Topologie (10480-01) Universität Basel im FS 2015 Blatt 9 Prof. Dr

Topologie (10480-01)
Blatt 9
Universität Basel im FS 2015
Prof. Dr. P. Habegger
Auf diesem Übungsblatt bezeichnet p stets eine Primzahl.
Aufgabe 1 (2 Punkte). Zeigen Sie, dass Zp eine offene Teilmenge von Qp ist.
Aufgabe 2 (4 + 2 + 0 +P
0 Punkte). Sei (an )n≥1 eine Folge mit Folgengliedern in Qp .
Wir sagen, dass die Reihe ∞
n=1 an in Qp konvergiert, falls die Folge der Partialsummen
!
N
X
an
n=1
N ≥1
in Qp konvergiert.
P
(i) Zeigen Sie, dass P∞
n=1 an genau dann konvergiert, wenn limn→+∞ |an |p = 0.
n
(ii) Zeigen Sie, dass ∞
n=0 p konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert dieser
Reihe.
P∞
P∞
(iii)∗ Zeigen Sie, dass
n!
in
Q
konvergiert
und
ebenfalls
p
n=1
n=1 n · n! = −1.
P∞
∗∗
(iv) Beweisen Sie n=1 n! 6= 0 in Qp für jede Primzahl p.
Aufgabe 3 (2 + 4 + 4 + 2 + 2 + 2 Punkte). In dieser Aufgabe wir die Einpunktkompaktifizierung, auch Alexandroff–Kompaktifizierung genannt, eines lokalkompakten Hausdorffraums Y konstruiert. Sei ∞ ein Symbol, welches nicht in Y enthalten ist.
Wir setzen X := Y ∪ {∞} und definieren eine Kollektion τ von Teilmengen von X, in
der, zuzüglich zu den offenen Mengen in Y , auch Mengen der Form X rK, wobei K ⊆ Y
kompakt ist, enthalten sind.
(i) Zeigen Sie, dass τ eine Topologie auf X definiert.
(ii) Beweisen Sie, dass X mit der Topologie τ ein kompakter Hausdorffraum ist.
(iii) Beweisen Sie, dass die Inklusionsabbildung Y → X eine Einbettung ist.
(iv) Zeigen Sie die folgende Aussage. Ist Z ein weiterer kompakter Hausdorffraum,
welcher eine Teilmenge Ỹ enthält, die zu Y homömorph ist und so dass Z r Ỹ
nur einen Punkt enthält, so sind Z und X homöomorph.
(v) Seien a < b reelle Zahlen. Zeige, dass die Einpunktkompaktifizierung von (a, b)
homöomorph zu S 1 ist.
(vi) Beschreiben Sie die Einpunktkompaktifizierung eines kompakten Hausdorffraums.
* = freiwillig
** = freiwilliges, ungelöstes Problem
Abgabe am 21. Mai 2015 um 12 Uhr.