Technische Universität Dortmund Dortmund, 23.05.2016 Fakultät für

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Joachim Stöckler
Dortmund, 23.05.2016
Approximationstheorie II
3. Übungsblatt
Besprechung am 24.5.2016, keine Abgabe
Aufgabe 7 (natürliche Splines)
Wir betrachten zu m, n ∈ N mit n > 2m und zur Knotensequenz ∆ = {a ≤ x1 < x2 < . . . <
xn ≤ b} den Raum der natürlichen Splines
nat
S2m
(∆) = {s ∈ S2m (∆) : s(m) (a) = · · · = s(2m−1) (a) = 0, s(m) (b) = · · · = s(2m−1) (b) = 0}.
Insbesondere ist für a < x1 das erste Polynomstück s|[a,x1 ) nur vom Grad m − 1 anstatt
2m − 1; entsprechend für xn < b.
Zeigen Sie, dass die Funktionen (φj ; j = 1, . . . , n) mit φj = N2m,j−m für j = m+1, . . . , n−m
sowie
Z x
(x − t)m−j
m+j−1
φj (x) = (−1)
Mm+j−1,1 (t) dt,
j = 1, . . . , m,
xm+j (m − j)!
Z x
(x − t)m−j
Mm+j−1,n+1−m−j (t) dt,
j = 1, . . . , m,
φn+1−j (x) =
xn+1−m−j (m − j)!
nat
eine Basis von S2m
(∆) sind. Geben Sie den Träger und den exakten Polynomgrad der Basisfunktionen im Intervall [a, x1 ) an.
Lösung: Die mittleren φj sind die gewöhnlichen B-Splines mit Träger [xj−m , xj+m ].
Die ersten φj , j = 1, . . . , m, sind m + 1 − j-fache Stammfunktionen eines B-Splines der Ordnung m + j − 1, haben also die richtige Ordnung 2m. Sie haben den Träger [a, xm+j ] und den
Polynomgrad m−j im Intervall [a, x1 ]. Entsprechendes gilt für die letzten m Basisfunktionen.
Diese verschwinden im Intervall [a, x1 ].
Der Beweis der linearen Unabhängigkeit folgt für n ≥ 4m durch Betrachtung der Trägerintervalle.
Im nichtleeren Intervall P
(x2m , xn−2m+1 ) sind nur die mittleren φj von Null verschieden. Ist
eine Linearkombination j cj φj identisch Null, müssen also die Koeffizienten cm+1 , . . . , cn−m
alle verschwinden. Dann bleiben im Intervall [a, x2m ] nur die ersten m Basisfunktionen übrig
(keine Überlappung mit den letzten m Basisfunktionen!) Davon ist auf [x2m−1 , x2m ] nur
φm 6= 0, also muss cm = 0 gelten, usw.
Der Beweis für n < 4m ist etwas aufwändiger und wird hier nicht angegeben.
Aufgabe 8 (Datenglättung)
nat
Wir behandeln hier die numerische Berechnung des Glättungssplines sρ ∈ S2m
(∆), der zu
den Daten y = (y1 , . . . , yn ) und festem ρ > 0 die Minimierungsaufgabe
n
1X
|s(xi ) − yi |2 + ρks(m) k2L2 = min!
n i=1
löst. Dazu verwenden wir die Basis φj aus Aufgabe 7 und die Matrizen
Z b
(m)
(m)
A = (φj (xi ))i,j=1,...,n ,
B = (bi,j )i,j=1,...,n mit bi,j =
φi (t)φj (t) dt.
a
Pn
a) Der Koeffizientenvektor c = (c1 , . . . , cn ) von sρ = j=1 cj φj erfüllt die Normalengleichung
1
1 T
A A + ρB c = AT y.
n
n
b) Die Matrix
1
n
AT A + ρB ist eine positiv definite Bandmatrix mit Bandbreite 2m − 1.
nat
c) Für ρ → 0 konvergiert sρ gleichmäßig gegen den Interpolationsspline in S2m
(∆).
d) Für ρ → ∞ konvergiert sρ gleichmäßig gegen das Regressionspolynom p vom Grad
m − 1 zur Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
Lösung:
a) Minimiert wird F (c) = n1 kAc − yk22 + ρcT Bc. Es ist ∇F (c) = n2 AT (Ac − y) + 2ρBc, also
ist ∇F (c) = 0 äquivalent zur angegebenen Normalengleichung.
(m)
b) B ist als Gramsche Matrix der Funktionen (φj ; j = 1, . . . , n) positiv semi-definit.
Tatsächlich besitzt B einen nicht-trivialen
Kern: die Koeffizientenvektoren c ∈ Rn zur
P
Darstellung eines Polynoms p = j cj φj ∈ Pm−1 bilden den Kern von B, also ist dim Kern(B) =
m.
Weiterhin ist A regulär, weil das Interpolationsproblem zu den Knoten xi , i = 1, . . . , n, im
nat
Raum S2m
(∆) eindeutig lösbar ist. Deshalb ist AT A positiv definit. Die Summe n1 AT A + ρB
mit ρ > 0 ist also positiv definit.
Die Trägereigenschaft der Basisfuntionen ergibt die Bandbreite 2m−1 von B (wegen Überlappung
der mittleren Basisfunktionen) und die Bandbreite m − 1 von A, also 2m − 2 von AT A.
d) Es sei p das Regressionspolynom vom Grad m−1 zur Methode der kleinsten Fehlerquadrate,
also
n
n
1X
1X
2
|p(xi ) − yi | <
|q(xi ) − yi |2
n i=1
n i=1
für alle q ∈ Pm−1 . (Beachte hierbei, dass p wegen n ≥ m eindeutig bestimmt ist.) Weil auch
nat
p ∈ S2m
(∆) und p(m) = 0 gilt, erhalten wir für beliebiges ρ > 0
n
n
1X
1X
|sρ (xi ) − yi |2 + ρksρ(m) k2L2 ≤
|p(xi ) − yi |2 =: E.
n i=1
n i=1
(∗)
Hieraus ziehen wir zwei Schlussfolgerungen:
1. Es gibt √
C > 0 so, dass |sρ (xi )| ≤ C für alle ρ > 0 und i = 1, . . . , n (z.B. C =
kyk∞ + nE)
(m)
2. Es gilt limρ→∞ ksρ kL2 = 0.
nat
Versehen wir S2m
(∆) mit der “diskreten Sobolev-Norm”
kskH m ,d =
m
X
i=1
|s(xi )|2 + ks(m) k2L2
!1/2
,
so besagen 1. und 2., dass die Menge der sρ mit ρ > 1 beschränkt ist.
Wir zeigen damit die folgende Aussage: Jede Folge (sρk )k∈N mit ρk → ∞ besitzt eine konvergente Teilfolge, die gegen p konvergiert. Diese Aussage ist ja äquivalent zu
lim sρ = p.
ρ→∞
nat
Sei also (sρk )k∈N mit ρk → ∞ gegeben. Endliche Dimension von S2m
(∆) und Beschränktheit
liefern die Existenz einer konvergenten Teilfolge (sρkl )l∈N . Sei q der Grenzwert. Die Äquivalenz
aller Normen auf dem endlich-dimensionalen Teilraum liefert auch die gleichmäßige Konvergenz gegen q. Außerdem ist wegen 2. kq (m) kL2 = 0, also ist q ∈ Pm−1 . Weiter folgt aus
(*)
n
n
1X
1X
2
(m) 2
|sρkl (xi ) − yi | + ρkl ksρk kL2 =
|q(xi ) − yi |2 ≤ E.
lim
l
l→∞ n
n
i=1
i=1
Die letzte Ungleichung kann nur dann gelten, wenn q = p gilt, wenn also q das Regressionspolynom ist.
nat
c) ist deutlich leichter. Es sei s0 ∈ S2m
der natürliche Interpolationsspline. Wegen s0 (xi ) = yi
für alle i = 1, . . . , n gilt (nach Division durch ρ > 0)
n
1 X
(m)
|sρ (xi ) − yi |2 + ksρ(m) k2L2 ≤ ks0 k2L2 =: F.
nρ i=1
(∗∗)
Hieraus schließen wir sofort limρ→0 sρ (xi ) = yi = s0 (xi ) für i = 1, . . . , n. Weil der Raum die
Dimension n hat und die Auswertungsfunktionale zu x1 , . . . , xn linear unabhängig sind, folgt
daraus auch die gleichmäßige Konvergenz von sρ gegen s0 .