Quantenmechanik für Bachelor plus Aufgabenblatt 11

Quantenmechanik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 11
Abgabe: 20. Januar 2014
Aufgabe 1: Auf- und Absteigeoperatoren∗
(4 Punkte)
Die Auf- und Absteigeoperatoren ändern den Wert von m jeweils um eine Einheit:
m±1
L̂± flm = A±
.
l,m fl
(1.1)
Zeigen Sie
|A±
l,m | = ~
p
l(l + 1) − m(m ± 1) ,
(1.2)
wobei die Eigenfunktionen als normiert angenommen sind.
Hinweis: Berechnen Sie die Norm von L̂± flm . Benutzen Sie dazu Aufgabe 3(e)
von Blatt 10 (d.h. (L̂± )† = L̂∓ ) und die folgende Relation aus der Vorlesung:
L̂∓ L̂± = L̂2 − L̂2z ∓ ~L̂z .
(1.3)
Bemerkung: Tatsächlich kann man die (unphysikalischen) Phasen der Eigen±
funktionen flm so wählen, daß (1.2) sogar für A±
l,m anstatt |Al,m | gilt.
Aufgabe 2: Vertauschungsrelationen∗ (4 Punkte)
Für einen Operator Q̂ gelte [Q̂, L̂x ] = 0 und [Q̂, L̂y ] = 0. Zeigen Sie, daß dann
auch [Q̂, L̂z ] = 0 gilt, wobei L̂x , L̂y und L̂z die Bahndrehimpulsoperatoren sind.
Aufgabe 3: Drehimpulsoperatoren in Kugelkoordinaten (14 Punkte)
In dieser Aufgabe soll die Form der Drehimpulsoperatoren in Kugelkoordinaten
hergeleitet werden, d.h.
L̂z
L̂2
~ ∂
,
i ∂ϕ
1 ∂
∂
1
∂2
= −~2
sin ϑ
+
.
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
=
(3.1)
(3.2)
(a) Benutzen Sie die Form des Gradienten in Kugelkoordinaten,
∂
~ = ~er ∂ + ~eϑ 1 ∂ + ~eϕ 1
∇
,
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
1
(3.3)
~ˆ = (~/i)(~r × ∇),
~ um
und die Definition des Drehimpulsoperators L
~
∂
1 ∂
ˆ
~
L=
~eϕ
− ~eϑ
i
∂ϑ
sin ϑ ∂ϕ
(3.4)
herzuleiten. (3 Punkte)
Hinweis:
z
~e'
#
~er
~e#
y
'
x
(b) Benutzen Sie nun den Zusammenhang
~eϑ
=
(cos ϑ cos ϕ)~ex + (cos ϑ sin ϕ)~ey − (sin ϑ)~ez ,
~eϕ
= −(sin ϕ)~ex + (cos ϕ)~ey ,
(3.5)
um die Formel (3.1) für L̂z herzuleiten sowie
∂
∂
±iϕ
± i cot ϑ
.
L̂± = ±~e
∂ϑ
∂ϕ
(3.6)
(4 Punkte)
(c) Zeigen Sie
L̂+ L̂− = −~
2
∂2
∂
∂2
∂
2
+
cot
ϑ
+
cot
ϑ
+i
2
2
∂ϑ
∂ϑ
∂ϕ
∂ϕ
.
(3.7)
Hinweis: Wenden Sie L̂+ L̂− auf eine Testfunktion f (ϑ, ϕ) an. (4 Punkte)
(d) Benutzen Sie (3.7), (1.3) und die Formel (3.1) für L̂z , um die Formel (3.2)
für L̂2 herzuleiten. (3 Punkte)
Bei Fragen:
[email protected]
∗
: Aufgabe wird korrigiert. Die Punkte dienen nur der Orientierung und haben
keinerlei praktische Konsequenzen.
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