Diplomarbeit - Friedrich-Schiller

Faseroptische Frequenzverschiebung, Streckung und
optisch-parametrische Verstärkung von
fs-Laserimpulsen
Diplomarbeit
ausgeführt am
Institut für Optik und Quantenelektronik
der Friedrich-Schiller Universität Jena
eingereicht an der Fachhochschule Jena
Fachbereich SciTec
eingereicht von:
Matrikelnummer:
geboren am:
Stefan Bock
297586
16.Mai 1979 in Jena
eingereicht am:
17. Mai 2006
1.Gutachter und Hochschulbetreuer: Prof.Harald Bergner
2.Gutachter und Mentor:
Dr.Joachim Hein
1
Kurzfassung
Kurz nach der Entwicklung der ersten Laser wurden auch die ersten Experimente
der nichtlinearen Optik durchgeführt. Die gegenüber herkömmlichen Strahlungsquellen
deutlich höhere spektrale Leistungsdichte der Laser ermöglichte derartige Experimente. Die optische Frequenzmischung ist erstmals 1965 durch Wang und Racette ([26])
realisiert worden. Zuvor allerdings wurde die zugrundeliegende Theorie von Armstrong
und Bloembergen ([2]) ausgearbeitet.
Zu den wichtigsten Anwendungen der Frequenzmischung zählen die Erzeugung der
zweiten Harmonischen (SHG), Summenfrequenzbildung, sowie die optisch parametrische Verstärkung. Letztere ist für die moderne Hochleistungslaserphysik von entscheidender Bedeutung, da sie die Möglichkeit eröffnet, optische Impulse hoher Bandbreite
um mehrere Größenordnungen zu verstärken.
In der vorliegenden Arbeit werden die wesentlichen Komponenten eines zukünftigen
Systems untersucht, welches Impulse hoher Bandbreite bei 1030 nm auf Basis eines optisch parametrischen Verstärkers im mJ-Bereich erzeugen und verstärken kann.
Aufgrund der Zerstörschwelle der verwendendeten Materialien, ist die zeitliche Streckung
der Impulse notwendig, um diese auf mJ-Niveau zu verstärken. Kapitel 1 beschreibt
diesen Vorgang unter Verwendung einer Lichtleitfaser für fs-Laserimpulse.
Zur Erzeugung und Verstärkung von Licht in einem parametrischen Verstärker ist eine
geeignete Pumpquelle notwendig, um die für die parametrische Verstärkung benötigte
Energie bereit zu stellen. Mit dieser Problematik und ihrer experimentellen Umsetzung
beschäftigt sich Kapitel 2.
Die parametrische Verstärkung, ihre nichtlinearen optischen Grundlagen, die Berechnung geeigneter Kristalle und die Anwendung dieser ist Inhalt des Kapitels 3.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
8
1 Zeitliches Strecken ultrakurzer Impulse in Fasern
12
1.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2
Grundlagen des Streckens ultrakurzer Impulse . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.1
Effekt der Materialdispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.2
Einfluss der Selbstphasenmodulation . . . . . . . . . . . . . . .
14
Anwendung einer Singlemodefaser als dispersives Element . . . . . . . .
16
1.3.1
Eigenschaften der Faser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.2
Eigenschaften des zu streckenden Impulses . . . . . . . . . . . .
17
1.3.3
Einsatz als Strecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3
1.4
2 Stimulierte Raman Streuung und Erzeugung der Pumpstrahlung für
den optisch parametrischen Prozess
24
2.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2
Theoretische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2.1
Qualitative Betrachtung der stimulierten Ramanstreuung . . . .
25
2.2.2
Frequenzverdopplung der Pumpimpulse nach der Verstärkung .
28
2.3
Experimentelle Resultate der Frequenzverschiebung, Verstärkung und
Frequenzverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3.1
Frequenzverschiebung durch stimulierte Ramanstreuung
. . . .
30
2.3.2
Verstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3.3
Frequenzverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3
2.4
Ergebnisse der Versuche zur Erzeugung von Pumpimpulse für die parametrische Verstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Optisch Parametrische Verstärkung
3.1
Das Prinzip der parametrischen Verstärkung . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Entwicklung eines Modells zur Berechnung des optisch parametrischen
Prozesses in uniaxialen doppelbrechenden Kristallen . . . . . . . . . . .
3.2.1
3.2.2
3.3
38
40
nung des optisch parametrischen Prozesses . . . . . . . . . . . .
40
Phasenanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Anwendung des Modells zur Berechnung von Kristallen für einen optisch
parametrischen Verstärker unter Verwendung von BBO-Kristalle . . . .
46
3.3.1
Eigenschaften von BBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.3.2
Berechnungen der Phasenanpassungswinkel und der Kristallängen
47
Experimentelle Realisierung der parametrischen Verstärkung und der
Erzeugung des Winkelspektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1
3.4.2
3.5
38
Entwicklung der gekoppelten Differentialgleichungen zur Berech-
zur parametrischen Verstärkung in BBO . . . . . . . . . . . . .
3.4
36
50
Demonstration der parametrischen Verstärkung mit den vorhandenen Kristallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Erzeugung des Winkelspektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Resultate der Überlegungen und der Experimente zur optisch parametrischen Verstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Zusammenfassung
57
Anhang
59
A Optisch Parametrische Verstärkung, Entwicklung des Modells
60
A.1 Theorie der optisch parametrischen Verstärkung . . . . . . . . . . . . .
60
A.1.1 Maxwellsche Gleichungen und Wellengleichung . . . . . . . . . .
60
A.1.2 Wichtige Glieder der Polarisation für Optisch Parametrische Verstärkung 61
A.1.3 Differentialgleichungen zur Beschreibung der Optisch Parametrischen Verstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
63
A.2 k-Vektoren und die Polarisation der E-Vektoren; Typen der Phasenanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
A.3 Entwicklung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
A.3.1 gekoppelte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
A.3.2 Phasenanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
A.3.3 Berechnung der effektiven Nichtlinearität . . . . . . . . . . . . .
73
B Bandbreiten Vergrösserung durch Selbstphasenmodulation
74
C Verwendete Berechnungsalgorithmen
76
C.1 Phasenanpassung mit fünf Stützstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
C.2 Berechnung der parametrischen Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . .
78
Eigenständigkeitserklärung
79
Danksagung
83
5
Abbildungsverzeichnis
1
Charakteristika des verwendeten Titan-Saphir-Oszillators . . . . . . . .
10
2
Schematische Darstellung des System-Konzepts . . . . . . . . . . . . .
11
1.1
Dispersive Eigenschaften der Singlemodefaser . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2
Eingangsspektrum des zu streckenden Impulses . . . . . . . . . . . . .
17
1.3
Aufbau zum Strecken ultrakurzer Impulse . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4
Experimentelle Bestimmung der Faserlänge . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.5
Gemessene Selbstphasenmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.6
Verfahren zur Bestimmung der Impulslänge
. . . . . . . . . . . . . . .
22
1.7
Strahlprofil am Ausgang des Streckers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1
Prinzip der Ramanstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2
Konversionseffizienz bei der Erzeugung der zweiten Harmonischen . . .
29
2.3
Schematischer Darstellung des Aufbaus zur Frequenzverschiebung . . .
30
2.4
Mikroskopaufnahmen der photonischen Faser PM700 . . . . . . . . . .
31
2.5
Wellenlängenverschiebung in Abhängigkeit der Eingangsparameter . . .
32
2.6
Spektrum der Frequenzverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.7
abc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.8
Überprüfung der Konversionseffizienz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.9
Fotografie der zweiten Harmonischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.1
Grundprinzip des parametrischen Prozesses . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2
Lage der Wellenzahlvektoren zueinander bei der parametrischen Verstärkung 40
3.3
Zur Verdeutlichung der Winkelbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.4
Lage der k-Vektoren für die Idlergeneration . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6
3.5
Darstellung der prinzipiellen Entwicklung von Pumpe, Signal und Idler
48
3.6
Berechnung der Kristallänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.7
Abschätzung der Verstärkung mit einem Nd:YAG-Laser . . . . . . . . .
50
3.8
Testaufbau zur Demonstration der prinzipiellen Funktionalität der parametrischen Verstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9
51
Abschätzung der Effizienz der parametrischen Verstärkung im Testexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.10 Ergebnis der Demonstration der parametrischen Verstärkung . . . . . .
53
3.11 Demonstrationsaufbau zur Erzeugung der spektralen Winkelverteilung .
54
3.12 Experimentelle Messung der spektralen Winkelverteilung . . . . . . . .
54
A.1 Indexellipsoid des positiv uniaxialen Kristalls . . . . . . . . . . . . . . .
65
A.2 Indexellipsoid des negativ uniaxialen Kristalls . . . . . . . . . . . . . .
67
A.3 Nichtkolineare Phasenanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
A.4 Indexellipsoid des außerordentlichen Brechungsindex . . . . . . . . . . .
69
B.1 Vorhersage der Selbstphasenmodulation und experimentelle Ergebnisse
75
7
Einleitung
Für Hochleistungslasersysteme, wie zum Beispiel das POLARIS-System ([13],[19]) am
Institut für Optik und Quantenelektronik der FSU Jena, ist es notwendig ultrakurze
Laserimpulse im fs-Bereich zu verstärken. Hierzu braucht man einen Oszillator, welcher in der Lage ist, ultrakurze Impulse mit hoher Wiederholrate (Impulszug) und
großer spektraler Breite zu liefern. Aus dem Impulszug werden einzelne Impulse unter Verwendung einer Pockelszelle selektiert. Diese einzelnen Impulse werden zeitlich
gestreckt, in mehreren Stufen verstärkt, und anschliessend wieder komprimiert. Die
zeitliche Streckung ist aufgrund des Verhaltens der Zerstörschwellen der verwendeten
optischen Materialien notwendig; bei größeren Impulslängen können größere Energiebeträge transmittiert werden, ohne Zerstörung hervorzurufen. Die zeitliche Streckung
ultrakurzer Laserimpulse beruht auf der Modulation der spektralen Phase der Impulse. Man spricht hierbei auch von einem sogennanten Chirp. Auf diesem Prinzip der
Verstärkung gechirpter Impulse (chirped pulse amplification .. cpa) basieren die meisten moderne Hochleistungslaser mit fs-Impulslängen.
Die Einzelimpulsenergien der Impulse aus dem Oszillator liegt meist im nJ-Bereich.
Um die Impulsenergien auf mJ-Niveau zu erhöhen werden die Impulse meist in regenerativ verstärkt. Hierbei können Effekte auftreten, welche die Bandbreite verringern
und die Zentralwellenlänge verschieben, beispielsweise Verstärkungseinschnürung (gain
narrowing) und asymmetrisches Verstärkungsprofil des aktiven Mediums.
Um diese Effekte zu umgehen, und eine größere Bandbreite zu erreichen, muss ein alternatives Oszillator-Vorverstärker-System konzipiert werden. Auf Basis der optisch
parametrischen Verstärkung gechirpter Impulse (optical parametrical chirped pulse
amplification ... opcpa) ist dies gut möglich. Vorteilhaft hierbei sind hohe erreichbare
8
Verstärkungen bei Erhalt der spektralen Charakteristika.
Als Oszillatoren im nahen Infrarotbereich haben sich Titan-Saphir-Lasersysteme durchgesetzt. Ihr Maximum der Emission liegt bei 800 nm. Bei dieser Zentralwellenlänge
werden auch die größten Bandbreiten erreicht, bzw. werden damit auch die kürzesten
Impulse von weniger als 10 fs erzielt.
Diodengepumpte Lasersysteme, wie der POLARIS-Laser, arbeiten im Wellenlängenbereich zwischen 1030 nm und 1060 nm. Oszillatoren auf Basis von Titan-Saphir können
zwar ebenfalls in diesen Bereichen arbeiten, haben allerdings hier nicht die hohen erreichbaren Bandbreiten, bzw. die geringen erreichbaren Impulslängen.
Eine sinnvolle neue Methode die Parameter hohe Bandbreite und Zentralwellenlänge
bei 1030 nm zu erreichen, ist eine abgewandelte Form der parametrischen Verstärkung.
Bei der parametrischen Verstärkung tritt neben der Pumpwelle und der Signalwelle
immer zusätzlich noch eine sogenannte Idlerwelle auf. Dies resultiert aus der Impulsund Energieerhaltung. Die Idlerwelle wird bei der herkömmlichen Anwendung nicht
weiter verwendet. Bei der hier angedachten Anwendung dient das eigentliche Signal
lediglich dazu, einen spektral-kollinearen Idler zu generieren. Unter Verwendung eines
Titan-Saphir-Oszillators als Signalquelle bei 800 nm, und der Zielgabe die Idlerwelle
bei 1030 nm zu generieren, muss die Pumpwelle der Energieerhaltung entsprechend bei
450 nm liegen. Auf die genauen Zusammehänge zwischen Signalwelle, Pumpwelle und
aus dem parametrischen Prozess resultierende Idlerwelle geht Kapitel 3 ein.
Das Design für parametrische Verstärker in der herkömmlichen Anwendung ist derart
gestaltet, daß Signalquelle (Oszillator) und Pumpquelle getrennte Lasersysteme sind.
Die zeitliche Ansteuerung und Verknüpfung beider optisch zunächst getrennten Systeme ist statistischen Variationen unterworfen. Um dies zu Umgehen wird ein einziger
Titan-Saphir-Oszillator für das gesamte System verwendet.
Um die Pumpstrahlung bei 450 nm zu erreichen wird das Licht bei 800 nm durch stimulierte Ramanstreuung auf 900 nm verschoben. Dieses Licht wird in einem regenerativer
Cr:LiSAF-Verstärker auf mJ-Niveau verstärkt, und frequenzverdoppelt.
Um die parametrische Verstärkung effizient zu gestalten, müssen die Impulslängen der
Pumpwelle und der Signalwelle im ps- bis ns- Zeitbereich liegen. Dies liegt darin begründet, daß die Zerstörschwellen der beteiligten Materialien im fs-Bereich deutlich
9
(a) Interferometrische
pulslänge
mittels
Messung
der
Autokorrelation.
Im-
(b) Typisches Spektrum der fs-Impulse, gemes-
Die
sen direkt am Oszillatorausgang
FWHM-Impulslänge muss, unter Annahme
√
eines zeitlichen Gaußprofils, durch
2
geteilt werden, um die tatsächliche Impulslänge zu erhalten. Sie liegt hier bei
30 fs
Abbildung 1: Charakteristika des verwendeten Titan-Saphir-Oszillators
geringer sind, als in längeren Zeitbereichen. Die hier gewählte Impulslänge soll, als
Kompromiss zwischen erreichbarer Impulsenergie und benötigter intensitätsabhängiger
Wechselwirkungslänge in den parametrischen Verstärker-Kristallen, bei 200 ps liegen.
Zum Strecken der Signalimpulse wird die Dispersion einer Singlemodefaser genutzt.
Auf dieses Themengebiet wird in Kapitel 1 eingegangen. Die Pumpimpulse werden
im Verstärker durch Dispersion und spektrale Einschnürung auf über 200 ps Länge
gestreckt. Der verwendete regenerative Cr:LiSAF-Verstärker wurde parallel zu dieser
Arbeit als wesentlicher Teil durch C. Diedrich aufgebaut und charakterisiert ([8]).
Zur Erzeugung des Idlerwelle wird die Signalwelle nach der zeitlichen Streckung unter
verschiedenen, spektral unterschiedlichen Winkeln in den parametrischen Verstärker
eingestrahlt. Infolge der Phasenanpassungsbedingungen wird so die spektral-kollineare
Idlerwelle generiert.
Ein solches System (Abbildung 2) ist in der Lage Impulse mit hoher Bandbreite zur
weiteren Verstärkung bereitzustellen. Die Machbarkeit des Systems mit dem Schwer-
10
Frequenzverdopplung
Filter
TFP
FR
Frequenzverschiebung
l/2
l/4
Faser PM700
3m
M
Cr:LiSAF
PC
M
parametrischer
Verstärker
TFP
Oszillator
Verzögerungsstrecke
Klappspiegel
l/2
TFP
zeitliches
Strecken
Polarisationsteiler
Erzeugung des
Signal-Winkelspektrums
Abbildung 2: Schematische Darstellung des System-Konzepts: Die Impulse, welche der Oszillator
als Impulszug emittiert, werden über einen einstellbaren Polarisationsteiler geteilt.
Ein Teil der Impulse wird zeitlich gestreckt und anschliessend über eine geeignete
Einrichtung (Gitter) als winkelabhängiges Spektrum in den Kristall eingestrahlt. Der
andere Teil der Impulse wird frequenzverschoben, in einem regenerativen Verstärker
(blau unterlegt) verstärkt und anschliessend frequenzverdoppelt. Danach werden die
Impulse mit 450 nm Wellenlänge in den parametrischen Verstärker eingestrahlt. Die
zeitliche Überlappung von Pumpe und Signal wird durch die Verzögerungsschiene
gewährleistet. Der so generierte Idler hat die wesentliche Eigenschaft der spektralen
Kollinearität.
punkt auf Berechnung der zeitlicher Streckung, der Frequenzverschiebung und der parametrischen Verstärkung, die experimentelle Umsetzung, sowie die Überprüfung der
Übereinstimmung der Experimente mit der Theorie sollen in der vorliegenden Arbeit
untersucht werden.
11
Kapitel 1
Zeitliches Strecken ultrakurzer
Impulse in Fasern
1.1
Einleitung
Um das Signal für den optisch parametrischen Prozess effektiv zu verstärken, muss es
zeitlich gestreckt werden.
Zum Strecken und Komprimieren ultrakurzer Impulse wird deren spektrale Breite, die
definierte Phasenbeziehung zwischen den spektralen Komponenten und die unterschiedliche Laufzeit der einzelnen spektralen Komponenten beim Durchgang durch dispersive
Elemente ausgenutzt. Bei Fasern kann man hierfür die chromatischen Dispersion nutzen. Die chromatische Dispersion umfasst die Effekte der Materialdispersion und die
Wellenleiterdispersion.
Grundlegend gilt für alle Laserimpulse das Impulsdauer-Bandbreiten-Produkt
∆νFWHM · ∆τFWHM ≥
1
.
2π
Insbesondere für ultrakurze Impulse kommt dies zum Tragen.
Dies liegt darin begründet, dass man einen Impuls mit einem zeitlichen und räumlichen
Gauß-Profil durch eine Fourierzerlegung in eine Reihe aus harmonischen Schwingungen
mit verschiedenen Frequenzen entwickeln kann. Diese einzelnen Frequenzen (Farben)
erfahren unterschiedliche Brechungsindizes und dadurch unterschiedliche Gruppengeschwindigkeiten im Medium (Dispersion), wodurch der Impuls bei der Propagation
zeitlich gestreckt wird.
12
1.2
1.2.1
Grundlagen des Streckens ultrakurzer Impulse
Effekt der Materialdispersion
In einem linearen dispersiven Medium wird die Lichtausbreitung durch die lineare
partielle Differentialgleichung [1]
i
1 ∂2U
∂U
= β2 2
∂z
2 ∂t
(1.1)
beschrieben. U (z, t) bezeichnet hierbei die normierte Amplitude der Impulseinhüllenden.
Der Dispersionsparameter β2 ist verantwortlich für die Gruppengeschwindigkeitsdispersion. Er stellt einen Eintrag in der Taylorreihenentwicklung der Dispersion dar:
ω X βl
β(ω) = n(ω) =
· (ω − ω0 )l
c
l!
l=0
l dβ
mit βl =
dω l ω=ω0
∞
(1.2)
(1.3)
Die höheren Glieder der Dispersion kommen bei ultrakurzen Impulsen in nichtlinear
dispersiven Materialien stärker zum Tragen.
Unter Verwendung der Fourier Methode zur Lösung von Differentialgleichungen erhält
man als Lösung
e (z, ω) = U
e (0, ω)e 2i β2 ω2 z .
U
(1.4)
e (z, ω) ist die Fouriertransformierte der Feldeinhüllenden an der Stelle z, U
e (0, ω) die
U
Transformierte des eingestrahlten Feldes bei z=0.
Man sieht, dass die Dispersion die Phase jeder spektralen Komponente spezifisch
ändert. Die Größe der Änderung hängt von der Frequenz ω und der durchlaufenen
Strecke z ab.
Im Fall eines Gauß-Impulses, dessen normierte Einhüllende des elektromagnetischen
Feldes durch U (0, t) = e
−
t2
2t2
0
(mit t0 =
tF √
W HM
)
2 ln2
gegeben ist, wird die Feldeinhüllende
an jeder Stelle und zu jeder Zeit in der Faser durch
s
2
− 2t
t20
2(t0 −iβ2 z)
e
U (z, t) =
t20 − iβ2 z
(1.5)
beschrieben. Der Vergleich zwischen einfallendem und resultierendem Feld ergibt ein
Verhältnis zwischen den Impulslängen des einfallenden Feldes t0 und des resultierenden
13
Feldes t1
t1
=
t0
s
1+
β2 z
t20
2
(1.6)
.
Somit erhält man eine einfache Abhängigkeit der Impulslänge
der durchlaufenen
r von
2
Länge z und der Disperision erster Ordnung β2 : t1 (z) = t0 1 + βt22z .
0
Falls die Impulse bereits einen Chirp aufgeprägt haben, d.h. bereits nicht mehr bandbreitenbegrenzt kurz sind, verändert sich Gl. 1.6 zu:
s
2 2
β2 z
t1
Cβ2 z
+
,
=
1+ 2
t0
t0
t20
wobei C der Chirpparameter ist. C kann man aus
√
1 + C2
∆ω =
t0
∆λ, ergibt sich die Form
erhalten. Ersetzt man nun ∆ω durch ∆ω = 2πc
λ2
√
2πc
1 + C2
∆λ
=
.
λ2
t0
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Somit kann unter Zuhilfenahme eines Spektrometers und eines Autokorrelators der
Chirpparameter direkt bestimmt werden.
Mit der Gleichung 1.6, bzw. den Gleichungen 1.7 und 1.8, ist es möglich, bei Kenntnis
der Materialeigenschaften die Impulslänge ultrakurzer Impulse nach dem Durchgang
durch eine Faser der Länge z vorherzusagen. In der Umkehr kann man auch die Faserlänge z, die zum zeitlichen Strecken auf eine Impulslänge t1 notwendig ist, bestimmen.
1.2.2
Einfluss der Selbstphasenmodulation
Unter Selbstphasenmodulation versteht man die Verbreiterung des Frequenzbandes
von (ultrakurzen) Laserimpulsen beim Durchgang durch nichtlineare Medien. Sie ist
ein Effekt dritter Ordnung der nichtlinearen Optik und sie entsteht infolge der Intensitätsabhängigkeit der Brechzahl. Ein Schwester-Effekt der Selbstphasenmodulation ist
die Selbstfokussierung.
Im weiteren wird auf die genauen theoretischen Beschreibungen nicht weiter eingegangen, die Problematik wird nur kurz umrissen.
14
Infolge der Selbstphasenmodulation entstehen neue spektrale Komponenten, welche
zusätzlich eine eigene Phase aufgeprägt bekommen. Zudem hat die Flankensteilheit der
Impulse einen Einfluss; je steiler die Flanke, desto größer die Bandbreitenvergrößerung
[1].
Durch die normale Dispersion, und die daraus resultierende zeitliche Streckung, nimmt
die Intensität in der Faser ständig ab. Infolgedessen nimmt die Stärke der intensitätsabhängigen Selbstphasenmodulation ab. Nach einer entsprechenden durchlaufenen Faserlänge, typischerweise nach 3 m bis 5 m, wird die Selbstphasenmodulation vernachlässigbar, d.h. das Spektrum wird im weiteren Faserverlauf nicht merklich breiter.
Andererseits wird die notwendige Länge der Faser, um den Impuls auf eine gewünschte
zeitliche Länge zu strecken, kürzer, da eine größere Bandbreite vorhanden ist.
Die theoretische Beschreibung der Zusammenhänge zwischen Selbstphasenmodulation, Chirp und Materialdispersion kann durch numerische Analyse der entsprechenden
Ausbreitungsgleichung vorgenommen werden. Eine stark vereinfachte, aber doch ausreichend genaue Analyse dieses Systems auf Basis der Split-Step-Methode kann wie
folgt vorgenommen werden:
1. Betrachten der Selbstphasenmodulation für die ersten 3-5m, ohne zeitliche
Streckung (Vgl. Anhang B)
2. Erhaltenes Spektrum als Eingangsspektrum für Streckung betrachten, ohne weitere Verbreiterung
Unter Verwendung dieses Schemas ist es möglich, eine Aussage über die notwendige
Länge z einer Faser mit bekannten Materialeigenschaften zu treffen, um einen hinsichtlich Intensität und Bandbreite spezifizierten Eingangsimpuls auf eine bestimmte
zeitliche Länge zu strecken.
15
1.3
Anwendung einer Singlemodefaser als dispersives Element
1.3.1
Eigenschaften der Faser
Die eingesetzte Faser ist eine Stufenindex-Singlemodefaser der Firma j-fiber. Das verwendete Material ist synthetischer Quarz, der Kern der Faser ist mit Germanium dotiert, um den notwendigen Brechzahlunterschied zu erreichen. Der Kerndurchmesser der
Faser beträgt ca. 8 µm. Die Cut-off-Wellenlänge, die kurzwellige Wellenlängenbegrenzung
für den Singlemodebetrieb, liegt bei 780 nm ± 30 nm. Die dispersiven Eigenschaften
sind als Dispersionsparameter D und als Gruppengeschwindigkeitsdispersionsparameter β2 Abbildung 1.1 zu entnehmen. Die Dispersion im Bereich um 800 nm ist nahezu
Abbildung 1.1: Dispersionsverhalten der Singelmode-Faser. Entnommen aus [23]. Die Ergebnisse
sind in der Form des Dispersionsparameters D, welcher in der Faseroptik normalerweise benutzt wird, und in Form von β2 dargestellt. Letztere Form der Werte werden
für die Berechnung der Impulsstreckung gebraucht.
linear. Der Anstieg um 800 nm ist gering, β3 liegt in der Größenordnung 10−2
ist β3 im Vergleich zu β2 vernachlässigbar ( βτ 33 ps2
von 42,5 km .
16
β2
,
τ2
ps3
.
km
Somit
τ ≈ 50 fs). β2 hat hier eine Größe
1.3.2
Eigenschaften des zu streckenden Impulses
Die zu streckenden Impulse haben am Fasereingang eine Zentralwellenlänge von 800 nm,
eine gemessene Bandbreite von 30 nm und eine gemessene Impulslänge von 50 fs. Der
Chirpparameter des somit vorhandenen Chirps beträgt C=6. Das Spektrum des eingestrahlten Impulses ist in Abbildung 1.2 gezeigt.
Abbildung 1.2: Eingangsspektrum des zu streckenden Impulses: Die Halbwertsbreite beträgt
30,4 nm. Rot dargestellt ist die ideale Gaußform des Spektrums, der schwarze Graph
zeigt die tatsächlich gemessene Form. Die Abweichungen, insbesondere auf der langwelligeren Seite, sind im wesentlichen den verwendeten Dünnschichtpolarisatoren
geschuldet.
1.3.3
Einsatz als Strecker
Die Impulse von 50 fs Länge sollen auf 200 ps gestreckt werden. Die Selbstphasenmodulation verbreitert das Spektrum des Impulses theoretisch auf 43 nm. Im Anhang B
wird auf die theoretische Vorhersage und die experimentelle Messung dessen genauer
eingegangen.
Aus Gleichung 1.7 erhält man für eine Streckung auf 200 ps und einer Bandbreite
17
von ∆λ=43 nm eine notwendige Faserlänge von 40 m. Hinzu kommen noch 3-5 m Faserlänge, welche bei der Betrachtung für die spektrale Verbreiterung, entsprechend der
vereinfachten Split-Step-Methode, ausschlaggebend sind. Die Gesamtlänge der Faser
sollte somit bei 45m liegen.
Die Überprüfung der Faserlänge von 45 m mittels eines Maßstabs (Lineal) ist ungeeignet, da hierzu die Faser in ihrer gesamten Länge ausgelegt werden muss. Zusätzlich ist
die exakte Messung durch wiederholtes Anlegen des Maßstab nicht möglich.
Durch eine vereinfachte Optische Zeitbereichsreflektometrie (Optical-Time-DomainRefectometry ... OTDR) kann die Faserlänge deutlich genauer experimentell überprüft
werden. Der prinzipielle Aufbau hierzu ist in Abbildung 1.3 gezeigt. Unter Kentnis des
PD1
Pulszug
mit ausgeschnittenem Puls
Einkopplung
PC
Pockelszelle
Auskopplung
Faser
einzelner Puls
PD2
PD3
Spek
TFP
Spektrometer
Abbildung 1.3: Mit Hilfe der hier gezeigten experimentellen Anordnung ist es möglich ultrakurze
Impulse zeitlich zu strecken, und zu vermessen. Die Impulse laufen vom Oszillator in die Pockelszelle (PC). Diese wird so geschaltet, daß einzelne Impulse den
Dünnschichtpolarisator (TFP) passieren können, der Rest des Impulszuges läuft,
über entsprechende Abschwächung, auf die Photodiode 1 (PD1). Der einzelne Impuls wird in die Faser eingekoppelt und durchläuft sie. Am Ende der Faser wird der
Impuls geeignet ausgekoppelt und kann dann für die OTDR-Messung auf eine zur
PD1-baugleichen Photodiode (PD2) laufen, für eine Messung der Impulslänge auf
eine geeignete schnelle Photodiode (PD3) oder zur Messung des Spektrums auf ein
fasergekoppeltes Spektrometer.
Brechungsindex, der hier mit n=1,4933 [12] abgeschätzt werden kann, ist es möglich
die Faserlänge zu bestimmen. Die Laufzeit des einzelnen Impulses kann Abbildung 1.4
entnommen werden. Sie beträgt ∆t=238 ns. Daraus resultierend ist die Faser 47,6 m
lang. In der aus der Messung resultierenden Faserlänge sind die Laufstrecken an Luft,
18
sowie die unterschiedlichen Anstiegsverhalten der Photodioden PD1 und PD2, als auch
deren unterschiedliche Kabellängen zum Oszilloskop enthalten. Als wesentlichste dieser Störgrößen ist die Laufstrecke an Luft zu betrachten, welche im Aufbau insgesamt
einen Meter lang war. Somit liegt die Faserlänge mit l≈46,5 m gut bei 45 m. Unter Ver-
Abbildung 1.4: Experimentellen Bestimmung der Faserlänge: Die Signale der Photodioden PD1 und
PD2 wurden aufgenommen. Die zeitliche Differenz zwischen dem ausgeschnittenem
Impuls aus dem Impulszug (schwarz, aufgenommen mit PD1) und dem durch die
Faser gelaufenen Impuls (rot, aufgenommen mit PD2) beträgt 238 ns. Dies ist die
Zeit, die der Impuls zum Durchlaufen der Faser und der vergleichsweise kurzen Luftstrecke zwischen den Photodioden und dem Faserein- bzw. Faserausgang benötigt
hat.
wendung des Aufbaus aus Abbildung 1.3 kann ebenfalls das Spektrum des Impulses
nach dem Durchlaufen der Faser aufgenommen werden. Das aufgenommene Spektrum
ist in Abbildung 1.5 gezeigt. Die Selbstphasenmodulation führt zu einer Verbreiterung
des Spektrums auf 47,9 nm (FWHM).
19
Abbildung 1.5: Gemessene Selbstphasenmodulation: Das Ausgangsspektrum des Impulses, nach
46,5 m Faser, im Vergleich zum Eingangsspektrum. Deutlich zu erkennen ist die
Verbreiterung des Spektrums durch die Selbstphasenmodulation.
Um die Impulslänge nach dem Durchlaufen der Faser zu bestimmen muss der Aufbau
in Abbildung 1.3 mit PD3 als Detektor betrieben werden. Die Photodiode PD3 hat eine Anstiegszeit (10 % auf 90 %) von τDiode =40 ps hat. Die Anstiegszeit des Oszilloskops
kann über τOszi = τ10→90 = ln 9 2π f1oszi berrechnet werden, wobei foszi die Bandbreite
des Oszilloskops ist [11]. Das verwendete Oszilloskop hat eine Bandbreite von 20 GHz,
die Anstiegszeit liegt somit bei 17,4 ps. In diesen Zeitbereichen, zwischen 10 ps und
500 ps, sind die Einflüsse der Verbindungskabel zwischen Diode und Oszilloskop nicht
vernachlässigbar. Um die Einflüsse der Kabellänge auf die Größe der zu messenden
Impulslänge zu ermitteln, und sie letztlich zu elliminieren, wird die Impulslänge bei
verschiedenen Kabellängen bestimmt. Wenn die Impulslänge über der Kabellänge in
einem Diagramm darstellt wird, ergibt sich durch linearer Regression der Messwer-
20
te bei der Kabellänge l=0 die Impulslänge ohne Kabeleinfluss. Hiervon müssen nach
p
2
2
τ1 = τ02 − τOszi
− τDiode
die Einflüsse von Oszilloskop und Diode abgezogen werden,
wobei τ0 die gemessene Impulslänge und τ1 die tatsächliche Impulslänge ist. Abbildung
1.6(a) zeigt den Einfluss der Kabellänge auf die Impulslänge.
Bei l=0 ist die Impulslänge 204,0 ps ± 2,5 ps. Nach Abzug der Einflüsse von Oszilloskop
und Diode beträgt die tatsächliche Impulslänge τFWHM =199,3 ps. Abbildung 1.6(b)
zeigt die Messergebnisse einer alternativen Messmethode. Sie beruht darauf, daß das
gemessene Signal eine Faltung des tatsächlichen Signals mit der Sprungantwort des Gesamtsystems (Oszilloskop, Kabel, Diode) ist. Unter Kenntniss der Systemantwort kann
das gemessene Signal mit ihr entfalltet werden, und es resultiert das tatsächliche Signal.
Die Systemantwort wird bestimmt, indem fs-Laserimpulse, mit geeigneter Abschwächung,
mit dem System aufgenommen werden. Die Dauer der Laserimpulse ist um die Größenordnung
10−3 geringer als die Minimale Steigzeit des Systems aus Diode, Kabel und Oszilloskop.
Damit ist die erhaltene Antwort sehr gut als Systemantwort zu verwenden.
Die Entfalltung wurde mit MATLAB durchgeführt. Als Ergebnis resultiert ein Impulssignal mit eine Halbwertsbreite von 195 ps ± 3 ps.
21
(a) Erste
Möglichkeit
pulslängenbestimmung:
der
Im-
Variation
der
(b) Zweite
Möglichkeit
pulslängenbestimmung:
der
Im-
Entfallten
der
Kabellänge, um die Impulslänge bei l=0
Messung (Abbildung 1.6(c)) mit der Sy-
zu erhalten. Auf Basis dieser wird die
stemantwort (Abbildung 1.6(d)) führt zum
tatsächliche Impulslänge, unter Einbeziehung
tatsächlichen zeitlichen Verlaufs des Impul-
der bekannten Systemeinflüsse, berechnt.
ses. Aus diesem kann dann die Impulslänge
abgelesen werden.
(d) Gemessene
(c) Gemessenes Signal des gestreckten Impulses.
Systemantwort
auf
fs-
Laserimpulse des gesamten Systems (Diode,
Kabel, Oszilloskop).
Abbildung 1.6: Verfahren zur Bestimmung der Impulslänge: Gezeigt sind die Messungen mittels
zweier unterschiedlicher Verfahren.
22
1.4
Zusammenfassung
Im vorliegenden Abschnitt konnte gezeigt werden, daß mit Hilfe einer Singlemode-Faser
ein ultrakurzer Impuls gestreckt werden kann. Dieser Prozess kann gut theoretisch, unter Einfluss der Selbstphasenmodulation, beschrieben werden. Die Vorhersagen stimmen gut mit den Messungen überein.
Als Ergebnis der Streckung der ultrakurzen Laserimpulse konnte ein Signal bereitgestellt werden, welches nun parametrisch weiter verstärkt werden kann.
Das erhaltene Signal weisst eine Impulslänge von rund 200 ps auf und hat eine spektrale Breite von rund 48 nm. Durch Einkoppelverluste und Verluste in der Faser kann
allerdings nur ca. die Hälfte der eingestrahlten Energie extrahiert werden. Dies ist aber
immernoch ausreichend für den parametrischen Prozess. Für die weitere Verwendung
ist ein gutes Strahlprofil notwendig. Das nach dem Auskoppeln aus der Faser gemessene
Strahlprofil ist in Abbildung 1.7 gezeigt. Es ist nahezu gaußförmig, und hat keine wesentlichen Abweichungen von dieser Form, die sich später als störend erweisen könnten.
Abbildung 1.7: Aufnahme der Intensitätsverteilung des kolimierten Strahls am Ausgang des
Streckers.
23
Kapitel 2
Stimulierte Raman Streuung und
Erzeugung der Pumpstrahlung für
den optisch parametrischen Prozess
2.1
Einleitung
Für den parametrischen Verstärker wird Pumpstrahlung bei 450 nm benötigt. Diese
kann, unter Verwendung eines regenerativen Cr:LiSAF-Verstärkers ([8]) bei 900 nm und
anschließender Frequenzverdopplung, erzeugt werden. Um den Verstärker zu seeden,
d.h. Startimpulse zur Verfügung zu stellen, und dadurch die optische Verkopplung zwischen Signal und Pumpe zu gewährleisten, muss ein Teil des aus dem Ti:Sa-Oszillator
austretenden Lichtes zu 900 nm frequenzverschoben werden.
Die Frequenzverschiebung, die Verstärkung und die Frequenzverdopplung der Pumpimpulse sind Inhalt dieses Kapitels.
24
2.2
2.2.1
Theoretische Betrachtung
Qualitative Betrachtung der stimulierten Ramanstreuung
Ramanstreuung ist ein nichtlinearer Effekt, welcher auftritt, wenn Licht auf ein Medium trifft, und dort mit den optischen Phononen wechselwirkt. Dieser Effekt kann
sowohl in Gasen (Moleküle), als auch in Festkörpern (Gitter) auftreten. Im Medium
werden die Photonen des Lichtes an den Molekülen oder dem Gitter, inelastisch gestreut, sie geben Energie an die Moleküle oder das Gitter ab (Stokes) oder nehmen
Energie auf (Antistokes). Je nach Energie Auf- bzw. Abnahme verändert sich die Wellenlänge der Photonen zu kürzeren bzw. längeren Wellenlängen. Die Energieaufnahme
bzw. -abgabe der Photonen richtete sich danach, in welcher Quantität die streuenden
Moleküle oder das streuende Gitter Energie abgeben bzw. aufnehmen können. Ursache für die Aufnahme bzw. Abgabe von Energie der Moleküle/des Gitters sind die
energetischen Zustände bzw. Vibrationsmoden (Molekülschwingungen, Gitterschwingungen, Phononen). Im weiteren wird die Beschreibung für Festkörper, speziell für
virtuelle Zustände
n
ns = np- Dn
ns = np+ Dn
n1
Schwingungsniveaus
Dn
n0
Stokes
Antistokes
Abbildung 2.1: Prinzip der Ramanstreuung: Ein Photon wird am Molekül/Gitter inelastisch gestreut. Dabei gibt es Energie ab, oder nimmt Energie auf. Im ersten Fall spricht
man von Stokesstreuung: Die Wellenlänge des gestreuten Photons wird vergrößert.
Im zweiten Fall spricht man von Antistokesstreuung: die Wellenlänge wird verringert.
25
Lichtleitfasern aus Quarz, fortgesetzt. Die Übergänge von den virtuellen Zuständen
finden zunächst spontan statt. Ähnlich wie bei Laserprozessen ist neben der spontanen
Streuung auch eine stimulierte Streuung möglich. Um ein Photon stimuliert zu streuen muss bei der Wellenlänge, zu der das Photon verschoben wird, bereits ein Photon
am selben Ort und zur selben Zeit existieren, ähnlich wie bei der stimulierten Emission bei Lasern. Im einfachsten Fall der stimulierten Ramanstreuung unter stationären
Bedingungen, ohne Betrachtung anderer nichtlinearer Effekte und Verlusten, sind Signalintensität Is und Pumpintensität Ip durch
dIs
= g R Ip Is
dz
ωp
dIp
= − gR I p I s
dz
ωs
(2.1)
(2.2)
mit einander verknüpft. Die Ramanverstärkung gR ist abhängig von der Größe der
Frequenzverschiebung und invers abhängig von der Pumpwellenlänge. In gezogenen
Quarzfasern tritt infolge ihrer amorphen Struktur eine Verbreiterung und Überlappung
der verschiedenen Gitterschwingungen auf. Infolge dessen wird die Ramanverstärkung
unabhängig von der Frequenzverschiebung, und ist deswegen über einen großen Bereich
konstant ([1]).
Im Falle ultrakurzer Impulse wird die analytische Beschreibung komplizierter. Es treten neben der Ramanstreuung auch andere nichtlineare Effekte auf, wie beispielsweise
Frequenzmischung und Selbstphasenmodulation. Zudem ist die Gruppengeschwindigkeitsdispersion zwischen Pump- und Signalimpuls nicht mehr vernachlässigbar.
Die Bandbreite der Pumpimpulse führt dazu, daß für die stimulierte Streuung bereits
Signalphotonen vorhanden sind. Hierdurch verschiebt sich der Impuls quasi selbst. Im
Falle von Stokesstreuung pumpen die kurzwelligeren Anteile des Impulses die langwelligeren. Infolge dessen schiebt sich der Impuls beim Durchlaufen der Faser in den
langwelligeren Bereich. Die Rate, mit der der Impuls sich selbst verschiebt ist abhängig
von der Wellenlänge des Pumpimpulses, dessen Bandbreite und seiner Intensität. Hinzu kommt, daß die Wirkung der Ramanverstärkung polarisationsabhängig ist([20],[10]).
Die Polarisation des eingestrahlten Feldes bestimmt bei einer festen Faserlänge und bei
fester Bandbreite und Intensität des Impulses die Verschiebung.
Die anderen möglichen nichtlinearen Effekte führen zu einer zusätzlichen Komplexität
26
des zu erwartenden Spektrums. Diese Effekte können ebenfalls von Polarisation und
Intensität des eingestrahlten Feldes abhängig sein.
Die experimentelle Anordnung, um durch eine geeignete Faser die Wellenlänge von
800 nm auf 900 nm zu verschieben, muss daher so ausgelegt sein, daß die Intensität
und die Polarisation des einfallenden Feldes beeinflusst werden kann.
27
2.2.2
Frequenzverdopplung der Pumpimpulse nach der Verstärkung
Nach der Verstärkung der Impulse im regenerativen Cr:LiSAF-Verstärker, wie er in [8]
beschrieben ist, müssen die Impulse frequenzverdoppelt werden, damit sie als Pumpimpulse für die parametrische Verstärkung zur Verfügung stehen können.
Um Frequenzverdopplung in einem doppelbrechenden Kristall zu realisieren, müssen,
ähnlich wie bei der parametrischen Verstärkung, zwei Parameter bestimmt werden
(Vgl. Kapitel 3):
1. Winkel, unter dem Phasenanpassung realisiert werden kann
2. Kristallänge für effektive Umwandlung
Da die Pumpstrahlung vergleichsweise schmalbandig ist, muss auf die Problematik
der Gruppengeschwindigkeitsdispersion nicht weiter eingegangen werden. Lediglich der
Walk-off-Effekt muss bedacht werden, falls die laterale Separation von Grundwelle und
frequenzverdoppelter Welle nicht mehr klein im Vergleich zum eigentlichen Strahldurchmesser wird. Somit muss die Phasenanpassung für zwei Wellenlängen sinnvollerweise
kollinear realisiert werden, da hierdurch die größtmögliche Überlagerung, und damit
Wechselwirkung, von Grundwelle und frequenzverdoppelter Welle gegeben ist. Der zu
verwendende Kristall soll aufgrund seiner guten Verfügbarkeit und weiten Verbreitung
β-Barium Borat (BBO) sein. Die wesentlichen Eigenschaften von BBO sind Kapitel
3.3.1 zu entnehmen. Es soll aufgrund der Polarisation der Grundwelle Phasenanpassung Typ-I zur Anwendung gebracht werden. Zur Berechnung des Winkels θ unter
dem die Grundwelle und die frequenzverdoppelte Welle phasenangepasst sind, kann
die Berechnung zur Phasenanpassung aus Kapitel 3 herangezogen werden, unter der
Bedingung, daß, für die Berechnung, λs = λi = 2λp gilt.
Der Winkel θ ist hier 26◦ .
Unter Annahme perfekter Phasenanpassung kann die Konversionseffizienz durch
 s
r 
3/2
P2ω
µ0
Pω 
ω 2 20 d2ef f ·
(z) = tanh2 z · 2
(2.3)
Pω
0
A
beschrieben werden ([15]). Pω ist die Leistung der Grundwelle, A deren Fläche und ω
die zugehörige Frequenz (ω =
c·2π
).
λ
Die Berechnung des effektiven nichtlinearen Koef-
fizienten def f wird im Anhang A.3.3 gezeigt.
28
Abbildung 2.2 zeigt die Effizienz in Abhängigkeit von der durchlaufenen Strecke z
Abbildung 2.2: Konversionseffizienz bei der Erzeugung der zweiten Harmonischen: Berechnet für
einen Impuls von verschiedener zeitlicher Länge mit 10 mJ Energie bei 900 nm. Der
FWHM-Radius des Strahls wurde mit 1-1,5 mm angenommen.
im Kristall. Für die Parameter 200 ps Impulsänge mit 10 mJ Energie bei 900 nm Wellenlänge bei der Grundwelle sollte der Kristall zur Frequenzverdopplung 5 mm lang
sein, da somit die Umwandlung deutlich gesättigt ist und Schwankungen der Intensität
der Grundwelle sich nicht auf die Konversionseffizienz auswirken. Der Walk-off-Effekt
macht bei diesen Parametern einen lateralen Versatz von 0,3 mm. Aufgrund dessen,
daß möglichst der gesamte Kristall zur Umwandlung zu verwenden ist, ist dieser Effekt
vernachlässigbar.
29
2.3
Experimentelle Resultate der Frequenzverschiebung, Verstärkung und Frequenzverdopplung
2.3.1
Frequenzverschiebung durch stimulierte Ramanstreuung
Der Aufbau zur Frequenzverschiebung ist in Abbildung 2.3 schematisch dargestellt.
Unter Verwendung dieses Aufbaus ist es möglich Impulse bei 900 nm mit maximaler
Polarisationskontrolle
TFP
I
II
l/2
l/2
Einkopplung
Auskopplung
Intensitätskontrolle
Strahlblocker
Abbildung 2.3: Schematischer Darstellung des Aufbaus zur Frequenzverschiebung: Die Intensitätskontrolle wird durch eine λ/2-Platte (I) und einen Dünnschichtpolarisator
(TFP) gewährleistet. Die Polarisation kann beliebig durch eine weitere λ/2-Platte
(II) gedreht werden. Die Ein- und Auskopplung wird durch kurzbrennweitige Achromaten realisiert. Nach der Auskopplung werden die Impulse über Polarisationskopplung in den Verstärker ein-, bzw. ausgekoppelt.
Impulsenergie zu generieren, d.h. die Verschiebung durch geeignete Einstellung der
Polarisation und der Intensität so zu gewährleisten, daß möglichst große Anteile der
Einzelimpulsenergie bei 800 nm nach dem Durchlaufen der Faser zu 900 nm verschoben
sind. Die verwendete photonische Faser ist eine 3 m lange PM700-Faser der Firma Crystal Fiber. Der Kerndurchmesser dieses Lichtleiters ist 3 µm, eine Mikroskopaufnahme
des Kerns und der gesamten Faser im Schnitt ist Abbildung 2.4 zu entnehmen. Die
Abhängigkeit des generierten Spektrums von der eingestrahlten Durchschnittsleistung
des Impulszugs und dessen Polarisation ist in Abbildung 2.5 gezeigt.
Die idealen Parameter bezüglich Intensität und Polarisation wurden so gewählt, daß die
Impulsenergie nach dem Verstärker bei 900 nm maximiert ist. Es ist es möglich Impulse
mit einer Impulsenergie im niederen pJ-Bereich durch stimulierte Ramanstreuung bei
30
(a) Kern der photonischen Faser PM700. Der
(b) Kern und Mantel der Photonischen Faser
Durchmesser liegt bei 3 µm
PM700. Der Gesamtdurchmesser der Faser liegt bei 125 µm
Abbildung 2.4: Mikroskopaufnahmen der photonischen Faser PM700.
900 nm zu generieren.
31
(a) Wellenlängenverschiebung in Abhängigkeit
(b) Wellenlängenverschiebung in Abhängigkeit
der Stellung der λ/2-Platte I
der Stellung der λ/2-Platte II
(Intensitätskontrolle)
(Polarisationskontrolle)
Abbildung 2.5: Wellenlängenverschiebung in Abhängigkeit der Eingangsparameter: Die Stellung der
jeweiligen λ/2-Platte ist als Variation angegeben. Im Experiment ist die exakte
Polarisation bzw. Leistung des eingestrahlten Feldes uninteressant. Von Interesse
ist lediglich maximale Impulsenergie bei 900 nm zu erhalten. Dies erreicht man,
wenn man die Polarisation auf ca. 10◦ stellt und die eingestrahlte Leistung etwas
verringert.
2.3.2
Verstärkung
Die Verstärkung wurde in einem regenerativen Cr:LiSAF-Verstärker durchgeführt. Der
Verstärkungsfaktor liegt bei 106 . Somit konnten die Impulse auf µJ-Niveau verstärkt
werden. Die Arbeiten hierzu wurden parallel von C. Diedrich durchgeführt, die genauen Spezifikationen und Ergebnisse der Verstärkung sind der zugehörigen Arbeit [8] zu
entnehmen.
Als Ergebnis ist hier zu erwähnen, daß die Verstärkung prinzipiell sehr gut funktioniert. Zudem ist die beabsichtigte Pumpimpulsenergie von 5-10 mJ aus dem Verstärker
extrahierbar.
32
2.3.3
Frequenzverdopplung
Zur Überprüfung der Berechnungen der Kristalle und ihrer Eignung für die Erzeugung der Pumpimpulse wurde die Frequenzverdopplung im geseedeten Modus, d.h. mit
verstärkten Impulsen, und im freilaufenden Modus des Verstärkers, d.h. ohne Seedimpulse und ohne Güteschaltung, durchgeführt. Mit der Frequenzverdopplung im geseedeten Modus konnte gezeigt werden, daß Pumpimpulse bei 450 nm unter Verwendung
von verstärkten Impulsen bei 900 nm erzeugt werden können. Infolge der geringen Impulsenergie der Impulse bei 900 nm im Bereich um 1 µJ musste die Strahlung in den
Kristall fokussiert werden. Die trotz der Fokussierung nur geringe Effizienz der Umwandlung erlaubte lediglich eine qualitative Demonstration der Frequenzverdopplung
der verstärkten Impulse bei 900 nm mit ps-Impulslängen.
Für die Verdopplung der Impulse des freilaufenden Verstärkers/Lasers ist eine Fokussierung ebenfalls notwendig (Vgl. Abbildung 2.2) um eine deutliche Verdopplung zu
sehen, da die Impulslänge deutlich im höheren ns-Bereich bzw. µs-Bereich liegen. Im
freilaufenden Betrieb ist die Wellenlängenselektion, unter der Voraussetzung von Impulsenergien im mJ-Bereich, nicht möglich. Die Grundwellenlänge und die Wellenlänge
der zweiten Harmonischen liegen somit nicht bei exakt 900 nm bzw. 450 nm. Es konnte
die Frequenzverdopplung von Laserimpulsen bei 900 nm mit mJ-Impulsenergie gezeigt
werden. Die Messung der Spektren von Grundwelle und zweiter Harmonischen ist Abbildung 2.6 zu entnehmen. Das Licht bei 450 nm stellt für das menschliche Auge ein
tiefes Blau dar. Eine fotografische Aufnahme des Resultats ist in Abbildung 2.9 zu
sehen.
Zur Überprüfung der Konversionseffizienz der Kristalle im mJ-Bereich und bei Impulslängen im niederen ns-Bereich im Vergleich zur Theorie wurde die Grundwelle eines Nd:YAG-Lasers frequenzverdoppelt. Grund für die Anwendung des Nd:YAG-Lasers
ist die bessere Impuls-zu-Impuls-Stabilität. Der schematische Aufbau zur Messung der
Konversionseffizienz ist Abbildung 2.7 zu entnehmen. Die Impulslänge des Nd:YAGLasers liegt bei ∼10 ns. Der Strahldurchmesser wurde durch eine Blende so begrenzt,
daß der Kristall möglichst vollständig ausgeleuchtet wurde. Der Kristall muss um -3,2◦
gedreht werden. Dies ist darin begründet, daß der Kristall bereits mit θ=26◦ geschnit-
33
Abbildung 2.6: Spektrum der Frequenzverdopplung: Darstellung der Spektren von Grundwelle und
zweiter Harmonischen im freilaufenden Betrieb.
Pulsenergiekontrolle
Wellenlängenseparation
Blende
TFP
Grundwelle
l/2-Platte
Nd:YAG-Laser
1064nm
Frequenzverdopplung
Strahlblocker
Zweite
Harmonische
Wellenlängenaufgelöste
Energiemessung
Abbildung 2.7: def
ten und der notwendige Winkel für Phasenanpassung für 1064 nm und 532 nm bei 22,8◦
liegt. Die effektive Suszeptibilität für diesen Winkel ist def f =-0,06 pm
. Der FWHMV
Strahlradius beträgt 1,2 mm. Die Ergebnisse der Effizienzmessung, zusammen mit der
theoretischen Beschreibung nach Gleichung 2.3, und die Spektren von Grundwelle und
34
zweiter Harmonischer zeigt Abbildung 2.8. Die geringe erreichte Effizienz liegt darin
(a) Konversionseffizienz in Abhängigkeit der ein-
(b) Spektrum der Grundwelle und der zweiten
gestrahlten Energie als Messung im Experi-
Harmonischen.
ment und als Vorhersage in der Theorie.
Abbildung 2.8: Überprüfung der Konversionseffizienz: Die Experimente hierzu wurden mit einem
Nd:YAG-Laser durchgeführt. Dargestellt sind die Konversionseffizienz und die Spektren von Grundwelle und zweiter Harmonischer.
begründet, daß die Intensität im Kristall nicht weiter erhöht wurde. Eine Erhöhung
der Intensität im Kristall wäre durch eine geeignete Fokussierung möglich gewesen.
Problematisch hierbei hätte sich aber eine möglicher Zerstörung des Kristalls erwiesen.
35
2.4
Ergebnisse der Versuche zur Erzeugung von Pumpimpulse für die parametrische Verstärkung
Die Verschiebung der Laserimpulse von 800 nm auf 900 nm konnte demonstriert werden. Es wurde ein Aufbau realisiert, der es ermöglicht mit frequenzverschobenen Impulsen einen regenerativen Cr:LiSAF-Verstärker zu seeden. Die Impulse konnten um
den Faktor 106 verstärkt werden. Problematisch hierbei ist die geringe Energie der zu
verstärkenden Impulse. Infolgedessen können die Ausgangsimpulse aus dem Verstärker
das mJ-Niveau nicht erreichen. Es konnte aber gezeigt werden, daß diese Energie prinzipiell aus dem Verstärker extrahiert werden kann.
Die Frequenzverdopplung konnte sowohl für die verstärkten Impulse, mit Impulslängen
unter 1 ns, gezeigt werden, als auch für Impulse im freilaufenden Betrieb, mit Impulsenergien von über 5 mJ.
Mit der Frequenzverdopplung der Grundwelle eines Nd:YAG-Lasers konnte eine Effizienzmessung durchgeführt werden und mit der Berechnung der Konversion verglichen
werden. Die berechneten Parameter stimmen sehr gut mit den experimentell bestimmten überein. Die Experimente zeigen, daß eine Frequenzverdopplung von Impulsen mit
∼ 5 mJ Energie und einer Impulslänge ≥ 200 ps gut durchgeführt werden kann.
36
Abbildung 2.9: Fotografie der zweiten Harmonischen: Auf der rechten Bildseite ist der Kristall in
seiner Halterung zu sehen, auf der linken Seite der frequenzverdoppelte Laserimpuls
auf einem Schirm.
37
Kapitel 3
Optisch Parametrische Verstärkung
3.1
Das Prinzip der parametrischen Verstärkung
Die optisch parametrische Verstärkung stellt eine effiziente Methode zur Verstärkung
von ultrakurzen Impulsen mit hoher Bandbreite dar. Dieser Effekt wird insbesondere
auch bei der Erzeugung von Impulsen für Hochleistungslaseranwendungen verwendet
([21]). Bei der optisch parametrischen Verstärkung kommt der nichtlineare optische
Effekt der Frequenzmischung zum Tragen. Ein Pumpphoton spaltet sich in ein Signalphoton und ein Idlerphoton auf entsprechend:
hνp = hνs + hνi ,
(3.1)
wobei νp die Frequenz des Pumpphotons, νs die Frequenz des Signalphotons, νi die Frequenz des Idlerphotons und h das Plancksche Wirkungsquantum (~ =
h
)
2π
repräsentiert.
Neben der Energieerhaltung muss ebenfalls die Impulserhaltung erfüllt sein;
~~kp = ~~ks + ~~ki .
(3.2)
Wobei km mit m = p, s, i die Wellenzahlvektoren der Pump-, Signal- und Idlerwellen
sind (Abbildung 3.1). Somit muss nicht nur die Photonenenergie in Betracht gezogen
werden, sondern auch, welchen Winkel die k-Vektoren zueinander einschliessen und
welche Brechzahl die Wellen im Material erfahren. Dies wird durch die sogenannte
Phasenanpassung realisiert.
38
Wellenzahlvektor des
Idlerphotons
Wellenzahlvektor des
Signalphotons
Wellenzahlvektor des
Pumpphotons
Abbildung 3.1: Grundprinzip des parametrischen Prozesses
Dieses Prinzip, welches in dieser Darstellung für exakt drei Wellenlängen gilt, ist erweitert anwendbar. Da in der Realität, insbesondere bei ultrakurzen Impulsen, die Bandbreiten der beteiligten Impulse nicht vernachlässigbar klein sind, muss man dies ebenfalls berücksichtigen. Insbesondere die Bandbreite des zu verstärkenden Signals muss
mit in die Betrachtung einfliessen. Bei der parametrischen Verstärkung von gestreckten
Pikosekunden- und Femtosekunden-Impulsen spricht man hierbei von optischer parametrischer Verstärkung von gechirpten Impulsen (OPCPA). Durch geeignete Wahl der
Phasenanpassung für alle Wellenlängenanteile des Signalimpulses müssen Energieerhaltung und Impulserhaltung erfüllt sein, und der Signalimpuls seine spektrale Kollinearität erhalten. Diese Bedingungen werden durch nichtkollineare Phasenanpassung und
den Verzicht der spektralen Kollinearität für die Idlerstrahlung realisiert (Abbildung
3.2(a)).
Das hier entwickelte und verwendete Modell geht andere Wege. Es wird beabsichtigt
nicht das Signal als verstärkten und weiterzuverwendenden Impuls zu betrachten, sondern den generierten und verstärkten Idler in den Mittelpunkt der Betrachtung zu
rücken. Um einen räumlich kohärenten Idler zu generieren, ist es notwendig das eingestrahlte Signal unter spektralabhängigen Winkeln einzustrahlen (Abbildung 3.2(b)).
Die hierfür notwendige Berechnung der Phasenanpassung und des parametrischen Prozesses wird im Folgenden dargestellt. Die Versuche zur parametrischen Verstärkung
und die Zusammenfassung der Ergebnisse hierzu werden danach anschliessend Wiedergegeben.
39
ks
ki
ks
ki
kp
(a) Lage
der
kp
Wellenzahlvektoren
der
spek-
(b) Lage der Wellenzahlvektoren der spektralen
tralen Komponenten zueinander bei der
Komponenten zueinander bei der Erzeugung
Verstärkung des Signals. Aufgrund der Pha-
und Verstärkung des Idler. Aufgrund der
senanpassungsbedingungen wird der Idler in
Phasenanpassungsbedingungen wird das Si-
eine spektrale Winkelverteilung zerlegt.
gnal in eine spektrale Winkelverteilung zerlegt.
Abbildung 3.2: Lage der Wellenzahlvektoren zueinander bei der parametrischen Verstärkung: Die
Wellenzahlvektoren ~kp , ~ks und ~ki stehen für die Pumpe, das Signal und den Idler.
Jenach angestrebter Verstärkung wird der Idler oder das Signal spektral aufgespaltet. Die spektrale Breite wird durch die verschiedenfarbigen Vektoren repräsentiert.
3.2
Entwicklung eines Modells zur Berechnung des
optisch parametrischen Prozesses in uniaxialen
doppelbrechenden Kristallen
3.2.1
Entwicklung der gekoppelten Differentialgleichungen zur
Berechnung des optisch parametrischen Prozesses
Die zur Berechnung des parametrischen Prozesses notwendigen Kerngedanken werden
hier wiedergegeben. Die vollständige Entwicklung des vorliegenden Modells ist in Anhang A wiedergegeben.
Aus den allgemein bekannten Maxwellschen Gleichungen kann man, unter Zuhilfenah~ = 0 E
~ + P~NL (E)
~ und B
~ = µ0 H
~ + ~j(H),
~ die Wellenme der Materialgleichungen D
gleichung entwickeln, welche die Feldausbreitung in einem dielektrischen anisotropen
nichtlinearem Medium beschreibt.
~−
4E
~
~
1 ∂2E
∂ 2 P~ (E)
=
µ
0
c2 ∂t2
∂t2
40
(3.3)
~ abhängende Polarisation P~NL besteht nun nicht nur aus einem
Die nichtlinear von E
linearen Term, sondern hat auch Glieder höherer Ordnung. Diese sind die Ursache für
die nichtlinearen Effekte.
Aus der allgemeinen Form der Wellengleichung kann man nun unter einigen Einschränkungen und entsprechenden Rahmenbedingungen die Wellengleichungen für die
optisch parametrische Generation und Verstärkung von elektromagnetischen Feldern
aufschreiben.
ωi
∂ ~
~ i,s E
~ p e−j(∆kz+∆ϕ)
Es,i (z) = −j
def f E
∂z
c ni
∂ ~
ωp
~ sE
~ i e+j(∆kz+∆ϕ)
def f E
Ep (z) = −j
∂z
c np
(3.4)
(3.5)
Diese Gleichungen stellen die gekoppelten Differentialgleichungen für die Entwicklung
von Signal-, Pump- und Idlerwelle entlang ihrer Ausbreitungsrichtung z dar.
Für die Berechnung werden die Gleichungen nocheinmal umgestellt und vereinfacht:
∂us,i
= −ui,s up sin(θ)
∂ξ
∂up
= +us ui sin(θ)
∂ξ
∂θ
us ui ui up us up
= ∆S +
−
−
cos(θ)
∂ξ
up
us
ui
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Wobei:
0 c
ns ρ2s + ni ρ2i + np ρ2p
W = Is (0) + Ii (0) + Ip (0) =
r2
r
0 λ m nm
Im
um =
ρm =
4πW
ωm W
(m = s, i, p)
√
4 def f π πW
z
ξ=p
0 λ s λ i λ p ns ni np
∆k · z
∆S =
ξ
Die gesamte Intensität der vorhandenen Strahlung wird durch W bezeichnet. Darauf
aufbauend wird durch um jeweils die normierte Feldstärke von Pumpe, Signal und Idler
beschrieben, die zugehörigen realen Feldstärken ρm können durch die jeweiligen Intensitäten Im definiert werden. Unter Zuhilfenahme von W und den jeweils erfahrenen
41
Brechzahlen nm wird eine normierte Länge ξ eingeführt. Auf deren Basis wird später
eine Umrechnung auf reale Längen z möglich.
Mit Hilfe dieser Gleichungen ist es sowohl möglich, unter Einbeziehung der Jacobischen
Funktionen, eine analytische Lösung zu finden ([2],[3]), als auch die Gleichungen numerisch zu lösen.
Letzterer Weg wird, aufgrund der einfacheren Handhabung, in dieser Arbeit beschritten.
42
3.2.2
Phasenanpassung
Um den parametrischen Prozess effizient gestallten zu können, müssen die beteiligten
Wellen optimal phasenangepasst werden. Dies wird durch die Anpassung der Phasengeschwindigkeiten, bei kurzen Impulsen der Gruppengeschwindigkeit, realisiert ([3]). In
der vorliegenden Modellierung wird die Anpassung der Gruppengeschwindigkeit durch
Betrachtung einzelner Stützstellen des Signalspektrums umgesetzt. Für diese einzelnen
Wellenlängen wird die Phasenanpassung im Sinne der Phasengeschwindigkeitsanpassung betrachtet. Über das gesamte Spektrum ist dann auch die Gruppengeschwindigkeit angepasst.
Zur Phasenanpassung muss man, im Falle von drei beteiligten Wellen,
∆~k = ~kp − ~ks + ~ki
(3.9)
der Art lösen, dass ∆~k → 0 geht. Hierbei sind alle Wellenzahlvektoren ~km (m =p,s,i)
von der jeweiligen Wellenlänge λ, sowie von den Winkeln θm und φm , welche die Lage
des Vektors im Raum in Kugelkoordinaten beschreiben, bestimmt. Hinzu kommt, ob bei
der jeweiligen Wellenlänge der ordentliche oder der außerordentliche Brechungsindex
zum tragen kommt, je nach Typ der Phasenanpassung und Art des Kristalls.
l
aus
Somit setzt sich der Wellezahlvektor ~km
~k l (φm , θm , λm ) = 2π nl (θm , λm ) ~e(φm , θm )
m
λm
no (λm , θm ) = no (λm )
s
ne (λm )2 no (λm )2
ne (λm , θm ) =
ne (λm )2 cos2 (θm ) + no (λm )2 sin2 (θm )


sin(θm )cos(φm )




~e(φm , θm ) =  sin(θm )sin(φm ) 


cos(θm )
mit l = e, o und m = p, s, i
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
zusammen, wobei no und ne den Sellmeiergleichungen für den ordentlichen (o) und den
außerordentlichen (e) Brechungsindex genügen. Die Winkel θ und φ beschreben die
Richtung des Wellenzahlvektors in Kugelkoordinaten der Einheitskugel. Der Ellipsoid
ne beschreibt die Abhängigkeit des außerordentlichen Brechungsindex in Abhängigkeit
43
von θm , und folgt aus der Eigenschaft der Doppelbrechung.
Im weiteren wird die Typ-I-Phasenanpassung in einem negativ uniaxialen Kristalls
realisiert. Für die Wellenvektoren gilt dann:
∆~k = ~kpe (φp , θp , λp ) − ~kso (φs , θs , λs ) − ~kio (φi , θi , λi ).
(3.15)
Ausgehend von dieser Gleichung können weitere Vereinfachungen durchgeführt werden.
Da die Vektoren ~kp , ~ks und ~ki eine Ebene aufspannen, werden einige Winkel entsprechen
Abbildung 3.3: Zur Verdeutlichung der Winkelbeziehungen: optische Achse (z) und ~k-Vektor der
Pumpstrahlung definieren eine Ebene, mit dem senkrecht zu dieser Ebene stehenden
Vektor ein neues Koordinatensystem K’. Relativ dazu kann die Ebene, gebildet durch
~k-Vektor des Signals und ~k-Vektor des Idler, um den Winkel ϕSignal = ϕIdler + π
0
0
gedreht werden. θSignal
und θIdler
werden im System K’ gemessen. θP umpe und
ϕP umpe werden im Kristallsystem gemessen. ([5])
Abbildung 3.3 von einander abhängig. Zudem wird nur ~kp im Kristallsystem beschrieben. ~ks und ~ki werden im durch ~kp und die z-Achse bestimmten Koordinatensystem
K’ beschrieben. Die in der Berechnung unabhängigen Winkel reduzieren sich somit auf
fünf: θp , φp , θs ’, θi ’, φs ’.
Die Minimierung von ∆~k → 0 kann nun, für drei beteiligte Wellen, numerisch, durch
variation der fünf unabhängigen Winkel, durchgeführt werden.
Für die Anwendung auf ultrakurze Impulse wird die Modellierung nun etwas komplizierter. Es werden nun über das Signalspektrum fünf Stützstellen festgelegt. Für jede
44
ks
ki
qp
kp
optische Achse
Abbildung 3.4: Lage der k-Vektoren für die Idlergeneration: Gezeigt ist die Lage der k-Vektoren für
Pumpe, Signal und Idler. Das Signal (~ks ) wird unter einem spektral abhängigem
Winkelspektrum eingestrahlt. Dadurch wird erreicht, daß alle erzeugten spektralen
Komponenten des Idler (~ki ) kollinear sind.
dieser Stützstellen wird seperat das jeweilige ∆~k aufgestellt. Diese werden dann zusammen minimiert.
∆K = ∆k−2 + ∆k−1 + ∆k0 + ∆k+1 + ∆k+2 muss also insgesamt minimiert werden,
wobei gewisse Einschränkungen getroffen werden können.
• Die Pumpe kann als monochromatisch angesehen werden. Zudem wird sie in
einer bestimmten Richtung eingestrahlt, sodaß θp und φp für alle Stützstellen
gleich sind.
• Den Idler kann man ähnlich betrachten. Da alle spektralen Komponenten des
Idlers kollinear generiert werden sollen, gilt auch hier, daß θi und φi für alle
Stützstellen gleich sind.
• Für das Signal haben die spektralen Komponenten der jeweiligen Stützstellen
von einander verschiedene Einfallswinkel θs . Da die am parametrischen Prozess
beteiligten Wellen alle in einer Ebene liegen, ist der Winkel ϕ0s im System K’ für
alle beteiligten Signalwellen gleich.
Somit müssen für die Pumpe, den Idler und für die fünf Stützstellen des Signals jeweils
die Winkel θ bestimmt werden. Der Winkel ϕ muss lediglich für die Pumpe und ϕ0 für
den Idler bestimmt werden.
45
3.3
Anwendung des Modells zur Berechnung von
Kristallen für einen optisch parametrischen Verstärker
unter Verwendung von BBO-Kristalle
3.3.1
Eigenschaften von BBO
Das Modell wird auf einen parametrischen Verstärker mit BBO (β-Barium Borat) als
nichtlinearen optischen Kristall angewand. BBO ist ein negativer uniaxialer Kristall
der Punktgruppe 3m ([9], [17]). Die Dichte beträgt 3,85 cmg 3 . Die Sellmeier Gleichungen
0, 01878
− 0, 01354 λ2
λ2 − 0, 01822
0, 01224
− 0, 01516 λ2
ne (λ[µm]) = 2, 3753 + 2
λ − 0, 01667
no (λ[µm]) = 2, 7359 +
und die nichtlinearen Koeffizienten (Kleinmannschreibweise)
d22 = 2, 3
d21 = −2, 3
d16 = −4, 6
d15 = 0, 1
d24 = 0, 1
d31 = 0, 16
d32 = 0, 16
pm
V
pm
V
pm
V
pm
V
pm
V
pm
V
pm
V
sind bekannt([9], [17], [18]). BBO ist im Bereich von 190 nm bis 3,5 µm transparent.
Die Brechungsindex-Temperatur-Drift im Sichtbaren liegen in der Größenordnung
dn
dT
∼
−10−5 ([9]) und werden hier als vernachlässigbar betrachtet. Die Zerstörintensität bei
10 ns liegt bei ca. 50 · 1012 mW2 .
46
3.3.2
Berechnungen der Phasenanpassungswinkel und der Kristallängen zur parametrischen Verstärkung in BBO
Es sollen nachfolgend einige BBO-Kristalle für ein OPA-System berechnet werden,
welches folgenden Rahmenbedingungen genügen soll.
Das Signal ist ein mit τFWHM =200ps gechripter Impuls bei 800nm Zentralwellenlänge,
wie er als Ergebnis aus Kapitel 1 resultiert. Die Impulsenergie beträgt ca. 1nJ. Die
spektrale Bandbreite (FWHM) liegt bei ∆λs =40 nm.
Die Pumpe ist ein τFWHM ≥200 ps Impuls bei 450 nm (Kapitel 2). Die Bandbreite des
Pumpimpulses wird als nahezu Bandreitenbegrenz angesehen, zumindest ist ∆λs ∆λp . Die Impulsenergie der Pumpe soll zwischen 1 mJ und 5 mJ liegen.
Zunächst muss die Phasenanpassung realisiert werden. Vier Stützstellen des Signals
werden in 10 nm-Schritten um die Zentralwellenlänge bei 800 nm aufgestellt, die fünfte
Stützstelle stellt die Zentralwellenlänge selber dar.
Zur weiteren Vereinfachung kann man die Winkel ϕp und ϕs mit Null gleich setzen, da
diese keinen Einfluss auf den außerordentlichen oder den ordentlichen Brechungsindex
haben.
Unter diesen Vorraussetzungen erhält man eine Lösung für alle Winkel:
θp
=
26◦
θi ’
=
-52,95◦
θs1 ’
= 51,303◦
(780 nm)
θs2 ’
= 51,282◦
(790 nm)
θs3 ’
= 51,261◦
(800 nm)
θs4 ’
= 51,239◦
(810 nm)
θs5 ’
= 51,218◦
(820 nm)
ϕs ’
=
0◦
ϕi ’
=
180◦
ϕp ’
=
0◦
Die Kristalle sollen nun so geschnitten werden, daß die Pumpwelle senkrecht auf den
Kristall trifft. Somit sind die Kristallwinkel also ϕ = 0◦ und θ = 26◦ .
Um die für eine effektive Umwandlung notwendige Kristallänge zu bestimmten, müssen
47
die gekoppelten Differentialgleichungen 3.6 bis 3.8 numerisch unter Einbeziehung der
Rahmenbedingungen gelöst werden. Das Ergebnis für eine solche Berechnung ist beispielhaft in Abbildung 3.5 wiedergegeben. Da die Pumpenergie Schwankungen unterliegen kann, und trotzdem möglichst konstante Ergebnisse am Ausgang des OPA erhalten
werden sollen, wird dies in der Berechnung ebenfalls berücksichtigt ([27]). Gleiches gilt
für die Variation der Signalenergie. Die Ergebnisse für eine solche Berechnung sind in
Abbildung 3.6 wiedergegeben. Die in Abbildung 3.6 wiedergegebenen Verläufe von
Abbildung 3.5: Darstellung der prinzipiellen Entwicklung von Pumpe, Signal und Idler im Kristall
für die Parameter: Pumpenergie 5 mJ, Signalenergie 1 nJ.
Signal-, Idler- und Pumpamplitude sind für die angegebenen Energien berechnet. Auf
Basis dieser Berechnungen sollte der verwendete BBO-Kristall 3 mm lang sein.
Die Eingangsparameter wurden allerdings so gewählt, daß die Intensitäten, welche
letztlich ausschlaggebend für die Kristallänge sind, die Zerstörintensität gerade nicht
überschreiten (Vgl. Kapitel C.2).
Aufgrund dessen, daß die Intensität, insbesondere der Pumpstrahlung, im Kristall nicht
48
1mJ
2mJ
5mJ
7mJ
10mJ
Amplitude ui[a.u.]
Idler
Variation der Pumpenergie
Signalenergie: 1nj
0,0
1,0m
2,0m
3,0m
4,0m
5,0m
Weg durch Kristall z[m]
(a) Entwicklung des Idler im Kristall bei Varia-
(b) Entwicklung des Idler im Kristall bei Varia-
tion der Pumpenergie. Die Signalenergie ist
tion der Signalenergie. Die Pumpenergie ist
konstant bei 1 nJ
konstant bei 5 mJ
Abbildung 3.6: Berechnung der Kristallänge: Die optimale Kristallänge für die möglichst
vollständige Umwandlung von Pumpenergie in Idler- und Signalenergie soll bestimmt werden. Einfluss hierauf haben die Variiation von Pumpenergie und Signalenergie vor dem Prozess. Auf Basis dieser Berechnung und unter Einbeziehung der
Überlegungen bezüglich der Pumpimpulsenergiestabilität ([27]) sollte der Kristall
3 mm lang sein.
zwingend die Zerstörschwelle erreichen sollte, darüber hinaus Untersuchungen mit geringerer Fokussierung denkbar sind, sowie die Effizienz der Umwandlung durch andere
Einflüsse geringer, als hier angenommen sein könnte, ist auch von größeren Wechselwirkungslängen auszugehen.
Ausgehend von diesen Überlegungen werden Kristalle der Längen 3 mm, 3,5 mm und
4,5 mm für die Versuche vorgesehen.
49
3.4
Experimentelle Realisierung der parametrischen
Verstärkung und der Erzeugung des Winkelspektrums
3.4.1
Demonstration der parametrischen Verstärkung mit den
vorhandenen Kristallen
Aufgrund der unzureichenden Energie der verstärkten Pump-Laserimpulse bei 900 nm,
bzw. bei 450 nm, war es nicht möglich, die Funktion der Kristalle in der vorgesehenen
Art und Weise zu zeigen.
Alternativ hierzu wäre eine Testanordnung unter Einsatz eines frequenzverdreifachten
Nd:YAG-Lasers mit ns-Impulslänge. Um hiermit die 200 ps 800 nm Signalimpulse effizient zu verstärken, bzw. den Idler zu generieren, müsste die Kristallänge allerdings 5 cm
betragen. Die Abschätzung hierzu ist in Abbildung 3.7 wiedergegeben. Eine sichtbare
Abbildung 3.7: Abschätzung der Verstärkung mit einem frequnezverdreifachten Nd:YAG-Laser: Die
Pumpenergie wurde mit 50 mJ angenommen, Impulslänge 10 ns. Die Kristallänge für
eine effiziente Umwandlung beträgt ca. 5 cm.
Umwandlung ist mit den vorliegenden Kristallen nicht möglich, die Funktionalität der
Verstärkung nicht nachweisbar. Ursache hierfür ist, daß die Impulslänge des Nd:YAG-
50
Lasers bei 10 ns liegt, die der Signalimpulse aber lediglich bei 200 ps. Somit kann nur
ein geringer Teil des Pumpimpulses tatsächlich genuzt werden.
Mit den vorliegenden Kristallen von unter 5 mm Länge ist es aber trotzdem möglich
Trennung von Signal und Pumpe
OPA-Kristall
Schirm
Strahlseperation
frequenzverdreifachter Nd:YAG-Laser
Abbildung 3.8: Testaufbau zur Demonstration der prinzipiellen Funktionalität der parametrischen
Verstärkung: Aus dem Nd:YAG-Laser tritt Licht der Grundwelle (1064 nm) und
Licht der zweiten (532 nm) und der dritten (355 nm) Harmonischen aus. Im Strahlseperator wird die Grundwelle und die zweite Harmonische weitestgehenst geblockt.
Trotz der Filterung tritt ein geringer Teil der zweiten Harmonischen mit aus dem
Seperator aus. Dies kann im Kristall parametrisch Verstärkt werden. Zur besseren Beobachtung wird das aus dem Kristall austretende blaue (355 nm) und grüne
(532 nm) Licht seperiert auf einen Schirm gestrahlt.
die prinzipielle Funktion als parametrischen Verstärker zu zeigen.
Infolge des Konvertierungsprozesses von Strahlung bei 1064 nm zu Strahlung bei 355 nm
im Pumplaser tritt neben der Strahlung bei 355 nm auch nahezu kollinear Strahlung bei
532 nm auf. Diese kann man parametrisch Verstärken. Unter Verwendung des Modells
erhält man einen Phasenanpassungswinkel im Bereich 30◦ ≤ θp ≤ 36◦ . Die Angabe
des Winkelbereichs ist dem Umstand geschuldet, daß die experimentellen Umstände
in einem geringen Bereich nichtkollineare Phasenanpassung zulassen. Für den Fall exakter Kollinearität ist θ = 31, 2◦ . Die experimentelle Anordnung für diesen Test ist
in Abbildung 3.8 gezeigt. Abbildung 3.9 zeigt die Abschätzung der zu erwartenden
Umwandlungsrate. Es ist zu erwarten, daß das Signal bei 532 nm bei Verwendung der
vorhandenen Kristalle wenigstens um eine Größenordnung verstärkt wird. Hierdurch
sollte das verstärkte Signal gut auf dem Schirm sichtbar sein. Im Experiment zeig-
51
Abbildung 3.9: Abschätzung der Effizienz der parametrischen Verstärkung im Testexperiment: Ausgehend von einer Pumpenergie von 100 mJ und einer Impulslänge von 10 ns ist die
Entwicklung von Signal, Idler und Pumpe berechnet worden. Der Bereich zwischen
3 mm und 4,5 mm ist markiert worden, hier liegen die vorhandenen Kristallängen.
Somit ist eine Verstärkung um mindestens eine Größenordnung zu erwarten.
te sich eine Verdrehung des Kristalls um θ=8◦ bis 9◦ als effektiv zur Umwandlung.
Da die Kristalle bereits unter θ = 26◦ zur optischen Achse geschnitten sind, ergibt
sich der Winkel, unter dem parametrische Verstärkung auftritt, zu 34◦ bis 35◦ . Die
Rückkonversion, bzw. parametische Verstärkung konnte so demonstriert werden. Die
Beobachtung auf dem Schirm (Abb. 3.8) ist in Abbildung 3.10 gezeigt.
52
Abbildung 3.10: Ergebnis der Demonstration der parametrischen Verstärkung: Auf der rechten Seite
ist die verbleibende Pumpstrahlung bei 355 nm, bzw. die von ihr ausgelöste Fluoreszenz des Schirms (Papier) zu sehen. Links ist das parametrisch verstärkte Licht
bei 532 nm zu sehen.
3.4.2
Erzeugung des Winkelspektrums
Bei der beabsichtigten Anwendung der parametrischen Verstärkung soll das Signal
unter spektral unterschiedlichen Winkel eingestrahlt werden. Die experimentelle Realisierung hierzu sieht vor das Signal nach dem Strecken in der Faser auf ein optisches
Gitter einzustrahlen. Die unter verschiedenen Winkel gebeugten spektralen Komponenten werden anschliessend durch eine geeignete Optik (Linse) wieder fokussiert. Somit
erreicht man im Fokus (Taille) in Abhängigkeit vom Auflösungsvermögen des Gitters
und der Abbildung der Optik die gewünschte spektrale Winkelverteilung. Der experimentelle Aufbau hierzu ist in Abbildung 3.11 wiedergegeben. Unter Verwendung der
Anordnung in Abbildung 3.11 wurde experimentell eine mögliche spektrale Winkelver1
teilung aufgenommen. Es wurde ein Gitter mit einer Gitterkonstante von g=162 mm
verwendet. Die gemessene Verteilung ist in Abbildung 3.12 wiedergegeben. Es ist somit möglich eine Winkelverteilung des Signals zu erzeugen, mit der der parametrische
Verstärker in der vorgesehenen Weise betrieben werden kann. Durch eine der berrechneten Winkelverteilung angepasste Abbildung der vom Gitter reflektierten spektralen
53
Fasereingang,
drehbar
Linse
opt. Gitter
fasergekoppeltes
Spektrometer
Ti:Sa-Oszillator
Abbildung 3.11: Demonstrationsaufbau zur Erzeugung der spektralen Winkelverteilung: Die Impulse, welche aus dem Oszillator kommen, werden auf das optische Gitter eingestrahlt.
Die so unter verschiedenen Winkel vom Gitter gebeugten spektralen Komponenten
der Impulse werden durch eine geeignete Optik, hier eine Linse, wieder fokussiert.
Im Fokus befindet sich der Drehpunkt eines Drehtisches. Auf ihm ist der Fasereingang eines Spektrometers so aufgebracht, daß winkelaufgelöst das Spektrum gemessen werden kann.
Abbildung 3.12: Experimentelle Messung der spektralen Winkelverteilung: Beispielhaft ist eine gemessene Verteilung wiedergegeben.
54
Winkelverteilung, bzw. eine Anpassung der Gitterkonstante des Gitters, kann dies realisiert werden.
55
3.5
Resultate der Überlegungen und der Experimente zur optisch parametrischen Verstärkung
Im vorliegenden Abschnitt wurde ein neuartiges Modell zur Berechnung von nichtlinearoptischen Kristallen zur optisch parametrischen Erzeugung und Verstärkung von Laserimpulsen entwickelt. Auf Basis dieses Modells wurden Kristalle aus β-Barium Borat
gefertigt, mit einer Länge von 3 mm, 3,5 mm und 4,5 mm. Ihre prinzipielle Funktion als
Kernelement eines parametrischen Verstärkers konnte gezeigt werden.
Das für die eigentliche Funktion des Gesamtsystems notwendige Winkelspektrum des
Signals zur Generation eines spektral-kollinearen Idler konnte experimentell erzeugt
werden.
Nach Auswertung der vorliegenden experimentellen Ergebnisse ist es, unter Verwendung einer geeigneten Pumpe (λ=450 nm, τ =200 ps, E=5 mJ), möglich den Verstärker
in der vorgesehenen Weise zu betreiben.
56
Zusammenfassung
Aufgabe der vorliegenden Arbeit war es die Umsetzbarkeit eines neuartigen parametrischen Verstärkers im Hinblick auf Impulsstreckung, Frequenzverschiebung und parametrischer Verstärkung ultrakurzer Laserimpulse zu untersuchen. Dazu war die Funktion
der einzelnen Komponenten für ein System zur Generierung gechirpter bandbreitiger
ps-Impulse im mJ-Bereich zu zeigen.
Die zeitliche Streckung von ultrakurzen Laserimpulsen bei 800 nm wurde unter Einbeziehung der Selbstphasenmodulation beschrieben und eine Faserlänge berrechnet,
um die Impulse auf 200 ps zu strecken. Diese Impulslänge ist aufgrund der höheren
Zerstörschwelle der beteiligten Materialien im ps-Zeitbereich als im fs-Zeitbereich notwendig. Im Experiment konnte durch zwei unterschiedliche Messmethoden gezeigt werden, daß gechirpte Laserimpulse eine Dauer von 195 ps nach dem Durchlaufen der Faser
hatten.
Die Verkopplung von Frequenzverschiebung und anschliessender Verstärkung wurde
intensiv studiert. Im Ergebnis war die Umwandlungseffizienz der Frequenzverschiebung nicht hoch genug, d.h. der Anteil der eingestrahlten Gesamtimpulsenergie, der
auf 900 nm frequenzverschoben werden konnte war zu gering. Somit konnten keine Seedimpulse zur Verfügung gestellt werden , welche eine bereits ausreichend hohe Energie
hatten um auf mJ-Niveau verstärkt zu werden.
Eine Verstärkung der aus der Frequenzverschiebung resultierenden Impulse konnten
trotzdem gezeigt werden. Es wurde trotzdem eine Verstärkung der Seedimpulse mit
dem Faktor 106 demonstriert und der Nachweis erbracht, daß Impulsenergien im mJBereich aus dem Verstärker extrahierbar sind.
Für die Frequenzverdopplung wurden auf Basis der Impulsenergie, der Impulslänge, der
57
Impulsquerschnitte und der Materialleigenschaften Kristalle berrechnet. Die nach dieser Berechnung gefertigten Kristalle wurden experimentell hinsichtlich ihrer Eignung
zur Frequenzverdopplung untersucht. Die Frequenzverdopplung zur Erzeugung der für
die parametrische Verstärkung notwendigen Pumpwellenlänge konnte im Prinzip demonstriert werden. Hierzu wurden zum einen verstärkte Impulse im µJ-Bereich durch
Fokussierung in den Kristall frequenzverdoppelt. Das konnte auch im freilaufenden Betrieb mit Impulsen mit Energien von einigen mJ gezeigt werden. Somit ist es möglich
geeignete Pumpimpulse bei 450 nm mit Impulslänge von ca. 200 ps und mit einigen mJ
Impulsenergie zu erzeugen.
Für die parametrische Verstärkung wurde auf Basis der vorhandenen Literatur ein spezifisches Modell entwickelt, um spektral-kollineare Idlerpulse bei 1030 nm unter Einstrahlung einer spektralen Winkelverteilung des Signals zu generieren. Auf Basis dieses
Modells wurden einige BBO-Kristalle für die parametrische Anwendung gefertigt.
Durch die geringe Pumpimpulsenergie konnte zwar die breitbandige, nichtkollineare
parametrische Verstärkung nicht, aber die Funktion der Kristalle unter Zuhilfenahme
eines frequenzverdreifachten Nd:YAG-Lasers gezeigt werden. Hierzu wurde die zweite
Harmonische des gleichen Lasers parametrisch Verstärkt.
Um die Funktion des Gesamtsystems zeigen zu können, müsste die Verstärkung der wellenlängenverschobenen Impulse effektiver gestaltet werden, d.h. der Verstärkungsfaktor
vergrößert werden, bzw. die Impulsenergie der Seedimpulse vor der Verstärkung größer
sein. Ein möglicher Ansatzpunkt hierbei ist die Optimierung der Frequenzverschiebung.
Die theoretischen Überlegungen und die durchgeführten Experimente wiedersprechen
in keinster Weise der Machbarkeit eines solchen Lasersystems zur Erzeugung von gechirpten Impulsen hoher Bandbreite bei 1030 nm mit mJ-Impulsenergie.
58
Anhang
59
Anhang A
Optisch Parametrische
Verstärkung, Entwicklung des
Modells
A.1
A.1.1
Theorie der optisch parametrischen Verstärkung
Maxwellsche Gleichungen und Wellengleichung
Elektromagnetische Felder werden durch die Maxwellschen Gleichungen
~ =ρ
divD
~
~ = − ∂B
rotE
∂t
~ =0
divB
~
~ = ~j + ∂ D
rotH
∂t
(A.1)
(A.2)
(A.3)
(A.4)
beschrieben. Aus diesen kann man nun unter Zuhilfenahme der Materialgleichungen
~ = 0 E
~ + P~ (E)
~ und B
~ = µ0 H
~ + ~j(H)
~ und unter Annahme eines dielektrischen
D
Mediums (ρ = 0, σ = 0, µ = 1, demzufolge auch ~j = 0) durch
∂
~
(rotH)
∂t
(A.5)
2
2
~ = µ0 ∂ (ε0 E
~ + P~ )
~ + grad divE
~ = µ0 ∂ D
∆E
∂t2
∂t2
(A.6)
~ = −µ0
rot(rotE)
60
die Wellengleichung
~
~
∂ 2 P~ (E)
1 ∂2E
=
µ
(A.7)
0
c2 ∂t2
∂t2
~ linear
entwickeln, wobei µ0 ε0 = c12 . Die Polarisation P~ hat nun nicht nur einen von E
~−
4E
abhängigen Anteil P~L , welcher für eine Änderung der Phasengeschwindigkeit (Brechungsindex) verantwortlich ist, sondern Anteile höherer Ordnung P~N L , welche für die
nichtlinearen Effekte verantwortlich sind:
~ E)
~ E
~ + ...] .
~ E
~ + ((χ3 E)
~ + (χ2 E)
P~ = 0 [χ1 E
(A.8)
~ ist, wie bereits erwähnt, für die Änderung der PhasengeDas lineare Glied P~L = χ1 E
schwindigkeit, und damit für Effekte wie Brechung des Lichts, verantwortlich.
Die restlichen, höheren Glieder zeichnen dann für die Effekte der nichtlinearen Optik
verantwortlich.
Die Suszeptibilität erster Ordnung χ1 ist eine 3x3-Matrix (Tensor 2.Stufe), die Suszeptibilität zweiter Ordnung χ2 ein 3x3x3-Tensor 3.Stufe und die Suszeptibilität dritter
Ordnung χ3 ein entsprechender Tensor 4.Stufe. Die weiterfolgenden Suszeptibilitäten
der höheren Ordnungen setzen sich dementsprechend in ihrer Struktur fort.
Für Festkörper im Allgemeinen unterscheiden sich die Größenordnungen der Suszeptibilitäten; χ1 ∼ 1, χ2 ∼ 10−10 cm/V, χ3 ∼ 10−17 cm2 /V2 . Damit Effekte der zweiten
Ordnung zum Tragen kommen, müssen Feldstärken der Grössenordnung ∼ 106 V/m
erreicht werden, für Effekte der dritten Ordnung gar ∼ 108 V/m.
A.1.2
Wichtige Glieder der Polarisation für Optisch Parametrische Verstärkung
Die optisch parametrische Verstärkung ist ein Effekt zweiter Ordnung. Somit werden
in die Betrachtung lediglich die Glieder bis zur zweiten Ordnung einfließen. Die Differentialgleichung für das elektrische Feld lautet somit jetzt
~−
4E
~
~
~
∂ 2 P~L (E)
∂ 2 P~N L (E)
1 ∂2E
=
µ
+
µ
.
0
0
c2 ∂t2
∂t2
∂t2
61
(A.9)
Unter Verwendung der Beziehung χ1 + 1 = n2 und Einsetzen der linearen und nichtlinearen Glieder der Polarisation erhält man
2
2 2~
~ E).
~
~ − n ∂ E = µ0 ∂ ((0 χ2 E)
4E
c2 ∂t2
∂t2
(A.10)
Das elektrische Feld kann in den senkrecht und den parallel zur Ausbreitungsrichtung
z stehenden Anteil aufgespalten werden, wobei nur der senkrechte Teil des elektrischen
Feldes Energie enthällt. Dieser Ansatz entspricht der Beschreibung als ebene Welle.
~ =
Daraus folgt eine erste Vereinfachung, 4E
∂2 ~
E
∂y 2
∂2 ~
E,
∂z 2
da bei der ebenen Welle
∂2 ~
E
∂x2
=
= 0 gilt.
Führen wir nun eine Anzahl n von ebenen monochromatischen Wellen der Form
X
~ z) =
~ n (z)ej(kn z−ωn t) e−jϕn + c.c.1
E(t,
(A.11)
E
n
ein. Dies bedeutet, dass wir eine gewisse Anzahl von Wellen in die Differentialgleichung
einführen. Der linke Teil der Gleichung A.10 geht zu
X ∂2
n(ωn )2 ∂ 2 ~
En (z)ej(kn z−ωn t) e−jϕn + c.c.
−
2
2
2
∂z
c
∂t
n
(A.12)
über. Da es sich hier um eine Summation einzelner Glieder handelt, werden wir die
weitere Entwicklung der linken Seite zunächst an einem der Glieder betrachten.
Es wird nun der Ansatz der Approximation der langsam variierenden Amplitude eingeführt. Dies bedeutet, dass im zeitlichen Bereich die Amplitude nur sehr langsam
variiert, d.h.
~ n (z)
∂E
∂t
= 0, bzw. für den Ortsbereich, dass innerhalb einer Wellenlänge λ
2
~
~
∂ E(z)
∂ E(z)
die Amplitude sich nicht signifikant ändert, also ∂z2 k ∂z . Aus der Zeitablei-
tung resultiert dann der Term
n(ωn )2 2
ω
c2
~ n (z), das eines
~ n (z), welcher sich mit −k 2 · E
·E
n
der Glieder der Ortsableitungen ist, zu Null ergänzt, da kn2 =
n(ωn )2 2
ω .
c2
ausgeschrieben steht nun dort
2
∂ ~
∂
En (z)ej(kn z−ωn t) e−jϕn + c.c. .
− 2ikn
∂z 2
∂z
Vollständig
(A.13)
Unter Verwendung der Approximation der langsam variierenden Amplitude im Ortsbereich geht die Differentialgleichung für das n-te Feld in
1 ∂2
∂ ~
j(kn z−ωn t) −jϕn
~
~ E)
e
= 2 2 ((χ2 E)
2jkn En (z)e
∂z
c ∂t
über.
1
c.c. meint den konjugiert komplexen Anteil
62
(A.14)
A.1.3
Differentialgleichungen zur Beschreibung der Optisch
Parametrischen Verstärkung
Bei der optisch parametrischen Verstärkung handelt es sich um den allgemeinen Fall
der Summenfrequenzbildung, bzw. deren Umkehr. An dem Prozess nehmen drei elektromagnetische Wellen teil, die sogenannte Pumpe (p), das Signal (s) und der Idler
(i). Die Wellen unterscheiden sich durch ihre Wellenlängen, ihre Wellenzahlen und ihre
Amplituden. Sie sind über Energie- und Impulserhaltung verknüpft. Zusammenfassend
kann man also
~ =E
~ p (z)ej(kp z−ωp t) e−jϕp + E
~ s (z)ej(ks z−ωs t) e−jϕs + E
~ i (z)ej(ki z−ωi t) e−jϕi + c.c.
E
ωp = ω s + ω i
~kp = ~ks + ~ki + ∆~k (A.15)
als Vorraussetzung annehmen.
Die Suszeptibilität χ2 ist, wie in [22] gezeigt wird, im zu betrachtenden Bereich wellenlängenunabhängig. Zudem reduzieren sich die 27 Einträge in diesem 3×3×3-Tensor
infolge von Symmetriebetrachtungen auf maximal 18 Einträge. Von diesen kommen
dann wiederum nur einige zum tragen, da nur einige verschieden von Null sind ([18]).
Somit geht das χ2 zu einem deff über, welches von den Winkeln zwischen den dielektrischen Achsen des Kristalls und den einzelnen Wellen und den jeweilligen Tensorein~ E)
~ ausschreibt, erhält man einen
trägen abhängig ist. Wenn man nun den Term ((χ2 E)
Term mit allen möglichen Kombinationen der Feldstärken (auch deren konjugiert kom~
plexen). Zudem gehen wir von der vektoriellen schreibweise der E-Felder
zur skalaren
über, da wir davon ausgehen, dass diese Felder linear polarisiert sind, und in spezifischer Art zu einander stehen. Dies wird in Abschnit A.2 diskutiert. Für die optisch
parametrische Verstärkung kommen dann, wenn man die Bedingungen von Gl.(A.15)
mit einbezieht, nur einige der Glieder der Polarisation zum tragen;
~ iE
~ p ejks z e−jωs t e−j∆kz e−j(ϕp −ϕi )
P~s ∼ 2 def f E
~ sE
~ p ejki z e−jωi t e−j∆kz e−j(ϕp −ϕs )
P~i ∼ 2 def f E
~ sE
~ i ejkp z e−jωp t e+j∆kz e+j(ϕs +ϕi )
P~p ∼ 2 def f E
63
Somit kann man nun, mit ∆ϕ = ϕp − ϕs − ϕi die gekoppelten Differentialgleichungen
für die optisch parametrische Verstärkung aufschreiben
ωs
∂ ~
~ iE
~ p e−j(∆kz+∆ϕ)
Es (z) = −j
def f E
∂z
c ns
∂ ~
ωi
~ sE
~ p e−j(∆kz+∆ϕ)
Ei (z) = −j
def f E
∂z
c ni
ωp
∂ ~
~ sE
~ i e+j(∆kz+∆ϕ)
Ep (z) = −j
def f E
∂z
c np
A.2
(A.16)
(A.17)
(A.18)
k-Vektoren und die Polarisation der E-Vektoren;
Typen der Phasenanpassung
Es soll Phasenanpassung in einem doppelbrechenden Kristall realisiert werden. Doppelbrechung ist eine Eigenschaft aller anisotropen Kristalle, außer denen der kubischen
Kristallklasse. Die Doppelbrechung bewirkt beim Durchgang unpolarisierten Lichtes
~
(alle Polarisationszustände des E-Feldes
vorhanden) durch einen entsprechenden Kristall eine Aufspaltung in zwei Strahlen; den außerordentlich und den ordentlich polarisierten Strahl ([14],[4]). Bemerkenswert ist hierbei, dass die Polarisationen beider
Strahlen senkrecht zu einander stehen. Im weiteren wird die genaueBetrachtung hierzu
in die Modellentwicklung mit einfliessen.
Es gibt biaxiale und uniaxiale doppelbrechende Kristalle. Diese unterscheiden sich in
der Anzahl der optischen Achsen. Die optische Achse in einem doppelbrechenden Kristall ist dadurch definiert, dass entlang dieser die Polarisation der einfallenden elektromagnetischen Welle keine Rolle für die Größe der Brechzahl spielt. Entlang dieser
Achse eingestrahltes Licht erfährt keine Doppelbrechung.
Uniaxiale Kristalle haben eine, biaxiale zwei optische Achsen. Im weiteren soll nur die
Phasenanpassung im uniaxialen Kristall betrachtet werden.
Phasenanpassung heißt, dass die drei unterschiedlichen Wellen den doppelbrechenden
Kristall so durchlaufen, dass sie im Idealfall die gleiche Phasengeschwindigkeit haben.
Hierdurch wird erreicht, dass der Energie- bzw. Impulstransfer zwischen den beteiligten
Wellen möglichst effizient (z.b. hohe Umwandlungsrate bei Frequenzverdopplung) ist,
bzw. keine Oszillation des gewünschten Prozesses stattfindet.
64
Abbildung A.1: Indexellipsoid des positiv uniaxialen Kristalls
Im einfachbrechenden Kristall ist dies nicht möglich, da die Brechzahl eine Funktion
der Wellenlänge ist (Dispersion), und die interagierenden Wellen unterschiedliche Wellenlängen haben, d.h. Wellen unterschiedlicher Wellenlänge also auseinander laufen.
In einem doppelbrechenden Kristall wird die Phasenanpassung dadurch erreicht, dass
man die interagierenden Wellen unter solchem Winkel und solcher Polarisation einstrahlt, dass die Phasen gleich schnell, d.h. mit gleicher Geschwindigkeit, durch das
Medium laufen.
Im Speziallfall der Drei-Wellen-Mischung, der Erzeugung der zweiten Harmonischen
(SHG ... Second Harmonic Generation), ist dies sogar kollinear möglich, d.h. die ~kVektoren liegen alle auf einer Achse.
Im allgemeinen ist eine kollineare Phasenanpassung allerdings nicht möglich. In diesem Fall werden die einzelnen Wellen unter verschiedenen Winkeln eingestrahlt. Hinzukommt dann noch die Effekte der Doppelbrechung welche durch die Polarisation
der Wellen hinzukommen. Für die Polarisationen der E-Felder bei der Drei-WellenMischung gibt es prinzipiell folgende Möglichkeiten ([9]):
e-oo
e-eo
65
e-oe
o-ee
o-eo
o-oe
Hierbei meint o ordentlich polarisiert (ordinary polarization) und e außerordentlich
polarisiert (extraordinary polarization), bezugnehmend auf die Polarisation der beteiligten Wellen, wobei jeder Buchstabe für die Polarisation der beteiligten Wellen steht.
Für die SHG, bei der ja eigentlich nur zwei Wellen interagieren (Grundwelle und erste
Harmonische) vereinfacht sich das System, da jeweils eo-e und oe-e, sowie eo-o und oe-o
gleich sind. Für die optisch parametrische Verstärkung, bei der drei Wellen unterschiedlicher Wellenlänge beteiligt sind, unterscheidet man zwischen Typ-I-Phasenanpassung
und Typ-II-Phasenanpassung; Typ I beschreibt den Zustand, dass Signal- und Idlerwelle die gleiche Polarisation senkrecht zur Pumpwelle haben, Typ II beschreibt die
Mischformen. Diese allgemeinen Typisierungen werden weiter eingeschränkt, jenachdem, ob ein positiv oder negativ doppelbrechender uniaxialer Kristall zur Frequenzmischung verwendet wird ([9]).
Das Prinzip der Phasenanpassung wird jetzt hier am Beispiel eines negativen uniaxialen Kristalls gezeigt. Für negative uniaxiale Kristalle gilt no ≥ne . Für diesen Fall ist der
Indexellipsosid in Abb. A.4 gezeigt. Für negativ uniaxiale Kristalle kann man folgende
Typen der Phasenanpassung für parametrische Generation finden:
1. e-oo
2. e-eo
3. e-oe .
Die Phasenanpassung des Typs e-oo (Typ I) ermöglicht eine breitbandige Phasenanpassung, dies bedeutet, dass um die optimal phasenangepasste Zentralwellenlänge eine
gewisse Bandbreite ähnlich gut phasenangepasst werden kann. Hierfür wird die Beschreibung fortgesetzt.
66
Abbildung A.2: Indexellipsoid des negativ uniaxialen Kristalls
Es muß somit
~
~
~
~
∆k = k p − k s + k i
(A.19)
auf ∆~k → 0 optimiert werden. Die k-Vektoren sind nun jeweils eine Funktion der
Wellenlänge, der Temperatur, der Polarisation und des Einfallswinkels in den Kristall.
Die Abhängigkeit von der Temperatur wird im weiteren vernachlässigt; man kan von
67
Abbildung A.3: Nichtkolineare Phasenanpassung; Lage der k-Vektoren
einer Labortemperatur von 20◦ C ausgehen. Somit ergibt sich für den m-ten k-Vektor
~k l (φm , θm , λm ) = 2π nl (θm , λm ) ~e(φm , θm )
m
λm
no (λm , θm ) = no (λm )
s
ne (λm )2 no (λm )2
ne (λm , θm ) =
ne (λm )2 cos2 (θm ) + no (λm )2 sin2 (θm )


sin(θm )cos(φm )




~e(φm , θm ) =  sin(θm )sin(φm ) 


cos(θm )
mit l = e, o und m = p, s, i
(A.20)
(A.21)
(A.22)
(A.23)
(A.24)
Hierbei sind no und ne durch die Sellmeier Gleichungen, in Abhängikeit der Wellenlänge, des jeweiligen Materials gegeben. Die Indizierung mit p,s und i bezieht sich
auf Pump-, Signal- und Idlerwelle. Zu beachten ist auch die Kennzeichnung der Brechungsindizes; ne bezieht sich auf die Sellmeier Gleichung, ne auf den entstehenden
Ellipsoiden des außerordentlichen Brechungsindexes.
Für eine Typ oo-e Phasenanpassung können wir nun
∆~k = ~kpe (φp , θp , λp ) − ~kso (φs , θs , λs ) − ~kio (φi , θi , λi )
auf Null optimieren.
68
(A.25)
Abbildung A.4: Lage der Winkel im Raum, Indexellipsoid des außerordentlichen Brechungsindex n e ,
der ordentliche würde eine Kugel ergeben, welche den Ellipsoiden auf der z-Achse
tangiert.
A.3
A.3.1
Entwicklung des Modells
gekoppelte Differentialgleichungen
Ausgehend von den Gl. A.16-A.18 kann man, unter Zuhilfenahme der Gleichung für
die Amplituden in polarer Schreibweise Em = ρm · e−j·ϕm (m=p,s,i), nun ein Modell
zur einfachen numerischen oder analytischen Berechnung entwickeln.
Da lediglich die Realteile der Gleichungen von Interesse sind, werden diese nun aufgeschrieben. Hinzu kommt eine Differentialgleichung für die Gesamtphase ([2], [3]). Somit
69
kann man nun
ωs
∂
ρs (z) = −
def f ρi ρp sin(θ)
∂z
c ns
ωi
∂
ρi (z) = −
def f ρs ρp sin(θ)
∂z
c ni
∂
ωp
ρp (z) = +
def f ρs ρi sin(θ)
∂z
c np
def f ωp ρs ρs ωi ρs ρp ωs ρi ρp
∂θ
= ∆k +
−
−
∂z
c
n p ρp
n i ρi
n s ρs
(A.26)
(A.27)
(A.28)
(A.29)
schreiben, mit θ = ∆k · z + ϕp − ϕs − ϕi . Zudem wurde hier die Betrachtung hinsichtlich
der Polarisation eingebunden; die vektorielle Schreibweise der E-Feld-Amplituden kann
hier entfallen, da ihre Polarisationen zueinander und zu den Kristallachsen durch die
Ergebnisse der Phasenanpassung festgelegt sind.
Eine Konstante bei der parametrischen Umwandlung, bei Annahme von keinen Verlusten, ist die Gesamtintensität W:
W = Is (0) + Ii (0) + Ip (0) =
0 c
ns ρ2s + ni ρ2i + np ρ2p ,
2
(A.30)
welche sich aus den summierten Intensitäten bei z=0 zusammensetzt. Die Brechungsindizes nl (mit l=p,s,i) sind jeweils die durch die entsprechenden Wellen erfahrenen.
Unter Zuhilfenahme der Gesamtintensität werden nun normierte Feldstärken nach dem
Schema
um =
r
0 λ m nm
ρm =
4πW
r
Im
ωm W
(A.31)
(m=s,i,p) eingeführt. Zusätzlich wird eine normierte Länge ξ eingeführt (z ist die Länge
in SI-Einheit):
√
4 def f π πW
ξ
=p
z
0 λ s λ i λ p ns ni np
Die Gl. A.26-A.29 kann man jetzt vereinfachen (mit ∆S =
(A.32)
∆k·z
).
ξ
∂us
= −ui up sin(θ)
∂ξ
∂ui
= −us up sin(θ)
∂ξ
∂up
= +us ui sin(θ)
∂ξ
us ui ui up us up
∂θ
= ∆S +
cos(θ)
−
−
∂ξ
up
us
ui
70
(A.33)
(A.34)
(A.35)
(A.36)
Ausgehend von diesem Satz gekoppelter Differentialgleichungen ist es möglich eine
analytische Lösung zu finden. Diese hat dann die Form eines elliptischen Sinus.
Auf diese Ausführungen kann man aber verzichten, und die Gleichungen numerisch,
mit bestimmten Eingangswerten, lösen.
A.3.2
Phasenanpassung
Das hier entwickelte Modell sieht vor einen breitbandigen kollinearen Idler zu generieren. Bei der üblichen Anwendung ([7]) der optisch parametrischen Verstärkung ultrakurzer Impulse werden die Signale als solche verstärkt, wobei maßgeblich auf ihre
spektrale Kollinearität geachtet wird. Die Idlerstrahlung tritt bei diesen Prozessen in
gewissen Winkelbereichen aus den verwendeten Kristallen aus und wird nicht weiter
verwendet.
Die Betrachtung hier sieht vor den Idler in den Mittelpunkt der Betrachtung zu rücken.
Durch die Einstrahlung des Signals unter spektralabhängigen Winkeln (Winkelspektrum) soll ein kollinarer Idler generiert werden.
Die Gl. A.25 liefert den Ausgangspunkt für die Berechung mittels numerischer Minimierung von ∆~k.
Zunächst kann man jede einzelne Komponente von ∆~k minimieren. Dies kann allerdings auch zu Fehlern führen, bzw. ist es umständlich, da somit dann drei Gleichungen
minimiert werden müssten.
Ein sinnvollerer Ansatz ist es, ∆k = |∆~k| zu minimieren.
Hinzukommt noch eine Einschränkung der Freiheitsgrade. Da die Vektoren der einzelnen Wellen gemeinsam eine Ebene bilden, ist dies möglich (Abb. 3.3). Zudem wird die
Lage des Signal- und des Idler-Vektors auf den Pump-Vektor bezogen. Die Transformation der

x


 y

z
Koordinaten des Signal- und des Idlervektors ist durch


 
x0
cos(θp )cos(φp ) −sin(φp ) sin(θp )cos(φp )


 


 
 =  cos(θp )sin(φp ) cos(φp ) sin(θp )sin(φp )   y 0 


 
0
z
−sin(θp )
0
cos(θp )
(A.37)
gegeben. Zudem gilt φ0s = φ0i + π. Somit reduziert sich die Anzahl der zu berechnenden
Winkel auf fünf.
71
Zudem soll die Phasenanpassung so gestaltet werden, dass eine spezifische Bandbreite
maximal phasenangepasst wird, d.h. nicht nur für eine Wellenlängenkombination soll
∆k minimiert werden, sondern für einen gesamten Bereich. Dies ist für ultrakurze Impulse unumgänglich, da diese eine nicht zu vernachlässigende Bandbreite haben.
Dieses Problem kann man lösen, indem man eine Anzahl m von Wellenlängenkombinationen
über die Bandbreite hinweg festlegt und die sich daraus ergebenden ∆km zusammen
P
minimiert. Es ergibt sich also ein ∆K = m ∆km , welches nun minimiert werden muss.
Man kann beispielsweise das Spektrum durch fünf Stützstellen beschreiben, λ−2 , λ−1 ,
λ0 , λ+1 , λ+2 . Somit muss
∆K = ∆k−2 + ∆k−1 + ∆k0 + ∆k+1 + ∆k+2
(A.38)
minimiert werden.
Das hier entwickelte Modell sieht vor, einen kollinearen Idler zu erzeugen. Dies wird
dadurch erreicht, dass das Signal als Winkelspektrum eingestrahlt wird (Abb. 3.4).
Darauf muss die Modellierung Rücksicht nehmen. Dies bedeutet, dass bei der numerischen Berechnung die Winkel θi0 für die Idlervektoren bei allen Stützstellen gleich
sind. Daraus folgend müssen die Winkel θs0 für die Signalstützstellen variiert werden.
Je größer hierbei der Winkel, desto geringer der Überlapp der beteiligten Wellen. Da
dies wiederum die Effizient verringert, muss darauf geachtet werden, dass die Winkel
nicht zu groß werden.
72
A.3.3
Berechnung der effektiven Nichtlinearität
Zur Berechnung von def f muss man
def f =
3
3 X
3 X
X
h
j
dhjk aph asj aik
(A.39)
k
vollständig aufschreiben, wobei dhjk die vollständige Schreibweise der Einträge in der
Kleinmannschreibweise sind. Die Einheitsvektoren der Polarisationen der ordentlichen
und außerordentlichen Wellen haben folgende Komponenten;


cos(θp )cos(φp )




~ap =  cos(θp )sin(φp ) 


−sin(θp )


−sin(φs )




~as =  cos(φs ) 


0


−sin(φi )




~ai =  cos(φi )  .


0
(A.40)
(A.41)
(A.42)
Damit ist es nun möglich, für alle möglichen Winkelkombinationen die effektive Nicht-
linearität zu errechnen.
73
Anhang B
Bandbreiten Vergrösserung durch
Selbstphasenmodulation
Um die Bandbreitenvergrößerung, beim Durchgang durch eine Singlemodefaser, abzuschätzen zu können, verwendet man folgende Gleichungen:
Z
S(ω, z) = ΦN L (z, t) = |U (0, t)|2 · γ · P0 · z
(B.1)
U (0, t) = Ũ (ω)in
2
iΦN L (z,t)+i(ω−ω0 )t U (0, t) · e
dt
(B.2)
∞
−∞
(B.3)
Hierbei ist ΦN L die durch die nichtlinearen Prozesse aufgeprägte Phase, welche die
zusätzlichen spektralen Komponenten erzeugt. γ ist ein nichtlinearer Parameter, P 0 ist
die Eingangsleistung des Impulses [1]. Ũ (ω)in beschreibt das Spektrum im Frequenzraum, U (0, t) die Fouriertransformierte davon, bei z=0. S(ω, z) ist das zu erwartende
verbreiterte Spektrum nach der Strecke z. ω0 bezeichnet die Zentralfrequenz des Spektrums. Für die numerische Simulation setzt man, der Einfachheit halber, das Maxium
immer in die Mitte des Datenbereichs.
Problematisch ist das Abschätzen der Eingangsleistung P0 des Impulses. Unter der
Annahme, dass nach der Strahlteilung noch 4nJ Energie pro Impuls vorhanden sind
und die Einkoppelverluste bei 50% liegen, kann man annehmen, dass am Fasereingang
noch 2nJ vorhanden ist.
Nach einem Meter Faser sind die Impulse von den anfänglichen 50fs auf 4,4ps gestreckt
74
(vgl. 1.2.1). Unter der Annahme, dass wärend des ersten Meters die wesentliche Verbreiterung geschieht, kann man damit nun die durchschnittliche Leistung in diesem
Bereich, für die Berechnung, abschätzen.
Nach einem Meter liegt damit die Leistung P0 eines einzelnen Impulses bei 450W.
Das Spektrum des eingestrahlten Impulses ist Abb. B.1 zu entnehmen. Um die nume-
(a) Theoretische Vorhersage der Grössenordnung
der Selbstphasenmodulation
(b) Experimentelle Ergebnisse
Abbildung B.1: Vorhersage der Selbstphasenmodulation und experimentelle Ergebnisse: Als Eingangsspektrum wurde das am Fasereingang gemessene Spektrum verwendet. Die
Berechnung wurde dann numerisch durchgeführt.
rische Berechnung vereinfacht durch zu führen, werden 1000 Messpunkte verwendet.
Die Halbwertsbandbreite des eingestrahlen Impulses beträgt 160pkt. Die Bandbreite wird nach einem Meter auf 234pkt vergrößert. Damit ist der Verbreiterungsfaktor
Vtheor =1,46.
Das Experiment erfüllt recht gut die Vorhersage, die Bandbreite wird von 30,4nm auf
47,9nm verbreitert, der Verbreiterungsfaktor Vexp ist hier Vexp =1,57. Die Vorhersagemethode für die Selbstphasenmodulation ist somit gut nutzbar um Aussagen über die
zeitliche Streckung ultrakurzer Impulse in Fasern zu treffen.
75
Anhang C
Verwendete
Berechnungsalgorithmen
76
C.1
Phasenanpassung mit fünf Stützstellen
77
C.2
Berechnung der parametrischen Wechselwirkung
78
Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und nur unter
Verwendung der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe.
Stefan Bock
Jena, Mai 2006
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82
Danksagung
Abschließend möchte ich mich bei allen Personen bedanken, die zum Gelingen dieser
Arbeit beigetragen haben.
Herrn Dr. Joachim Hein danke ich besonders für das in mich gesetzte Vertrauen und
die Möglichkeit in der POLARIS -Arbeitsgruppe tätig sein zu können.
Herrn Prof. Harald Bergner danke ich für die Betreuung seitens der Fachhochschule und seine Unterstützung bei der Erstellung der Diplomarbeit.
Mein Dank gilt natürlich auch der gesamten POLARIS -Arbeitsgruppe für die fachliche
Unterstützung, anregende Diskussionen und das hervorragende Arbeitsklima, welches
das Arbeiten zu einer Freude gemacht hat.
Selbstverständlich danke ich meinen Eltern und meiner Schwester. Ohne ihre Unterstützung wäre der Weg bis hierher nicht möglich gewesen. Gleicher Dank gilt auch
meinen Freunden, welche mich genauso bis hierhin getragen haben, wie meine Familie
auch.
83

Zugehörige Unterlagen

Grundlagen und Methoden der molekularen Genetik

Elektronik-Praktikum-Eingangstest Lernzettel

Diplomarbeit - Friedrich-Schiller

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