Lösungen der Aufgabenserie 8

Lösungen der Aufgabenserie 8
Aufgabe 8.1
dt
a) Substituiert man cos x = t, dann ist dx
= − sin x, d.h. sin x dx = −dt. Somit ergibt sich
Z
Z
sin x
dt
1
1
dx
=
−
= +C =
+C
cos2 x
t2
t
cos x
dt
1
2x
b) Mit der Substitution arctan x2 = t erhält man nach der Kettenregel dx
= 1+x
4 · 2x, d.h. 1+x4 dx = dt und
damit
Z
Z
4x arctan x2
dx
=
2t dt = t2 + C = (arctan x2 )2 + C
1 + x4
Z
Z
c) Zunächst erhält man mit der Substitution ln t = x die Gleichung cos(ln t) dt = ex cos x dx. Anschlie-
ßend wenden wir zweimal die Formel der partiellen Integration an und erhalten
Z
Z
Z
Z
ex cos x dx = ex cos x − ex (− sin x) dx und
ex sin x dx = ex sin x − ex cos x dx.
Z
Die beiden letzten Gleichungen kombiniert ergeben 2
wir
Z
¡
¢
ex cos x dx = ex cos x+sin x +C. Somit erhalten
Z
¢
ex ¡
t¡
cos x + sin x) + C =
cos(ln t) + sin(ln t) + C.
2
2
Z
Z
2
2
d) Mit der Substitution x +1 = t erhält man zunächst 2
t ln(t +1) dt = ln x dx. Setzt man f (x) = ln x,
cos(ln t) dt =
ex cos x dx =
g 0 (x) = 1, dann erhält man mit der Formel der partiellen Integration
Z
Z
Z
1
0
ln x dx = f (x) g(x) − f (x) g(x) dx = x ln x −
· x dx = x ln x − x + C
x
Das gesuchte Integral ist also gleich
¢
¢
x¡
t2 + 1 ¡
ln x − 1 + C =
ln(t2 + 1) − 1 + C
2
2
Aufgabe 8.2
a) x5 − 2x3 + x = x(x4 − 2x2 + 1) = x(x2 − 1)2 = x(x − 1)2 (x + 1)2 .
x1 = 0 ist einfache, x2,3 = ±1 sind doppelte Nullstellen.
b) Offenbar ist p(1) = 0. Division von p(x) durch (x − 1) ergibt x2 − 4x + 4, d.h. es ist
x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x2 − 4x + 4) = (x − 1)(x − 2)2 .
x1 = 1 ist einfache, x2 = 2 ist doppelte Nullstelle.
Aufgabe 8.3
a) x4 − 1 = (x2 − 1) (x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
√
√
√
b) x4 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) − 2x2 = (x2 + 1)2 − (x 2)2 = (x2 + 1 − x 2) (x2 + 1 + x 2)
Ein anderer Lösungsweg zu b) besteht darin die komplexen Lösungen der Gleichung x¡4 + 1 =¢0, d.h. die
¡ vierten
¢
Wurzeln aus −1, zu bestimmen. Wegen −1 = cos π + i sin π sind dies die Zahlen cos π4 + kπ
+ i sin π4 + kπ
2
2 ,
√
√
√
√
k = 0, 1, 2, 3, d.h. x1,2 = ± 21 2 + 2i 2, x3,4 = ∓ 12 2 − 2i 2. Damit erhält man die komplexe Zerlegung
x4 + 1 = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 ) = (x − x1 )(x − x2 )(x − x̄2 )(x − x̄1 ).
√
√
√ ¢2 ¡ √ ¢2
¡
Hierbei ist (x − x1 )(x − x̄1 ) = x − 12 2 + 12 2 = x2 − x 2 + 1 und (x − x2 )(x − x̄2 ) = x2 + x 2 + 1.
Aufgabe 8.4
Z ³
2/3
1/3 ´
x2
2
1
1
a) =
−
dx =
+ x + ln |x| − ln |x − 2| − ln |x + 1| + C
x+1+ −
x x−2 x+1
2
3
3
Z ³
¯
¯
1
1
2 ´
1 ¯x − 1¯ 1
1
b) =
−
− 2
dx = ln ¯
¯ − arctan x + C
4
x−1 x+1 x +1
4
x+1
2
1
c) Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung des Integranden lautet (s. Aufgabe 8.3b)
x4
1
1
ax + b
cx + d
√
√
√
√
=
=
+
2
2
2
2
+1
(x + x 2 + 1)(x − x 2 + 1)
x +x 2+1 x −x 2+1
√
√
Für die Koeffizienten erhält man die Werte a = − 42 , b = 12 , c = 42 , d = 12 . Die Anwendung der Formeln
für die Integrale der Partialbrüche aus der Vorlesung liefert dann das Endergebnis
√
Z
´
√
√
dx
1 √ ³ x2 + x 2 + 1
√
=
2
ln
+
2
arctan(x
2
+
1)
+
2
arctan(x
2
−
1)
x4 + 1
8
x2 − x 2 + 1
2