Differentialgeometrie I - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Dr. habil. Ilka Agricola
Wintersemester 2005-06
Blatt 14
Abgabe 9.II.2006
Differentialgeometrie I
Übungen ohne Stern sind verplichtend. Jene mit Stern sind dagegen fakultativ und liefern zusätzliche Punkte.
1) Sei g eine Lie-Algebra und h ⊂ g ein Ideal darin. Zeige, dass [h, h] ebenfalls ein Ideal in g ist.
2∗ ) Man beweise, dass SO(3) = SO(3, R) homöomorph zu RP3 ist.
[Hinweis: Sei q ∈ S 3 ⊂ R4 und betrachte die Abbildung
T̃ : R4
x
−→
7→
R4
qxq
wobei
(r, y, z, t)(a, b, c, d) := (ra − yb − zc − td, rb + ya + zd − tb, rc − yd + za + tb, rd + yc − zb + ta)
(r, y, z, t) := (r, −y, −z, −t).
Diese Eigenschaften definieren die sog. quaternionische Struktur H von R4 (Beachte: die Multiplikation
ist nicht kommutativ).
Da T̃ die reelle Achse R = {(r, 0, 0, 0)}, und deshalb auch R ⊥ = {(0, y, z, t)} ∼
= R3 festlegt, dürfte T̃
eine Abbildung
T : S 3 −→ SO(3)
definieren. Man zeige, dass T ein surjektiver Homomorphismus ist, und dass Ker (T ) ∼
= Z2 gilt.]
3) Sei G die Lie-Gruppe GL(n, C) mit Lie-Algebra g = Mat(n, C) und En die (n × n)-Einheitsmatrix. Ist
g ∈ G und X ∈ g, so gilt offenbar
(dLg )e X =
d
g · (En + tX) t=0 = g · X.
dt
Man beweise, dass der Kommutator der Vektorfelder (dLg )e X, (dLg )e Y (X, Y ∈ g) in e gleich dem
Kommutator der Matrizen X, Y ist:
[(dLg )e X, (dLg )e Y ](e) = [X, Y ].
4) Sei n3 die Lie-Algebra der strikt oberen reellen (3 × 3)-Matrizen




 0 x y
n3 = 0 0 z  : x, y, z ∈ R .


0 0 0
Man verwende die Exponentialabbildung, um explizit eine Lie-Gruppe N3 zu konstruieren, deren LieAlgebra n3 ist. Dies definiert sog. “exponentielle Koordinaten” auf N3 ; man beschreibe diese und
bestimme die Formel für die Gruppenmultiplikation in ihnen.
Wie drücken sich die linksinvarianten Vektorfelder in diesen Koordinaten aus?
Zuletzt bestimme man das Zentrum von N3 , Z(N3 ) := {z ∈ N3 | zg = gz, ∀g ∈ N3 }.
5) Zeige, dass die Exponentialabbildung auf SL(2, R) nicht surjektiv ist.
Welche Werte kann tr exp(A) für A ∈ sl(2, R) erreichen?
1
6) Sei G eine Lie-Gruppe und X ∈ g derart, dass exp(tX) ∈ Z(G), ∀t ∈ R. Zeige, dass
a) [X, Y ] = 0,
∀Y ∈ g.
b) z := {X ∈ g : [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ g} eine Lie-Unteralgebra von g ist.
7) In der Vorlesung haben wir etwas über Felix Klein’s “Erlanger Programm” zugehört. Wer daran interessiert ist und Lust hat, kann auf die Seite http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/
D59279.html (ab S.460) angucken.
8∗∗ ) Eine andere Definition des Tangentialraums.
Sei p ∈ O offen in Rn , und Cp∞ (O) = {(f, U ) | f : Up −→ R differenzierbar, U offen ⊆ O}. Man definiere
eine Äquivalenzrelation durch
(f, U ) v (g, V ) ⇐⇒ ∃ W offen ⊆ U ∩ V : f = g .
W
W
Also sei
Gp := Cp∞ (O)/ v
der Raum der Keime der differenzierbaren Abbildungen in p. Dann ist Gp eine Cp∞ (O)-Algebra.
1. Schritt: Lemma: Die Algebra G0 ist ein lokaler Ring† . (zur Definition sieh die Bemerkungen)
Beweis:
Die Teilmenge M := {f ∈ G0 : f (0) = 0} ist ein maximales Ideal. Gäbe es nämlich ein maximales
Ideal I ⊃ M, dann könnte man 0 6= h ∈ I\M betrachten. Wegen h(0) 6= 0 wäre dann 1/h ∈ G0
invertibel, d.h. I = G0 gälte.
2. Schritt: Das Lemma impliziert, dass G0 /M ∼
= R durch die Abbildung f 7→ f (0) gilt.
Durch die Taylor-Entwicklung schreibe man
X
fx =
a i xi + M 2
wobei M2 := {f g | f, g ∈ M} ⊆ M. Deswegen ist M/M2 der durch die xi erzeugte R-Vektorraum.
3. Schritt: Nun betrachte man die Abbildung
−→
(T0 Rn )∗
7→ {ξ 7→ ξ(f )}
M/M2
f
und beweise, dass es sich um einen Isomorphismus handelt.
Damit kann man der Tangentialraum auch verstehen als
T0 R n ∼
= (M/M2 )∗ .
† Bemerkungen
Ein lokaler Ring ist ein Ring R, der ein einziges maximales Ideal M besitzt.
In diesem Fall ist die Teilmenge R\M genau der Ring der Einheiten, weil in jedem Ring ein beliebiges
nichtinvertierbares Element notwendig in mindestens einem maximalen Ideal enthalten sein muss.
Quelle: Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G.: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley,
1969
(Reprint 2000: ISBN 0-201-40751-5, 0-201-00361-9).
Herzlicher Dank geht an I. Agricola und Th. Friedrich für die Hilfe mit der Übersetzung.
Nachfragen: Rudower Chaussee 25, I.409 – [email protected]
SGC
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