Ferienkurs Experimentalphysik 2 - TUM

Technische Universität München
Physik Department
Ferienkurs Experimentalphysik 2
Vorlesung 3:
Zeitlich veränderliche Felder und
Wechselstromkreise
Tutoren:
Katharina Hirschmann
Gabriele Semino
Nach dem Skript „Konzepte der Experimentalphysik 2: Elektromagnetismus“
von Abel Perera, Andrea Meraner, Gabriele Semino und Adonia Siegmann
Inhaltsverzeichnis
4 Zeitlich veränderliche Felder
4.1 Rückblick: Zeitunabhängige Felder . .
4.2 Faraday’sches Induktionsgesetz . . .
4.2.1 Integralform . . . . . . . . . .
4.2.2 Differentielle Form . . . . . .
4.2.3 Lenz’sche Regel . . . . . . . .
4.2.4 Selbstinduktion . . . . . . . .
4.2.5 Energie des Magnetfeldes . . .
4.3 Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom
4.4 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . .
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5 Wechselstromkreise
5.1 Wechselstromkreis mit Induktivität . .
5.2 Wechselstromkreis mit Kapazität . . .
5.3 Induktive und kapazitive Widerstände
5.4 Impedanz und Admittanz . . . . . . .
5.5 Lineare Netzwerke . . . . . . . . . . .
5.6 Wechselstromleistung . . . . . . . . . .
Abbildungsquellen
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1
1
1
1
1
2
2
3
3
5
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6
6
6
7
7
9
11
11
4
4.1
Zeitlich veränderliche Felder
Rückblick: Zeitunabhängige Felder
ρ
ε0
~ =0
rot E
~ =0
div B
~ =
div E
~ = − grad φ
E
~ = µ0~j
rot B
~ = rot A
~
B
(4.1.1)
~
~j = σ E
Diese bisher kennengelernten Gleichungen beschreiben, zusammen mit der Lorentzkraft,
alle Phänomene der Elektrodynamik, die auf ruhenden Ladungen und stationären Ströme
beruhen (Elektro- und Magnetostatik). Alle behandelten elektrischen und magnetischen
Felder gelten hier als zeitlich konstant.
4.2
4.2.1
Faraday’sches Induktionsgesetz
Integralform
Nun betrachten wir einen magnetischen Kraftfluss (siehe dazu Gleichung 3.1.1), welcher
zeitlich veränderlich ist. Nach dem Faraday’schen Induktionsgesetz wird durch die Veränderung des Kraftflusses eine Induktionsspannung Uind induziert, die man wie folgt berechnen kann.
Uind
d
d
= − Φmag = −
dt
dt
¨
~ · dA
~
B
(4.2.1)
A
Aus dieser Gleichung wird deutlich, dass eine Induktionsspannung erst dann entsteht,
~ · dA,
~ nur die Fläche senkrecht zum
wenn das Magnetfeld oder die dazu effektive Fläche (B
Feld wird eingebracht) sich zeitlich verändert. Beispiele:
• Eine Stabmagnet wird relativ zu einer Spule bewegt ⇒ veränderliches Magnetfeld
• In einem homogenen Magnetfeld wird eine Spule zusammengedrückt ⇒ Fläche der
Spule ändert sich
• In einem homogenen Magnetfeld wird ein quadratische Spule um eine Symmetrieachse
senkrecht zum Magnetfeld gedreht ⇒ Änderung der effektiven Spulenfläche
Hinweis: Bei einer mehrmals gewickelten Spule mit N Windungen zählt jede Windung
zu ihrer Gesamtfläche Ages = N A.
4.2.2
Differentielle Form
Die differentielle Form des Faraday’schen Induktionsgesetzes lautet:
~ =−dB
~
rot E
dt
(4.2.2)
Demnach erzeugt ein zeitlich veränderliches magnetisches Feld ein elektrisches Wirbelfeld. Man kann mittels des Satzes von Stokes zeigen, dass 4.2.1 und 4.2.2
gleichwertige Formulierungen des selben Gesetztes sind.
1
4.2.3
Lenz’sche Regel
Nach dem Faradayschen Induktionsgesetz verursacht eine magnetische Flussänderung eine
induzierte Spannung. Diese Spannung verursacht in einem Leiter einen Stromfluss, welcher
wiederum ein (induziertes) Magnetfeld erzeugt, welches der (ursprünglichen) Änderung
des magnetischen Flusses entgegenwirkt (Lenz’sche Regel). Die durch Induktion entstehenden Ströme, Felder und Kräfte versuchen also stets den die Induktion verursachenden
Vorgang zu verhindern.
• Ist die Ableitung des magnetischen Flusses negativ (verkleinert sich z.B das Magnetfeld
B0 bzw. die Fläche), so richtet sich das induzierte Magnetfeld Bind in Richtung des
ursprünglichen Magnetfeldes B0 und verstärkt somit dieses.
• Ist hingegen die Ableitung des magnetischen Flusses positiv (wird z.B B0 größer), so
richtet sich das induzierte Magnetfeld Bind in entgegengesetzter Richtung zu B0 und
vermindert dieses somit.
Mathematisch wird die Lenz’sche Regel durch das Minus im Faradayschen Induktionsgesetz 4.2.1 ausgedrückt.
4.2.4
Selbstinduktion
Stromdurchflossene Leiterschleifen erzeugen ein magnetisches Feld (wie z.B. beim BiotSavart-Gesetz diskutiert, siehe Abschnitt 3.2.2). Wird dieser Strom zeitlich variiert, verändert sich auch das magnetische Feld und es muss laut Faraday’sches Gesetz wieder
eine Induktion vorliegen. Somit erzeugt die Änderung des Felds der Schleife in der Schleife selbst eine Induktionsspannung, welche nach der Lenz’schen Regel der Änderung der
Stromstärke entgegenwirkt. Die Eigenschaft, eine Induktionsspannung durch die Änderung des selbst erzeugten Magnetfeldes zu erzeugen, wird als (Selbst-)Induktivität L bezeichnet. Sie ist die Proportionalitätskonstante zwischen dem magnetischen Fluss und der
elektrischen Stromstärke in der Spule
Φmag = L · I
(4.2.3)
bzw. die Konstante, welche die Induktionsspannung und die zeitliche Änderung der Stromstärke verbindet.
Uind = −L ·
dI
dt
(4.2.4)
Die Einheit der Induktivität ist [L] = 1 VAs = 1 H = 1 Henry.
Beispiel: Selbstinduktivität einer zylindrischen Spule
Eine Spule mit n Windungen pro Meter, welche von der Stromstärke I durchflossen wird,
hat im Inneren ein zur Stromstärke proportionales Magnetfeld von B = µ0 nI. D.h. der
magnetische Fluss durch eine Windung der Fläche A ist gegeben durch:
¨
~ · dA
~ = B · A = µ0 nAI
Φmag =
B
(4.2.5)
A
2
Die Induktionsspannung ist sowohl durch 4.2.1 als auch 4.2.4 gegeben:
Uind
d
= N · − Φmag
dt
!
= −µ0 n2 lA
dI
d
= −L · I
dt
dt
(4.2.6)
wobei N die Gesamtwindungszahl n · l ist. Die Selbstinduktivität ergibt sich zu:
L = µ0 n2 A · l = µ0 n2 V
(4.2.7)
wobei V das Volumen der Spule ist.
4.2.5
Energie des Magnetfeldes
Analog zur in Kondesatoren gespeicherten Energie kann die in Induktivitäten gespeicherte
Energie wie folgt berechnet werden.
1
Wmag = LI 2
2
1
1 2
wmag = µ0 H 2 =
B
2
2µ0
1
Wel = CU 2
2
1
wel = ε0 E 2
2
D.h. die Energiedichte des gesamten elektromagnetischen Feldes beträgt (c2 =
(5.3.14)
1
):
ε0 µ0
!
wem
1
1 1
ε 0 E 2 + B 2 = ε 0 E 2 + c2 B 2
=
2
µ0
2
(4.2.9)
Verallgemeinern wir diese Formeln auf Felder in Materie mit der Verschiebungsdichte
D = ε0 εr E und der magnetischen Erregung H = µ01µr B:
wem =
4.3
1
(ED + BH)
2
(4.2.10)
Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom
Das Ampere’sche Gesetz, wie wir es bisher definiert haben, ist unvollständig. Dies soll am
folgenden Beispiel klar werden.
Abbildung 4.1: Zur Herleitung des Verschiebungsstromes(1)
3
Die beiden Flächen S1 und S2 haben den gleichen Rand ∂S. Wir nutzen das Ampere’sche
Gesetz zur Bestimmung des Magnetfeldes auf dem Rand mithilfe der unterschiedlichen
Flächen.
¨
˛
~
~ = µ0 I
~j · dA
B · d~r = µ0
∂S
S1
˛
¨
~
~=0
~j · dA
B · d~r = µ0
∂S
S2
Die Ergebnisse der zwei Berechnungen führen zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen, was
nicht möglich sein dürfte. Die Unvollständigkeit des Ampere’sche Gesetz wird auch aus
folgenden Messergebnissen deutlich. Betrachten wir nämlich folgenden Stromkreis,
Abbildung 4.2: Im Kondensator wird ein Magnetfeld gemessen(9)
so ergäbe sich nach dem Ampere’schen Gesetz, dass, wenn wir um die gestrichelte Linie im
Kondensator integrieren, das Magnetfeld innerhalb des Kondensators gleich 0 ist. Messungen zeigen aber das Gegenteil bei zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern (z.B bei der
Ladung/Entladung des Kondensators). Maxwell schloss daraus auf eine Art Stromstärke,
einen Verschiebungsstrom zwischen den Kondensatorplatten IV (bzw. eine Verschiebungsstromdiche jV ).
Dieser lässt sich folgendermaßen herleiten:
variiert
˜
˜ man die Stromstärke im System, so
~ · dA
~ auf den Platten verändert.
wird auch die Zahl der Ladungen Q = A σ dA = A ε0 E
Man erhält somit:
!
¨
¨
d
dQ
∂
~ · dA
~ = ε0
~ · dA
~
IV =
= ε0
E
E
(4.3.1)
dt
dt A
A ∂t
Woraus man folgende Stromdichte erhält:
Verschiebungsstromdichte
~
~jV = ε0 ∂ E
∂t
(4.3.2)
Um diese Stromdichte wird das Ampere’sche Gesetz erweitert:
˛
¨
~ · d~s = µ0
~
B
(~j + ~jV ) · dA
∂F
(4.3.3)
A
Differentiell ergibt sich mit dem Stokes’schen Satz:
~ = µ0 (~j + j~V ) = µ0
rotB
bzw.:
4
~
~j + ε0 ∂ E
∂t
!
(4.3.4)
Erweitertes Ampere’sches Durchflutungsgesetz
~ = µ0~j + 1 ∂ E
~
rotB
c2 ∂t
(4.3.5)
D.h. Magnetfelder können ebenfalls von zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern erzeugt werden.
In Materie gilt analog:
~ = ~j + ∂ D
~
rotH
(4.3.6)
∂t
4.4
Maxwell-Gleichungen
Nun fassen wir noch einmal alle Maxwell-Gleichungen zusammen. Diese beschreiben zusammen mit der Lorentz-Kraft die Gesamtheit aller elektromagnetischen Phänomene:
Im Vakuum
In Materie
ρel
ε0
=0
∂ ~
=− B
∂t
1 ∂ ~
= µ0~j + 2 E
c ∂t
div E =
~ = ρel
div D
~
div B
~ =0
div B
~
rot E
~
rot B
~ =−∂B
~
rot E
∂t
~ = ~j + ∂ D
~
rot H
∂t
Bemerkungen:
• Die Maxwell-Gleichungen sind lorentzinvariant.
• Aus den korrigierten Maxwell-Gleichungen wird klar, dass die bisherige Definition des
elektrischen Feldes in Abhängigkeit des elektrischen Potentials nicht konsistent ist.
~ = − rot grad φel = 0 6= − ∂ B
~
rot E
∂t
(4.4.1)
Man muss also folgende Korrektur einbringen.
~
~ = − grad φel − ∂ A
E
∂t
(4.4.2)
Dabei muss die Coulomb-Eichung (siehe Gleichung 3.1.8) durch die Lorentz’sche Eichung ersetzt werden.
~ = − 1 ∂φel
div A
(4.4.3)
c2 ∂t
5
5
Wechselstromkreise
Spulen und Kondensatoren haben in Wechselstromkreisen eine ähnliche Wirkung wie Widerstände. Diese zusätzliche Eigenschaft wird Impedanz oder Wechselstromwiderstand
(komplexer Widerstand) genannt. In einer Spule hinkt der Strom der Spannung nach;
dies ist durch die Lenz’sche Regel ersichtlich, da die Induktionsspannung den in die Spule
geleiteten Strom abbremst. In Kondensatoren eilt der Strom der Spannung voraus, denn
die Spannung muss im Kondensator kontinuierlich aufgebaut werden.
Von nun an wird als äußere Spannung
Ue = U0 cos(ωt)
(5.0.1)
verwendet.
5.1
Wechselstromkreis mit Induktivität
Abbildung 5.1: Wechselstromkreis mit Spule, der Strom hinkt der Spannung hinterher(4)
Nach der Maschenregel gilt hier:
Ue + Uind = 0
Für die induzierte Spannung Uind = −L dI
erhalten wir:
dt
U0 cos(ωt) = L
also:
U0
I(t) =
L
5.2
ˆ
t
cos(ωt0 ) dt0 =
0
dI
dt
U0
U0
sin(ωt) =
cos(ωt − 90◦ )
ωL
ωL
(5.1.1)
Wechselstromkreis mit Kapazität
Abbildung 5.2: Wechselstromkreis mit Kondensator, der Strom eilt der Spannung voraus(4)
6
Die Maschenregel führt diesmal zu :
Ue − UQ = 0
⇒
Q(t)
= Ue (t)
C
Wir multiplizieren mit C und bilden die Ableitung:
I(t) = C
5.3
d
Ue (t) = ωCU0 cos(ωt + 90◦ )
dt
(5.2.1)
Induktive und kapazitive Widerstände
Für die Stromstärken erhalten wir insgesamt:
für L: IL (t) = IL,0 sin(ωt)
für C: IC (t) = −IC,0 sin(ωt)
Beide Stromstärken sind in verschiedene Richtungen zur Spannung um 90◦ phasenverschoben. Um den bereits erwähnten Widerstandswert zu erhalten, definiert man sozusagen „phasenabhängige Widerstände“. Ihren Betrag erhält man, wann man die Amplitude
von Ue (= U0 ) und der Stromstärken IL bzw. IC über U = RI in Beziehung setzt. Man
behandelt sie also so, als wären sie Gleichstromwiderstände. Wir erhalten
U0
U0
= U0 /
= ωL
I0,L
ωL
U0
1
für C: |RC | =
= U0 /(ωCU0 ) =
I0,C
ωC
für L: |RL | =
(5.3.1)
(5.3.2)
Dieser Betrag berücksichtigt aber noch nicht die Phasenverschiebung.
5.4
Impedanz und Admittanz
Ein Vektor V~ = Vx~ex + Vy~ey , welcher vom Betrag V0 konstant ist, vom Ursprung ausgeht
und sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω um den Ursprung dreht, besitzt in der x-yEbene die Komponenten:
Vx = V0 cos(ωt)
Vy = V0 sin(ωt)
Anstatt Vektoren zu verwenden, können wir komplexe Zahlen benutzen: der Realteil übernimmt die Rolle der x-Komponente und der Imaginärteil die der y-Komponente. Es folgt
als Analogon:
V = Vx + iVy = V0 cos(ωt) + iV0 sin(ωt) = V0 eiωt
Dieses Konstrukt lässt sich exakt gleichwertig auf die induktiven und kapazitiven Widerstände übertragen:
Z = R + iX
Z = |Z|eiφ
(5.4.1)
Man bezeichne nun als Z die Impedanz (oder komplexer Widerstand). R ist der Ohm’sche
Widerstand, während X den Blindwiderstand darstellt.
7
Abbildung 5.3: Zur Erläuterung der komplexen Schreibweise von Impedanzen(1)
Stellen wir nun die Wechselspannung ebenfalls komplex dar:
U (t) = U0 eiωt
(5.4.2)
Nun lässt sich das Ohm’sche Gesetz erweitern:
Ohm’sches Gesetz für komplexe Widerstände
U = ZI
mit
Z=



R
= iωL
1
ZC = iωC
=
ZL



−i
ωC
Widerstand
Spule
Kondensator
(5.4.3)
Diese komplexe Darstellung kann komplizierte Wechselstromschaltungen stark vereinfachen. Die Kirchhoff’schen Gesetze gelten weiterhin.
Wenn wir nun diese komplexen Widerstände in das erweiterte Ohm’sche Gesetz einsetzen,
erhalten wir neben der „Widerstandswirkung“ auch die erwartete Phasenverschiebung:
I=
Mit
U0 eiωt
U0 1 iωt
U0
U
=
=
e =
(−i)eiωt
Z
ZL
ωL i
ωL
π
π
π
−i = 0 + i(−1) = cos −
+ i sin −
= ei(− 2 )
2
2
erhalten wir zuletzt:
U0 i(− π ) iωt
U0 i(ωt− π )
2
e 2 e =
e
I=
ωL
ωL
Man definiere dazu noch den komplexen Leitwert (Admittanz) als
Y = 1/Z
(5.4.4)
(5.4.5)
(5.4.6)
Dieser ist besonders hilfreich bei der Behandlung von Parallelschaltungen.
Es folgen einige Beispiele zur Erläuterung der komplexen Darstellung der Impedanzen
und Admittanzen.
8
Abbildung 5.4: Einfache Schaltelemente(1)
Abbildung 5.5: Einige Kombinationen von Schaltelementen(1)
5.5
Lineare Netzwerke
Im allgemeinen Fall ist die Stromstärke nicht mehr proportional zur Spannung. Man kann
in solchen komplizierteren Systems aber dennoch durch Superposition Spannungen und
Stromstärken berechnen:
U (t) =
X
Uk (ωk ) =
k
I(t) =
X
X
U0,k ei(ωk t−φk )
(5.5.1)
I0,k ei(ωk t−ψk )
(5.5.2)
k
Ik (ωk ) =
k
X
k
9
Hochpass-Filter
Abbildung 5.6: Der Hochpassfilter: nur Wechselströme mit hoher Frequenz werden
durchgelassen(21)
Der Hochpass ist so konstruiert, dass, wenn eine Wechselspannung mit tiefer Kreisfrequenz
ω als Eingangsspannung Ue angelegt wird, der Wechselstromwiderstand des Kondensators
C entsprechend sehr hoch steigt und der Großteil dieser Spannung an C abfällt. Hohe
Spannungen im Gegenzug fallen größtenteils am Widerstand R ab, welcher durch ein
entsprechendes Gerät ersetzt werden kann.
Man erhält als Ergebnis der Ausgangsspannung Ua :
Ua =
R
1 Ue
R + iωC
(5.5.3)
Der Betrag der Übertragungsfunktion lautet:
Ua |H(ω)| = Ue
=√
ωRC
1 + ω 2 R2 C 2
(5.5.4)
Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangsspannung beträgt:
tan(φ) =
Im(Z)
1
=
Re(Z)
ωRC
(5.5.5)
Abbildung 5.7: Die physikalischen Größen im Hochpassfilter. Oben das Spannungsverhältnis, unten der Phasenunterschied(4)
10
5.6
Wechselstromleistung
Die Leistung kann man in Wechselstromschaltungen in allgemeinerer Form über die effektive Spannung/Stromstärke darstellen.
Allgemein gilt:
P (t) = U (t)I(t) = U0 sin(ωt)I0 sin(ωt + φ)
(5.6.1)
Der zeitliche Mittelwert ist, wie bereits beschrieben, durch Integration über die Periodendauer zu erhalten:
U0 I0
cos(φ)
(5.6.2)
P̄el =
2
Für reine L- oder C-Schaltungen ist cos(φ) = 0, d.h. es wird an Spule und Kondensator
keine Leistung verbraucht.
Wir definieren nun drei neue Größen:
• Die Wirkleistung
PW = Ieff Ueff cos(φ) = P̄el
(5.6.3)
PS = Ieff Ueff
(5.6.4)
PB = Ieff Ueff sin(φ)
(5.6.5)
• Die Scheinleistung
• und die Blindleistung
Wirk-, Schein- und Blindwiderstand werden mit Z =
definiert.
Pi
Ieff
und diesen Leistungsgrößen
Abbildungsquellen
(1) Hugel, Thorsten (2013): Vorlesungsskript Experimentalphysik 2, München
(4) Demtröder, Wolfgang (2009): Experimentalphysik 2, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
(9) elsenbruch.info/ph12_dipol.htm
(21) de.wikipedia.org/wiki/Hochpass
11