Rechenmethoden der Physik

Rechenmethoden der Physik
Dozent: Professor Dr. Olaf Lechtenfeld
Abschrift: Thorsten Sklarek
31. Januar 2014
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
Vektoren
1.1
1.2
1.3
1.4
Richtung und Betrag
Skalarprodukt . . . .
Kreuzprodukt . . . .
Index-Schreibweise .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
. 5
. 9
. 12
. 15
Kinematik
2.1
2.2
2.3
17
Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Dierenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Kettenregel und Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dynamik
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Kraftfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impuls und Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie und Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eindimensionale Bewegung mit dem Energiesatz . . . . . . .
Dreidimensionale Bewegung unter konservativer Zentralkraft
Keplerproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Systeme von Massepunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tensoren
4.1
4.2
4.3
4.4
Drehungen und Matrizen . .
Tensor-Begri . . . . . . . . .
Hauptachsen-Transformation
Beispiele . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gewöhnliche Integrale . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . .
Integrationsmethoden . . . . . . . .
Kurven-, Flächen-, Volumenintegral
Krummlinige Koordinaten . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Allgemeines . . . . . . .
Die Exponentialfunktion
Potenzreihen . . . . . .
Komplexe Zahlen
C
Integrale
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Funktionen
5.1
5.2
5.3
5.4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
28
29
31
32
34
36
39
39
46
49
51
53
53
55
58
62
65
65
68
70
73
77
3
Inhaltsverzeichnis
6.6
7
4
Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
gewöhnliche Dierenzialgleichungen
7.1
7.2
87
Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Zehn Fälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1 Vektoren
1.1 Richtung und Betrag
Ortsvektor=
Pfeil von Bezugspunkt zu einem interessierenden Punkt
Notation: ~r, ~x, r, r
Verschiebevektor= Pfeil, der Punkt(1) mit Punkt(2) verbindet
Notation: ~r12
Betrag=
[Abb. 1.1]
Länge eines Vektors
nicht negative Zahl, evtl. mit Einheit (Norm)
Abb.
Notation: |~r| = r, |~v | = v
Vereinfachung:
1.1: Verschiebevektor
Pfeilklassen (vergesse Anfangspunkt)
Menge aller Pfeile gleicher Richtung & Betrags
Verschieben ändert nichts
Ausnahme: Ortsvektor
andere Situation: an jedem Raumpunkt ein Repräsentant
eines anderen Vektors
~ (~r1 ) 6= V
~ (~r2 ),
Physiker: V
Vektorfeld
Mathematiker: ~v : R3 −→ Vektorraum ,
[Abb. 1.2]
p 7−→ ~v (p)
Abb.
3 Eigenschaften:
1.2: Vektorfeld
1. Multiplikation mit Zahl
2. Addition zweier Vektoren
[Abb. 1.3]
3. Verhalten unter Drehungen
Abb.
1.3: Vektoraddition
5
1 Vektoren
Multiplikation mit Zahl
[Abb. 1.4]
Zahl × Vektor = Vektor mit verändertem Betrag
zu 1.:
Abb.
1.4: ändern der Länge/Richtung eines Vektors
Notation: (−1) · ~a = −~a
Gegenvektor
1
hat Betrag = 1
Einheitsvektor = Vektor × Betrag
~e =
1
a
~a =
~
a
|~
a|
, so dass
|~e| = 1 und ~a = a~e
∃ einen Einheitsvektor für jede Richtung
zu 2.:
kommutativ ~a1 + ~a2 = ~a2 + ~a1
assoziativ (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)
Nullvektor 0 · ~a = ~0
Notation:
~a + (−~a) = ~0
~a + ~0 = ~a ∀ ~a
oft ~0 = 0
1. Denition von Vektoren
Vektoren = Elemente eines Vektorraums V über den Körper R, d.h. es gelten folgende
Axiome
(1.1)
A) ∀ ~a, ~b ∈ V ∃ Addition ~a + ~b ∈ V mit
1) (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c) Assoziativität
2) ∃~0 : ~a + ~0 = ~a ∀ ~a
Nullvektor
3) ∀ ~a ∃(−~a) : ~a + (−~a) = ~0 Gegenvektor
4) ~a + ~b = ~b + ~a Kommutativität
B) ∀ ~a ∈ V, α ∈ R ∃ Skalarmultiplikation α · ~a = ~b ∈ V mit
1) (α + β) · ~a = α · ~a + β · ~a, α · (~a + ~b) = α · ~a + α · ~b Distributivität
2) α · (β · ~a) = (α · β) · ~a
3) ∃1 : 1 · ~a = ~a ∀~a
Assoziativität
Einselement
(V, +) ist eine Kommutative Gruppe
alle Objekte, die diesen Axiomen genügen, sind Vektoren
Betrag oder Richtung nicht erforderlich.
6
1.1 Richtung und Betrag
Geometrie −→ Algebra
zum Abmessen braucht es ein Bezugssystem
Komponenten
Der Vektor ist davon unabhängig!
.
kartesisches Koordinatensystem ~a = (a1 , a2 )
Vektor ~a hat in unserem K-System
die Komponenten a1 & a2 .
.
Notation für Ortsvektor: ~r = (x, y)
gegeben sind die Komponenten,
.
z.B. im R3 , ~a = (a1 , a2 , a3 )
• Betrag:
|~a| = a =
• Vielfaches:
p
(a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2
(1.2)
.
λ~a = (λa1 , λa2 , λa3 )
(1.3)
.
~a + ~b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
(1.4)
• Summe:
Basisvektoren
Einheitsvektoren in Richtung der Kooardinatenachsen:
.
~e1 = (1, 0, 0) ,
.
~e2 = (0, 1, 0) ,
.
~e3 = (0, 0, 1)
Rechtssystem
Zerlegung eines Vektors:
~a = ~e1 a1 + ~e2 a2 + ~e3 a3
(1.5)
Kollinearität:
~a, ~b sind kollinear, falls ∃ α, β ∈ R\{0} : α ~a + β ~b = ~0
(d.h. entweder ~a ~b oder ~a ↑↓ ~b)
Spezialfall von:
Lineare Abhängigkeit:
n
X
{~a1 , ~a2 , ..., ~an } sind linear unabhängig, falls
αi~ai = 0 impliziert, dass α1 = α2 = ... = αn = 0
i=1
7
1 Vektoren
Verhalten der Komponenten unter passiven Drehungen erlaubt eine feinere
Unterscheidung und eine engere ...
zu 3.:
2. Denition von Vektoren:
Vektoren sind Elemente eines Vektorraums (Axiome (1.1)),
deren Komponenten linear in {cos ϕjk } transformieren
unter einer Koordinatendrehung
{~ei } → {~e0j } mit ϕji = ](~e0j , ~ei )
.
~a = (a1 , a2 ) y ~a = ~e1 a1 + ~e2 a2
.
~a = (a01 , a02 ) y ~a = ~e01 a01 + ~e02 a02
i = 1, ..., n
dies unterscheidet Vektoren (im engeren Sinn) von
• Skalaren: transformieren nicht
• Tensoren: transformieren mit höheren Potenzen von {cos ϕij }
• Spinoren: transformieren linear in { cos 12 ϕij }
feinere Unterscheidung durch Betrachtung von Spiegelung am Ursprung:
~v 7−→ −~v Vektor
~v 7−→ ~v Pseudo-Vektor
α 7−→ α Skalar
α 7−→ −α Pseudo-Skalar
8
1.2 Skalarprodukt
1.2 Skalarprodukt
~a · ~b ist eine Zahl (Skalar)
soll linear sein in ~a, ~b, symmetrisch, ...
haben bereits Betrag (Norm) |~a| = a
Idee:
~a · ~a = a2
Parallelogramm-Gesetz:
|~a + ~b|2 + |~a − ~b|2 = 2a2 + 2b2
Skalarprodukt:
y
|~a + ~b|2 − |~a − ~b|2 =: 4a · b
√
~a · ~a = a2
√
(~a + ~b) · ~c = ~a · ~c + ~b · ~c
Distributivgesetz
√
gemischtes Assoziativgesetz
(λ~a) · ~b = ~a · (λ~b) = λ~a · ~b
geometrisch:
(~a + ~b) · (~a + ~b)
~a · ~a + ~b · ~b + 2~a · ~b
a2 + b2 + 2~a · ~b
=
|~a + ~b|2
Längenquadrat von ~a + ~b
a2 + b2 + 2a · bk
Nebenrechnung:
|~a + ~b|2 = (a + bk )2 + b2⊥
= a2 + 2abk + b2k + b2⊥
| {z }
b2
2
= a + 2abk + b
Vergleich:
2
~a · ~b = abk
Trigonometrie:
~a · ~b = ab cos ϕ
wobei
ϕ = ](~a, ~b)
Nebenrechnung:
(1.6)
bk
= cos ϕ
b
9
1 Vektoren
auch richtig:
~a · ~b = ak b
Vorzeichen:
~a · ~b < 0
Winkel:
wenn Winkel stumpf
~a · ~b
~a · ~b
cos ](~a, ~b) =
=p
a·b
~a~a · ~b~b
Orthogonal:
~a ⊥ ~b ⇔ ~a · ~b = 0
Kollinear:
~a k ~b ⇔ ~a · ~b = ±ab
Projektion:
~a = ~e1 a1 + ~e2 a2 + ... ⇔ ai = ~a · ~ei
i = 1, 2, ...
Anwendung in der Geometrie:
• Schwarzsche Ungleichung:
|~a · ~b| ≤ ab
(1.6)
|a − b| ≤ |~a + ~b| ≤ a + b
(1.7)
• Dreiecksungleichung:
• Kosinussatz:
~c = ~a − ~b
~c · ~c = (~a − ~b) · (~a − ~b)
c2 = a2 + b2 − 2~a~b = a2 + b2 − 2ab cos ϕ
• Orthogonal-Zerlegung
F~ = F~k + F~⊥ relativ zu einem ~v
~v · F~ = vFk y Fk = ~vv · F~
• Arbeit A = F~ · ~s ... Kraft mal Weg
10
y F~k = Fk ~vv = (F~ · ~vv ) ~vv
y F~⊥ = F~ − F~k
1.2 Skalarprodukt
über Winkel
(a)
ϕ=
s
R
dim'los
Vollwinkel
Raumwinkel:
(b)
rechter Winkel
ϕ = 2π
Ω=
S
R2
s=R·ϕ
ϕ=
π
2
Form der Fläche egal
Skalarprodukt in Komponenten:
Einheitsvektoren:
~e1 · ~e1 = 1
~e1 · ~e2 = 0
etc.
~
~a · b = (~e1 a1 + ~e2 a2 ) · (~e1 b1 + ~e2 b2 )
= ~e1 a1 · ~e1 b1 + ~e1 a1 · ~e2 b2 + ~e2 a2 · ~e1 b1 + ~e2 a2 · ~e2 b2
= a1 b1 + 0 + 0 + a2 b2
= a1 b1 + a2 b2
in 3D:
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
(1.8)
merke:
Komponenten sind basisabhängig, Skalarprodukt nicht
Spezialfall:
~b = ~a y ~a2 = a2 = (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2
11
1 Vektoren
1.3 Kreuzprodukt
~ , spürt Kraft F~
elektrisch geladene Teilchen, Geschwindigkeit ~v , im Magnetfeld B
~ , F = q v B⊥
experimentell: F~ ⊥ ~v , F~ ⊥ B
|{z}
|{z}
Ladung
( |{z}
~v ,
~
B
|{z}
F~
|{z}
,
Anteil⊥~
v
) bilden ein Rechtssystem
Daumen Zeigef inger M ittelf inger
dies deniert eindeutig das Kreuzprodukt
~
F~ = q ~v × B
(1.10)
Betrag von F~ ? berechne B⊥
Bk = B · cos ϕ
B⊥ = B · sin ϕ
?
Test: (Bk )2 + (B⊥ )2 = B 2
also:
F = q v B sin ϕ
~ erzeugten Parallelogramms)
= q · (Fläche des von ~v und B
)
~a × ~b = ~e a b sin ](~a, ~b)
~e ⊥ (~a, ~b), (~a, ~b, ~e) Rechtssystem
merke:
nur in 3 Dimensionen!
Eigenschaften:
~a × ~b = −~b × ~a
antisymmetrisch
~a × ~b = ~a × ~b⊥ = ~a⊥ × ~b
~a × ~a = 0
λ(~a × ~b) = (λ~a) × ~b = ~a × (λ~b)
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
~a ⊥ ~b ⇔ |~a × ~b| = ab
~a k ~b ⇔ ~a × ~b = 0
~a · (~a × ~b) = 0, ~b · (~a × ~b) = 0
~a × (~b × ~c) 6= (~a × ~b) × ~c
| {z }
| {z }
in(~b,~
c)−Ebene
12
in(~
a,~b)−Ebene
(1.11)
1.3 Kreuzprodukt
Entwicklungssatz:
~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b) bac-cab Regel
(1.12)
Beweis:
• wir wissen, daÿ ~a × (~b × ~c) ∈ (~b, ~c)-Ebene
• also: ~a × (~b × ~c) = β~b + γ~c
nde β, γ
• skalar multiplizieren mit ~a: 0 = λ ~a · ~b + γ ~a · ~c
• Lösung:
β = λ ~a · ~c, γ = −λ ~a · ~c
nde λ
−→ ~a × (~b × ~c) = λ ~b(~a · ~c) − λ ~c(~a · ~b)
• Spezialfall: ~a = ~b = ~e1 , ~c = ~e2
~e1 × (~e1 × ~e2 ) = λ~e1 (~e1 · ~e2 ) −λ ~e2 (~e1 · ~e2 )
|
{z
}
| {z }
| {z }
0
~
e1 ×~
e3
⇔ −~e2 = −λ~e2
y
λ=1
−λ~
e2
q.e.d.
Jacobi-Identität
~a × (~b × ~c) + ~b × (~c × ~a) + ~c × (~a × ~b) = 0
Orthogonal-Zerlegung von
~a
in Richtung
~e
(1.13)
~e · ~e = 1
~a = ~ak + ~a⊥
~ak = (~a · ~e)~e
(1.14)
~a⊥ = ~e × (~a × ~e) = ~a(~e · ~a) − ~e(~e · ~a) = ~a − ~ak
Kreuzprodukt in Komponenten:
~a × ~b =
=
=
(~e1 a1 + ~e2 a2 + ~e2 a2 ) × (~e1 b1 + ~e2 b2 + ~e2 b2 )
(
(
~
e1 (
×(
~e1(
a1 b1 + ~e1 × ~e2 a1 b2 + ~e1 × ~e3 a1 b3
(
(
(
+ ~e2 × ~e1 a2 b1 + (
~e2 (
×(
~e2(
a2 b2 + ~e2 × ~e3 a2 b3
(
(
+ ~e3 × ~e1 a3 b1 + ~e3 × ~e2 a3 b2 + (
~e3 (
×(
~e3(
a3 b3
(1.15)
~e1 (a2 b3 − a3 b2 ) + ~e2 (a3 b1 − a1 b3 ) + ~e3 (a1 b2 − a2 b1 )
    
  
a1
b1
a2 b3 − a3 b2
c1
a2  × b2  = a3 b1 − a1 b3  = c2 
a3
b3
a1 b2 − a2 b1
c3
13
1 Vektoren
Tabelle:
i\j
1
2
2
~ei × ~ej
1
0
−~e3
~e2
2
~e3
0
−~e1
3
−~e2
~e1
0
Anwendung in der Geometrie:
F
=F
F
=F
= |~a × ~b| = a · b · sin(α + β)
+F
= a sin α · b cos β + a cos α · b sin β




Additionstheorem



mehrfache Produkte:
~ = (~a · ~c)(~b · d)
~ − (~a · d)(
~ ~b · ~c)
(~a × ~b) · (~c × d)
(~a × ~b)2 = a2 b2 − (~a · ~b)2
)
(1.16)
kann negativ sein
~a · (~b × ~c) = ~ak · |~b × ~c| =
z }| {
Volumen
des von ~a, ~b, ~c aufgespannten Spats
Spatprodukt
~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b)
= (~a × ~b) · ~c = (~b × ~c) · ~a = (~c × ~a) · ~b
(1.17)
In Komponenten:
~a · (~b × ~c) = a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a1 b3 c2 − a2 b1 c3 − a3 b2 c1


a1 b1 c1
= det a2 b2 c2 
a3 b3 c3
Rechenschema: Sarrus-Regel
14
(1.18)
1.4 Index-Schreibweise
1.4 Index-Schreibweise
Skalarprodukt:
~ei · ~ej =
Tabelle δij
i\j 1 2
1 1 0
2 0 1
3 0 0
1 falls i = j
0 falls i 6= j
=: δij
3
0
0
1
Kronecker-Symbol
! 
X
~a · ~b =
·
~ei ai
i
=
X

X
X
~ej bj  =
j
δij ai bj =
i,j
~ei · ~ej · ai bj
(1.9')
i,j
X
δij ai bj =
X
i=j
ai bi
i
Kreuzprodukt:
~ei × ~ej =
X
~ek ck (i, j) =
X
k
i
1
1
2
2
3
3
j
2
3
3
1
1
2
~ek kij
Levi-Civita-Symbol (ε-Symbol)
k
ε ist nicht Null für
ε=0
k
εijk
falls
3
1
2
-1
zwei
1
1
Indizes
3
-1
gleich
2
1
1
-1

!
~a × ~b =
X
~ei ai
×
i
=
~ej aj 
X
=
j
X X
i,j

X
~ei × ~ej ai bj
(1.15')
i,j
~ek εkij ai bj
X
=
k
~ek εkij ai bj
i,j,k
(~a × ~b)k =
X
εijk ai bj
(1.15)
i,j
(~a × ~b)l = (~a × ~b) · ~el =
X
~ek · ~el εkij ai bj
i,j,k
=
X
i,j,k
δkl εkij ai bj =
X
εlij ai bj
i,j
15
1 Vektoren
Spatprodukt
~a · (~b × ~c) =
X
=
X
X
ak ~b × ~c =
ak εkij bi cj
k
k
k,i,j
εkij ak bi cj = Determinante |~a, ~b, ~c|
(1.18')
k,i,j
Rechenregeln / Eigenschaften
δij = δji
εijk = εjki = εkij = −εikj = −εkji = −εjik
X
δij δjk = δik
j
X
δij δji =
X
i,j
δii = 3
(1.19)
i
X
δij εijk = 0
i,j
X
εijk εlmk = δil δjm − δim δjl
k
Dies ist das Gleiche wie ~a × ~b · ~c × d~ = ~a · ~c ~b · d~ − ~a · d~ ~b · ~c
X
X
εijk εljk = 2 δil
(1.20) δmj = ...
j,m
j,k
X
εijk εijk = 6
i,j,k
Einsteins Summationskonvention:
Lasse
16
X
weg
(1.20)
2 Kinematik
2.1 Raumkurven
Vektorfunktion
.
f~(t) = ( f1 (t) , f2 (t) , f3 (t) )
Beispiele:
• Geradlinig, konst. Geschwindigkeit ~v zur Zeit t = 0 sei ~r(0) = ~r0 ⇒
~r(t) = ~r0 + ~v t
.
= ( x0 + v1 t , y0 + v2 t , z0 + v3 t )
(2.1)
Parameterdarstellung einer Geraden
• Kreisbewegung in xy-Ebene am Ursprung,
im positiven Drehsinn mit konstantem v = (~v )
Start
t = 0, φ = 0
Bogenlänge
s(t) = vt
Winkel
Winkel-Geschw ω= Rv
z}|{
s(t)
vt
φ(t) =
=
=
ω
R
R
.
~r(t) = R (cos ωt, sin ωt, 0)
t
(2.2)
17
2 Kinematik
Periode
T =
2π
ω
weil ~r(t + T ) = ~r(t)
Geschwindigkeit:
~v ⊥ ~r y ~v k ~e3 × ~r , v = Rω
    

0
cos
− sin
.
0 ×  sin  =  cos  =
~ev y ~v = v~ev = Rω~ev
1
0
0
.
~v (t) = Rω (− sin ωt, cos ωt, 0)
alternativ:
~v (t) =
(2.3)
√
d
.
~r(t) = ~r˙ (t) = (ẋ(t) , ẏ(t) , ż(t))
dt
gilt allgemein:
~v (t) = ~r˙ (t)
(2.4)
• Schraubenlinie (in z-Richtung)
.
~r(t) = (R cos ωt, R sin ωt, v3 t)
(2.5)
Bemerkung zur Kreisbewegung:
i.a. ist ω ein Vektor
Winkelgeschwindigkeit
ω
~ (t) = ω(t)~eAchse (t)
Geschwindigkeit
~v (t) = ω
~ (t) × ~r(t)
18
(2.6)
2.2 Dierenzieren
2.2 Dierenzieren
Ableitung von f (x) bei x̄
= Anstieg der Kurve bei x = x̄
= Steigung der Tangente bei x̄
Tangente:
tx̄ (x) = f (x̄) + a · (x − x̄)
Notation:
a = a(x̄) =: f 0 (x̄)
| {z }
Ableitung
f 0 (x̄) ≡ (∂x f )(x̄) =
df, dx:
df
(x̄) =
dx
lim
→0
Grenzwert
f (x̄ + ) − f (x̄)
|
{z
}
(2.7)
Dif f erentialquotient
Dierentiale andersherum:
f (x̄ + ) = f (x̄) + · f 0 (x̄) + O(2 )
)
df (x̄) = f 0 (x̄) · dx
(2.8)
O(k ) = Terme, die mindestens so schnell wie k nach Null gehen
( von Ordnung k )
Dierenzieren = Bilden der Ableitung für jedes x̄
Ergebnis:
Ableitungsfunktion f 0 (x̄) von x̄
Ableiten ist eine Operation
f 7−→ f 0 ≡
df
≡ ∂x f
dx
d
dx
∂x
Funktionswerte sind
f 0 (x) ≡
oder
df
(x) ≡ (∂x f )(x)
dx
Beispiele
• f (x) = x3
3
3
(x + ε)3 − x3
x
+ 3x2 ε + 3xε2 + ε3 − x
= lim
ε→0
ε→0
ε
ε
2
2
ε(3x
+
3xε
+
ε
)
= lim = 3x2
ε→0
ε
∂x x3 = lim
19
2 Kinematik
• f (x) =
√
x
√
√
√ √
√
x+ε− x
( x + ε − x)( x + ε + x)
√
=
√
ε
ε( x + ε + x)
x
+
ε
−
x
1
= √ A √ = √
2 x
Aε( x + ε + x)
√
∂x x =
• f (x) =
√
1
x
1
1
∂x =
x
ε
1
1
−
x+1 x
=
1
1 x − (x + ε)
1 −ε
·
= · 2A = − 2
ε
(x + ε)x
x
Aε x
• f (x) = cos x
sin ε = ε + O(ε3 )
cos ε = 1 + O(ε2 )
1
1
[cos(x + ε) − cos x] = [cos x · cos ε − sin x · sin ε − cos x]
ε
ε
1 ((
cos x ·(
1 − sin x · Aε − cos
x]
= [(
Aε
= − sin x
∂x cos x =
d cos ωt
d cos ωt
d cos x
=ω
=ω
dt
dωt
dx
= −ω sin x = −ω sin ωt
∂t cos ωt =
Leibnizregel oder Produktregel
1
[f (x + ε) · g(x + ε) − f (x) · g(x)]
ε
1
= [{f (x) + εf 0 (x)} {g(x) + εg 0 (x)} − f (x) g(x)]
ε
i
1 hH
=
f ·H
g + εf 0 · g + εf · g 0 + ε2 f 0 g 0 − H
f ·H
g (x)
ε
(f · g)0 (x) = (f 0 · g)(x) + (f · g 0 )(x)
∂x (f · g)(x) =
Dierenzieren einer Vektorfunktion
.
~k(t) =
(k1 (t), k2 (t), k3 (t))
math.:
20
Abb.
R ⊂ I −→ ~k
t 7−→ ~k(t)
(2.9)
2.2 Dierenzieren
Änderungsvektor:
~k(t + ε) − ~k(t)
d~k
˙
∂t~k(t) = lim
=
(t) =: ~k(t)
ε7→0
ε
dt
.
= k̇1 (t), k̇2 (t), k̇3 (t)
.
= ~e1 k̇1 (t) + ~e2 k̇2 (t) + ~e3 k̇3 (t)
falls ~k = ~r:
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
.
~v (t) = ~r˙ (t) = (ẋ, ẏ, ż)
(2.4)
.
~a(t) = ~v˙ (t) = ~r¨(t) = (ẍ, ÿ, z̈)
(2.10)
Rechenregeln:
˙
∂t ~a + ~b = ~a˙ + ~b
˙
∂t ~a · ~b = ~a˙ · ~b + ~a · ~b
˙
∂t (λ~a) = λ̇~a + λ~a˙ ,
∂t ~a × ~b = ~a˙ × ~b + ~a × ~b
,
(2.11)
Tricks:
•
•
~a · ~b = const.
˙
~a˙ · ~b = −~a · ~b
−→
z. B. ~e · ~e˙ = 0 für (~e)2 = 1
~a · ~a˙ =
Anwendung:
1
2
∂t (~a · ~a) =
~a = ~r y
1
2
∂t a2 = a ȧ
ṙ = ~r ·
~
r˙
r
mit
a = |~a|
= ~r˙ · ~er = vk 6= v
Beispiele:
• gradlinige Bewegung nach oben
.
~r(t) = (a, v0 t)
r=
p
a2 + v0 2 t2
.
~r˙ (t) = (0, v0 )
v = v0 6= ṙ = √
.
~r¨(t) = (0, 0)
a=0
• Kreisbewegung
c := cos ωt , s := sin ωt
.
~r(t) = R(c, s)
.
~r˙ (t) = Rω(−s, c)
.
.
~r¨(t) = Rω 2 (−c, −s) = −ω 2 ~r(t)
v0 2 t
a2 + v0 2 t2
r=R
ṙ = 0
v = Rω
a = Rω
v̇ = 0
2
ȧ = 0
21
2 Kinematik
begleitendes Dreibein einer Raumkurve
˙
~t = ~r
v
~r(t)
Tangenten-Einheitsvektor
(2.12)
˙ × ~r¨ × ~r˙
~
r
˙
¨
~t˙ = ~r − ~r v̇ =
⊥ ~t
v
v2
v3
= v κ ~n
~n : Normalen-Einheitsvektor
(2.13)
¨ ˙
¨
~t˙ · ~n = v κ~n · ~n = v κ = |~t˙| = |~r × ~r| = |~r⊥ |
2
v
v
κ=
|~
r¨⊥ |
v2
Krümmung
1
κ
Krümmungsradius
~r˙ × ~r¨
~n˙ = v λ~t + τ~b mit ~b = ~t × ~n =
|~r˙ × ~r¨|
Binormale
Trick
·~t y vλ = ~n˙ · ~t = −~n · ~t˙ = −v κ y λ = −κ
...
~r˙ · ~r¨ × ~r
τ : Torsion
·~b y vτ = ~n˙ · ~b = . . . = v
| ~r˙ × ~r¨ |2





(2.14)
(2.15)




=0
z }| {
~b˙ = ∂t ~t × ~n = ~t˙ × ~n + ~t × ~n˙ = −v τ ~n
zusammen:
Frênet-Formeln
~t˙ = v κ ~n
~n˙ = −v κ ~t + v τ ~b




~b˙ = −v τ ~n



...
| ~r¨ × ~r |
κ=
v3
...
~r˙ · ~r¨ × ~r
τ=
| ~r˙ × ~r¨ |2






(2.17)





Geschwindigkeit & Beschleunigung ~v = ~r˙ = v ~t
tangential
~a = ~r¨ = ∂t v ~t = v̇ ~t + v ~t˙ = v̇ ~t + v 2 κ ~n
in Schmiegungsebene
= ak ~t + a⊥ ~n
22
(2.16)
(2.18)
2.3 Kettenregel und Gradient
2.3 Kettenregel und Gradient
sei
h(x) := f (g(x)) = f (y)
g
mit
y = g(x)
f
x 7−→ y = g(x) 7−→ f (y) = f (g(x)) = h(x)
dierenziere:
(∂x h)(x) =
h=f ◦g
1
1
[ h(x + ) − h(x)] = [ f (g(x + )) − f (g(x))]
δ
y
z}|{ z }| {
1
1
= [ f (g(x) + ε · g 0 (x)) − f (g(x))] = [ f (y + δ) −f (y)]
ε | {z }
1
1
0
+ δ · f (y) −f (y)]
= [ ε · g 0 (x) · f 0 (g(x))]
f (y)
= [
{z
} ε |
ε
0
0
= f (g(x)) · g (x) = (∂y f )(g(x)) · (∂x g)(x)
anders:
d(f ◦ g)
df dg
dh
=
=
·
dx
dx
dg dx
( 2.19a)
( 2.19b)



 Vorsicht:
f (g(x))0 = f 0 (g(x)) = f 0 (y)
|{z}

falsch! 
h0 (x)
Funktionen mehrerer Variabler
f (x, y, z)
genauso
∂y f, ∂z f
1
[f (x + ε, y, z) − f (x, y, z)]
partielle Ableitung ε
(∂x f )(x, y, z) =
entsprechend
Verkettung:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) y f (~r(t))
| {z }
h(t)
Ableitung:
1
[f (x(t + ε), y(t + ε), z(t + ε)) − f (x, y, z)]
ε
1
f x(t) + εẋ(t), y(t) + εẏ(t), z(t) + εż(t) − f (x, y, z)
=
ε
1
+
−f x, y + εẏ, z + εż + f x, y + εẏ, z + εż − f x, y, z + εż + f x, y, z + εż Null addiert
ε
= ∂x f (x, y, z) · ẋ + ∂y f (x, y, z) · ẏ + ∂z f (x, y, z) · ż
∂t h =
23
2 Kinematik
also:
∂t f (~r(t)) = ẋ(t)∂x f (~r(t)) + ẏ(t)∂y f (~r(t)) + ż(t)∂z f (~r(t))
  

ẋ
∂ f
.    x 
.
~ f (~r(t))
= ẏ · ∂y f (~r(t)) = ~r˙ · |{z}
∇
ż
∂z f
N abla
Gradient einer Funktion
.
~ (x, y, z) =
∇f
(∂x f (x, y, z), ∂y f (x, y, z), ∂z f (x, y, z))
anschaulich:
gegeben Potenzial
Äquipotenzialäche
V (~r)
(für f (~r))
V (~r) = const. y ~r ∈ Fläche
Trick: Betrachte Kurve ~r(t) in der Ä-Fläche
dann gilt:
0 = ∂t V (~r(t)) =
~r˙ (t)
|{z}
~ (~r(t))
·∇V
in Ä-Fläche
~ ⊥ Ä-Fläche
⇒ ∇V
24
(2.20)
3 Dynamik
3.1 Kraftfelder
m ~r¨ = F~
Newton 2
(3.1)
F~ (~r, ~r˙, t) = ?
benötigt Kraft-Gesetz
insbesondere auÿerhalb von
~r = ~r(t)
Strategie:
(3.1)
F~ (~r, ~r˙, t) −−−→ ~r(t)
Beispiel:
Mechanik
~ r, t) + ~r˙ × B
~ (~r, t)
F~ (~r, ~r˙, t) = q E(~
Lorentzkraft
(3.2)
umgekehrt:
M axwell ~
~r(t) −−−−−−→ E
(~r, t)
E-Dynamik
Bemerkungen:
• F~ = 0 y ~r¨ = 0 y ~r(t) = ~r0 + ~v0 t
deniert Inertialsystem
Newton 1
• m ist positiver Skalar, träge Masse, Eigenschaft des Teilchens
...
• F~ (~r, ~r˙, t) hängt nicht ab von ~r¨, ~r etc. / F~ (~r, t) Kraftfeld
Newton 2 = gekoppeltes System von 3 gewöhnlichen
Dienrentialgleichungen 2. Ordnung in ~r(t)
Lösungsidee:
kenne ~r(t), ~v (t) zu einer Zeit t.
~r(t + dt) = ~r(t) + dt · ~v (t)
(3.1)
~v (t + dt) = ~v (t) + dt · ~a(t) = ~v (t) + dt ·
1 ~
F (~r(t), ~v (t), t)
m
Lektion:
eindeutige Lösung erfordert Anfangsbedingungen
| {z }
|
{z
}
~
r (t)
für
t>t0
~
r (t0 ), ~
r˙ (t0 )
25
3 Dynamik
freier Fall (auch Würfe)
Fall 1:
Gravitations-Kraftgesetz:
F~ (~r) = −γ
mM
~e~r−~r
(~r − ~r0 )2 | {z }0
(3.3)
N ewton
~
r −~
r0
|~
r −~
r0 |
Wähle Ursprung auf Erdoberäche y ~r0 = −R ~e3
Näherung nahe der Erdoberäche: |~r| R
(x, y, z + R)
.
F~ (~r) = −γmM
3
[x2 + y 2 + (z + R)2 ] 2
R ≈ 6370km
mM
.
= −γ 2 h
R
mM
(0, 0, 1)
.
= −m g ~e3
≈γ 2
2
R [0 + 02 + 12 ] 32
Wähle AW!
x y z+R
R, R, R
x 2
R
+
y 2
R
+
z+R 2
R
i 32
(3.4)
γM
mit g = 2
R
(
Herunterfallen:
.
~r(0) = (0, 0, h)
.
~r˙ (0) = (0, 0, 0)
Newton:
m g (0, 0, 1)
m (ẍ, ÿ, z̈) = − in Komponenten:
ẍ = 0, ÿ = 0, z̈ = −g
(*)
Lösung:
x(t) = 0, y(t) = 0, z(t) =?
Ansatz:
Einsetzen:
z.B.
z(t) = A + B · t + C · t2 + D · t3 + E · sin ωt
ż(t) =
z̈(t) =
B+
2C · t + 3D · t2 + E ω cos ωt
2C + 6D · t − Eω 2 sin ωt
Vergleich mit (*) gibt:
2C = −g, D = 0, E = 0
Vergleich mit AW gibt:
0 = ż(0) = B, h = z(0) = A
eindeutige Lösung:
z(t) = h −
26
1 2
gt
2
(3.5)
3.1 Kraftfelder
Fall 2:
harmonischer Oszillator
Hooke:
(3.6)
F~ (~r) = −κ (~r − ~r0 )
wähle ~r0 = 0
~r = ~r0 ist Ruhelage
Newton:
m (ẍ, ÿ, z̈) = −κ (x, y, z)
für x-Komponente:
ẍ = −
κ
x
m
⊗
Ansatz:
x(t) = A cos ωt + B sin ωt
Einsetzen:
•
ẋ(t) = −A ω sin ωt + B ω cos ωt
2
◦
2
ẍ(t) = −A ω cos ωt − B ω sin ωt
κ
!
= − (A cos ωt + B sin ωt)
⊗
m
Vergleich:
ω2 =
√
κ
m
es fehlen noch die AW, z.B.
~r(0) = ~r1 ,
~r˙ (0) = 0
x(0) = x1 ,
ẋ(0) = 0
also:
Einsetzen in • & ◦:
!
A = x1 ,
!
Bω = 0
zusammen:
r
κ
t
m
r
κ
t
m
x(t) = x1 cos
für alle Komponenten:
~r(t) = ~r1 cos
h
Spezialfall falls AW: ~r(0) = ~r1 , ~r˙ (0) = 0
(3.7)
i
27
3 Dynamik
3.2 Impuls und Drehimpuls
Impuls:
→ Newton 2:
p~ := m ~v
(3.8)
p~˙ = F~
(3.9)
falls F~ = 0 y p~˙ = 0 y p~ = konst.
Impulserhaltung
2-Teilchen-System, isoliert:
Gesamtimpuls
P~ = p~1 + p~2 = konst.
Schwerpunktsbewegung:
~ s := 1 (m1~r1 + m2~r2 ) mit M = m1 + m2
R
M
P~
~˙ s = 1 m1~r˙1 + m2~r˙2 = 1 (~
~
R
p1 + p~2 ) =
= const. = V
M
M
M
~ s (t) = R
~ s (0) + V
~ ·t
y R
Drehimpuls:
(3.10)
~ := m~r × ~v = ~r × p~
L
abhängig vom Bezugspunkt (hier: ~r0 = 0 )
Newton 2:
:0
~˙ = L
m~
r˙ × ~r˙ + m~r × ~r¨ = ~r × F~ =:
~
N
|{z}
Drehmoment
~ = 0 falls F~ = 0 oder F~ k ~r , d.h.
N
F~ ~r, ~r˙, t = f ~r, ~r˙, t · ~er
Zentralkraft
2-Teilchen-System isoliert:
es gilt
~ =L
~1 + L
~ 2 = konst.
L
Erhaltung des Gesamtdrehimpuls
geometrische Interpretation der Drehimpulserhaltung:
~ = ~r · m~r × ~r˙ = 0
• ~r · L
•
y
~
L=konst.
für ~r(t)
1
d~r⊥
L = |~r × ~r˙ | = r · v⊥ = r|
|
m
dt
= 2 · (in dt überstrichene F läche 4)/dt
2.Kepler−Gesetz
28
Ebenengleichung
(3.11)
3.3 Energie und Potenzial
3.3 Energie und Potenzial
m~r¨ = F~
∂t
1 ˙2
m~r
2
=
| · ~r˙
y
m~r˙ · ~r¨ = ~r˙ · F~
m~r˙ · ~r¨ = ~r˙ · F~
=
d~r ~
·F
dt
(3.12)
Leistung
kinetische Energie
T :=
wenn
∃
Funktion
V (~r)
1 ˙2
m~r
2
(3.13)
(Potenzial) so dass
~ V (~r)
F~ (~r, ~r˙ , t ) = −∇
dann gilt
und somit
y
(3.14)
~ V (~r) 3.14
∂t V (~r(t)) = ~r˙ · ∇
= −~r˙ · F~
∂t T = −∂t V
Energie-Erhaltung:
∂t (T + V ) = 0 ⇔
1 ˙2
m~r (t) + V (~r(t)) = konst. =: E
2
solche Kraft-Gesetze heiÿen konservativ
kin. + pot. Energie = T + V =
(3.15)
Beispiele:
A)
.
F~ = (0, 0, −mg) = (−∂x V, −∂y V, −∂z V )
)

0 = ∂x V



⇒ V = V (z)
| {z }
⇔ 0 = ∂y V
(3.16)

=0 gewählt


mg = ∂z V −→ mg = V 0 (z) y V = mgz + C
B)
F~ = −κ (r − l) ~er
raten:
V (~r) =
Test:
κ
(r − l)2
2
?
(3.17)


 
∂x
∂x
.  
~ (r) =
∂y V (r) = V 0 (r) ∂y  r = ⊗
∇V
∂z
∂z
29
3 Dynamik
nützlich:
∂i r = ∂i
p
2
2
2
(x +y +z )
x2 + y 2 + z 2 = ∂i√
=
2
2
2
2
y
∂r
xi
=
∂xi
r
x +y +z
⇔
2xi
2r
=
xi
r
~ = ~er
∇r
(3.18)
~ (r) = f 0 (r) · ∇r
~ = f 0 (r) ~er
∇f


x/r
√
.
⊗ = V 0 (r) y/r  = κ(r − l) ~er
z/r
y
allgemein:
Zentralkraft:
kons. Kraft:
F~ = f (~r, ~r˙, t) ~er
~ (~r)
F~ = −∇V
~˙ = 0
↔ L
↔ Ė = 0
beides:
konservative Zentralkraft:
~ (r) ,
F~ = f (r) ~er oder F~ = −∇V
f = −V 0
(3.19)
C)
mM
F~ = −γ 2 ~er
r
mM
V (r) = −γ
r
D)
kons. Zentralkraft
(3.20)
.
F~ = κ(−x, z − y, z − y)
∃V ?
zu Fuÿ:
κ 2
−Fx = κx = ∂x V y V = x + f (y, z)
2
κ
!
−Fy = κy − κz = ∂y V = ∂y f y f (y, z) = y 2 − κyz + g(z)
2
!
!
−Fz = κy − κz = ∂z V = −κy + g 0 (z)
y − κz
y g 0 (z) = 2κ
30
Widerspruch, weil von y abhängig
3.4 Eindimensionale Bewegung mit dem Energiesatz
3.4 Eindimensionale Bewegung mit dem Energiesatz
Bewegungstyp aus Potenzial ablesbar, z.B.
erlaubte Bewegung:
Umkehrpunkte:
V (x) ≤ E ,
E − V (x) = T (x) = 21 mv 2
V (x± ) = E ⇔ T (x± ) = 0
Lösung über Energiesatz (statt Newton 2:)
r
2
1
2
mẋ = E − V (x) y ẋ = ±
(E − V (x))
2
m
dx
dx
√
ẋ =
y dx = ±
dt y dt = ± √
y
dt
Z t
Z x
Z x
dx0
dx0
0
q
q
dt = ±
y t − t0 = ±
2
2
0
0
t0
x0
x0
m (E − V (x ))
m (E − V (x ))
das liefert
(3.21)
t = t(x) y x(t) mit x(t0 ) = x0
gebundene Bewegung ist periodisch, mit Periode
Z
x+
T (E) = 2
x−
dx
q
2
m (E
mit Umkehrpunkten x±
(3.22)
− V (x))
31
3 Dynamik
3.5 Dreidimensionale Bewegung unter konservativer
Zentralkraft
Teilchen unter Einuÿ
erhalten sind
~ (r)
F~ (r) = −∇V
L = mv⊥ r & E = 21 mv 2 + V (r)
~ = konst. y Bewegung in Ebene (ϑ = π/2 ⇔ z = 0)
L
~v = ~vk + ~v⊥ (bzgl ~r) y v 2 = vk 2 + v⊥ 2 mit vk = ~v · ~er = ṙ
v⊥ =
soll eleminiert werden.
L
mr
Jetzt Energieerhaltung:
E=
1
2
) + V (r)
m(vk2 + v⊥
2
Zentrif ugalbarriere
2
1
L
= m ṙ2 + 2 2
2
m r
=
1 2
mṙ + Vef f (r)
2
1
+ V (r) = mṙ2 +
2
|
z}|{
L2
2mr2 {z
+ V (r)
}
eektives Potenzial
(3.23)
Beispiel Gravitationspotenzial:
eindimensionales Ersatzproblem mit Vef f (r)
r
ṙ(t) = ±
2
(E − Vef f (r)) ,
m
Z
r
t − t0 = ±
r0
rϕ̇(t) = v⊥ =
dr0
q
2
m (E
− Vef f (r0 ))
y
L
,
mr(t)
ϕ − ϕ0 =
L
m
ϑ=
Z
t0
→ Parameterdarstellung der Bahn: r(t), ϕ(t), ϑ(t)
dϕ dt
L
1
dϕ
=
·
=
·q
dr
dt dr
mr2
2
m (E − Vef f (r))
32
t
π
2
dt0
r2 (t0 )
(3.24)
(3.25)
3.5 Dreidimensionale Bewegung unter konservativer Zentralkraft
Polardarstellung der Bahnkurve
Z r
L
dr0
p
ϕ − ϕ0 = √
y ϕ(r) y r(ϕ)
2m r0 r0 2 E − Vef f (r0 )
Schwingungsperiode bei gebundener Bewegung
Z r+
dr
q
T =2
2
r−
m (E − Vef f (r))
(3.26)
(3.27)
zugehöriger Winkel ist
2L
4ϕ = √
2m
Z
r+
r−
r2
dr
p
E − Vef f (r)
Beispiele
Bahn ist geschlossen falls k · 4ϕ = n · 2π k, n ∈ Z (rechtes Bild)
Eine geschlossene Bahn ist die Ausnahme!
33
3 Dynamik
3.6 Keplerproblem
α
V (r) = −
r
(
α > 0 attraktiv
α < 0 repulsiv
(3.28)
α
α
F~ (~r) = − 2 ~er = − 3 ~r
r
r
Erhaltungssätze:
• Energie:
α
r
(1)
~ = m~r × ~r˙
L
(3)
E = 12 mṙ2 −
• Drehimpuls:
• Runge-Lenz Vektor:
~ = ~r˙ × L
~ − α ~er
A
~r
~er =
r
(3) aber nur (1) unabh.
(3.29)
~:
Beweis für A
=0
˙
˙~ ¨ ~
~ + α ṙ~r − α ~r˙
A = ~r × L + ~r˙ × L
| {z }
r2
r
=r ṙ
2
=r
z}|{
z}|{
˙ = − α ~r ~r · ~r˙ − ~r˙ ~r · ~r
~ = − α 1 ~r × ~r¨ × L
m
~
r
×
~
r
| {z }
m r3
r3
α
α
~˙ = 0 √
= − 2 ṙ~r + ~r˙ −→ A
r
r
Ausnutzen:
2
~2 = A
~·A
~ = ~r˙ × L
~ − α ~r
A
r
2 2α 2
~ −
~ + α ~r2
= ~r˙ × L
~r × ~r˙ · L
| {z }
r
r2
0 *
2
~ 2 − ~r˙
~ − 2α ~r × ~r˙ · L
~ + α2
= ~r˙ 2 L
·L
r
|
{z
}
2α
1
2
2
~ −
~ ·L
~ + α2
= ~r˙ L
L
r m
2
~ 2 ~r˙ 2 − 2α + α2 = 2L E + α2
=L
mr
m
r
2L2 E
yA=α 1+
=: α · ε ←− numerische Exzentrizität
mα2
34
(3.30)
3.6 Keplerproblem
~·L
~ =0
A

2
~ · ~r = ~r˙ × L
~ · ~r − α ~r · ~r = L − αr 
A
r
m
~ · ~r = Ar cos ϕ = α ε r cos ϕ 
aber auch A
r(ϕ) =
welche Kurve?
k
1 + ε cos ϕ
mit k =
r(ϕ) !
L2
mα
(3.31)
Ellipse !
r + r0 = konst.
Ä-Linie von
V (x, y) = r + r0
~ + ∇r
~ 0 · ~t = (~er + ~er0 ) · ~t
~ · ~t = ∇r
y 0 = ∇V
π
π
= − cos
− ψ + cos
− ψ 0 = − sin ψ + sin ψ 0
2
2
Es gilt:
aber auch
0
~r0 = 2~e + ~r
r + r = 2a
r0 = 2a − r
~r02 = 4~e2 + 4~e · ~r + ~r2
r02 = 4a2 − 4ar + r2
⊗
~r02 = 4~e2 + 4er cos ϕ + ~r2
⊕
Gleichsetzen von ⊗ und ⊕ ergibt ...
a2 − ar = e2 + er cos ϕ ⇐
r(a + e cos ϕ) = a2 − e2
r(1 + ε cos ϕ) =
b2
a2 − e2
=
=: k ← Parameter
a
a
k
1 + ε cos ϕ
Polardarstellung einer Ellipse (ε < 1)
r=
Def: ε :=
e
<1
a
⇒
ε = 0 Kreis
ε = 1 P arabel
ε > 1 Hyperbel
35
3 Dynamik
3.7 Systeme von Massepunkten
N
Massepunkte
~ri
Paarwechselwirkung
symmetrisch
~rjk = ~rj − ~rk
i = 1, ..., N
F~jk = Fjk (rjk ) ·
Fjk = Fkj
y
~
rjk
rjk
= Kraft von j auf k
F~jk = −F~kj
dann folgt
• Erhaltung des Gesamtimpulses
P~ =
X
p~j
j
denn:
X
X
X X
˙
= F~jk =
F~jk = 0
P~ =
p~˙j =
j
j
j6=k
k
(k6=j)
y Schwerpunkt
X
~s = 1
R
mj ~rj
M j
M=
X
mi
i
bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
~
~ = P
V
M
• Erhaltung des Gesamtdrehimpulses
~ =
L
X
~j
L
j
geht genauso
~˙ = 0
L
Zwei-Teilchen-System
~ = m1~r1 + m2~r2
~r1 , ~r2 −→ R
M
|{z}
,
~r = ~r1 − ~r2 = ~r12
(3.32)
M =m1 +m2
angenommen
~r12
= F (r)~er = F~ (r)
F~12 = F (r12 )
r12
36
(3.33)
3.7 Systeme von Massepunkten
Bewegungsgleichungen:
• Schwerpunktsbewegung
√
• Relativbewegung:
1 ~
1 ~
~r¨ = ~r¨1 − ~r¨2 =
F12 −
F21 =
m1
m2
y
m~r¨ = F~ (r)
Rekonstruktion:
mit
~+
~r1 = R
1
1
+
m1
m2
1
1
1
=
+
m
m1
m2
m1 m2
m=
m1 + m2
m2
~r ,
M
~−
~r2 = R
m1
~r
M
F~ (r)
(3.24)
reduzierte Masse
(3.35)
Bsp. Planetenbewegung
37
4 Tensoren
4.1 Drehungen und Matrizen
Betrachte 2 Koordinatensysteme:
alt:
{~ei ,
~r
i = 1, 2, 3}
= ~e1 x + ~e2 y + ~e3 z
 
x
.
= y 
z
= f~1 x0 + f~2 y 0 + f~3 z 0
 0
x
.
= y 0 
z0
=
6=
=
n
neu:
f~i ≡ ~e0i ,
o
i = 1, 2, 3
~r
r
=
r0
seien vollständige Orthonormalsysteme (VONS)
Berechne Komponenten
n o
D
a0 = (a01 , a02 , a03 ) aus a = (a1 , a2 , a3 ) für ~a für eine Drehung {~ei } −→ f~i :
 

 0  ~
f1 · ~a
f~1 · (~e1 a1 + ~e2 a2 + ~e3 a3 )
a1

 

a0 = a02  = f~2 · ~a = f~2 · (~e1 a1 + ~e2 a2 + ~e3 a3 )
0
a3
f~3 · ~a
f~3 · (~e1 a1 + ~e2 a2 + ~e3 a3 )


f~1 · ~e1 a1 + f~1 · ~e2 a2 + f~1 · ~e3 a3




=  f~2 · ~e1 a1 + f~2 · ~e2 a2 + f~2 · ~e3 a3 


f~3 · ~e1 a1 + f~3 · ~e2 a2 + f~3 · ~e3 a3

 
f~1 · ~e1 f~1 · ~e2 f~1 · ~e3
a1


= f~2 · ~e1 f~2 · ~e2 f~2 · ~e3  a2  = D · a
a3
f~3 · ~e1 f~3 · ~e2 f~3 · ~e3
mit
D = (Djk ) = f~j · ~ek
Drehmatrix
(4.1a)
(4.1)
• deniert Anwendung von Matrix auf Spalten
Skalarprodukt Zeile mal Spalte
• ist linear:
D (λa + µb) = λ (Da) + µ(Db)
(λD + µD0 ) a = λDa + µD0 a
mit
0
(D + D0 )jk = Djk + Djk
39
4 Tensoren
• in D stehen beide Basissysteme:

···
D = · · ·
···


..
···
.
· · · = 
e1
..
···
.
f1
f2
f3
in alter Basis
..
.
e2
..
.

..
.
e3 

..
.
also: f~j = Djk~ek
(4.1')
in neuer Basis
kürzer in Index-Schreibweise:
W inkel](f~j ,~
ek )
a0j
mit
= Djk ak
= f~j · ~ek = cos
Djk
|{z}
z}|{
ϕjk
(4.1)
M atrixelemente
einfachster Fall:
Drehung um x-Achse, Winkel ϕ
f~1 = ~e1 ,
f~2 = ~e2 cos ϕ + ~e3 sin ϕ ,
f~3 = −~e2 sin ϕ + ~e3 cos ϕ
f~1 · ~ei = δ1i
f~2 · ~e2 = cos ϕ = f~3 · ~e3
f~2 · ~e3 = sin ϕ = −f~3 · ~e2
f~i · ~e1 = δi1
y
mit
Dx,ϕ

1
= 0
0
0
c
−s
c ≡ cos ϕ, s ≡ sin ϕ als Abkürzungen
zyklisch vertauschen → 1 → 2 → 3 → 1 →


c 0 −s
Dy,ϕ = 0 1 0  ,
s 0 c

Dz,ϕ
c s
= −s c
0 0
Drehung um Achse ~n Winkel ϕ
läÿt sich zusammensetzen aus Dx , Dy , Dz ...
allgemeiner Fall:
40

0
s
c

0
0
1
(4.2)
4.1 Drehungen und Matrizen
Zusammensetzung von Drehungen:
~a :
a
a0
D
D (2)
−−−→ {f~k } −−−→
a00
(1)
{~ej }
{~ej }
und a0 = D(1) a
a00 = D(2) a0
in Elementen:
−−−−−−−−→
{~gl }
i
i h
h
a00 = D(2) D(1) a = D(2) D(1) a =: Da
y
(2)
{~gl }
D
(2)
(1)
a00l = Dlk a0k = Dlk Dkj aj =: Dlj aj ,
(2)
(1)
oder
Dlj = Dlk Dkj
also:
(4.3)
D = D(2) D(1)
bildlich:
Zeile × Spalte 
···
· · ·
···
···
···
···

..

···
.

· · · · ...

···
..
.
 
.
..
. · · · · ..
..
.. = 

.
 · · · · .
.
..
· · · · ..
.
..
.
..
.
..
.
.
· · · · ..
.
· · · · ..
.
· · · · ..

..
· · · · .
.
· · · · ..

..
··· · .
Eigenschaften:
(λA + µB) · C = λA · C + µB · C ,
A · B 6= B · A !
(AB)C = A(BC)
Ring
weitere Operationen mit Matrizen:
Transponieren:
Spiegeln an der Diagonalen
A> jk = Akj
i.a. A> 6= A ,
A>
Speziell: A> = A
(4.4)
=A
symmetrisch (6El.)
antisymmetrisch (3El.)
>
A = −A
1
1
jede Matrix: A =
A + A> + A − A> ,
2 | {z } 2 | {z }
sym
Invertieren:
>
>
(AB) = B > A>
(4.5)
antisym
Matrix-Operation rückgängig machen

1
neutrale Operation: a0 = Ea = a y E = 0
0
!
0
1
0

0
0 = 1
1
Einheitsmatrix Eij = (1)ij = δij
Inverses A
−1
: a =A
00
−1 0
a =A
oder: AA−1 = 1 ,
−1
!
Aa = a y A
−1
und A−1
=A
E·A=A
−1
A=1
(4.6)
41
4 Tensoren
A−1 existiert nicht immer !

0
z.B. N = 0
0
1
0
0

0
0 hat kein N −1
0
(4.7)
(AB)−1 = B −1 A−1
weil
−1 −1
−1
−1
1 = AB · (AB)−1 = A |BB
{z } A = A1A = AA
| {z }
√
Determinante
(4.8)
|A| = det A = εijk A1i A2j A3k
= A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A13 A21 A32
− A13 A22 A31 − A11 A23 A32 − A12 A21 A33
Spatprodukt der Zeilen oder der Spalten
Eigenschaften
•
(4.9)
|λA| = λ3 |A|
•
|1| = 1
•

d1
 0
0

∗ ∗  = d1 d2 d3
d3 ∗
d2
0
• |A| wechselt Vorzeichen bei Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten
y |A| = 0 falls zwei Zeilen oder Spalten zueinander proportional
•

.. ..
. .

a b

. .
.. ..
 
.. ..
.   .
 0
c
 + a
.. ..
.
.
..
.
b
..
.
 
.. .
.   ..
0

c
 = a + a
.. ..
.
.
..
.
b
..
.

.. . 
c

.. .
•
|A · B| = |A| · |B|
aber:|A + B| =
6 |A| + |B|
(4.10)
•
|AT | = |A|
(4.11)
|A−1 | = |A|−1
(4.12)
•
42
4.1 Drehungen und Matrizen
Spur ("Trace")
sp(A) = δij Aij = Aii = A11 + A22 + A33
(4.13)
sp(AB) = sp(BA) 6= sp(A) · sp(B)
(4.14)
Eigenschaften:
•
•
sp A(1) A(2) . . . A(n) = sp A(2) A(3) . . . A(n) A(1)
(1)
(2)
(3)
(n)
weil
Aij Ajk Akl . . . Amp = A(1) A(2) . . . A(n)
−→
sp[A(1) A(2) . . . A(n) ] = Aij Ajk Akl . . . Ami
(1)
(2)
(3)
zyklisch
ip
(n)
•
Sp(1) = 3
•
sp(λA) = λ sp(A)
(4.15)
sp(A + B) = sp(A) + sp(B)
(4.16)
sp(A> ) = sp(A)
(4.17)
•
•
43
4 Tensoren
Drehmatrizen sind speziell.
Gegeben durch 3 Gröÿen
• Wann ist eine Matrix eine Drehmatrix?
• Welche Beziehungen D ~n, ϕ (Achse, Winkel) ?
δjl
V ON S ~
= fj
0
(4.1 )
· f~l = (Djk ~ek ) · (Dlm ~em ) = Djk Dlm ~ek · ~em
=Djk Dlm δkm = Djk Dlk = Djk (D> )kl = (DD> )jl
)
y DD> = 1
Orthogonalität
⇔D> D = 1 ⇔ D−1 = D>
man sagt:
damit gilt:
D ∈ O(3)
a = D > a0
(4.18)
orthogonale 3x3 Matrizen
mit (D> )jk = ~ej · f~k ⇔ aj = (D> )jk a0k = a0k Dkj
(4.19)
y Rechtsmultiplikation der Zeile a> = (a1 , a2 , a3 ) mit D:
a> = D> a0
Basisvektoren:
>
>
= a0 · D
~ej = (D> )jk f~k = f~k Dkj
(4.19')
(4.20)
Skalarprodukt ist drehinvariant
D
>
>
>
D} b = a> b
~a · ~b = a> b −→ a0 b0 = (Da) (Db) = a> |D{z
~a = ~ej aj = f~k Dkj aj = f~k a0k = ~a
Komponenten & Basisvektoren drehen kontragradient
eine Drehmatrix hat 3 unabhängige Parameter
Determinante einer Drehmatrix:
1 = det(1) = det(DD> ) = det D · det D> = (det D)2
(Drehung) oder = −1
(Drehspiegelung)


−1 0
0
Spiegelung, z.B. S =  0 −1 0  Punktspiegelung am Ursprung
0
0 −1
jede Drehspiegelung läÿt sich schreiben als S · D
mit det D = +1. Also
det D = +1
44
(4.21)
4.1 Drehungen und Matrizen
• Drehachse ~n aus D
Spezialfall eines Eigenwert-Problems
D·n=n
(4.22)
⇔ (D − 1) · b = 0 , normiere n = b/b
dafür muÿ
det(D − 1) = 0
sein.
Beispiel:
√ 


1
1
2
2 0 0
√
1
1

1 = 0 2 0
D=  √
1
√1 − 2
2
2
0 0 2
2
0
− 2
√  
√



−1
1
−b1 + b2 +√ 2b3
b1
√2
1
1
0 = (D − 1) · b =
1
−1 − 2 b2  = √ b1 − b√
2b3 
2−
√
√
2
2
b3
− 2
2 −2
2b1 + 2b2 − 2b3

Zeile 1 und 2 linear abhängig
2 Glgn:
2 unabhängige Gleichungen
 
 
√
1
1
1  
b1 − b2 − √2b3 = 0
b3 = 0


√
1
1
y
yn=
yb=λ
b1 = b2
−b1 + b2 − 2b3 = 0
2 0
0
• Drehwinkel ϕ aus D
y
(hier: nur cos ϕ)
D~n,ϕ = D0T Dz,ϕ D0
wobei D0 : ~n → ~ez
dreht
sp(D~n,ϕ ) = sp(D0T Dz,ϕ D0 ) = sp(D0 D0T Dz,ϕ ) = sp(1 · Dz,ϕ ) = sp(Dz,ϕ )
(4.23)
sp(D~n,ϕ ) = 1 + 2 cos ϕ
Rekonstruktion von
D
aus
~n
&
ϕ
.
~n = (u, v, w)
c = cos ϕ
s = sin ϕ
D = cos ϕ · 1 + (1 − cos ϕ) · (n ◦ n) − sin ϕ · (n × . . .)




 2
0
1 0 0
u
uv uw
.
= c · 0 1 0 + (1 − c) ·  vu v 2 vw  − s ·  w
−v
0 0 1
wu wv w2
Beweis:
Dz,ϕ
−w
0
u

v
−u
0
(4.24) gilt in speziellem Bezugssystem; z.B. ~n = ~ez :





 
1 0 0
0 0 0
0 −1 0
c s
= c · 0 1 0 + (1 − c) · 0 0 0 − s · 1 0 0 = −s c
0 0 1
0 0 1
0 0 0
0 0
Bemerkung:
(4.24)

0
0
1
engere Physiker-Denition von Vektoren präzise:
~a = ~ei ai
heiÿt Vektor
⇔ a0j = Djk ak unter Drehung
{~ei } → {f~j = Djk ~ek }
(4.25)
45
4 Tensoren
4.2 Tensor-Begri
Komponenten
Zahl
Objekte
Skalar a
(Tensor 0-ter Stufe)
a
 
a1
a = (ai ) = a2 
a3
aT = (a1 , a2 , a3 )
Tripel

A11
A = (Aij ) = A21
A31
Matrix
Schema
Vektor ~a = ~ei ai
(Tensor 1. Stufe)
Spalte
Zeile
A12
A22
A32

A13
A23 
A33
b = ebij Aij
Tensor A
(2. Stufe)
Tensor Tb = ebj1 j2 ...jn Tj1 j2 ...jn
(n-ter Stufe)
T = (Tj1 j2 ...jn )
allg. Denition:
Schema
deniert einen Tensor n-ter Stufe
(Tj1 j2 ...jn )
.
Tb = (Tj1 ...jn ) ⇔ Tj01 j2 ...jn = Dj1 k1 Dj2 k2 . . . Djn kn Tk1 k2 ...kn
unter Drehung {~ei } → {~fj = Djk~ek }
Kurzschreibweise:
T0 = D · D ...D · T
Invarianz des Tensors:
Tb = êj1 ...jn Tj1 ...jn
= fˆk ...k Tk ...k
1
kann Tensor
Â
n
1
n
als Abbildung interpretieren:
wj = Ajk vk
b : ~v 7−→ w
b · ~v
A
~ =A
soll als aktive Operation
gelesen werden
.
b=
also A
(Ajk ) im VONS {~ei }
.
b
dann liegt A = (A0jk ) im gedrehten VONS {f~j } fest:
wj0 = A0jk vk0
ausgeschrieben:
wj0 = Djl wl = Djl Alk vk = Djl Alk D>
!
0
0
= (Djl Dmk Alk ) vm
= A0jm vm
46
km
0
vm
(4.26)
4.2 Tensor-Begri
y A0jm = Djl Dmk Alk = Djl Alk D>
y
km
sp (A0 ) = sp (A)
⇔ A0 = DAD>
&
(4.27)
det (A0 ) = det (A)
>
y w0 = A0 · v 0 = DA D
| {z· D} v = DA · v = Dw
Kovarianz
Matrix A deniert auch eine Bilinearform:
(4.28)
b · ~v
B (~u, ~v ) = u> · A · v = uj Ajk vk = ~u · A
vertauschen der Argumente liefert B von A> :
B (~v , ~u) = v > · A · u = A> v
>
· u = u> · A> v = u> · A> v
bei gleichen Argumenten (~v = ~u) ergibt sich eine quadratische Form:
b · ~u = u> · A · u = uj Ajk uk
Q (~u) = B (~u, ~u) = ~u · A
hierbei überlebt nur der symmetrische Teil 12 A + A> .
Dyadisches Produkt / Tensorprodukt
~a ◦ ~b = Tensor 2. Stufe = Operator
(Dyade)
speziell: det = 0, sp = ~a · ~b
Def.:

a1 b1
.
~a ◦ ~b = a2 b1
a3 b1
a1 b2
a2 b2
a3 b2
Wirkung auf Vektoren:
~a ◦ ~b cj = ai bj cj
~a ◦ ~b
= ai bj
(4.29)
ij

a 1 b3
. (. . .)
a2 b3  = a · b> = .. ·
a 3 b3
⇔ ~a ◦ ~b · ~c = ~a ~b · ~c
ij
(4.29')
zerlege
1
1 ~ ~
~a ◦ b + b ◦ ~a +
~a ◦ ~b − ~b ◦ ~a
2
2
antisym. Teil enthält das Kreuzprodukt
ω
~ = ~a × ~b
~a ◦ ~b =

0
.
~a◦~b−~b◦~a = a2 b1 − a1 b2
a3 b1 − a1 b3
a1 b2 − a2 b1
0
a3 b2 − a2 b3
 
a1 b3 − a3 b1
0
a2 b3 − a3 b2  = −ω3
0
ω2
ω3
0
−ω1

−ω2
.
ω1  = −~
ω ×...
0
47
4 Tensoren
wegen Wirkung auf Vektor:

0
.
~a ◦ ~b − ~b ◦ ~a · ~c = −ω3
ω2
k (4.290 )
~a ~b · ~c − ~b (~a · ~c)
 
−ω2
c1
ω1  c2 
0
c3
ω3
0
−ω1
.
= −~
ω × ~c
ω
~ = ~a × ~b
k
←− BAC-CAB −→
− ~a × ~b × ~c
(4.30)
~a ◦ ~b − ~b ◦ ~a
= ai bj − aj bi = εijk ~a × ~b
ij
k
(4.30')
Spezielle Tensoren
•

0
.  ..
ebij = ~ei ◦ ~ej =  .
...

0
.. 
.
weil
1ij
... 0

1 0
.
b = ebij aij =
ist Basis: A
a11 0 0
0 0
(b
eij )kl = (~ei )k (~ej )l = δik δjl
(4.31)
0


0
0
0 + a12 0
0
0


0
0
0 + . . . + a33 0
0
0
1
0
0
0
0
0

0
0
1
Produkte: ebij · ~ek = (~ei ◦ ~ej ) · ~ek = ~ei (~ej · ~ek ) = ~ei δjk
b · ~v :
damit von Objekten zu Komponenten, z.B. w
~ =A
~ej wj = ebjk Ajk · ~el vl = ~ej δkl Ajk vl = ~ej Ajl vl y wj = Ajl vl
• ebj1 j2 ...jn = ~ej1 ◦ ~ej2 ◦ . . . ◦ ~ejn
0
• 1 = ebij δij = bfij δij ⇔ δij
= δij
n-fache Dyade
dreh-invariant
y 1 ist ein drehinvarianter Tensor
y sp(A) = δij Aji = Aii
drehinvariant
• εb = ebijk εijk = bfijk εijk ⇔ ε0ijk = εijk
dreh-invariant
y εb ist ein drehinvarianter Tensor (3. Stufe)
y det(A) = εijk A1i A2j A3k
drehinvariant
ε-Tensor vermittelt zwischen Vektor & antisym. Tensor
b wegen Aij = εijk ak
εb : ~a 7−→ A
b 7−→ ~a wegen ai = 1 εijk Ajk
und A
2
48
b = εb · ~a
⇔ A
1
b
⇔ ~a = εb : A
2
(4.32)
4.3 Hauptachsen-Transformation
4.3 Hauptachsen-Transformation
Beh.: zu einer symmetrischen Matrix H = H > gibt es mindestens eine Drehmatrix D,
so dass


λ1 0
0
.
H 0 = DHD> = Λ = diag(λ1 , λ2 , λ3 ) =  0 λ2 0 
(4.32)
0
0 λ3
ausgeschrieben:

..


· · · f1> · · ·
.

f
DHD> = · · · f2> · · · H 
 1
..
· · · f3> · · ·
.
b f~j =
⇔ H
..
.
f2
..
.


..
.


· · · f1> · · ·  ..
.
>


f3 
 = · · · f2> · · · Hf1
..
..
· · · f3 · · ·
.
.
f~j
|{z}
λj
|{z}
mit f~i · f~j = δij
..
.
Hf2
..
.

..

 >
f1 Hf1 . . .
. 

 >
Hf3 
 = f2> Hf1 . . .
..
f3 Hf1 . . .
.
Eigenwertproblem
Eigenwert(EW ) Eigenvektor(EV )
∃ von den Eigenwerten und den Eigenvektoren jeweils drei (j=1, 2, 3)
(4.33)
Beweis
A) Beträge der Eigenvektoren liegt nicht fest → kann normieren
B) EW verschieden ⇒ EV orthogonal:
)
b f~1 = λ1 f~1
H
~2 · H
b f~1 − λ1 f~1 = H
b > f~2 · f~1 −λ1 f~2 · f~1 = (λ2 −λ1 ) f~2 · f~1
⇒
0
=
f
b f~2 = λ2 f~2
H
(q.e.d.)
C) EW sind Lösungen einer kubischen Gleichung:
b − λ1 · f~ = 0
H
hat Lösungen ungleich f~ = 0 genau wenn
det(H − λ1) = 0
y liefert
λ1 , λ2 , λ3
gesucht sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
H11 − λ
H12
H13 H22 − λ
H23 = −λ3 +(sp H) λ2 +q(H)λ+det H
P (λ) = det(H−λ1) = H21
H31
H32
H33 − λ
(4.34)
5 mögliche Fälle
49
4 Tensoren
D) für H = H > treten nur Fälle 1-3 auf
E) bei Entartungen ( Fälle 2 & 3) sind 2 EW gleich, z.B. λ1 = λ2 = λ
)
b f~1 = λ f~1
H
b αf~1 + β f~2 = αλ f~1 + βλ f~2 = λ α f~1 + β f~2
⇒
H
b f~2 = λ f~2
H
y jede Kombination αf~1 + β f~2 ist EV y ∃ Eigen-Ebene q.e.d.
Fahrplan zur Hauptachsen-Transformation
1) H = H > ?
2) löse det(H − λ1) = 0 nach λ;
3) Proben:
sortiere λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ;
λ1 + λ2 + λ3 = sp (H) ;
Entartung?
λ1 λ2 λ3 = det(H)
4) zu jedem EW λj lösen
(H − λj 1) v j = 0 nach v j y {~vj } EV
[ kann eine nicht null Komponente von v j frei wählen ]
5) Probe der Orthogonalität:
~vj · ~vk = 0 für j 6= k
| shortcut: f~3 = f~1 × f~2
bei Entartung: orthogonale Linearkombination wählen
6) normiere die EV:
f~j = ~vj/vj
wechsele evtl. ein Vorzeichen (f~3 → −f~3 ) so dass Rechtssystem
7) notiere Resultat in Form

λ1
H0 =  0
0
50
0
λ2
0

0
0
λ3


− f 1−
& D = − f 2 −
− f 3−
4.4 Beispiele
4.4 Beispiele
Tensoren 2. Stufe vermitteln lineare Abbildungen von Vektoren
~a = H · ~u + ~c
(Verallgemeinerung von linearen Funktionen)
Interpretation: ~u ist Ursache, ~a ist Antwort, (H, ~c) System-Daten
Beispiel A)
Ursache:
Leitfähigkeit
~ -Feld,
E
Antwort:
oder besser:
lineare Beziehung:
Elektron-Geschw. ~v
Strom I~
Stromdichte ~j = Fläche
A
(Ohmsches Gesetz)
~
~j = σ
b·E
(4.35)
gut bei kleinen Feldstärken; σ
b heiÿt Leitfähigkeitstensor-Tensor
~ yσ
• isotropes Medium y keine Vorzugsrichtung y ~j k E
b = σ · 1 ∼ Zahl
~ yσ
• anisotropes Medium y ∃ Vorzugsrichtungen y i.a. ~j ∦ E
b 6= σ · 1 Tensor
Beispiel B)
2-dimensionales Potenzialminimum
2 Federn y
b · ~r +O(r2 )
F~ = −H
harmonische Kraft, Vorzugrichtungen, i.a.
∃ Potenzial?
!
Hookesches Gesetz
(4.36)
F~ ∦ ~r
zu Fuÿ: F1 = −H11 x − H12 y = −∂x V y V =
1
H11 x2 + H12 xy + f (y)
2
!
F2 = −H21 x − H22 y = −∂y V = −H12 x − f 0 (y)
1
!
y H12 = H21 und f (y) = H22 y 2 + c , setze c = 0
2
also für H T = H :
1
1
H11 x2 + H12 xy + H22 y 2
2
2
1
= (xH11 x + xH12 y + yH21 x + yH22 y)
2
1
1 T
br
= r Hr = ~r · H~
2
2
V =
(4.37)
51
4 Tensoren
Beispiel C)
Trägheitstensor
starrer Körper, Masse m, feste Achse ω
~ durch Ursprung, wird in festem Abstand von
Achse gehalten (masselose Drähte)
~
v
z }| {
~ = ~r × m (~
ω × ~r) = m ω
~ r2 − ~r (~r · ω
~)
L
= m r2 1 − ~r ◦ ~r · ω
~ =: Ib · ω
~
deniert Trägheitstensor Ib, mit Komponenten
Ijk = m r2 δjk − rj rk
oder




 2
y + z2
1 0 0
xx xy xz
2




0 1 0 − m yx yy yz = m
−xy
I = mr
0 0 1
zx zy zz
−xz
für mehrere Massen mα , α = 1, . . . , N :
X
X
~α =
bω ,
~ =
L
Ibα ω
~ =: I~
L
α
I=
X
α
α
 2
yα + zα2
mα  −xα yα
−xα zα
−xα yα
zα2 + x2α
−yα zα
−xy
z 2 + x2
−yz
(4.38)

−xz
−yz  = I T
2
x + y2
(4.39)
also

−xα zα
−yα zα 
x2α + yα2
(4.40')
Zeitabhängigkeit von ~r → Zeitabhängigkeit von Iˆ,
˙
~˙ = Ib
~ Drehmoment y Unwucht
damit L
·ω
~ = ~r × F~ =: N
Ausnahme: ω
~ ist ein Eigenvektor von Ib,
~ = I~
bω = λ~
L
ω
Auswuchten
52
(4.40)
5 Funktionen
5.1 Allgemeines
Funktionen sind Abbildungen, in der Regel zwischen Kontinua
einfachster Fall:
f : R ⊇ D −→ W ⊆ R
von R nach R
m Minimum, w Wendepunkt, [a, b] mehrdeutig, n Nullstelle,
p Pol (einfacher), u Sprungstelle, k Knick, s Singularität
pathologische Stellen sind in der Natur bei höherer Auösung regulär:
α(x−p)
(x−p)2 +ε2
h
2
√
p
x−u
(x−u)2 +ε2
(x − k)2 + ε2
γ
(x−s)2 +ε2
verwandte Funktionen
f1 (x) = f (−x)
f2 (x) = −f (x)
f3 (x) = −f (−x)
f4 (x) = f (x − a)
f5 (x) = f (x) + b
f6 (x) = f (c · x)
f7 (x) = d · f (x)
gerade Funktionen:
ungerade Funktionen:

an y-Achse gespiegelt 



an x-Achse gespiegelt 




am Ursprung gespiegelt 



um a nach rechts verschoben
Graph

um b nach oben verschoben 




1


mit -facher x-Streckung 


c


mit d-facher y-Streckung
f (−x) = f (x)
f (−x) = −f (x)
Bsp:
Bsp:
1
1+x2
tan x
53
5 Funktionen
zum Entfernen physikalischer Dimensionen
Funktion z(t), t & z haben Dimension. Wähle typische Konstanten t0 , z0
deniere:
f = z/z0 , τ = t/t0 dim.-los y z(t) = z0 f (τ = t/t0 )
p
Bsp. freier Fall: z(t) = h − 12 gt2 . Natürlich ist z0 = h, t0 = h/g
i
h
i
h
2
2
y z(t) = h 1 − 21 g th = h 1 − 12 (t/t0 ) = h · f (τ ) mit f (τ ) = 1 − 21 τ 2
Newton: z̈ = −g , z(0) = h, ż(0) = 0 y f 00 = −1, f (0) = 1, f 0 (0) = 0.
Umkehrfunktionen
x
f
−1
deniert über f
−1
x
y
z }| {
z}|{
f (x) = x oder f f −1 (x) = y
f
7−
→
f −1
7−−→
y
x
y
f −1
7−−→
x
f
7−
→
(5.1)
y
Graph von f −1 aus Graph von f durch Spiegelung an Diagonalen y = x
Die Ableitung von f −1 erhält man aus Ableitung von f :
i
h
Kettenregel
−−−−−−−−→ ∂y f −1 (y) · ∂x f (x) = ∂x x = 1
∂x f −1 f (x) = x
|{z}
, also:
y
f
−1 0
(y) =
1
f 0 f −1 (y)
−1
dy
dx
=
dy
dx
oder
Beispiele:
A) f (x) = x2 = y y f −1 (y) =
Teste(5.2):
√
∂y y =
B) f (x) = sin x = y
∂y arcsin y =
54
(positiver Ast)
y=x
1
(∂x x2 )
=
x=
√
y
(2x)
1
=
x=
√
1
√
2 y
√
y
f −1 (y) = arcsin y = x
y
(∂x sin x)
√
1
=√
x=arcsin y
1
1−sin2 x
=√
x=arcsin y
1
1−y 2
(5.2)
5.2 Die Exponentialfunktion
5.2 Die Exponentialfunktion
beschreibt alle Wachstumsvorgänge, wenn:
Mengenänderung ist proportional zur Menge selbst
etwa:
Bakterien-Anzahl N (t) nehme zu gemäÿ Ṅ = αN
N =N0 f
AW:
N (0) = N0 gegeben −−−−−→
mache dimensionslos:
Def:
1
α
∂t (
N
N
0f ) = 0f
x = αt, f = f (x) y f 0 (x) = f (x), f (0) = 1
exp(x) löst die Dierentialgleichung f 0 (x) = f (x) mit f (0) = 1
(5.3)
Graph:
trage Steigung am Punkt (x, y) ein:
exp monoton steigend, D = R, W = R+
exp immer positiv
f (x0 ) = 0 y f (x) = 0
lim exp (x) = +∞ ,
lim exp (x) = 0
x→∞
x→−∞
Funktionalgleichung:
betrachte Hilfsfunktion g(x) = exp (x + z)
g 0 (x) = exp (x + z) = g(x), aber g(0) = exp(z), also:
g(x) = exp(z) · exp(x) y exp (y + z) = exp (x) · exp (z)
(5.4)
Iteration von (5.4):
2
exp (x) = exp ( x2 + x2 ) = exp ( x2 )
x x
x in 
x h


exp (x) = exp
+ + ... +
= exp

x
n n n
n
m
exp (x) = exp (1)
n
h
i
x x 
1

= exp
exp (1) = exp

m
n
y
exp (x) = ex mit e := exp (1) ≈ 2, 71828... Euler-Zahl
y
(5.5)
exp (−x) = e−x = 1/ex = 1/exp (x)
y
∂x ex = ex
y
∂x2 e±x = e±x ,
∂xn eγx = γ n eγx
(5.6)
Reihe:
?
versuche f 0 = f per Polynom-Ansatz zu lösen: f = 1 + c1 x + c2 x2
!
geht nicht
y
f 0 = c1 + 2c2 x = 1 + c1 x + c2 x2 = f
y
addiere beliebig viele Potenzen, d.h. Polynom → Potenzreihe
55
5 Funktionen
?
2
3
f (x) = 1 + c1 x + c2 x + c3 x + . . . =
∞
X
cn xn
(c0 = 1)
n=0
einsetzen:
f 0 = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + 4c4 x3 + . . .
!
= 1 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + . . . = f
Koezientenvergleich:
ncn = cn−1
y
cn =
cn−1
n
eleganter:
0
f (x) =
∞
X
cn n x
n−1 !
=
∞
X
cm x
m m=n−1
=
m=0
m=0
∞
X
cn−1 xn−1 = f
n=1
→ Rekursion zu Koezientenvergleich
Lösung:
cn =
1
1 1
1 1
1
1
cn−1 =
cn−2 =
cn−3 = . . . = c0
n
nn−1
nn−1n−2
n!
also:
ex =
∞
X
1 n
x
n!
n=0
(5.7)
0! = 1
Test:
∂x ex =
∞
∞
X
X
1
1
n xn−1 =
xn−1
n!
(n
−
1)!
n=0
n=1
n−1=m
=
∞
X
1 m
x = ex
m!
m=0
√
Konvergenz? überall, d.h. ∀ x ∈ R
Asymptotik:
lim
x→∞
ex/xn
=∞
⇔
lim xn e−x = 0
x→∞
(5.8)
Produktdarstellung:
n
n
= (eε ) = 1 + ε +O(ε2 ) = (1 + ε)n + O(n ε2 )
| {z }
x n
x
→ e = lim (1 + )
n→∞
n
x
ex = e n
56
n
x
ε= n
(5.9)
5.2 Die Exponentialfunktion
Umkehrfunktion:
f −1 (y) = ln y
zu y = f (x) = ex > 0
Eigenschaften:
eln x = x , ln ex = x
1
1
1
= x
=
∂y ln y =
x
∂x e |x=ln y
e |x=ln y
y
ln (xy) = ln (eln x eln y ) = ln (eln x+ln y ) = ln x + ln y
(5.10)
ln (xa ) = ln (ea ln x ) = a ln x
x
x ln a
x ln a
x
∂x a = ∂x (e
) = ln a · e
= ln a · a
1
ln = − ln x , lim x ln x = 0 ,
x→0
x
lim ln x = ∞ , lim ln x = −∞
x→∞
x→0
verwandte Funktionen:
1 x
(e + e−x )
2
1
sinh x ≡ sh x = (ex − e−x )
2
cosh x ≡ ch x =
Eigenschaften:
gerade
ungerade
(5.11)
ex = ch x + sh x
ch2 x − sh2 x = 1
∂x sh x = ch x
∂x ch x = sh x
57
5 Funktionen
5.3 Potenzreihen
Exp-Funktionen war Beispiel einer Potenzreihe
ex =
∞
X
cn xn
mit
cn =
n=0
1
∀x∈R
n!
P∞
n
Def.: Potenzreihe ist eine formale Summe
n=0 cn x =: p∞ (x)
Eigenschaften:
Pl
• Konvergenz? falls | n=k cn xn | < ε für ∀ k, l > N (ε)
• Approximation einer Funktion f (x) [auch ohne Konvergenz]
f (x) =
N
X
RN +1 heiÿt Restglied, von O(xN +1 )
cn xn + RN +1 (x)
n=0
nur gut falls f (x) nicht pathologisch bei x = 0
• Darstellung einer Funktion über Potenzreihenansatz,
z.B. für Lösen von Dierenzialgleichungen.
geometrische Reihe f (x) =
ernde Gleichung für diese Funktion
zweites und wichtigstes Beipiel:
a) f 0 (x) =
b) f (x) =
−1
(1−x)2
· (−1) =
1
(1−x)2
1
1−x
y (1 − x)f 0 (x) = f (x)
mit f (0)=1
y (1 − x) · f (x) = 1
algebraisch
P∞
setze Potenzreihenansatz f (x) = n=0 cn xn ein!
in b):
∞
∞
∞
X
X
X
1 = (1 − x)
cn xn =
cn · (1 − x)xn =
(cn xn − cn xn+1 )
1
1−x
n=0
=
∞
X
cn xn −
n=0
n=0
∞
X
ck xk+1
k=0
= c0 +
∞
X
=
k=n−1
∞
X
n=0
∞
X
cn xn −
n=0
cn−1 xn
n=1
(cn − cn−1 )xn
n=1
Koezientenvergleich:
1 = c0 , 0 = cn − cn−1 für n ≥ 1 y cn = 1 ∀ n
Ergebnis:
∞
X
1
= 1 + x + x2 + x3 + . . . =
xn
1−x
n=0
Approximation
58
1
1−x
konv. für |x| < 1
= 1 + x + x2 + . . . + xN + RN +1 (x)
(5.12)
5.3 Potenzreihen
Restglied durch Abspalten:
1
1
xN +1
1
= 1 + x · (1 + x
=1+x·
) = . . . = 1 + x + x2 + . . . + xN +
1−x
1−x
1−x
1−x
y
N
X
xn =
n=0
xN +1
1 − xN +1
1
−
=
1−x 1−x
1−x
(5.13)
Tricks, wie man sich Potenzreihenentwicklungen besorgt:
• Einsetzen:
∞
∞
X
X
1
1
2 n
=
=
(−x ) =
(−1)n x2n = 1 − x2 + x4 − x6 ± . . .
1 + x2
1 − (−x2 ) n=0
n=0
• Umformen:
√
1+x=
1+x=
√
P∞
n=0 cn
xn
2
1 + x = (c0 + c1 x + c2 x2 + . . .)(c0 + c1 x + c2 x2 + . . .)
= c20 + 2c0 c1 x + (2c0 c2 + c21 )x2 + . . .
Vergleich: 1 = c20 , 1 = 2c0 c1 , 0 = c0 c2 + c21 , . . . y c0 = 1, c1 = 21 , c2 = 18 , . . .
√
also: 1 + x = 1 + 21 x − 18 x2 + . . .
• Dierenzieren
ln (1 + x) =?
∞
X
1
∂x ln(1 + x) =
=
(−x)m = ∂x
1 + x m=0
konst?
∞
X
1
(−1)m xm+1 + konst
m
+
1
m=0
!
ln(1 + 0) = 0 = konst.
also:
ln (1 + x) =
∞
X
(−1)n+1 n
x
n
n=1
(5.14)
• Addition:
ch x =
∞
X
1 xn
(−x)n
1 x
(e + e−x ) =
+
=
2
2 n!
n!
n=0
sh x analog oder über ∂x ch x y sh x =
X
n gerade
X
n ungerade
xn
x2
=1+
+ ...
n!
2!
xn
= x + ...
n!
59
5 Funktionen
• Dierenzialgleichungen
f 00 + f = 0 mit AW f (0) = 1 , f 0 (0) = 0 .
f (x) =
∞
X
cn xn
n=0
0=
=
∞
X
n=0
∞
X
cn n(n − 1)xn−2 +
∞
X
cm x m =
m=0
[cn n(n − 1) + cn−2 ] xn−2
∞
X
cn n(n − 1)xn−2 +
n=2
y
cn = −
n=2
cungerade = 0 ,
für n gerade, also
entsprechend:
∞
X
cn−2 xn−2
n=2
cn−2
. AW: c0 = 1, c1 = 0
n(n − 1)
cn = ±
1
n!
x2
x4
+
∓ ...
2!
4!
x3
+ ...
sin x = x −
3!
cos x = 1 −
Taylor-Reihe
wir kennen lineare Approximation von f (x) bei x = x
f (x = x + ε) = f (x) + ε · f 0 (x) + O(ε2 )
benennen um:
x→a,
ε→x−a
f (x) = f (a) + (x − a) · f 0 (a) + O (x − a)2
besser: parabolische Approximation
f (x) = f (a) + (x − a) · f 0 (a) + (x − a)2 · g(a) + . . .
dierenziere:
f 0 (x) = 0 + 1 · f 0 (a) + 2 · (x − a) · g(a) + . . .
1
y g(a) = f 00 (a)
2
oder nochmal dierenzieren:
f 00 (x) = 2 · g(a) + O(x − a)
allgemein:
x=a
f (x) =f (a)+c1 (x − a)+c2 (x − a)2 +c3 (x − a)3 +c4 (x − a)4 + . . .→f (a)
f 0 (x) =0 +c1
+2c2 (x − a)+3c3 (x − a)2 +4c4 (x − a)3 + . . .→c1
00
+6c3 (x − a) +12c4 (x − a)2 + . . .→2c2
f (x) =
0
+2c2
000
f (x)=
0
+6c3
+24c4 (x − a) + . . .→6c3
60
(5.15)
5.3 Potenzreihen
also:
f (n) (a) = n! · cn
f (x) =
y
cn =
1 (n)
f (a)
n!
∞
X
1 (n)
f (a) · (x − a)n
n!
n=0
oder
f (a + h) =
y
Taylor-Reihe
∞
X
1 (n)
f (a)hn = eh·∂x f (a)
n!
n=0
(5.16)
(5.16')
Abbruch bei n = N ⇔ Approx. von f durch Polynom N-ten Grades
Vorraussetzung:
(hinreichend glatt)
f ∈ C∞
geht nicht immer! Gegenbeispiel:
2
f (x) = e− /x
c
f (n) (x) = Polynom
1
c 2 x→0
· e− /x −−−→ 0 Taylorreihe ≡ 0
x
oft nützlich, z.B.
1
f (x) = (1 + x)λ = 1 + λx + λ(λ − 1)x2 + . . .
2
(5.17)
oft benutzt: harmonische Näherung für Teilchen nahe V-Minimum x = a
( 1
(
V 0(
(a)(·(
(x(
− a) + V 00 (a) · (x − a)2 + O (x − a)3
V (x) = V (a) + (
2
V 0 (a) = 0
⇔
Minimum
00
mẍ = −∂x V = −V (a) · (x − a) + O ((x − a)) = −mω 2 (x − a) + . . .
Hooke
−−−−→ ω 2 = V
00
(a)/m
(5.18)
61
5 Funktionen
5.4 Komplexe Zahlen
C
Körper-Erweiterung der reellen Zahlen R um die Lösung von
√
Nenne
−1 =: i imaginäre Einheit
x2 + 1 = 0.
also:
(5.18)
i · i = −1
Komplexe Zahlen
= Paare von reellen Zahlen (x, y)
= Linearkombination von 1 & i:
z = x · 1 + y · i = x + iy
.
[Vergleich mit 2-dim Vektoren ~v = ~e1 v1 + ~e2 v2 = (v1 , v2 ).]
Realteil
Re(x + iy) = x
Imaginärteil
Im(x + iy) = y
z heiÿt reell wenn y = 0, imaginär wenn x = 0
Addition:
(x + iy) + (u + iw) = (x + u) + i(y + w)
Multiplikation:
(x + iy) · (u + iw) = (xu − yw) + i(xw + yu)
Negativer:
−(x + iy) = −x − iy
Null:
z=0⇔x=y=0
Inverses:
x − iy
x
y
1
=
= 2
−i 2
2
x + iy
(x + iy)(x − iy)
x +y
x + y2
Körper:
z·w =0
⇔
z=0 ∨ w=0
Wurzeln:
p
x + iy = u + iv
mit u2 =
Löst (u + iv)2 = x + iy
y
p
1
x + x2 + y 2 ,
2
v2 =
p
1
−x + x2 + y 2
2
jede komplexe Zahl hat 2 Wurzeln
Hauptsatz der Algebra:
jedes Polynom n-ten Grades in C hat n Nullstellen (mit Multiplizität)
62
5.4 Komplexe Zahlen
Konjugation:
involutive Abbildung
d.h.
i 7→ −i
7−→
z = x + iy
oder z
x − iy =: z ∗
y
1
1
(z + z ∗ ) , Im z = (z − z ∗ )
2
2i
z reell ⇔ z = z ∗
Involution: (z ∗ )∗ = z
y
(z + w)∗ = z ∗ + w∗ ,
Re z =
y
C
(5.19)
(z · w)∗ = z ∗ · w∗
Betrag (Norm, Absolutwert):
zz ∗ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2
p
√
|z| := zz ∗ = x2 + y 2 ≥ 0
y
|z| = |z ∗ | = | − z| ,
|z · w| = |z| · |w| ,
(5.20)
|z + w| ≤ |z| + |w|
geometrische Darstellung
.
z = (x, y) in R2 komplexe Ebene
Betrag |z| =
p
x2 + y 2
Länge des Vektors (x, y)
y|z − w| = Abstand (z, w)
|z + w| ≤ |z| + |w|
4s - Ungleichung
Spiegelung an Achsen:
Produkt?
Polarkoordinaten:
z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r(c + is)
mit r = |z| =
p
x2 + y 2
und
ϕ =: arg(z) = arctan
y
x
mod 2π
(5.21)
z1 z2 = r1 r2 · (c1 + is1 ) · (c2 + is2 ) = r1 r2 ([c1 c2 − s1 s2 ] + i[s1 c2 + c1 s2 ])
= r1 r2 (cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 ))
also:
|z1 z2 | = |z1 | · |z2 | und arg (z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )
geometrisch:
Inverses
1
z
=
z∗
|z|2
(5.22)
, Multiplikation mit i
= Drehung um π2
63
5 Funktionen
Konsequenz:
z n = rn (cos ϕ + i sin ϕ)n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) Moivre
schnelle Methode, sin nϕ & cos nϕ zu berechnen,
z.B. r = 1 , cos nϕ = Re (z n ) = Re ((cos ϕ + i sin ϕ)n )
n-te Wurzel:
√
n
z = w ⇔ z = wn
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) , w = ρ(cos θ + i sin θ) y
r(cos ϕ + i sin ϕ) = ρn (cos nθ + i sin nθ) y
√
ϕ
k
ρn = r , nθ = ϕ y ρ = n r , θ = + 2π · mit k = 0, 1, . . . , n − 1
n
n
Exponentialfunktion:
∞
X
1 n
e =
z für z ∈ C existiert, wähle z = ix imaginär
n!
n=0
z
1
1
1
(ix)2 + (ix)3 + (ix)4 + . . .
2!
3!
4!
1 4
1
1 2
= (1 − x + x ± . . .) + i(x − x3 ± . . .)
2!
4!
3!
= cos x + i sin x
eix = 1 + ix +
(Euler)
(5.23)
(
cos x = 21 (eix + e−ix ) = ch(ix)
sin x = 12 (eix − e−ix ) = 1i sh(ix)
(5.24)
y z = r · eiϕ
ye
64
iπ
±i π
2
= −1 , e
= ±i
(5.25)
6 Integrale
6.1 Gewöhnliche Integrale
ein Ziel:
Berechnung von Flächen unter Graphen von Funktionen
Fläche
Fab =:
b
Z
dxf (x)
a
Z
Beziehung zu
→ stilisiertes
X
dx → Dierential
f (x) → Integrand
P
:
Z
b
dxf (x) = lim
N
−1
X
ε→0
a
ε · f (a + nε)
n=0
Nε = b − a
Eigenschaften:
Z
a
b
Z
dxf := −
b
Z
a
Z
dxf
dxf = 0
y
a
a
b
dx konst. = konst. · (b − a)
Z a
f (−x) = −f
y
dxf (x) = 0
a
−a
Z
b
b
Z
dx (αf + βg) = α
a
Z
b
a
Z
c
Z
dx f =
b
b
a
Z
dx g
a
(6.1)
c
dx f
b+c
dx f (x − c)
a+c
b
b
λ
Z
dx f (λx)
dx f (x) = λ
a
b
a
dx f (x) =
Z
dx f + β
a
dx f +
Z
Z
a
λ
65
6 Integrale
Rb
betrachte
Hauptsatz:
Z
a
dx f (x) als Funktion von b:
b
wackele an oberer Grenze:
dx f (x) =: I(b, a)
a
Z b!
b+ε
Z
−
I(b + ε, a) − I(b, a) =
b+ε
dx f (x) =
a
dx f (x) = ε · f (b) + O(ε2 )
b
a
b
Z
y
Z
∂b I(b, a) = ∂b
dx f (x) = f (b)
a
Def.:
eine Stammfunktion F zu einer Funktion f erfüllt F 0 = f
Anti-Ableitung, nur bis auf Konstante C festgelegt
)
y I(b, a) = F (b) + C
I(b, a) = F (b) − F (a)
für b = a : I(a, a) = 0 = F (a) + C
Fazit:
Z
b
Z
b
dx f (x) =
a
dx
a
dF
(x) =
dx
Z
F (b)
F (a)
b
dF = F = F (b) − F (a)
a
Integrieren ist eine Kunst. Aber es gibt Tricks!
z.B. Symmetrieargumente:
Z
π
dx
−π
Lösungsstrategie:
sin x
= 0 weil f (−x) = −f (x)
1 + x2
f skizzieren, umformen, Ansätze versuchen f = ∂x (. . .)
Bsp.:
Z
π/4
sym
Z
π/4
dx tan x =
−π/6
Z
π/6
raten
π/4
dx tan x =
dx
π/6
Z
π/4
= −
π/6
(6.2)
π/4
dx ∂x ln cos x = − ln cos x|π/6
1√
1√
= − ln(
2) + ln(
3)
2
√2
3
= ln √
2
1 3
= ln
2 2
66
sin x
cos x
(6.2)
6.1 Gewöhnliche Integrale
Uneigentliche Integrale
→ Flächen, die sich ins Unendliche erstrecken:
solche Integrale müssen nicht existieren (F = ∞).
deniert als Grenzwerte
∞
Z
Z
dx f (x) := lim
b→∞
a
Beispiele:
dx e
−λx
0
Z
Z
dx f (x),
a
b
Z
b
dx f (x)
dx f (x) := lim
a→0+
0
a
λ>0
∞
Z
b
1
dx x
0
Z
b
−1 −λx
−1 −λx
−1 −λb −1
= lim
dx ∂x
e
= lim
e
= lim
e
−
b→∞ 0
b→∞
b→∞
λ
λ
λ
λ
0
Z ∞
∞
1
1
1
oder
=
dx ∂x − e−λx = − e−λx
= ... =
λ
λ
λ
0
0
Z
−λ λ6=1
=
b
1
x−λ+1
1−λ
1
0
1
=
1 − (+0)1−λ =
1−λ
(
falls λ < 1
∞ falls λ > 1
1
1−λ
1
dx {ln(1 + ex ) − x} < ∞?
untersuche Integrand für x → ∞
0
{. . .} = ln(ex + 1) − x = ln ex (1 + e−x ) − x = |{z}
ln ex + ln(1 + e−x ) − x
x
1
1
= ln(1 + e−x ) = e−x − (e−x )2 + (e−x )3 ∓ . . . −−−−→ 0
x→∞
2
3
Z
y
existiert
67
6 Integrale
6.2 Beispiele
a) Mittelung
Grenzwert des arithmetischen Mittels auf kontinuierlichen Mengen
P
Z b
1 X
1
n fn · dx
f = lim
dx f (x)
fn = lim
=
N →∞ N
N →∞
N · dx
b−a a
n
!2
Z b
Z b
1
1
2
2
2
dx f (x) 6= f =
dx f (x)
f =
b−a a
(b − a)2
a
f +g =f +g ,
αf = α · f ,
(6.3)
1=1
Schwankung:
q
4f :=
(f −
f )2
Bsp.: harmonischer Oszillator
1
T
Z
1
T
Z
1
T =
T
Z
x=
V =
q
q
2
2
2
= f − 2f · f + f = f 2 − f
x(t) = A cos ωt ,
T
dt A cos ωt = 0 ,
(4x)2 = x2 =
0
T
1
T
T =
Z
(6.4)
2π
ω
T
dt A2 cos2 ωt =
0
1 2
A
2
κ
κ
κ 2
x = x 2 = A2
2
2
4
Z T
1
m
1
κ
m
m
dt ẋ2 =
dt (Aω sin ωt)2 = A2 ω 2 · = A2 wegen mω 2 = κ
2
T 0
2
2
2
4
dt
0
0
T
b) Lineare Massenverteilung
mi
y
y
N →∞
σ(x)dx Masse zwischen x und x + dx
Z L
N
X
M=
mi −−−−→ M =
dx σ(x) Gesamtmasse
N →∞
i=1
Z
y
x ∈ [0, L] Massendichte
i = 1, . . . , N −−−−→ σ(x) ,
m(x) =
0
x
dy σ(y) Masse von 0 bis x
0
wichtig sind Momente der Massendichte
Beispiele:
Schwerpunkt
Rs =
68
Z L
1
1 X
ma xa −−−−→ Rs = x =
dx σ(x) · x
N →∞
M a
M 0
(6.5)
6.2 Beispiele
Trägheitsmoment um x = 0:
I=
X
ma x2a −−−−→ I = M · x2 =
N →∞
a
L
Z
dx σ(x) · x2
(6.6)
0
c) Überlagerung
zwei Kraftfelder
F~(1) &F~(2) y Summe F~ = F~(1) + F~(2)
~ V(i) (~r) i = 1, 2
seien konservativ F~(i) (~r) = −O
y F~ = −OV mit V = V(1) + V(2)
Bsp.: Gravitationspotenzial einer linearen Massenverteilung
eine Masse (M0 , ~r0 ) :
V (~r) = −
viele Massen (Ma , ~ra ) :
kontinuierliche Massenverteilung
Z
V (~r) = −γm
L
Z
. =
N
X
γmMa
|~
r − ~ra |
a=1
(σ(x) entlang x ∈ [0, L]),
σ(x0 )
|~r − ~r(x0 )|
dx0
0
~
r =(x,y,z)
V (~r) = −
γmM0
|~r − ~r0 |
−γm
0
L
0
σ(x0 )
(6.7)
dx p
(x − x0 )2 + y 2 + z 2
69
6 Integrale
6.3 Integrationsmethoden
a) Partialbruch-Zerlegung
1
A
B
, mit A, B = Polynome
= +
2
x(1 + x )
x
1 + x2
Beispiel:
nde A, B :
1 = A(1 + x2 ) + Bx = A + x · (B + Ax)
1
1
x
y A = 1, B = −x , d.h.
= −
x(1 + x2 )
x 1 + x2
Z
Z
Z
1
dx
x dx
dx
= ln x − ln(1 + x2 )
=
−
x(1 + x2 )
x
1 + x2
2
b) Partielle Integration
nutze Produktregel
f =u·v
y f 0 = u0 · v + u · v 0
Z b
Z
0
b
y
dx (uv) = [uv]a =
a
dx u0 v = [uv]ba −
y
a
Z
b
Z
0
dx uv 0
dx u v +
a
b
Z
b
a
b
dx uv 0
a
Beispiele:
Z
y
Z
y
(6.8)
dx 1 · ln x =
dx ln x =
0
[x ln x]y0
−
0
c) Substitution
0
1
= y ln y − y
x
(6.8)
x→t
b
I=
Substitution:
dx f (x)
x = x(t)
a
dx =
Z
t(b)
I=
Z
x = a ↔ t = t(a)
dx
dt
dt ẋ(t) g(t)
t(a)
und
Vorsicht, wenn x(t) nicht monoton!
dt = dt ẋ(t)
t(b)
dt ẋ(t)f (x(t)) =:
t(a)
70
dx x ·
= Wechsel der Integrationsvariablen
Z
Grenzen:
y
Z
x = b ↔ t = t(b)
(6.9)
6.3 Integrationsmethoden
Beispiel: Kreisäche
Z R
p
dx R2 − x2
F = 4
0


x
=
R
sin
ϕ


Z
q
π/2


dx = R cos ϕ dϕ = 4
Sub:
dϕ R cos ϕ R2 − R2 sin2 ϕ


0


[0, R] ↔ [0, π/2]
Z π/2
q
dϕ cos ϕ 1 − sin2 ϕ
= 4R2
0
= 4R2
π/2
Z
dϕ cos2 ϕ
0
= 4R2 ·
d) Dierenzieren nach Parameter
Z ∞
Z
dx xn e−x =
Beispiel:
0
π 1
· = πR2
2 2
∞
dx xn e−αx |α=1
0
1/α
h
n
z
Z
∞
}|
{
i
−αx
= (−∂α )
dx e
α=1
0
1
= n! α−(n+1) |α=1 = n!
= (−∂α )n
α α=1
e) Parameter-Abhängigkeit
. . . falls nur die Abhängigkeit von einem Parameter gesucht . . .
Beispiel:
T-Abhängikeit der Energie E eines Hohlraumstrahlers
Z ∞
Z ∞
Z ∞
V
ε3
V T4
dε
T dx T 3 x3
dx xz
ε=T x V
E= 2
=
=
∼ T4
ε/T
3
2
3
x
3
2
π 0 (~c) e + 1
π 0 (~c) e + 1
(~c) π 0 ex + 1
71
6 Integrale
f) Reihenentwicklung des Integranden
b
Z
b
Z
dx f (x) =
a
Beispiel:
Z
∞
dx
0
dx
a
∞
X
∞
X
n
cn x =
n=0
Z
cn
b
dx xn
(falls konvergiert)
a
n=0
|e−x | ≤ 1 für x ≥ 0
Z ∞
∞
X
1
geom.
3 −x
=
dx
x
e
(−e−x )n
1 + e−x Reihe 0
0
n=0
Z ∞
Z ∞
∞
∞
X
X
y
1
x= /k
(−1)k−1 4
dy y 3 e−y
=
dx x3 e−kx =
(−1)k−1
n+1=k
k
(e)
0
k=1
k=1
|0
{z
}
x3
=
x
e +1
Z
∞
dx x3 e−x
(d): 3! = 6
=6
∞
X
(−1)k−1
k=1
72
1
k4
Bronstein
=
4
6·
7π
720
6.4 Kurven-, Flächen-, Volumenintegral
6.4 Kurven-, Flächen-, Volumenintegral
Verallgemeinerung, die sich auf gewöhnliche Integrale reduzieren
a) Vektor-Integrand
Z
b
.
dx f~(x) =
a
Z
b
b
Z
dx f1 (x), f2 (x), f3 (x) =
Z
b
dx f1 (x),
a
a
Z
dx f2 (x),
a
!
b
dx f3 (x)
a
b) Kurven- oder Weg-Integral
Beiträge werden entlang einer Kurve aufgesammelt
Kurve C , parametrisiert durch t ∈ [t1 , t2 ] : ~r(t)
im Zeitraum [t, t + dt] ändert sich ~r um
~r(t + dt) − ~r(t) = ~r˙ (t)dt = d~r(t)
Länge des Verschiebevektors d~r
p
ds := |d~r| = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 = v(t) dt
v = |~r˙ |
(6.10)
(dx)2 6= dx2 = 2xdx
ds ersetzt dx im Kurvenintegral entlang C von f (~r(t)) = g(t)
Z
Z
t2
ds f (~r) :=
C
(6.11)
dt v(t) f (~r(t))
t1
Beispiele:
• Länge von C :
Z
Z
L=
t2
ds =
C
dt v(t) mit v = |~r˙ | =
p
~r˙ 2
t1
• Masse eines Drahtes:
Z
Z
M=
t2
dt v(t) σ(~r(t))
ds σ(~r) =
C
t1
• Gravitationspotenzial eines Drahtes:
Z
V (~r) = −γm
ds
C
σ(~r0 )
= −γm
|~r − ~r0 |
Z
t2
dt
t1
|~r˙ 0 (t)| σ(~r0 (t))
|~r − ~r0 (t)|
(6.12)
73
6 Integrale
• Arbeit längs C : Z
Z
Z
A=
ds Fk (~r) =
|d~r| ~t(~r) ·F~ (~r) =
d~r · F~ (~r)
C
C | {z }
C
Z t2
Z t2
=
dt v(t)Fk (~r(t)) =
dt ~r˙ (t) · F~ (~r(t))
t1
t1
~ = −∂t V (~r(t))
~r˙ · F~ (~r) = −~r˙ · ∇V
~ :
für konservatives F~ = −∇V
Z
t2
A=
y
(6.13)
dt (−∂t V (~r(t))) = V (~r(t1 )) − V (~r(t2 )) = V (1) − V (2) (6.14)
t1
c) Ebenes Flächenintegral
sammele Integranden f (x, y)
auf einem Gebiet (x, y) ∈ F ⊆ R2
R y (x)
erst y12(x) dy f (x, y) = F (x) für jedes feste x
Rx
dann x12 dx F (x) = I , d.h.
Z
d2 rf (x, y) :=
I=
x2
Z
y2 (x)
Z
dx
F
dy f (x, y)
x1
(6.15)
y1 (x)
Beispiele:
• Flächeninhalt einer Kreisscheibe
Z
Z
2
F =
d r1=
Z
dx
−R
F
√
+R
R2 −x2
V =8
2
d r
p
p
R2 − ~r2 = 8
F
√=
sub: y= R2 −x2 cos ϕ
8
−R
p
π
dx 2 R2 − x2 = 2· R2
s.o.
2
R 2 − x2 − y 2 = z
Z
√
R
Z
dx
R
R2 −x2
dy
p
R 2 − x2 − y 2
0
Z
dx
0
+R
dy 1 =
0
Z
74
Z
√
− R2 −x2
• Volumen einer Kugel f (x, y) =
Z
f (x, y) = 1
0
π/2
p
4π 3
dϕ cos2 ϕ R2 − x2 =
R
3
√
6.4 Kurven-, Flächen-, Volumenintegral
• Oberächenintegral
Beiträge zu einem 2-dim. Integral können
entlang einer beliebigen Fläche
im R3 aufgesammelt werden.
Oberäche S , parametrisiert als ~r(t, s) ∈ R3
Koordinaten (t, s) ∈ F ⊆ R2
zum Bereich [t, t + dt] × [s, s + ds]
gehört innitesimale Fläche df,
gegeben durch die Länge des Normalenvektors d~f
h
i h
i
d~f = ~r(t + dt, s) − ~r(t, s) × ~r(t, s + ds) − ~r(t, s)
= ∂t~r(t, s) × ∂s~r(t, s) dt ds =: ~n df
also:
df = |d~f| = |∂t~r × ∂s~r|dt ds ,
Z
df f(~r) :=
Z
S
~n =
∂t~r × ∂s~r
|∂t~r × ∂s~r|
dt ds |~r˙ × ~r0 |(t, s) f (~r(t, s))
(6.16)
(6.16')
(6.17)
F
Beispiel: Masse eines Hutes S
parametrisiert durch
Projektion in xy-Ebene:
(t, s) = (x, y)


x
.
~r(x, y) =  y  ,
h(x, y)
Z
(x, y) = F
Massendichte: σ(x, y)
Z
d2 r |~r˙ × ~r0 | σ(x, y)

 

1
Z x2
Z y2 (x)
0 =
dx
dy  0  ×  1  σ(x, y)
x1
y1 (x)
∂x h
∂y h Z x2
Z y2 (x)
q
=
dx
dy 1 + (∂x h)2 + (∂y h)2 σ(x, y)
M=
df σ(~r) =
S
x1
F
y1 (x)
Vorzeichenwahl von d~f ist Konvention:
H
falls ohne Rand, zeige d~f nach auÿen. Notation: S . . .
Orientierung:
75
6 Integrale
Beispiel: Strom I durch eine Fläche S
vektorielle Stromdichte ~j(~r)
nur die zur Fläche senkrechte Komponente
~jn = (~j · ~n) · ~n
(~n = Normaleneinheitsvektor) trägt zu I bei:
Z
Z
Z
I=
df jn (~r) =
df ~n(~r) ·~j(~r) =
d~f · ~j(~r)
S
S | {z }
S
Z
=
dt ds (~r˙ × ~r0 ) · ~j(~r)
(6.18)
~
r =~
r (t,s)
F
Fluÿ von ~j durch S • Volumen-Integral
Z
I=
Z
x2
d r f (~r) =
V
76
3
Z
y2 (x)
dx
x1
Z
z2 (x,y)
dy
y1 (x)
dz f (x, y, z)
z1 (x,y)
(6.19)
6.5 Krummlinige Koordinaten
6.5 Krummlinige Koordinaten
zunächst im achen Raum, zweidimensional
Beispiel:
Polarkoordinaten
x = r cos ϕ
)
y = r sin ϕ
(
⇔
(x, y) 7−→ (r, ϕ)
p
r = x2 + y 2
ϕ = arctan y/x
.
~r(r, ϕ) =
r cos ϕ
x
=
r sin ϕ
y
(6.20)
neue Basisvektoren:
c
s
−s
.
∂ϕ~r = r
c
.
∂r ~r =
.
= ~er br
y
br = 1
.
= ~eϕ bϕ
y
bϕ = r
crϕ := ~er · ~eϕ = 0
Vorsicht:
~r = ~ex x + ~ey y 6= ~er r + ~eϕ ϕ
wichtig:
~er , ~eϕ sind ortsabhängig, nicht deniert bei ~r = 0
statt ~r studiere besser Änderungen d~r, ~r˙ etc.
d~r = ∂x~r · dx + ∂y ~r · dy
= ~ex dx + ~ey dy
←
~r(x, y)
= ∂r ~r · dr + ∂ϕ~r · dϕ = ~er dr + ~eϕ rdϕ
←
~r(r, ϕ)
oder
.
d~r =
dx
c dr − rs dϕ
c −rs
dr
dr
=
=
=J·
dy
s dr + rc dϕ
s rc
dϕ
dϕ
(6.21)
J = Funktional- oder Jacobi-Matrix
teile durch dt bei Kurven:
.
~r˙ = ~er ṙ + ~eϕ rϕ̇ =
ẋ
c −rs
ṙ
=
ẏ
s rc
ϕ̇
(6.21')
v 2 (t) = ~r˙ 2 = ṙ2 + r2 ϕ̇2
Linienelement:
(ds)2 = d~r · d~r = (dr)2 + r2 (dϕ)2
= ~r˙ · ~r˙ (dt)2 = (ṙ2 + r2 ϕ̇2 )(dt)2
(6.22)
Flächenelement:
df =
dx dy
| {z }
= r dr dϕ
(6.23)
Vorsicht: kein übliches Produkt!
77
6 Integrale
Anwendungen:
• Kugelvolumen:
Z
π
2
V =8
R
Z
dϕ
0
0
Z
p Höhe
π R
1
4π 3
3
2
2
dr r R − r = 8 ·
dr (− )∂r (R2 − r2 ) /2 =
R
2 0
3
3
• Gauÿ-Integral:
Z 2π
Z ∞
2
r 2 2 r→r·a
dϕ
dr re−r
d2 r e− /a = a2
0
0
R2
Z ∞
2
1
= a2 · 2π
dr (− )∂r e−r = πa2
2
0
Z
I2 =
y Trick: I2 =
Z
+∞
Z
+∞
dy e
dx
−∞
2
−∞
Z
2
y
−x
−a
2
a2
+∞
2
dx e
=
−x
a2
(6.24)
2
y I1 =
√
π·a
−∞
allgemeine Situation:
krummlinige Koordinaten im R2 , (x, y) 7−→ (u, v)
x(u, v)
. x
.
~r =
=
[nicht ~r = (u, v) schreiben!]
y
y(u, v)
• Basisvektoren:
∂u~r = ~eu bu ,
∂v ~r = ~ev bv
d.h. bu (u, v) = |∂u~r| ,
(
~e2u = ~e2v = 1
so dass
~eu · ~ev = cuv
(6.25)
bv (u, v) = |∂v ~r|
• Dierenzial:
d~r = ∂u~rdu + ∂v ~rdv = ~eu bu du + ~ev bv dv
dx
∂u x du + ∂v x dv
∂u x ∂v x
du
du
=
=
=: J ·
dy
∂u y du + ∂v y dv
∂u y ∂v y
dv
dv
ẋ
u̇
oder auch
=J·
, sowie → (dx, dy) = (du, dv) · J T
ẏ
v̇
(6.26)
• Linienelement:
(dx, dy) dx
(du, dv) >
du
=
J J
dy
dv
(du, dv) ∂u~r · ∂u~r ∂u~r · ∂v ~r
du
= (∂u~r du + ∂v ~r dv)2 =
∂v ~r · ∂u~r ∂v ~r · ∂v ~r
dv
(du, dv)
du
=
G
dv
(ds)2 = d~r · d~r =
78
(6.27)
6.5 Krummlinige Koordinaten
induzierte Metrik
G=
=
∂u~r · ∂v ~r
b2u
=
∂v ~r · ∂v ~r
bv bu cuv
∂u y
∂u x ∂v x
= J >J
∂v y
∂u y ∂v y
∂u~r · ∂u~r
∂v ~r · ∂u~r
∂u x
∂v x
also:
bu bv cuv
b2v
=
guu
gvu
guv
gvv
(ds)2 = guu (du)2 + 2guv du dv + gvv (dv)2 = gij dui duj
mit i, j ∈ {u, v} = {u1 , u2 } und
Kurven in
ds =
gij = ∂i~r · ∂j ~r
(6.27')
(6.27)
R2 : ~r(t) y (x(t), y(t)) y (u(t), v(t)) y dui = u̇i dt
p
p
(u̇, v̇)
u̇
gij dui duj = gij u̇i u̇j dt = v(t) dt mit v 2 =
G
v̇
(6.28)
wichtige Kurvenintegrale:
Bogenlänge
2
Z
Z
t2
dt
p
gij u̇i u̇j
(6.29)
t1
t1
1
t2
dt v =
ds =
s(1, 2) =
Z
Wirkung
2
Z
Z
p~ · d~r =
w(1, 2) =
1
2
m~r˙ · d~r = m
1
Z
t2
dt ~r˙ 2 = m
t1
Z
t2
dt gij u̇i u̇j
(6.30)
t1
Flächenelement:


x(u, v)
. 
y(u, v)  wie Oberäche ∈ R3 , nur mit z = 0 mit (u, v) statt (t, s)
lese ~r(u, v) =
z(u, v) = 0
p
df = |∂u~r × ∂v ~r| du dv = (∂u~r × ∂v ~r)2 du dv
p
= (∂u~r)2 (∂v ~r)2 − (∂u~r · ∂v ~r)2 du dv
s
√
∂ ~r · ∂u~r ∂u~r · ∂v ~r
(6.31)
= det u
du dv = det G du dv
∂v ~r · ∂u~r ∂v ~r · ∂v ~r
√
√
= det J > J du dv = det J > · det J du dv
= |det J| du dv
das heiÿt:
Jacobi-Determinante
∂(x, y) dx dy = det
du dv
∂(u, v) mit
∂(x, y)
≡J
∂(u, v)
Substitutionregel:
Z
Z
∂(x, y) dx dy f (x, y) =
du dv det
f (x(u, v), y(u, v))
∂(u, v) F
(6.32)
F
79
6 Integrale
Beispiel Polarkoordinaten:
(x, y) 7−→ (r, ϕ)
√
1 0
G=
y | det J| = det G = r
2
0 r
y
Verkettung:
dx dy = r · dr dϕ
(x, y) 7−→ (u, v) 7−→ (t, s)
−1
∂(u, v)
∂(x, y)
=
inverse Jacobi-Matrix
∂(x, y)
∂(u, v)
∂(u, v) ∂(x, y) · det
dt ds
dx dy = det
∂(u, y) ∂(t, s) ∂(x, y) ∂(u, v) = det
dt ds
·
∂(u, y) ∂(t, s) ∂ x ∂v x
∂t u ∂s u = det u
dt ds
∂u y ∂v y
∂t v ∂s v ∂u x ∂t u + ∂v x ∂t v ∂u x ∂s u + ∂v x ∂s v dt ds
= det
∂u y ∂t u + ∂v y ∂t v ∂u y ∂s u + ∂v y ∂s v √
∂(x, y) ∂ x ∂s x dt ds
dt ds = det
= det t
∂t y ∂s y ∂(t, s)
Erweiterung auf 3 Dimensionen
(x, y, z) 7−→ (u, v, w)
~r(u, v, w)
alles analog zu 2 Dimensionen: J , G sind 3 × 3 Matrizen
Linienelement entsprechend
Volumenelement
∂(x, y, z) dV = dx dy dz = det
du dv dw
∂(u, v, w) = |(∂u~r × ∂v ~r) · ∂w ~r| du dv dw
Oberächenelement:
Einbettung einer Fläche S ⊂ R3


x(u, v)
.
R3 3 ~r = y(u, v)
hatten wir schon: ~r(t, s) , @ J
z(u.v)
√
df = |∂u~r × ∂v ~r| du dv = det G du dv mit gij = ∂i~r · ∂j ~r
Beispiel: Kugelkoordinaten
(x, y, z) = ( r , ϑ , ϕ )
[0,∞] [0,π] [0,2π]
  

x
r sin ϑ cos ϕ
y  =  r sin ϑ sin ϕ  = r
z
r cos ϑ
80
(6.33)
6.5 Krummlinige Koordinaten


Sc
∂r ~r = Ss ,
C


Cc
∂θ ~r = r  Cs  ,
−S
br = 1

..
. 
∂ϑ r ∂ϕ r

..
..
.
.
..
 .
J =
∂r r
..
.

−Ss
∂ϕ~r = r  Sc 
0
alle orthogonal
bu = r
..
.


−→
bϕ = r sin ϑ

1 0
>

J J = G = 0 r2
0 0
(ds)2 = (dr)2 + r2 (dϑ)2 + r2 sin2 ϑ(dϕ)2
~r˙ = ṙ2 + r2 ϑ̇2 + r2 sin2 ϑ ϕ̇2
√
|det J| = det G = r2 sin ϑ

0

0
2
2
r sin ϑ




(6.34)



(6.35)
dV = r2 sin ϑ dr dϑ dϕ = −r2 dr d(cos ϑ) dϕ =: r2 dr dΩ
Anwendungen
• Kugeloberäche
Z
AR =
S2
r = R = konst.
(ϑ,ϕ)
dV 2
=
R
sin
ϑ
dϑ
dϕ
F
:
[0,
π]
× [0, 2π]
df =
dr r=R
Z
Z π
Z 2π
df =
R2 sin ϑ dϑ dϕ = R2
dϑ sin ϑ
dϕ = R2 · 2 · 2π
F
0
√
0
• Kugelvolumen
r ∈ [0, R] sowie (ϑ, ϕ) ∈ S 2
Z
Z R
Z π
Z 2π
1
4π 3
R
VR =
dV =
dr r2
dϑ sin ϑ
dϕ = 4π r3 |R
0 =
3
3
B3
0
{z 0
}
|0
√
4π
Parametrisierte Oberäche - gekrümmt oder ach?
gegebene Koordinaten (u, v) und Metrik gij (u, v) −→ Vermessung
Antwort (Gauÿ):
berechne Krümmung K(u, v).
Für orthogonale Koordinaten (g12 = 0):
1
1
1
2
2
−∂2 g11 − ∂1 g22 +
[∂1 g11 ∂1 g22 + ∂2 g11 ∂2 g11 ] +
[∂2 g22 ∂2 g11 + ∂1 g22 ∂1 g22 ]
K=
2g11 g22
2g11
2g22
(6.34)
falls die Fläche eingebettet ist:
~r(u, v) ∈ R3

∂u~r × ∂v ~r


y gij = ∂i~r · ∂j ~r , ~n =
, hij = ~n · ∂ij ~r

|∂u~r × ∂v ~r|
(6.35)

det H


dann ist K =
det G
81
6 Integrale
Beispiel Rotationsächen
1
Polarkoordinaten (ρ, φ) mit Metrik G =
0
Gauÿ-Formel ergibt
K=
0
f (ρ)2
−f 00
f
Vermessung:
(ds)2 = (dρ)2 + f (ρ)2 (dφ)2
• Speiche:
Z
dφ = 0
0
• Kreis:
r
Z
ds|Speiche =
2π
Z
Z
ds|Kreis(r) =
dρ = 0
0
2π
0
r
dρ = r
0
dφf (ρ)
= 2π · f (r)
ρ=r
Einbettung


f (ρ) cos φ
~r(ρ, φ) =  f (ρ) sin φ 
h(ρ)
y
G=
02
f + h02
0
möchte
gρρ = 1

−h0 c
~n = −h0 s
f0
02
h +f
y
02

Konkreter Fall:
Z
=1
y
H=
y
K=
y
0
f h0
dρ0
=
p
1 − f 02
00
−f /h0
0
det H
−f 00 f
f 00
=
=
−
det G
f2
f
Pseudosphäre K = − R12 < 0 konst.
f (ρ) = Re− /R
Z ρ
p
ρ
h(ρ) =
dρ0 1 − e−2 R
0
√
p
1 1+
ρ
√
√
mit
≡ 1 − e−2 R
= ln
√ −
2 1−
ρ
Graph der Rotationsäche: plotte
p h 2über f
√
h(f ) wie h(ρ) , bloÿ mit
≡ 1 − f /R2
Fläche heiÿt Traktrix (→ hyperbolische Geometrie)
82
ρ
h(ρ) =
f 0 h00 − f 00 h0
0
0
f2
0
f h0
6.6 Delta-Funktion
6.6 Delta-Funktion
Beschreibung von Massen- oder Ladungsdichten von Objekten,
die nicht dreidimensional sind.
Bsp:
Gravitationspotenzial eines Massepunktes M bei ~r0
Z
V (~r) = −γm
d3 r0
R3
= −γm
ρ(~r0 )
|~r − ~r0 |
M
|~r − ~r00 |
wie muÿ ρ(~r0 ) beschaen sein, damit das stimmt? notwendig:
ρ(~r0 ) = 0 für ~r0 6= ~r0
konzentriert
Z
d3 r0 ρ(~r0 ) = M
Gesamtmasse
vereinfache Diskussion auf eine Dimension
(
ρ(x) = 0 ∀ x 6= x0
R +∞
gesucht ist Funktion ρ(x) mit
dx ρ(x) = 1
−∞
@ solche Funktion, aber näherungsweise
ρε (x) =: δε (x − x0 )
Grenzwert ε → 0 existiert nicht als Funktion,
aber verallgemeinerte Funktion, sog. Distribution
δ0 (x − x0 ) =: δ(x − x0 )
[erfunden von Dirac (Physik), präzisiert von Schwarz (Ma.) ]
wird eigentlich nur unter dem Integral gebraucht
Denition:
Z
+∞
dx δ(x − x0 ) f (x) = f (x0 )
(6.36)
−∞
für alle vernünftigen Funktionen f (Testfunktionen): δ erschlägt ein Integral 83
6 Integrale
verschiedene Darstellungen von
(
δε (x) =
1/2ε
0
δε :
x ∈ [−ε, ε]
sonst
Kastenfunktion (6.37a)
1
x2 2
δε (x) = √ e− /ε
ε π
δε (x) =
δε (x) =
Gauÿfunktion (6.37b)
1
1
x
1 sin x/ε
=
sin =
x
πx
ε
επ /ε
2π
Z
+1/ε
(6.37c)
dk cos kx
−1/ε
1
1
ε
1
1
=
=
π x2 + ε2
επ 1 + (x/ε)2
2π
Z
+∞
dk eikx−ε|k|
Lorentz-Kurve (6.37d)
−∞
Konstruktionsprinzip:
nehme irgendeine Funktion g(x), deren Integral existiert, mit g(0) 6= 0.
1 x
δε =
g
εJ
ε
mit J =
Z
+∞
dx g(x)
(6.38)
−∞
Eigenschaften:
Z
+∞
(6.39a)
dx δ(x − x0 ) = 1
−∞


a < x0 < b
Z b
f (x0 )
dx δ(x − x0 ) f (x) = 21 f (x0 ) x0 = a oder x0 = b

a

0
sonst
δ(−x) = δ(x)
1
δ(ax) =
δ(x)
|a|
X δ(x − xn )
δ(h(x)) =
mit h(xn ) = 0 ,
|h0 (xn )|
n
Z +∞
dx δ(x − a) δ(x − b) = δ(a − b)
−∞
Z +∞
(6.39c)
(6.39d)
h0 (xn ) 6= 0
dx δ 0 (x − x0 ) f (x) = −f 0 (x0 )
−∞


x<0
0
0
1
θ (x) = δ(x) mit θ(x) = /2 x = 0 Heaviside- oder Stufenfunktion


1
x>0
x − iε
1
1
1
= 2
−−−→ P − iπ δ(x) =
2
ε→0
x + iε
x +ε
x
x
84
(6.39b)
(6.39e)
(6.39f)
(6.39g)
(6.39h)
(6.39i)
6.6 Delta-Funktion
zu (6.41e):
für eine Nullstelle x0 mit h0 (x0 ) > 0
wähle Intervall a < x0 < b, in dem y = h(x) umkehrbar
Z
+∞
Z
b
−∞
Z
h(b)
dy
dx f (x) δ(h(x)) =
dx f (x) δ(h(x)) =
h(a)
a
f (x(y))
f (x0 )
δ(y)
=
y=0↔x=x0 h0 (x0 )
h0 (x(y))
Substitution: h(x) = y y h0 (x) dx = dy
falls h0 (x0 ) < 0 gibt es ein Vorzeichen
falls es mehrere Nullstellen gibt, ist über diese zu summieren
zu (6.41f ):
Z
+∞
Z
+∞
−∞
Z
+∞
dx δ(x − a) f (x) = f (a)
dx δ(x − a) δ(x − b) f (b) =
db
−∞
−∞
partielle Integration:
Z
Z
Z
p.i.
dx f (x) δ 0 (x − x0 ) = lim dx f (x) ∂x δε (x − x0 ) = − lim dx ∂x f (x) δε (x − x0 )
zu (6.41g):
ε→0
ε→0
Spezialfall:
xδ 0 (x) = [xδ(x)]0 − x0 · δ(x) = −δ(x)
f (x) = x :
=0
von einer Dimension zurück nach drei Dimensionen
in kartesischen Koordinaten
δ(x)
reduziert
δ(x) δ(y)
reduziert
δ(x) δ(y) δ(z)
reduziert
Z
Z
d3 r −→ dy dz
Z
Z
3
d r −→ dz


yz − Ebene





Träger
z − Achse



Z




d3 r auf Punkt ~r = 0
allgemeiner:
δ(~r − r~0 ) für punktförmige Träger
Eigenschaft:
Z
d3 r δ(~r − ~r0 ) f (~r) = f (~r0 )
(6.40)
R3
85
√
6 Integrale
In krummlinigen Koordinaten
Z
dx dy dz f (x, y, z) δ(~r − r~0 )
f (~r0 ) =
R3
[Wechsel(x, y, z) 7−→ (u, v, w) ~r0 : (u0 , v0 , w0 )]
Z
∂(x, y, z) δ(~r − ~r0 )
= du dv dw f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) det
{z
}
|
∂(u, v, w) Z
= du dv dw g(u, v, w) δ(u − u0 ) δ(v − v0 ) δ(w − w0 ) = g(u0 , v0 , w0 )
| {z }
y δ(~r − ~r0 ) =
86
δ(u − u0 ) δ(v − v0 ) δ(w − w0 )
∂(x,y,z) det ∂(u,v,w) (6.41)
7 gewöhnliche
Dierenzialgleichungen
7.1 Terminologie
gewöhnliche Dgl. (ODE):
allgemein:
Gleichung für y(x) [x = eine Variable]
F x, y(x), y 0 (x), y 00 (x), . . . , y (n) (x) = 0 (n-ter Ordnung)
heiÿt linear, falls
y (0) ≡ y
y (k) (k = 0, . . . , n) nur linear in F
allgemeine lineare ODE n-ter Ordnung explizit:
y (n) (x) + fn−1 (x)y (n−1) (x) + . . . + f1 (x)y 0 (x) + f0 (x)y(x) = f (x)
abgekürzt (mit
fn ≡ 1):
n
X
(7.1)
fk (x) y (k) (x) = f (x)
k=0
oder in Operator-Form:
(Ln y) (x) = f (x) mit Ln =
n
X
fk (x)∂xk
k=0
ODE heiÿt regulär solange die fn (x) regulär sind, sonst singulär
(
inhomogen falls f 6= 0
f (x) heiÿt Inhomogenität y (7.1) ist
homogen falls
f =0
Aussagen über lineare ODEs:
• allg. Lösung von (7.1) ist eine n-parametrige Schar von Funktionen yc1 ,c2 ,...,cn (x)
Parameter
c1 ,c2 ,...,cn
• k Lösungen y1 (x), y2 (x), . . . , yk (x) heiÿen linear unabhängig,
wenn α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + . . . + αk yk (x) ≡ 0
⇒
αk = 0 ∀ k
• homogene ODE Ln y = 0 hat genau n linear unabhängige
Lösungen y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)
87
7 gewöhnliche Dierenzialgleichungen
• Lösungen von Ln y = 0 bilden einen n-dimensionalen Vektorraum.
Bew.:
Ln ya = 0
& Ln yb = 0
y
Ln (αya + βyb ) = 0
y Basis = {y1 , y2 , . . . , yn } geeignet gewählt, linear unabhängig
• allg. Lösung der homogenen ODE ist
yc1 ,c2 ,...,cn (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x)
(7.2)
• allg. Lösung der inhomogenen ODE ist
yc1 ,c2 ,...,cn (x) = y0 (x) + c1 y1 (x) + . . . + cn yn (x)
wobei y0 (x) irgendeine spezielle Lösung ist: Ln y0 = f & Ln yn>0 = 0
→ Lösungsmenge von Ln y = f
ist kein Vektorraum für f 6= 0
→ können zu y0
beliebige homogene Lösungen addieren
→ Dierenz zweier inhomogener Lösungen
ist eine homogene Lösung
88
(7.3)
7.2 Zehn Fälle
7.2 Zehn Fälle
5 linear, danach 5 nichtlinear
1 Potenz-Ansatz
x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 0
# Ableitungen = # x-Potenz
Ansatz: y = xλ
y
L2 = x2 ∂x2 − 2x∂x + 2
dim L2 = 0
y
[allgemeiner: Potenzreihen-Ansatz]
!
eingesetzt: xλ {λ(λ − 1) − 2λ + 2} = 0
y
2
λ − 3λ + 2 = 0
allg. Lösung:
y
λ1 = 1
λ2 = 2
y
(
x1
2 Basis-Lösungen
x2
Test: Einsetzen
y = c1 x + c2 x2
2 Variablen-Wechsel
x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 0 aber auch x > 0
inspiriert Wechsel x = et
weil
x ∈ (0, ∞] ↔ t ∈ [−∞, +∞]
y(x) = y(et ) =: u(t) = u(ln x)
dt
dx
= et y
= e−t
dt
dx
dt
∂t = e−t ∂t , ∂x2 = e−t ∂t (e−t ∂t ) = e−2t ∂t2 − e−2t ∂t
∂x =
dx
y L2 = e2t · e−2t (∂t2 − ∂t ) − 2et · e−t ∂t + 2
= ∂t2 − 3∂t + 2
y
ü − 3u̇ + 2u = 0
konstante Koezienten !
3
Lösung −→ 89
7 gewöhnliche Dierenzialgleichungen
3 Exponential-Ansatz
mẍ = −κx − Rẋ
ohne Reibung (R = 0):
setze κ =: mω02
R =: 2mγ
ẍ = −ω02 x − 2γ ẋ
einsetzen gibt :
Lösungen :
x∈R
Schwingung mit ω02 = κ/m
und
Exponential-Ansatz :
κ, R > 0 ,
⇔
L2 x = 0 mit L2 = ∂t2 + 2γ∂t + ω02
x(t) = eλt
λ2 + 2γλ + ω02 = 0
λ1,2 = −γ ± σ
2 Grundlösungen :
∗
p
mit σ = γ 2 − ω02
x1 = eλ1 t ,
allg. Lösungen (homogen!) :
x2 = eλ2 t
c1 , c2 ∈ R ↔ AW
x(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t = e−γt c1 eσt + c2 e−σt
→ Exp-Ansatz löst allg. lineare ODE mit konstanten Koezienten
hier:
unterscheide 3 Fälle (je nach Lsg. von ∗)
(a) γ > ω0 y σ reell und < γ
y λ1,2 reell und < 0
y abklingende Exponential-Funktion
p
(b) γ < ω0 y σ = i ω02 − γ 2 =: iω y λ∗1 = λ2 y x komplex?
Euler
y x(t) = e−γt c1 eiωt + c2 e−iωt = e−γt ([c1 + c2 ] cos ωt + i[c1 − c2 ] sin ωt)
!
Realität von x y x∗ = x y c1 + c2 & i(c1 − c2 ) reell
(c) γ = ω0 y σ = 0 y λ1 = λ2 = −γ
y nur eine Grundlösung?
nein!
y x(t) = e−γt (c + d · t)
etwas cleverer :
suggeriert Ansatz :
einsetzen :
L2 = (∂t + γ)2 + (ω02 − γ 2 )
x(t) = e−γt · u(t)
(∂t + γ)e−γt = 0 y (∂t + γ)x = e−γt u̇ y
L2 x = e−γt ü + (ω02 − γ 2 )u = 0 y
ü + (ω02 − γ 2 )u = 0
kein u̇
3 Fälle :
γ > ω0
90
y u ∼ e±σt
±iωt
γ < ω0
y u∼e
γ = ω0
y u=c+d·t
(a)
(b)
(c)
7.2 Zehn Fälle
4 Funktionswechsel:
y 0 (x) + P (x) y(x) = Q(x)
allg. lin. ODE 1. Ordnung:
L1 = ∂x + P (x) ,
f (x) = Q(x)
• suche die eine Grundlösung der homogenen Gleichung: y1
Z x
y0
y10 + P y1 = 0 y 1 = ∂x ln y1 = −P y ln y1 = −
dx0 P (x0 ) y
y1
x0
y1 (x) = e
•fehlt :
−
Rx
x0
dx0 P (x0 )
(7.4)
eine spezielle Lösung der inhomogenen Gl. : y0
Trick :
einsetzen :
Funktionswechsel von y0 nach u: y0 (x) =: u(x) · y1 (x)
u0 y1 + uy10 + P uy1 = Q ,
→0
aber y10 + P y1 = 0 ∗
∗
y u0 = Q/y1 y u(x) =
Z
Rx
x1
x
dx0
y0 (x) = y1 (x) ·
x0
dx0
Q(x0 )
y1 (x0 )
Q(x0 )
y1 (x0 )
y
inhomogene Lösung
(7.5)
Lösungsformel :
y(x) = y0 + c1 y1 = e
−
Rx
x1
dx0 P (x0 )
Z
c1 +
x
x0
dx0 Q(x0 ) e
+
R x0
x1
dx00 P (x00 )
(7.6)
allg. :
Wahl neuer Funktionen ist vielseitig, bringt aber selten Vereinfachung
z.B. y = 1/u y y 0 = −u /u2 y −
0
Benoulli-ODE ist nichtlinear
P
u0
+ = Q y u0 − P u = −Qu2
u2
u
91
7 gewöhnliche Dierenzialgleichungen
5 Variation der Konstanten:
y 00 (x) + a(x)y 0 (x) + b(x) y(x) = f (x)
allg. lin. ODE 2. Ordnung :
L2 = ∂x2 + a∂x + b
homog. Gleichung hat 2 Grundlösungen: :
@ allg. Lösungsmethode
falls (!) eine Grundlösung y1 bekannt, dann gibt es Strategie :
neue Funktion u über :
also :
0
y =
y10 u
einsetzen :
00
+ y1 u ,
y =
y100 u
2y10 u0
+
+ y1 u00
y1 u00 + 2y10 u0 + y100 u + ay1 u0 + ay10 u + by1 u = f
→0
wegen
L2 y1 =0←
+ ay1 ) · u = f
keine u-Terme mehr!
0 y
4
u0 =: v y v 0 + a + 2 1 · v = yf1 y zurück zu y1
=Q
| {z }
00
y y1 u +
deniere
[c1 → u(x) Var. der Konst. ]
y(x) =: u(x) · y1 (x)
0
(2y10
0
√
=P
Bsp.:
einsetzen
ẍ + ω 2 x = f (t) erlaubt x1 (t) = eiωt → x = eiωt · u(t) −−−−−−→
(7.6)
u̇=v
ω 2
u) = f −−−→ v̇ + 2iωv = f e−iωt −−−→ v = . . .
ω 2
u +
eiωt (ü + 2iω u̇ − "
!#
Z
Z 0
t
0
dt0 e−2iωt
x(t) = eiωt c2 +
0
t
00
dt00 f (t00 ) e−iωt
c1 +
0
Bemerkungen
1) für f ≡ 0 (homogen) und y1 bekannt:
2 R
R
y1 (x1 )
− x dx0
− x dx0 [a+2∂x0 ln y1 ]
e x1
v = e x1
=
y1 (x)
a(x0 )
y y2
2) für Ln statt L2 und y1 bekannt: dieses Vefahren reduziert Ln → Ln−1
...
92
ab jetzt nichtlinear
...
(7.7)
7.2 Zehn Fälle
...
ab jetzt nichtlinear
...
6 Trennung der Variablen:
y 0 (x) = f (x) · g(y)
dy
dy
= f (x)dx y
= f (x) · g(y) y
dx
g(y)
nurx
lese ab
nury
0
Ry
dy
y(x0 ) g(y 0 )
=:
H(y)
=
Rx
dx0 f (x0 )
mit F 0 (x) = f (x)
=:
H 0 (y) = 1/g(y)
F (x) + C
←− Stammfunktion
x0
=
Lösungsformel:
(7.8)
(7.8')
y(x) = H −1 (F (x) + C)
7 Reduktion der Ordnung:
a) y 00 = f (y, y 0 )
Trick :
x kommt nicht in f vor!
betrachte y 0 als Funktion von y :
y 0 =: p(y) y y 00 =
einsetzen :
p0 · p = f (y, p)
dp dy
= p0 · y 0 = p0 · p
dy dx
ODE 1. Ordnung für p(y)
falls gelöst, komme zurück zu y(x) mit y 0 (x) = p(y):
b) y 00 = f (x, y 0 )
6
Fall √
y kommt nicht in f vor!
Trick: nehme y 0 =: u als neue Funktion y u0 = f (x, u) ODE 1. Ordng.
c) Ly = f mit L = L1 · L2
Trick:
√
Produktstruktur !
L1 L2 y = L1 u = f mit L2 y =: u
y 2 ODEs 1. Ordnung:
löse erst für u, dann für y
√
93
7 gewöhnliche Dierenzialgleichungen
8 Umwandlung in ODE-System:
ODE n-ter Ordnung −→ System von n ODEs 1. Ordnung
y (n) = f (y (n−1) , ..., y 0 , y, x)
deniere:
y 0 =: u1












 0

y = u1




 0



y 00 =: u2


u
=
u
2
1




000


0


y =: u3
 u2 = u3

⇒ .
..



.
.







.







(n−1)
0


y
=: un−1 
u
=
u

 n−2

n−1







0
(n)
un−1 = f (un−1 , . . . , u1 , y, x)
y =: f (...)
falls linear, d.h. f = an−1 (x) y (n−1) + . . . + a1 (x)y 0 + a0 (x)y + a(x),
dann von Matrix-Form:


y
 u1 



Y =
 ...  ,
un−2 
un−1
Y0 =A·Y +F

0
0


A =  ...

0
a1
mit
1
0
..
.
0
1
..
.
...
...
..
.
0
a2
0
a3
...
...
0
0
..
.




 ,

1 
an−1

0
0
 
0

F =
. . .
 
0
a

(7.9)
4 mit P (x) → A und Q(x) → F
dies ist matrixwertige Verallgemeinerung von Illustration: n = 2 linear y allg. lineare ODE 2. Ordnung
ẍ + a(t)ẋ + b(t)x = f (t)
def.: ẋ =: v
· x
0
1
x
0
=
+
↔ Ẏ = A(t) · Y + F (t)
v
−b −a
v
f
∗
(7.10a)
erst die homog. Gl., d.h. F = 0.
Def.:
Zeitentwicklungsmatrix U (t, t0 )
Y (t) = U (t, t0 ) · Y (t0 ) für AW Y (t0 ) = Y0
(7.10b)
∗
ODE y Ẏ = U̇ Y0 = A · U Y0 = AY y U̇ = A · U
AW: U (t0 , t0 ) = 1
dann die inhomog. Gl., also F 6= 0.
94
(7.10c)
7.2 Zehn Fälle
Ansatz:
(Z statt Y0 , Variation der Konstanten)
Y =U ·Z
Y
z}|{
∗
ODE y Ẏ = U̇ Z + U Ż = A U Z + U Ż = AY + F y
Z t
U Ż = F y Ż = U −1 F y Z(t) = Y0 +
dt0 U (t0 , t0 )−1 F (t0 )
t0
Gesamtlösung:
Z t
0
0
−1
0
dt U (t , t0 ) F (t )
Y (t) = U (t, t0 ) Y (t0 ) +
(7.10d)
t0
Vorsicht:
für n = 1 ist U (t, t0 ) = e
Rt
t0
dt0 A(t0 )
für n > 1 ist dies i.a. falsch, weil [A(t1 ), A(t2 )] 6= 0
Im Spezialfall konstanter Koezienten, d.h. A(t) = A = konst.,
ist Lösung möglich:
1
U (t, t0 ) = e(t−t0 )·A := 1 + (t − t0 )A + (t − t0 )2 A2 + . . .
2!
∞
X
1
(t − t0 )n An
=
n!
n=0
(7.11)
Bsp.:
A=
1
1 0
0
y etA =
+t
0
0 1
−1
cos t sin t
=
− sin t cos t
0
−1
t2 −1
1
+
0
2! 0
t3 0
0
+
−1
3! 1
−1
+ ...
0
Drehmatrix!
inhomog. Lsg. in diesem Fall:
Y (t) = e
(t−t0 )A
Z t
0 −(t0 −t0 )A
0
Y (t0 ) +
dt e
F (t )
(7.12)
t0
9 Singuläre Lösung:
(y 0 )2 = 4y
für
y≥0
0
√
√
√ T dV y
y y 0 = ±2 y −−−→ √ = ∂x y = ±1 y y = ±(x + c)
2 y
allg. Lsg. :
yc (x) = (x − c)2
zusätzlich:
y(x) ≡ 0
(
0
und auch stückeln: y(x) =
(x − c)2



x < c singulär


x≥c
95
7 gewöhnliche Dierenzialgleichungen
10 Greensche Funktion:
f : Ursache ,
Ln y(x) = f (x)
elementare Ursache:
y : Antwort
f (x) = δ(x − a)
jeder f kann zusammengesetzt werden f (x) =
R
da δ(x − a) f (a)
Def.:
(7.13)
Ln G(x, a) = δ(x − a)
Rekonstruktion von y zu f aus Kenntnis von G:
R
R
da f (a) Ln G(x, a) =
da f (a) δ(x − a)
k Def. von δ
Z kLn linear
Ln
|
da f (a) G(x, a) =
{z
}
also:
Z
y(x) =
löst
f (x)
da G(x, a) f (a)
Ln y = f
formal: G = L−1
n
Konstruktion von G ist möglich aus Lsgn. der homog. ODE
ENDE
96
(7.14)