jun.-Prof. Dr. Gabriele Honecker
1
Einleitung und Motivation
Es wird wohl niemand der Tatsache widersprechen, dass unser tagtägliches Leben in drei Dimensionen stattndet. Wenn wir die Gröÿe eines Objektes beschreiben, unterscheiden wir in Höhe, Breite
und Tiefe. Der von den mit Abstand meisten Physikern anerkannte Fakt, dass mit der Zeit eine
weitere Dimension hinzugefügt wird, die die anderen drei Raumdimensionen sogar beeinusst, stöÿt
da schon auf gröÿere Verwunderung, gar Ungläubigkeit. Nun behauptet ein groÿer Teil theoretischer Physiker, dass uns mindestens sechs, eventuell sogar 22, weitere Raumdimensionen tagtäglich
begleiten. Die Verizierung dieser These würde nun wirklich alle bisherigen Weltvorstellungen auf
den Kopf stellen und für weltweites Staunen sorgen.
Die Idee von einer zusätzliches Raumdimension ist allerdings alles andere als ein brandneuer Gedanke. Bereits in den 1920er Jahren fügten Theodor Kaluza und Oskar Klein der vierdimensionalen
Raumzeit eine weitere Raumdimension zu, um die einzigen damals bekannten fundamentalen Wechselwirkungen Gravitation und Elektromagnetismus zu vereinigen. Zwar geriet diese Idee durch die
Erfolge der Quantenmechanik vorerst in den Hintergrund, jedoch erinnerte man sich in den 1960ern
wieder daran, um Aspekte der Stringtheorie zu erklären. Darunter versteht man ein physikalisches
Modell, welches das Standardmodell (nämlich die Beschreibung von elektromagnetischer, starker
und schwacher Wechselwirkung) und die Gravitation miteinander verbindet. Man spricht deshalb
von Quantengravitation. Die Stringtheorie identiziert Elementarteilchen als Vibrationen von oenen und geschlossenen eindimensionalen Strings, anstatt als punktförmige Teilchen der Dimension
Null. Eine experimentelle Bestätigung dieser Behauptungen bleibt bisher aus, es handelt sich also
allein um ein hypothetisches Modell.
Falls dieses Modell allerdings mit der Realität übereinstimmt, sind zusätzliche Raumdimensionen
notwendig. Die Anzahl der Raumdimensionen ergibt sich aus den Berechnungen in diesen Theorien, man erhält entweder eine zehn-, elf- oder 26-dimensionale Raumzeit. Dabei stellen wir uns den
dreidimensionalen Raum als eine Hyperebene vor, die in den höherdimensionalen Raum eingebettet
ist, und sprechen von einer D3-Brane.
Wir werden anhand von mehreren Beispielen die Möglichkeit von zusätzlichen Raumzeit-Dimensionen
diskutieren und vor allem auf die Frage eingehen, warum diese bis zum heutigen Tag nicht entdeckt
wurden. Dabei werden wir zuerst den wichtigen Begri der Kompaktizierung diskutieren, um
damit und mit einem einfachen quantenmechanischen Beispiel zu folgern, dass hinreichend kleine
Zusatzdimensionen uns bisher verborgen geblieben sein könnten. Anschlieÿend werden wir mit Hilfe
des Planck-Einheitensystems auf mögliche Längen der Zusatzdimensionen schlieÿen, insbesondere
schauen wir uns dabei groÿe Zusatzdimensionen an.
Inhaltlich haben wir uns weitestgehend an die ersten drei Kapitel von Barton Zwiebach's A First
Course in String Theory [2] gehalten, woraus auch sämtliche Abbildungen genommen wurden.
Zusätzlich waren Wikipedia-Artikel [1] zu diversen Themen hilfreich.
1
2
Kompakte Zusatzdimensionen
Die drei Dimensionen, die unser tägliches Leben bestimmen, wir sprechen also vom
R3 ,
sind nicht
kompakt. Dies ist der fundamentale Unterschied zu möglichen zusätzlichen Raumdimensionen. Wir
setzen voraus, dass diese kompakt sein müssen.
Um dies zu veranschaulichen, betrachten wir eine Dimension, das heiÿt den
R1 = R,
versehen mit
der Relation
x ∼ x + 2πRn,
für
x ∈ R,
wobei
n∈Z
und
R∈R
beliebig, aber fest ist.
Mit dieser Relation wird die nicht kompakte Gerade zu einem kompakten Kreis aufgewickelt
Abbildung 1: Kompaktizierung einer Gerade zum Kreis
(siehe Abbildung 1). Man spricht auch von der sogenannten Kaluza-Klein-Kompaktizierung.
Wir nennen das Intervall
(i) Für keine
(ii) Für alle
x1 ∈ I
x∈R
I = [0, 2πR) ein Fundamentalgebiet, denn es gelten folgende Bedingungen:
und
x2 ∈ I
existiert ein
gilt:
x1 ∼ x2 ,
x0 ∈ I ,
so dass
x ∼ x0 .
Die Kompaktizierung von zwei Dimensionen kann man sich anschaulich folgendermaÿen vorstellen:
2
3
Beispiel aus der Quantenmechanik
(x, y), wobei die Dimen(x, y) ∼ (x, y + 2πRn) und wir können
Wir betrachten nun einen zweidimensionalen Raum mit den Koordinaten
sion mit der Koordinate
y
kompaktiziert ist. Es gilt also
uns den Raum als Zylinder mit Umfang
2πR
vorstellen.
Abbildung 2: Zweidimensionaler Raum, wobei Dimension
y
Dazu betrachten wir das von
a >> R.
aufgewickelt ist
unabhängige Potential
(
0
V (x, y) =
∞
der Länge
y
x ∈ (0, a),
sonst,
, falls
,
Ein Teilchen ist sozusagen gefangen im Potentialtopf des Intervalls
Abbildung 3: Eindimensionaler Potentialtopf der Länge
0 < x < a.
a
Nun wenden wir die Schrödinger-Gleichung
−
~2 ∂ 2
∂2
( 2 Ψ + 2 Ψ) = EΨ
2m ∂x
∂y
an, um die Energieeigenwerte der Gesamtwellenfunktion
den Produktansatz
x
Ψ(x, y) = ψ(x) · φ(y),
Ψ(x, y)
(3.1)
zu berechnen. Dafür wählen wir
der aufgrund der Unabhängigkeit des Potentials
sinnvoll erscheint. Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung liefert
E=−
~2
1
∂2
1
∂2
(
· 2 ψ(x) +
· 2 φ(y)).
2m ψ(x) ∂x
φ(y) ∂y
3
V
von
Die von
x
und
y
abhängigen Terme dieser Gleichung müssen konstant sein, da die Energie
E
y,
x und
φ(y) = φ(y + 2πRn), erhalten wir für k, l ∈ N die zweifach entartete
Gesamtwellenfunktion Ψk,l (x, y) = ψk (x)·φl (y), wobei ψk (x) analog zum eindimensionalen Problem
konstant ist. Zusammen mit den Stetigkeitsbedingungen für die Wellenfunktionen in
ψ(0) = ψ(a) = 0
und
ist:
kπx
)
a
ly
ly
φl (y) = al sin( ) + bl cos( ).
R
R
ψk (x) = ck sin(
Erneutes Einsetzen in Gleichung (3.1) ergibt die Energieeigenwerte
Ek,l =
l
~2 kπ 2
(( ) + ( )2 ).
2m a
R
Das niedrigste neue, also auch von der Zusatzdimension mit Radius
ist
E1,1 =
~2
π 2
2m (( a )
+
1
). Infolge der Annahme
R2
E1,1 =
R << a
R
abhängige, Energieniveau
gilt
1
~2
· 2.
2m R
Dieses Energieniveau ist allerdings wiederum wegen
R << a
so weit über dem Grundzustand
E1,0 ,
dass es in Experimenten nicht beobachtet werden kann.
Wir schlussfolgern: Eine zusätzliche, aufgerollte Raumdimension kann uns auch bis heute verborgen
geblieben sein, solange ihr Umfang klein genug ist. Und genau auf die möglichen Umfänge von
Zusatzdimensionen wird im Folgenden eingegangen.
4
Planck-Einheiten
Um das Verständnis einer höherdimensionalen Raumzeit besser zu verstehen, benötigen wir einige
Hilfsmittel. Eines davon ist das sogenannte Planck'sche Einheitensystem.
Wir alle kennen die Werte für die Gravitationskonstante
keitzeit
c ' 3·108 m
s
3
G ' 6, 67·10−11 kgm s2 , die Lichtgeschwindig-
und das reduzierte Planck'sche Wirkungsquantum
~ ' 1, 06·10−34 kg sm
2
, wobei
alle Konstanten im Internationalen Einheitensystem (SI-System) berechnet wurden. In PlanckEinheiten sind alle drei Gröÿen auf den Wert
G=1·
lp3
,
mp t2p
Wir nennen
lp
tp ,
mp lp2
tp .
c=1·
~=1·
lp Planck-Länge, tp
1
normiert:
Planck-Zeit und
mp
Planck-Masse. Wieder umgerechnet in SI-
Einheiten erhalten wir
r
lp =
G~
' 1, 61 · 10−33 cm
c3
(4.1)
lp
' 5, 4 · 10−44 s
cr
~c
mp =
' 2, 17 · 10−5 g.
G
tp =
(4.2)
(4.3)
Es fällt sofort auf, dass sowohl die Planck-Länge, als auch die Planck-Zeit, sehr kleine, mit heutigen
Methoden nicht messbare, Werte besitzen. Im Verhältnis dazu erscheint die, im Alltag natürlich
auch sehr kleine, Planck-Masse riesig. Wohingegen die Plancklänge etwa das
eines Protons ist, beträgt die Planck-Masse ungefähr das
10+20 -fache
10−20 -fache des Radius
der Masse des Protons.
Bei der Berechnung der Masse eines Protons, die nötig ist, damit die Gravitationskraft die elektrische Abstoÿung aufhebt, erhält man jedoch eine Masse, deren Gröÿenordnung nahe an
mp
e2
GM 2 !
=
⇒ M'
2
2
r
4π0 r
12
4
mp
ist.
Planck-Einheiten sind somit die natürlichen Einheiten jeder Quantengravitationstheorie, einer Theorie, die versucht, die vier fundamentalen Wechselwirkungen zu vereinheitlichen und vor allem die
damit verbundene Frage, warum die Gravitation so viel schwächer ist als die anderen Wechselwirkungen (Hierarchieproblem), zu beantworten.
In den kommenden Kapiteln werden wir die vorhin eingeführten Konstanten für eine höherdimensionale Raumzeit berechnen, um damit auf mögliche Gröÿen von Zusatzdimensionen zu schlieÿen.
5
Planck-Wellenlänge für beliebige Raumdimensionen
Unser Ziel ist es, tiefere Einblicke in die Gravitationstheorie der Zusatzdimensionen zu gewinnen. Dabei werden wir die Newton'schen Gravitationsgesetze verwenden. Zwar sind diese nur für
ein schwaches Gravitationspotential und kleine Geschwindigkeiten gültig, allerdings werden sie uns
trotzdem helfen, unser Verständnis von Gravitationskonstante und Planck-Länge für höhere Raumdimensionen zu verbessern.
Hierbei betrachten wir die Poisson-Gleichung der klassischen, beziehungsweise Newton'schen Mechanik.
∆Φ(~r) = 4πGρm (~r),
wobei
∆
der Laplaceoperator,
Φ
Gesetz gilt auch für beliebig viele,
das Gravitationspotential und
D
ρm
die Massendichte ist. Dieses
Raumzeit-Dimensionen:
∆Φ(D) (~r) = 4πG(D) ρ(D)
r).
m (~
Der Subindex
(D)
(5.1)
verdeutlicht die Werte der Gröÿen für die entsprechende Anzahl an Raumzeit-
Dimensionen. Wir schreiben ab jetzt:
(4)
G = G(4) , lp = lp
usw.
Nun studieren wir die Einheiten von Gleichung (5.1) genauer: Da die Einheit des Gravitationspotentials auch für zusätzliche Raumdimensionen Energie geteilt durch Masse ist, für die Massendichte
allerdings immer Masse geteilt durch Volumen, also
(D)
[ρm ] =
m
, gilt, muss sich die GravitatiLD−1
onskonstante ändern. Wir folgern:
(D)
[G(D) · ρ(D)
]·
m ] = [G
Multiplikation beider Seiten mit
LD−1 ,
m
LD−1
!
= [G · ρm ] = [G] ·
m
.
L3
Division durch die Masse und Einsetzen von
[c]3 ·L2
für die
[~]
vierdimensionale Gravitationskonstante liefert:
[G(D) ] = [G] · LD−4
=
[c]3 · L2
[c]3 · LD−2
· LD−4 =
.
[~]
[~]
Da die Planck-Länge die eindeutig bestimmte Länge ist, die ausschlieÿlich aus Potenzen von
und
c
berechnet wird, erhalten wir die folgende Formel für die Planck-Länge in
D
G, ~
Raumdimensio-
nen,
(lp(D) )D−2 =
(D)
G(D) · ~
~ · G G(D)
2 G
=
·
=
l
·
,
p
c3
c3
G
G
(5.2)
indem wir im letzten Schritt die Denition der vierdimensionalen Planck-Länge aus Gleichung (4.1)
einsetzen.
Auÿerdem gilt das für unsere vierdimensionale Raumzeit konsistente Gravitationsgesetz (ohne Herleitung)
FG ∼
1
.
rD−2
5
(5.3)
Abbildung 4: Gleichmäÿige Massenverteilung um aufgewickelte Zusatzdimension
x4
(x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ), wobei x0 die Koordinate der
Zeit und x4 kompaktiziert ist mit einem Umfang von 2πR. Dabei ist an der Stelle x1 = x2 = x3 = 0
um die Zusatzdimension x4 ein Ring mit der Masse M gleichmäÿig verteilt(siehe Abbildung 5).
Für die Masse gilt M = 2πRm, wobei m die Masse pro Längeneinheit bezeichnet.
Da die Massenverteilung für alle Punkte auÿer x1 = x2 = x3 = 0 ungleich Null ist, erscheint die
(5)
δ -Distribution als passender Ansatz für die
R ∞Massendichte ρ . Diese Funktion hat fast überall den
r) = δ(x1 ) · δ(x2 ) · δ(x3 ) zeigen wir
Wert 0 (δ(x) = 0 ∀x 6= 0), allerdings gilt
−∞ δ(x)dx = 1. Mit δ(~
(5) = m·δ(~
nun ρ
r), indem wir die fündimensionale Massendichte integrieren, die Unabhängigkeit von
der x4 -Komponente, die Eigenschaften der δ -Distribution ausnutzen und das erforderte Ergebnis
der Gesamtmasse M herausbekommen:
Z
Z Z 2πR
ρ(5) =
ρ(5) dx4 d~r
3
V ol
R
0
Z ∞
Z ∞
Z ∞
Z 2πR
=m·
δ(x1 )dx1
δ(x2 )dx2
δ(x3 )dx3
dx4
Wir betrachten nun eine fünfdimensionale Raumzeit
−∞
−∞
−∞
0
= 2πRm.
Für einen Beobachter, der die aufgewickelte Zusatzdimension nicht sieht, erscheint die Masse allerdings punktartig. Folglich gilt für die vierdimensionale Massendichte
und verglichen mit der fünfdimensionalen erhalten wir
ρ(5) =
ρ(4) = M · δ(x1 ) · δ(x2 ) · δ(x3 ),
ρ(4)
2πR .
Dies setzen wir nun in die fünfdimensionale Poisson-Gleichung (5.1) ein,
∆Φ(5) (~r) = 4πG(5) ρ(5) = 4π
G(5) (4) !
ρ = ∆Φ(4) (~r) = 4πGρ(4) ,
2πR
∆Φ(5) unabhängig von x5 ist, können wir
G(5)
Identität G =
2πR und erhalten durch umstellen
und da
es gleich
∆Φ(4)
setzen. Daraus schlieÿen wir die
G
= 2πR =: lC ,
G(5)
mit
lC
als Länge der kompakten Zusatzdimension. Dies kann für
gemeinert werden, indem der Quotient von
G
und
G(D)
D−4
Zusatzdimension verall-
gleich dem Volumen der aufgewickelten
Dimensionen ist:
G
= lC1 · lC2 · ... · lCD−4 =: VC .
G(D)
6
(5.4)
6
Groÿe Zusatzdimensionen
Ziel dieses Kapitels ist es, die in den vorherigen Abschnitten hergeleiteten Formeln mit Leben zu
füllen. Wir werden Obergrenzen für mögliche Gröÿen von Zusatzdimensionen berechnen und diese
mit dem Modell, also der Stringtheorie, verknüpfen.
Dafür nehmen wir zuerst eine Raumzeit mit einer kompakten Zusatzdimension der Länge lC . Aus
Gleichungen (5.2) und (5.4) erhalten wir
(lp(5) )3 = (lp )2 ·
G(5)
= (lp )2 · lC
G
(5)
(lp )3
.
⇒ lC =
(lp )2
(6.1)
(6.2)
∼ 10−16 cm erforscht werden. Deshalb wählen wir eine fünfdimen∼ 10−18 cm. Dies, und den Wert der vierdimensionalen Planck-Länge
7
einen Umfang lC ∼ 10 km. Das ist ein Vielfaches der Strecke von der
Heutzutage können Bereiche bis
(5)
sionale Plank-Länge von lp
aus (4.1) eingesetzt, ergibt
Erde zum Mond und wäre natürlich längst erkannt worden.
Betrachten wir allerdings eine sechsdimensionale Raumzeit mit zwei gleichgroÿen Zusatzdimensionen, so erhalten wir analog zu (6.1) einen Umfang von
(6)
lC =
(lp )2
∼ 10−3 cm.
lp
Diese Länge erscheint immernoch zu groÿ, allerdings nur auf den ersten Blick.
Werden mögliche Zusatzdimensionen mit Gravitationsexperimenten erforscht, geschieht dies in der
Bestätigung des Gravitationsgesetzes
aus (5.3),
FG ∼
1
nur für Distanzen
r4
FG ∼ r12 für immer kleiner werdende Distanzen. Da die Formel
< lC gilt, geschähe dies in unserem Fall ab 10−3 cm. Aufgrund
von Störungen, die vor allem wegen der viel stärkeren elektromagnetischen Kraft auftreten, sind
FG ∼ r12 nur bis zu einer Distanz von
−3
10 cm sind also nicht unmöglich! (Für eine
präzise Messungen allerdings sehr schwer und bisher wurde
10−2 cm bestätigt. Zusatzdimensionen mit Längen von
elfdimensionale Raumzeit erhalten wir einen Umfang der kompakten Zusatzdimensionen von circa
1f m = 10−13 cm.)
Nur warum testen wir das ganze ausschlieÿlich mit Gravitation und nicht mit anderen Wechselwirkungen? Die Coulomb-Kraft ist beispielsweise bis auf
10−11 cm
bestätigt. Die Gründe in der
exponierten Situation für die Gravitation liegen im Grundprinzip der String-Theorie. Wie schon
im ersten Kapitel bemerkt, werden Elementarteilchen durch Vibrationen von oenen und geschlossenen Strings identiziert. Oene Strings können sich entlang der drei euklidischen Dimension frei
bewegen, sind allerdings in allen Zusatzdimensionen an einem festen Punkt lokalisiert. Sie sehen
die Extradimensionen nicht. Die drei Wechselwirkungen des Standardmodells (elektromagnetische,
starke und schwache Wechselwirkung) sind rein vierdimensional (, zählen wir die Zeitdimension hinzu). Gravitation auf der anderen Seite entsteht durch Schwingungen geschlossener Strings. Diese
können sich in allen Dimensionen frei bewegen und spüren somit auch die Zusatzdimensionen.
Literatur
[1]
https://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page.
[2] B. Zwiebach. A First Course in String Theory. Cambridge University Press, 2. edition, 2009.
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