13.¨Ubung zur Quantenmechanik II (T5)

Ludwig-Maximilians-Universität München, Department für Physik
Prof. Dr. D. Lüst
13. Übung zur Quantenmechanik II (T5)
(Abgabe 28.1.2008)
42. Aufgabe: Vertauschungsrelationen für α
~ -, β- und ~σ -Matrizen
Betrachten Sie die in der Vorlesung eingeführten Matrizen






~τ 0
12
0
0 ~τ
 ,
 , ~σ = 
 , β=
α
~ =
0 ~τ
0 −12
~τ 0
(1)
wobei ~τ die Paulimatrizen sind. Benutzen Sie
{τj , τk } ≡ τj τk + τk τj = 2δjk 12
[τj , τk ] ≡ τj τk − τk τj = 2iǫjkl τl ,
,
(2)
um die folgenden Relationen für die α
~ -, β- und ~σ -Matrizen zu zeigen:
(a) {αj , αk } = 2δjk 14 ,
(b) {αj , β} = 0 ,
(c) [σj , σk ] = 2iǫjkl σl . (3)
43. Aufgabe: Rechenregeln für Dirac γ-Matrizen
Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für Dirac-Matrizen, indem
die Dirac-Algebra

1 0
0
0


 0 −1 0
0
µ ν
µ ν
ν µ
µν
µν
{γ , γ } ≡ γ γ + γ γ = 2g 14 , g = 

 0 0 −1 0

0 0
0 −1
Sie nur




 (4)



und die Definition
γ5 ≡ iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3
(5)
benutzen.
(a) γ µ γµ = 4 14
γ µ γ ν γµ = −2γ ν
,
,
γ µ γ ν γ λ γµ = 4gνλ 14 ,
γ µ γ ν γ λ γ κ γµ = −2γ κ γ λ γ ν .
(b) γ µ γ5 + γ5 γ µ = 0
,
(c) Spur(γ µ γ ν ) = 4gµν
γ5 γ5 = 14 .
,
Spur(γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = 4(gµν gρσ +gµσ gνρ −gµρ gνσ ),
Spur(γ µ1 γ µ2 . . . γ µ2n+1 ) = 0 .
(d) Spur(γ5 ) = 0
,
Spur(γ5 γ µ γ ν ) = 0 .
1
44. Aufgabe: Erhaltung des Dirac-Teilchenstroms
In der Vorlesung wird diese Woche die Dirac-Gleichung eingeführt, die sich
relativistisch kovariant schreiben läßt als
i~γ µ ∂µ Ψ = mcΨ .
(6)
Benutzen Sie die Dirac-Gleichung für Ψ und Ψ† , um zu zeigen, daß der
Teilchenstrom des Dirac-Feldes,
(Ψ̄ = Ψ† γ 0 ) ,
j µ = Ψ̄γ µ Ψ
(7)
erhalten ist, d.h. daß ∂µ j µ = 0 gilt.
(Hinweis: Zeigen Sie dazu, daß sich die in der Vorlesung angegebenen
Relationen (γ 0 )† = γ 0 und (γ k )† = −γ k zusammenfassend schreiben lassen
als (γ µ )† = γ 0 γ µ γ 0 .)
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