Prüfungsaufbau ohne Lösungen

Informationen für Lehrpersonen und Lernende
GLF-Prüfung Mathematik TALS Juli 2017 (inkl. Nachtermin)
Für die Note 6 müssen nicht alle Aufgaben gelöst werden.
Der Notenschlüssel wird nach der Prüfung festgelegt.
Die Reihenfolge der Aufgabennummern entspricht nicht der Reihenfolge der Aufgabennummer in der
Prüfung.
GLF Teil 1
Die GLF-Prüfung TALS Teil 1 enthält 8 Aufgaben à 3 Punkten.
1.
Aufgabe vom Typ 1, Bruchrechnen
2.
Aufgabe vom Typ 2, Gleichungen
quadratische Gleichung, inkl. Parameter, ohne Fallunterscheidung
3.
Haupttermin: Aufgabe vom Typ 3, Geraden
Nachtermin: stückweise definierte Funktion
4.
Aufgabe vom Typ 4, Parabel
5.
Aufgabe vom Typ 5, Trigonometrische Gleichung
6.
2x2 Gleichungssystem mit Parameter, im Nachtermin mit Fallunterscheidung
7.
Planimetrie: Spezielle Dreiecke bzw. Vierecke mit 30°/45°/60°
8.
Variables Thema aus Algebra, Funktionenlehre, Datenanalyse oder Planimetrie,
jedoch ohne Ungleichung, ohne Wurzelgleichung, ohne Umkehrfunktion und ohne stückweise
definierte Funktion.
GLF Teil 2
Die GLF-Prüfung TALS Teil 2 enthält 6 Aufgaben à 4 Punkten.
1.
Aufgabe vom Typ 6, Sinus- und / oder Cosinussatz
- sequentiell, d.h. Schritt für Schritt, Längen und/oder Winkel berechnen
- mit einem Gleichungssystem lösbar
2.
Aufgabe vom Typ 7, Parameter bestimmen
3.
Haupttermin: Aufgabe vom Typ 7, Parameter bestimmen
Nachtermin: Geometrie im Koordinatensystem
4.
Extremwertaufgabe mit nicht quadratischer Zielfunktion
5.
Aufgabe mit variablem Thema aus Algebra, Funktionenlehre, Datenanalyse oder Planimetrie
jedoch ohne Ungleichung, ohne Umkehrfunktion, ohne stückweise definierte Funktion und
ohne trigonometrische Funktionsgraphen.
6.
Aufgabe mit variablem Thema aus Algebra, Funktionenlehre, Datenanalyse oder Planimetrie
jedoch ohne Ungleichung, ohne Umkehrfunktion, ohne stückweise definierte Funktion und
ohne trigonometrische Funktionsgraphen.
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Nachfolgend finden Sie zu den verschiedenen Typen einige Beispiele; es ist keine
abschliessende oder vollständige Sammlung.
GLF Teil 1
Typ 1: Bruchrechnen
Typ 1
Typ 1
1.
Vereinfachen Sie so weit wie möglich.
1 − 6 x − x2
x
1 − 7x
−
x − 3 x2 − 4 x + 3
x +1
2.
x
Vereinfachen Sie so weit wie möglich.
2
−1
Typ 1
3.
Vereinfachen Sie so weit wie möglich.
4.
Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
x
x −1
x +x2
x
Typ 1
+
2
5 x + 25
3
x − 25 x
− 2 x +1
−
1
x−5
a   4
 1 − 5a
+
 2
 ⋅ 1 − 
 a − 5a + 4 4 − a   a 
1
1
−
2
4a
1− a
Typ 2: quadratische Gleichung mit Parameter
Typ 2
5.
Lösen Sie die Gleichung für x in Abhängigkeit von k mit Fallunterscheidung für alle
Parameterwerte k ∈ R.
k x2 − x2 + 3 x = 2
Typ 2
6.
Berechnen Sie die Lösung für x in Abhängigkeit des Parameters t. Eine
Fallunterscheidung ist nicht verlangt.
( tx + 2 ) ⋅ tx = 3x − 1
Typ 2
7.
Gegeben ist die Gleichung k x 2 + 2k x + k = x 2 − 2 .
Berechnen Sie k ∈ R so, dass die Gleichung nur eine einzige Lösung besitzt.
Berechnen Sie auch die dazugehörende Lösung für x in G = R .
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Typ 3: Gerade
Typ 3
8.
In einem kartesischen Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen ist das Dreieck
ABC mit den Punkten A ( −1| − 2 ) , B ( 5|1) und C (1|7 ) gegeben.
a) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden, auf der die Schwerlinie sa liegt.
b) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Seite b mit der Geraden g: y = x.
Typ 3
9.
Gegeben ist ein kartesisches
Koordinatensystem mit gleich
skalierten Achsen sowie die
Punkte gemäss Skizze.
Berechnen Sie den
Flächeninhalt des markierten
Dreiecks ABS.
Typ 3
10.
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A ( − 6| − 3 ) , B ( 0| − 6 ) und C ( 0|3 ) .
a) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden h, auf der die Höhe hc liegt.
b) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden s, auf der die Schwerlinie
(Seitenhalbierende) sb liegt.
c) Berechnen Sie den Schnittpunkt S von h und s.
Typ 4: Parabel
Typ 4
11.
Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S ( 2|0 ) berührt die Gerade g mit der Gleichung
y = − 7 x − 10.5 .
Berechnen Sie die Gleichung der Parabel in der Grundform.
Typ 4
12.
Gegeben ist ein kartesisches Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen sowie
die Parabel p: y = 2 x 2 − 5 x + 3 und die Gerade t: y = − a x − 5 .
a) Berechnen Sie a so, dass die Gerade t die Parabel p berührt.
b) Berechnen Sie die Koordinaten von einem der beiden Berührungspunkte.
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Typ 4
13.

5
Eine Parabel p verläuft durch die drei Punkte A ( 2|1) , B  1 −  und C ( − 2| − 7 ) .
2

Berechnen Sie die Gleichung der Parabel p.
Typ 4
14.
Gegeben ist eine Parabel p mit der Gleichung y = 2 x 2 − 16 x + 34 . Diese wird an ihrem
Scheitelpunkt gespiegelt. Berechnen Sie die Gleichung der gespiegelten Parabel in der
Grundform.
Typ 5: Trigonometrische Gleichungen
Typ 5
15.
Typ 5
16.
Berechnen Sie die Lösung für x ∈ [ 0 ; 2 π ] :
2

π 
3
π


 sin  x −   + = 3 ⋅ sin  x − 
2 
4
2



Typ 5
17.
π

Berechnen Sie alle x ∈ [ 0; 2 π [ , für die gilt: cos  2x +  = 0.5 .
9

Die Resultate sind im Bogenmass anzugeben.
Gleichungssystem mit Parameter:
18.
19.
Berechnen Sie die Lösung für (x|y) in Abhängigkeit von k:
2x + ky = 1
kx + 3y = 2
Berechnen Sie die Lösung für (x|y) in Abhängigkeit von a mit Fallunterscheidung für alle Werte
des Parameters a ∈ R :
ax + 2y = 2
x + y = 2a 2
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GLF Teil 2
Um die Lösungen vom Teil 2 zu finden, kann in der Regel mit einem einzigen Gleichungssystem
gearbeitet werden. Dies ist einfacher, als Zwischenresultate zu speichern und wieder abzurufen.
Ausnahmen: Berührungsaufgaben (Diskriminante kopieren) und Extremwertaufgaben.
Typ 6: Sinus- und / oder Cosinussatz
Typ 6
20.
Von der abgebildeten Figur ist Folgendes gegeben:
AB = 10cm
AC = 30cm
β = ∠ DBA = 50°
α = ∠ CAD = 28°
C
γ
D
a) Berechnen Sie den Winkel φ = ∠ BAC .
b) Berechnen Sie die Länge der Strecke AD.
c) Berechnen Sie die Länge der Strecke CD.
d) Berechnen Sie den Winkel γ = ∠ DCA .
α
φ
β
B
Geben Sie die Resultate auf 3 signifikante Stellen
gerundet an.
Es sind alle Gleichungen, die zur Lösung führen,
zwingend zu notieren.
Typ 6
21.
Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD mit
folgenden Massen:
Seite AB = 15.0 cm
Winkel β = 62°
Diagonale AC = 13.5 cm
Winkel γ > 90°
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen BD.
Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante
Stellen gerundet an.
Typ 6
22.
Von einem Dreieck ist gegeben:
a = 14 cm
hb = 12.3 cm
α = 55°
Berechnen Sie die Länge der Seite b.
Eine Lösung genügt.
Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.
Typ 6
23.
Berechnen Sie im Dreieck ABC die Seite c aus:
a + b = 75
α = 50°
β = 70°
Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.
Vgl. auch Frommenwiler 141. – 144.
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Typ 7: Parameter bestimmen
Typ 7
24.
Gegeben ist die Parabel p: y = − x 2 − 2 x
und die Gerade g: y = m x .
Die Schnittpunkte der beiden Graphen und ihre Achsenschnittpunkte bilden die
Eckpunkte eines Dreiecks.
a) Erstellen Sie eine qualitative Skizze der beiden Graphen für m = 2 .
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks für m = 2 .
c) Berechnen Sie m so, dass der Inhalt der Dreiecksfläche 10 Flächeneinheiten
beträgt.
Geben Sie das Resultat auf 3 sign. Stellen gerundet an.
Typ 7
25.
In einem kartesischen Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen sind die
Eckpunkte eines Dreiecks gegeben: A ( 0|3 ) , B ( 3p|0 ) und C ( p|p ) , mit p > 2.
a) Tragen Sie im nachfolgenden Koordinatensystem das Dreieck für p = 4 ein.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks aus p.
c) Für welchen Wert des Parameters p beträgt der Flächeninhalt 60?
Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.
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Typ 7
26.
In einem kartesischen Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen sind zwei
Parabeln gegeben:
p1 : f1 ( x ) = − a x2 + x, a > 0 , Scheitelpunkt S1 ( x1 | y1 )
p2 : f2 ( x ) = a x2 − 8 x + 20, a > 0 , Scheitelpunkt S2 ( x 2 | y 2 )
Die beiden Scheitelpunkte bilden zusammen mit den Punkten A ( x1 |0 ) und B ( x 2 |0 )
ein Trapez.
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des
Trapezes für a = 1.
Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante
Stellen gerundet an.
y
p2
S2
b) Für welchen Wert von a so, dass der
Flächeninhalt des Trapezes 20 beträgt.
Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante
Stellen gerundet an.
S1
A
Die Aufgabe kann auch als
Extremwertaufgabe gelöst werden.
Typ 7
27.
p1
B
Gegeben sind die Geraden g: y = 2 x − 3 und h: y = m x + 4
a) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden in Abhängigkeit von m.
b) Die beiden Geraden bilden zusammen mit der x-Achse ein Dreieck.
Berechnen Sie alle Steigungen m, bei denen der Flächeninhalt des Dreiecks 40
Flächeneinheiten beträgt.
Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.
Typ 7
28.
Gegeben ist ein kartesisches Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen, sowie
zwei Geraden, die sich in S ( 2|7 ) schneiden.
Der Gerade g1 : y = m1 x + q1 schneidet die x-Achse in A und die Gerade
g2 : y = m 2 x + q2 schneidet die x-Achse in B. Die Gerade g1 hat einen
Steigungswinkel von 55°. Berechnen Sie die Gleichung von g2 so, dass AB = 10 ist.
Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.
Typ 7
29.
y
Die Parabel p: y = x 2 − 4 schneidet die positive
x-Achse im Punkt B. Punkt A liegt im dritten
Quadranten auf der Parabel p. Die Vertikale durch
A schneidet die negative x-Achse im Punkt C.
Berechnen Sie A so, dass der Flächeninhalt des
Dreiecks ABC 3 Flächeneinheiten misst.
Runden Sie Ihr Resultat auf 3 signifikante Stellen.
p
C
B
A
Die Aufgabe kann auch als Extremwertaufgabe
gelöst werden.
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30.
Aus einem Stamm mit kreisförmigem (Durchmesser =
40 cm) Querschnitt soll ein rechteckiger Balken
geschnitten werden. Berechnen Sie, wie gross die
Rechtecksseiten gewählt werden müssen, damit der
Querschnitt des Balkens möglichst gross ist?
Runden Sie Ihr Resultat auf 3 signifikante Stellen.
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