Norbert Ortner Proseminar Funktionalanalysis, WS 2009/10 8

Norbert Ortner
Proseminar Funktionalanalysis, WS 2009/10
8. Übungsblatt, 19. 1. 2010
48. Sei E ein Bairescher und F ein metrischer Raum; {fn }N eine Folge stetiger Funktionen
fn : E −→ F mit der Eigenschaft: Der Grenzwert lim fn (x) existiere für alle x ∈ E und
n→∞
werde mit f (x) bezeichnet. Dann ist die Grenzfunktion f stetig auf einer Menge
von 2. Kategorie.
(Definition: Eine Teilmenge A eines topologischen Raums heißt von 2. Kategorie,
wenn jede abzählbare Überdeckung von A mit abgeschlossenen Mengen mindestens eine
enthält, deren Inneres nicht leer ist, d.h.
◦
_
S
∀{An }N , An abgeschlossen, A ⊂
An =⇒ ∃ n0 ∈ N : An0 6= ∅.)
n∈N
¡
¢
1
49. Sei L := L [−π, π] und Tm : L1 −→ C, f 7−→
2π
1
Zπ
f (t) eimt dt, m ∈ Z.
1
−π
Tm bildet jedes f auf den m-ten Fourierkoeffizienten von f ab. Eine Norm k k induziere eine Topologie auf L1 , unter der L1 vollständig ist, und in der Tm eine stetige
Linearform ist.
Zπ
¯
¯
Ist kf k1 := ¯f (t)¯ dt für f ∈ L1 , so sind k k1 und k k äquivalent.
−π
Hinweis: Die arithmetischen
der Partialsummen der Fourierreihe von
¡ 1 Mittel
¢
1
f, f ∈ L , konvergieren in L , k k1 gegen f.
50. Sei E ein normierter K-VR und M ein echter, abgeschlossener Untervektorraum von E.
Dann ist M rar (nirgends dicht).
(Definition: Eine Teilmenge A eines topologischen Raums heißt nirgends dicht oder
◦
rar, wenn A keine inneren Punkte hat, d.h. A 6= ∅.)
Gilt die Aussage auch für topologische Vektorräume?
Anwendung: Der Raum c(N) der konvergenten Folgen ist im Raum `∞ (N) = BC(N) der
beschränkten Folgen nirgends dicht.
Zπ
2
51. Sei f ∈ L (−π, π) eine quadratintegrable Funktion cn (f ) =
Fourierkoeffizienten und Sn (f ) :=
n
P
f (t)eint dt, n ∈ Z, ihre
1
2π
−π
ck (f ) die Partialsummen der Fourierreihe von
k=−n
f im Nullpunkt; schließlich sei
n
o
±
M := f ∈ L2 (−π, π) lim Sn (f ) existiert
n→∞
ein Untervektorraum von L2 (−π, π). Zeigen Sie, daß M ein dichter Unterraum von
1. Kategorie ist. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt von 1. Kategorie,
wenn sie als abzählbare Vereinigung von nirgends dichten Teilmengen darstellbar ist.
52. (a) Seien E ein tonnelierter Raum, F ein normierter Raum und G HLCTVS,
a : E × F −→ G eine bilineare Abbildung.
a ist genau dann stetig, wenn a in jeder Variablen partiell stetig ist
(Hinweis: Satz von Banach-Steinhaus).
(b) Zeigen
(a) das Theorem von Hellinger-Toeplitz:
¡ Sie mittels
¢
Sei a(m, n) (m,n)∈N×N ⊂ C eine unendliche, quadratische Matrix, so, dass für alle
x ∈ `p , y ∈ `q , 1 < p, q < ∞ die Doppelreihe
∞ X
∞
X
a(m, n)x(m)y(n)
m=1 n=1
absolut konvergiert. Dann gibt es eine Konstante C > 0, so dass
∞ X
∞
¯
¯X
¯
¯
a(m,
n)x(m)y(n)
¯ ≤ Ckxkp kykq
¯
m=1 n=1
für x ∈ `p , y ∈ `q gilt.
53. Der Partialsummenoperator Sn : L1 (0, 2π) −→ L1 (0, 2π) sei für
FunkP integrierbare
tionen f ∈ L1 (0, 2π) durch Sn f : R −→ C, x 7−→ Sn f (x) =
ck (f )eikx , mit den
|k|≤n
Fourierkoeffizienten
1
ck (f ) =
2π
Z2π
f (t)e−ikt dt,
0
©
ª
definiert. Zeigen Sie mit dem Satz von Banach-Steinhaus, dass die Menge kSn k n∈N
unbeschränkt ist (wozu äquivalent ist: {Sn }n∈N ist nicht gleichgradig stetig).
Folgerung: Es gibt integrierbare Funktionen, deren Fourierreihe in der L1 -Norm nicht
konvergiert.
Bemerkungen: Sn bildet L1 (0, 2π) auch in¡BC(R)
¢ ab. Nach dem Riemann-LebesgueLemma ist auch L1 (0, 2π) −→ c0 (Z), f 7−→ ck (f ) k∈Z , wohldefiniert.
54. Sei (ck )k∈N eine Folge komplexer Zahlen, so dass die unendliche Reihe
Folge (ak )k∈N ∈ c0 konvergiert. Zeigen Sie, dass dann (ck )k∈N ∈ `1 ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Funktionale
N
X
¢
¡
ak ck .
TN (ak )k∈N :=
k=1
∞
P
k=1
ak ck für jede