Ferienkurs Elektrodynamik WS 11/12 - TUM

Ferienkurs Elektrodynamik WS 11/12
Tutoren:
Isabell Groß, Markus Krottenmüller, Martin Ibrügger
19.03.2012
Inhaltsverzeichnis
1 Magnetostatik
1.1 Das Vektorpotential .
1.2 Biot-Savart-Gesetz . .
1.3 Ampèresches Gesetz .
1.4 Magnetisches Moment
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2
2
3
3
3
1 Magnetostatik
In der Magnetostatik betrachtet man den Fall, dass ρ̇ = 0 und damit nach der Kontinuitätsgleichung auch ∇ · j = 0 (“Es entsteht kein neuer Strom”). Außerdem ist das
magnetische Feld zeitunabhängig. Dadurch folgen aus den Maxwell-Gleichungen die Gleichungen der Magnetostatik.
4π
j(r)
c
∇ · B(r)= 0
∇ × B(r)=
1.1 Das Vektorpotential
Das magnetische Feld lässt sich als Rotation eines zweiten Vektorfeldes, dem Vektorpotential A, darstellen, dadurch bleibt die Divergenzfreiheit immer gewährleistet:
B(r)= ∇ × A(r)
∇ · B= ∇ · (∇ × A) = 0
Aus der zweiten Gleichung der Magnetostatik folgt mit der Identität für zweifache Rotation:
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∆A =
4π
j
c
Das Vektorpotential A ist nur bis auf den Gradienten einer skalaren Funktion bestimmt,
da die Rotation eines Gradienten immer verschwindet und daher das magnetische Feld
B unverändert bleibt. Einen solchen Vorgang nennt man Eichtransformation.
A → A + ∇Ψ
Die Divergenz des Vektorpotentials wird somit zu:
∇ · A → ∇ · A + ∆Ψ
Eine mögliche Eichung ist nun ∆Ψ so zu wählen, dass gilt ∇ · A = 0. Dies nennt man
Coulomb-Eichung. Damit ergibt sich:
∆A(r) = −
4π
j(r)
c
Hierbei handelt es sich um drei Poisson-Gleichungen, für jede Vektorkomponente eine,
welche wir inzwischen mithilfe der Greenschen Funktion lösen können. Für lokalisierte
Ströme lautet die Lösung:
Z
1
j(r0 )
A(r) =
d3 r0
c
|r − r0 |
2
1.2 Biot-Savart-Gesetz
Berechnet man das Magnetfeld aus dem Vektorpotential erhält man das Biot-Savartsche
Gesetz:
Z
r − r0
1
0
3 0
B(r) = ∇ × A(r) =
d r j(r ) ×
c
|r − r0 |3
Für einen dünnen Leiter gilt:
Z
3 0
Z
0
d r j(r ) = I
dl
so dass sich das Biot-Savart-Gesetz folgendermaßen vereinfacht:
Z
I
dl × (r − r0 )
B(r) =
c
|r − r0 |3
1.3 Ampèresches Gesetz
Direkte Integration der Maxwell-Gleichung der Magnetostatik liefert:
Z
Z
4π
da · j
da · ∇ × B =
c
F
Mit dem Stokesschen Satz erhält man:
I
ds · B =
∂F
4πI
c
mit dem durch die gewählte Fläche strömenden Strom I. Entsprechende Symmetrie
vorausgesetzt kann man den Integrationspfad so wählen, dass B einen konstanten Betrag
auf ihm hat und man diesen so aus dem Integral herausziehen kann. Das Ampèresche
Gesetz ist das Gegenstück zum Gaußschen Satz in der Elektrostatik, mit beiden kann
man in Anordnungen hoher Symmetrie sehr leicht das entsprechende Feld berechnen.
1.4 Magnetisches Moment
R
j(r0 )
Das Vektorpotential A(r) = 1c d3 r0 |r−r
0 | lässt sich analog zur Entwicklung des Poten0
1
tials in der Elektrostatik gemäß |r−r0 | = 1r + r·r
+ ... entwickeln. Es ergibt sich so unter
r3
Vernachlässigung des Quadrupolterms und höheren Ordnungen:
A(r) =
m×r
r3
mit dem magnetischen Dipolmoment m
Z
1
m=
d3 r0 r0 × j(r0 )
2c
3
Es lässt sich zeigen, dass der Dipolterm die niedrigste Ordnung in dieser Entwicklung
ist, da der Monopolterm verschwindet.
Für das magnetische Feld gilt:
B(r) = ∇ × A(r) =
3r(m · r) − r2 m
r5
Das magnetische Moment einer ebenen Leiterschleife beträgt:
I
I
I
m=
r × dl = F
2c
c
da für einen dünnen Leiter j(r)d3 r = Idl gilt und außerdem |r × dl| = 2df die von der
Leiterschleife eingeschlossene Fläche ist.
Für Punktladungen lässt sich das Dipolmoment mit j(r0 ) = qvδ 3 (r0 − r) durch den
Drehimpuls L = M r × v ausdrücken:
Z
q
q
m=
d3 r r0 × v δ 3 (r0 − r) =
L
2c
2M c
Die Energie eines magnetischen Dipols in einem externen Magnetfeld lässt sich analog
zur Elektorstatik berechnen:
W = −m · B
4
Ferienkurs
Theoretische Physik 3:
Elektrodynamik
Elektrische und Magentische Felder in
polarisierbarer Materie
Autor:
Stand:
Isabell Groß
18. März 2012
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung und Grundbegriffe
3
2 Dipolpolarisation und Dielektrische Verschiebung
4
3 Elektrische Suszeptibilität
5
4 Randbedingungen an Grenzflächen
6
5 Energie im polarisierbaren Medium
7
6 Magnetostatik im makroskopisch polarisierbaren Medium
8
2
1
EINFÜHRUNG UND GRUNDBEGRIFFE
1 Einführung und Grundbegriffe
Sobald wir eventuell vorhandene Quellen spezifiziert haben liefern die Maxwellgleichun~ und B
~ in jedem Raumpunkt.
gen im Vakuum E
Ist jedoch Materie vorhanden, existieren eine große Anzahl von Quellen (geladene Teilchen in Hülle und Kern von Atomen) und somit ist das detaillierte Verhalten der Feldern
schwer zu bestimmen, dieses ist allerdings nicht von Bedeutung. Wir betrachten immer
den Mittelwert der Felder über ein Volumen, das im Vergleich zu den einzelnen Atomen
groß ist. Solche gemittelten Größen heißen makroskopische Felder. Die makroskopischen
(zeitabhängigen) Maxwellgleichungen haben folgende Gestalt:
~ ·D
~ = 4πρ
∇
~
~ ×H
~ − 1 ∂ D = 4π ~j
∇
c ∂t
c
~
∂
B
1
~ ×E
~+
=0
∇
c ∂t
~ ·B
~ =0
∇
(1.1)
Die neuen Feldgrößen bei Anwesenheit von Materie sind die dielektrische Verschiebung
~ und das magnetische Feld H.
~ Für diese beiden Größen gilt:
D
~ =E
~ + 4π P~
D
(1.2)
~ =B
~ + 4π M
~
H
(1.3)
~ sind dabei gemittelte elektrische/magnetische Dipoldichten des Materiesystems
P~ und M
bei Anwesenheit äußerer Felder.
~ und B
~ durch
Die vier homogenen Maxwellgleichungen können gelöst werden, indem E
Φ und A ausgedrückt werden. Die inhomogene Lösung lässt sich nur dann finden, wenn
~ und H
~ als Funktionen von E
~ und B
~ bekannt sind.
D
~ = D[
~ E,
~ B]
~ und H
~ = H[
~ E,
~ B]
~ nennt man Materialgleichungen oder
Die Funktionen D
Verknüpfungsgleichungen. Für leitende Medien kommt zusätzlich noch das Ohmsche
~ E,~B]
~ hinzu.
Gesetz I~ = I[
In den meisten Materialien werden Quadropolmomente und höhere Ordnungen vernach~ von
lässigt, so dass nur die elektrische Polarisation P~ und die Magnetisierung M
Bedeutung sind.
3
2
DIPOLPOLARISATION UND DIELEKTRISCHE VERSCHIEBUNG
2 Dipolpolarisation und Dielektrische Verschiebung
Wird an ein Medium aus Atomen/Molekülen ein Elektrisches Feld angelegt, so reagieren die gebundenen Ladungen in jedem Atom/Molekül: Die Molekulare Ladungsdichte
erfährt eine Verzerrung.
Die Multipolmomente eines jeden Moleküls haben dann andere Werte, als bei Abwesenheit des Feldes (hier sind die Multipolmomente, zumindest bei Mittlung über eine
Vielzahl von Molekülen, gleich Null).
Der dominierende molekulare Multipol bei angelegtem Feld ist der Dipol. Es kommt
daher im Medium zu einer elektrischen Polarisation P~ .
~ =0
E
+
~
E
-
-
+
+
-
-
+
+
+
Abbildung 2.1: Schematische Darstellung der Polarisation von Atomen in einem äußeren
Elektrischen Feld
Die Polarisation bezeichnet das Vektorfeld, das aus einem permanenten oder induzierten Dipolmoment in einem dielektrischen Material resultiert.
P olarisation =
P~ (~r) =
Dipolmomnte [C]
V olumeneinheit [m2 ]
(2.1)
X
(2.2)
ni < pi >
i
< pi >= Mittelung (um kleines Volumen um x) des Dipolmoments der i-ten
Molekülart
ni = mittlere Anzahl der Moleküle des i-ten Typs (pro Volumen um x)
Wir wollen nun zunächst untersuchen, wie sich das Potential durch ein Medium verändert.
4
3
ELEKTRISCHE SUSZEPTIBILITÄT
Das Potential welches von einem Teilvolumen ∆V an der Stelle ~r0 mit Dipoldichte P~ (r~0 )
ausgeht, hat folgende Gestalt (siehe Multipolentwicklung):
Z "
ρ(r~0 )
~r − r~0
+ P~ (r~0 )
d3 r
|~r − r~0 |
|~r − r~0 |3
Z "
ρ(r~0 )
~ 0 1 d3 r
+ P~ (r~0 ) · ∇
|~r − r~0 |
|~r − r~0 |
Φ(~r) =
=
#
(2.3)
#
Durch Partielle Integration erhält man:
Z
Φ(~r) =
~ ~0 P~ (r~0 )
(ρ(r~0 )) − ∇
r
d3 r0
0
~
r−r
~
Durch Vergleich mit der allgemeinen Potential im Vakuum Φ(~r) =
(2.4)
R (ρ(r~0 )) 3 0
~0 d r sieht man
|~r−r |
~ · P~
den Unterschied in der Ladungsverteilung: ρvak → ρ − ∇
~ 2 auf dieses Potential an, so erhält man:
Wendet man ∇
~
(Erinnerung ∇2 1 ~0 = −4πδ(~r − r~0 )):
|~
r−r |
~ 2 Φ(~r) = −4π(ρ(~r) − ∇
~ P~ (~r))
∇
(2.5)
~ · P~ . Die Divergenz von P~
mit der induzierten (Polarisations-) Ladungsdichte ρpol = ∇
in der effektive Ladungsdichte führt zur zu, oder Abnahme der Ladung innerhalb eines
kleinen Volumens. Durch umschreiben zu:
~ E
~ + 4π P~ (~r)) = 4πρ(~r)
∇(
(2.6)
Kann man die Dielektirsche Verschiebung definieren:
~ =E
~ + 4π P~
D
(2.7)
es gilt:
~ · D(~
~ r) = 4πρ(~r)
∇
~ ×E
~ =0
∇
(2.8)
3 Elektrische Suszeptibilität
Die Polarisation P~ beschreibt die Rückwirkung des polarisierbaren Mediums auf das
~ Wir nehmen hier an, dass das betrachtete System auf das äußere Feld linear
Feld E.
reagiert. (Ferroelektrizität und später Ferromagnete scheiden somit aus der Diskussion
5
4
RANDBEDINGUNGEN AN GRENZFLÄCHEN
aus). Außerdem nehmen wir an, dass das Medium isotrop sei. Die induzierte Polarisation
~ und der Proportionalitätsfaktor unabhängig von E.
~
ist dann parallel zu E
Für ein isotropes Medium gilt also:
~
P~ = χe E
(3.1)
~ =E
~ + 4π P~ = (1 + 4πχe )E
~ lässt die Verknüpfungsgleichungen schreiben als:
mit D
~ = E
~
D
= 1 + 4πχe
mit
(3.2)
~ ist
Dabei bezeichnet χe die elektrische Suszeptibilität. Die dielektrische Verschiebung D
~
proportional zu E. wird als Dielektrizitätskonstante bezeichnet.
~ · D(~
~ r) = 4πρ(~r) kann man jetzt auch ∇
~ ·E
~ = 4π ρ schreiben.
Statt ∇
Man erkennt, dass für > 1 das von einer Ladung erzeugte Elektrische Feld um 1
reduziert wird. Diese Reduzierung lässt sich auf die Polarisation der Atome zurückführen;
denn durch sie werden zusätzliche Felder erzeugt, die dem Feld der gegebenen Ladung
entgegen gerichtet sind.
4 Randbedingungen an Grenzflächen
Wir betrachten nun aneinander grenzende isotrope Medien mit verschiedenen und
~ und E
~ an den Grenzflächen?
fragen uns: welche Randbedingungen genügen D
~
D
~
E
~
H
Normal
− Dn2 = σ4π
1
1 En − 2 En2 = σ
Hn1 µ1 = Hn2 µ2
~
B
Bn1 = Bn2
Dn1
Tangential
= Dt2 1
Et1 = Et2
Ht1 = Ht2
Dt1 2
Bt1
µ1
−
Bt2
µ2
=λ
Dabei ist σ die Flächenladungsdichte und λ die Flächenstromdichte, diese können bei
Abwesenheit natürlich 0 gesetzt werden.
Wir wollen nun zwei dieser Zusammenhänge beweisen. Zunächst die Bedingung für die
~ V ist dabei das Volumen, dass die
Normalen-Komponente des Verschiebungsvektors D.
Grenzfläche einschließt, F = ∂V deren Oberfläche mit Normalenvektor ~n. Wir integrieren
6
5
ENERGIE IM POLARISIERBAREN MEDIUM
~ · D.
~
zunächst ∇
Z
~ ·D
~ d3 r Gauß
∇
=
I
V
~
df~ · D
df~ = ~
ndf
=
F =∂V
~ ·D
~ = 4πρ
∇
=
I
~ · ~n df~
D
∂V
Z
(4.1)
3
ρ(~r) d r = 4πQ
4π
V
Q sind dabei die freien Ladungsträger im Volumen V. Wenn wir die Höhe des Volumens
nun infinitesimal klein werden lassen, geht das Integral über zu:
I
~ · ~n df = (D
~1 −D
~ 2 ) · ~n∆F = 4π∆Q
D
(4.2)
∂V
Mit der Oberflächenladungsdichte σ = δQ/∆F folgt die Bedingung für die Normal~
Komponente des Verschiebungsvektors D:
~1 −D
~ 2 ) · ~n = 4πσ
(D
(4.3)
Die Normalkomponente des D-Feldes macht also einen Sprung der Größe 4πσ.
Nun beweisen wir noch die Relation für die Tangential-Komponente des E-Feldes. Es
wird eine geschlossene Kurve um die Grenzfläche betrachtet.
1
4
2
3
Z
~ ×E
~ =0
∇
~ ×E
~ df
∇
I
=
~ =0
d~s · E
(4.4)
∂F
F
lässt man nun Strecke 2 und 4 gegen null gehen ergibt sich:
I
Et ds −
1
I
3
Et ds = 0 → Et1 = Et3
(4.5)
Die Tangential-Komponente des E-Feldes geht also stetig durch die Oberfläche.
5 Energie im polarisierbaren Medium
Im Vakuum gilt:
2
1
1
~
W =
ρ(~r)Φ(~r) d3 r =
r ) d 3 r
E(~
2
8π
Setzt man nun die Relation 3.2 für dielektrischen Medien ein erhält man:
Z
W =
1
8π
Z
~ · D)Φ
~ d3 r = −
(∇
Z
1
8π
Z
7
1
~ ∇Φ)
~
D(
d3 r =
8π
Z
~ ·E
~ d3 r
D
(5.1)
(5.2)
6
MAGNETOSTATIK IM MAKROSKOPISCH POLARISIERBAREN MEDIUM
~ = E
~ gilt:
Für ein homogenes isotropes Medium mit D
W =
8π
Z ~ 2 3
E d x
=
1
8π
Z ~ 2 3
D d x
(5.3)
6 Magnetostatik im makroskopisch polarisierbaren
Medium
~ ist ein Maß für die Stärke eines magnetischen
Das magnetische Dipolmoment M
Dipols und ist analog zum elektrischen Dipolmoment definiert.
~ (~r) =
M
X
ni < mi >
(6.1)
i
Das Vektorpotential:
~ r) = 1
A(~
c
Z
~j(r~0 )
+
r − r~0 ~
~ (~r) × (~r − r~0 )
cM
3
r − r~0 ~
d3 r0
(6.2)
Daraus ergibt sich der Magnetisierungsstrom zu:
~0 × M
~ (r~0 )
~jM (r~0 ) = c∇
und damit:
~ r) = 1
A(~
c
Z ~ ~0
j(r ) + ~jM (r~0 ) 3 0
d r
r − r~0 ~
(6.3)
(6.4)
Die Feldgleichung im Medium:
Die Grundlegenden Differentialgleichungen der Magnetostatik sind:
~ ×B
~ = 4π ~j
∇
c
~ ·B
~ =0
∇
(6.5)
~0 × M
~ (r~0 ) ergibt sich für das Feld:
~jM (r~0 ) = c∇
~ =B
~ − 4π M
~
H
(6.6)
~ = B[H].
~
Zur vollständigen Beschreibung suchen wir noch die Verknüpfungsgleichung B
8
6
MAGNETOSTATIK IM MAKROSKOPISCH POLARISIERBAREN MEDIUM
Die Magnetische Suszeptiblität χM (für isotropes Medium) ist definiert als:
~
~ = χM H
M
(6.7)
Die Verknüpfungsgleichung lautet mit der magnetische Permeabilität µ:
~ = µH
~
B
µ = 1 + 4πχM
mit
9
(6.8)