Vorlesung: E-Teilchen für Fortgeschrittene, Uni Hamburg SS10, Inhalt (Teil1) Autor: Olaf Behnke, 1. Vorlesung, 6.4.2010 1. Quantenmechanische Beschreibung von Elektronen Dirac Gleichung → berücksichtigt Spin 1/2 des Elektrons → relativistisch korrekt 2. Feynman-Regeln und -Diagramme - Elektronenstreuung - Wirkungsquerschnitte 3. Lagrange Formalismus (⇒ Feynman-Regeln) und Eichprinzip (⇒ Existenz des elektromagnetischen Feldes) 4. QED (Quanten-Elektro-Dynamik) → Unendlichkeiten in der Berechnung solcher Diagramme → Renormierung, ⇒ laufende Kopplung α(Q2 ) Literatur: • Peter Schmüser, “Feynman-Graphen und Eichtheorien für Experimentalphysiker” Springer Verlag, 1988/1995 → Vorlesung folgt in Abschnitten 1.-3. weitgehend diesem Buch • F. Halzen & A.D. Martin, “Quarks & Leptons” Wiley & Sons, 1984 → folgen wir insbesondere für Abschnitt 4. zum “Tieferbohren”: dieses Buch liefert auch den kompletten feldtheoretischen Hintergrund 1 • Otto Nachtmann, “Elementarteilchenphysik, Phänomene und Konzepte” Vieweg Verlag, 1986 1) Quantenmechanische Beschreibung von Elektronen Zur Erinnerung: Grundlegende Axiome der QM: 1. Zustand eines Systems wird durch Zustandsvektor |Ψi beschrieben (in einem linearen Raum) 2. Physikalische Observablen: durch hermitesche Operatoren beschrieben: A+ = (At )∗ = A ⇒ A hat relle Eigenwerte 3. Erwartungswert einer Observablen: hAi = hΨ|A|Ψi 4. Zeitentwicklung: iℏ ∂Ψ = H|Ψi ∂t 5. Messung von A: |Ψi geht in den Eigenzustand |ni über (Eigenwert an wurde gemessen, Reduktion der Wellenfunktion) 2 1.1 Schrödingergleichung E QM −→ ∂ iℏ ∂t p~ QM −→ ~ − iℏ∇ → Schrödingergleichung E = p2 2m ℏ2 2 ∂Ψ =− ∇Ψ mit Ψ = Ψ(~r, t) iℏ ∂t 2m mit Potenzial 2 ∂Ψ ℏ iℏ = − ∇2 + V (~r, t) Ψ ∂t 2m Lösung der freien Schrödingergleichung: 1 i~k~r −iωt Ψ(~r, t) = √ e · e , V E = ℏω, ℏ2 k 2 p2 = 2m 2m 3 1.2 Kontinuitätsgleichung ρ Klassisch: Teilchenfluss durch Fläche ~j = ρ~v Lokaler Erhaltungssatz → Kontinuitätsgleichung: ∂ρ ~ ~j = 0 (≡ wenn die Dichte geringer wird muss an diesem Ort mehr raus- als reinfliessen) +∇ ∂t QM → Wahrscheinlichkeitsdichte: ρ = Ψ∗ Ψ freies Teilchenρf rei = ~ ~ ∗ )Ψ Wahrscheinlichkeitsstromdichte: ~j = ℏ Ψ∗ (∇Ψ) − (∇Ψ 1 V 2im 4 Herleitung der K.Gl. aus Schrödinger Gl. (gute interaktive Übung!): benutze iℏ ∂Ψ = HΨ und ∂t ∗ −iℏ ∂Ψ = HΨ∗ ∂t ∂ ∂Ψ∗ ∂Ψ ∗ iℏ (Ψ Ψ) = iℏ Ψ + iℏΨ∗ = −(HΨ∗ )Ψ + Ψ∗ (HΨ) ∂t ∂t ∂t „ „ « « ℏ2 ℏ2 2 2 ∗ ∗ ∗ = − − (∇ Ψ )Ψ + V Ψ Ψ + Ψ − ∇ Ψ+VΨ 2m 2m ” ´ ℏ2 ` ∗ 2 ℏ2 ~ “ ∗ ~ ∗ 2 ∗ ~ = − ∇ Ψ (∇Ψ) − (∇Ψ )Ψ Ψ (∇ Ψ) − (∇ Ψ )Ψ = −iℏ 2m 2m ∂ρ ~ ~j = −∇ → ∂t 1.3 Klein Gordon Gleichung p Versuch: E = p2 c2 + m2 c4 (relativistische Energie- Impulsbeziehung) ∂Φ √ 2 2 2 iℏ = −ℏ c ∇ + m2 c4 Φ ∂t Problem: Entwicklung nach ∞ hohen Potenzen nötig! deshalb: E 2 = p2 c2 + m2 c4 2 ∂ 2 2 2 2 2 4 −ℏ 2 Φ = −ℏ c ∇ + m c Φ → Klein Gordon Gleichung (1926) ∂t 2 mc 2 1 ∂ KGGL: ist 2. Ordnung in t und in ~x ֒→ 2 2 − ∆ + ( ) Φ = 0 c ∂t ℏ ⇒ Lorentz kovariant Lösungen: Φ+ (~r, t) = Φ− (~r, t) = √1 V √1 V ~ eik~r−iωt E = +ℏω ~ eik~r+iωt E = −ℏω 2 2 2 2 !!! Bedeutung? 2 4 Einsetzen in KGGL: ℏ ω = p c + m c ; p2 c2 + m2 c4 5 E = ±ℏω = ± p Kontinuitätsgleichung aus Klein Gordon Gleichung ρ̇ + div ~j = 0 konstruiere ρ und ~j die das erfüllen i h i iℏ h ∗ ℏ ∗ ∗ ~ ~ ∗ )Φ ~j = ρ= Φ Φ̇ − Φ̇ Φ , Φ ( ∇Φ) − ( ∇Φ 2mc2 2im Verifikation: (gute interaktive Übung!) benutze KGGL: 2 4 m2 c4 m c ∗ 2 2 φ̈ = c ∆ + ℏ2 φ∗ φ̈ = c ∆ + ℏ2 φ; 2 4 2 4 m c iℏ m c iℏ ∗ 2 ∗ ∗ ∗ 2 )Φ − (c ∆ + )Φ Φ φ φ̈ − φ̈ φ = Φ (c ∆ + ρ̇ = 2mc2 2mc2 ℏ2 ℏ2 i iℏ ℏ ~ h ∗ ~ ∗ ∗ ∗ ~ ~ ~j = [Φ ∆Φ − (∆Φ )Φ] = − ∇ Φ (∇Φ) − (∇Φ )Φ = −∇ 2m 2im ρ+ = 1 ℏω , 2 V mc ~j+ = 1 ℏk = 1 ~v V m V ֒→ ρ ∼ E → relativistische Volumenkontraktion, ρµ = (ρ, ~j) ist Lorentz Vierervektor ρ− < 0 Problem !? 6 → KGGL wurde aufgrund der nicht positiv definiten Wahrs.Dichte für die negativen Energielösungen verworfen! Rehabilitierung 1934 durch Pauli & Weisskopf, die gezeigt haben, dass man ρ± als Ladungsdichte interpretieren kann wenn man es mit −e multipliziert. Die Lösungen mit der negativen Energie entsprechen Antiteilchen (Positronen) mit positiver Ladungsdichte. In der Quantenfeldtheorie ist KGGL die Feldgleichung für neutrale und geladene Mesonen mit Spin=0 (Pionen). 1.4 Die Dirac-Gleichung Suche Differentialgleichung relativistische Kovarianz ⇒ 2. Vorlesung, 9.4.2010 1. Ordnung in der Zeit, 1. Ordnung auch in Ortskoordinaten H rel Ψ = i ∂Ψ (ℏ = c = 1) ∂t ↑ zu bestimmen Ansatz: H rel = α1 p1 + α2 p2 + α3 p3 + βm = α ~ · p~ + βm p1 mit p~ = p2 = −i p3 Es muss gelten H 2 = p~2 + m2 ⇒ Bedingungen für αi und β: ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 α1 , α ~ = α2 α3 1. αi αj + αj αi = 2δij 2. αi β + βαi = 0 3. β 2 = 1 7 ⇒ αi , β sind nicht vertauschbar Behauptung: αi , β müssen n × n Matrizen sein mit n ≥ 4. Dimension von αi , β: N ≥ 4 Beweis: 1. αj , β hermitesch, weil H hermitesch: αj+ = ((αj )∗ )t , β + = β 2. αj2 = β 2 = 1 ⇒ Eigenwerte von αj , β sind ±1. 3. αj , β haben Spur=0 Beweis: Spur(αj ) = Spur(β βαj ) = Spur(βαj β) = - Spur(ββαj ) = -Spur(αj ) = 0 Spur(β) = Spur(αi αi β) = Spur(αi β αi ) = - Spur(αi αi β) = -Spur(β) = 0 Dabei benutzt: Spur(AB) = Spur(BA) und αj β = −βαj P 4. Spur(A) = Eigenwerte Da die Eigenwerte ±1, muss N gerade sein Falls N = 2: gibt nur drei linear unabhängige Matrizen mit Spur = 0 → Pauli Matrizen σ1 , σ2 , σ3 ⇒ N ≥ 4 8 Darstellung der αj , β : Die Paulimatrizen sind gegeben durch: 0 1 0 −i , σ2 = , σ1 = 1 0 +i 0 Die Diracmatrizen sind gegeben durch: 0 σi 1 0 , β = αi = σi 0 0 −1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 , α2 = 0 0 0 +i 1 0 0 −1 , β = 0 0 0 0 σ3 = 1 0 0 −1 (Dirac Darstellung) existieren andere Darstellungen, z.B. die von Weyl 0 0 0 −i +i −i 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 9 0 0 0 0 α1 = 0 1 1 0 0 0 0 0 α3 = 1 0 0 −1 ~ + mc2 βΨ = −iℏc~ α · ∇Ψ Diracgleichung: iℏ ∂Ψ ∂t Bedeutung? Was ist Ψ? ⇒ 4 Komponenten Spinor Ψ 1 Ψ2 , Ψ= Ψ3 Ψ4 Ψ+ = (Ψ∗1 , Ψ∗2 , Ψ∗3 , Ψ∗4 ) Vermutung: ρ = Ψ+ Ψ = Ψ∗1 Ψ1 + Ψ∗2 Ψ2 + .. = |Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 + |Ψ3 |2 + |Ψ4 |2 Aufstellung einer Kontinuitätsgleichung: (c = ℏ = 1) Ψ+· Diracgleichung – komplex konjugierte Diracgleichung · Ψ ~ a) Ψ+ i ∂Ψ = −iΨ+ α ~ · ∇Ψ + mΨ+ βΨ ∂t b) −i ∂Ψ+ ρ̇ = ∂t ~ +) · α Ψ = +i(∇Ψ ~ Ψ + mΨ+ βΨ ∂ Ψ+ Ψ ∂t = Ψ+ ∂Ψ + ∂t ∂Ψ+ Ψ ∂t = −i[a) − b)] ~ − (∇Ψ ~ +) · α ~ ~j, = −Ψ+ α ~ · ∇Ψ ~ Ψ = −∇ mit ~j = Ψ+ αΨ 10 Nichtrelativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung zunächst freies, ruhendes Elektron ~k = 0 → ∇Ψ ~ =0 2 = mc βΨ iℏ ∂Ψ ∂t Diracgl.: Ψ1 ∂ Ψ2 2 iℏ = mc ∂t Ψ3 Ψ4 → 4 unabhängige 1 0 −iω0 t Ψ1 = e 0 0 Lsg. 1 0 0 0 Ψ1 1 0 0 Ψ2 0 −1 0 Ψ3 Ψ4 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 , Ψ4 = e+iω0 t , Ψ3 = e+iω0 t , Ψ2 = e−iω0 t 0 1 0 1 0 0 E1 = E2 = ℏω0 = mc2 E3 = E4 = −ℏω0 = −mc2 11 Für folgende Diskussion des nichtrelativistischen Grenzfalles: betrachte nur die positiven Energielösungen Grenzfall: Kleine, aber nichtverschwindende kinetische Energie 2 p p ~ 2 E = p~2 c2 + m2 c4 ≈ |{z} mc + 2m |{z} ℏω0 ≪mc2 Ansatz: Ψ(~r, t) ≈ e −iω0 t ϕ(~r, t) χ(~r, t) (ϕ, χ haben jeweils 2 Kompon.) 2 ′ p ϕ, χ nur “langsam” zeitabhängig: ϕ, χ ∼ e−iω t mit ℏω ′ = 2m Zeige im Folgenden: χ≪ ϕ und ϕ erfüllt Schrödingergleichung −iω0 t Ψ=e ϕ(~r, t) in Diracgl. mit αi = 0 χ(~r, t) σi σi 0 ϕ 1 0 ϕ̇ 0 ~σ · p~ ϕ 2 → ℏω0 + iℏ =c + mc χ 0 1 χ̇ ~σ · p~ 0 χ ℏω ′ χ≈0 ≪mc2 ⇒χ≈ ~ σ ·~ p ϕ 2mc 12 → Gl. für χ: iℏχ̇ = c~σ · p~ ϕ − 2mc2 χ |{z} 2 2 (~ σ · p ~ ) 1 p ~ + + + ϕ ϕ χ χ= · ϕ ϕ = 2 4m2 c2 2m 2mc | {z } ≪1 d.h. für freies nichtrelativist. Elektronen: χ+ χ ≪ ϕ+ ϕ Einschub: Beweis (~σ · p ~)2 = p ~2 1 0 0 ~σ ·~ p = σ1 px +σ2 py +σ3 pz = @ px 0 @ pz px + ipy px − ipy −pz 10 A@ px 0 pz px + ipy 1 0 A+@ 0 −pz p2z p2x p2y −ipy +ipy px − ipy pz 0 1 0 1 0 A=@ A+@ + 0 + 0 0 −pz 0 1 A=@ 0 p2z + p2x + p2y pz px + ipy 1 px − ipy −pz 1 A A Gleichung für die (grosse) ϕ-Komponente ℏω0 ϕ + iℏϕ̇ = c~σ · p~χ + mc2 ϕ |{z} mc2 → Schroedingergleichung! 13 (~σ · p~)2 p~2 ∂ϕ = ϕ= ϕ iℏ ∂t 2m 2m Nichtrelativ. Grenzfall der Diracgl. im elektromagnetischen Feld zur Erinnerung: Schrödinger Hohne Feld p~2 = 2m ~ 2 (~p − q A) + qΦ Hmit Feld = 2m ~ = Vektorpotenzial und qΦ = potenzielle Energie im elektrischen Feld Hier A ~ −→ P~ = (~p − q A) p~ |{z} ohne Feld P~ ist der kanonische Impuls aus Langrangefunktion und p~ der kinetische Impuls nichtrelativistische Grenzfall der Dirac-Gleichung mit elektromagnetischem Feld: iℏϕ̇ = = Übungsblatt 1 ⇒ Pauli Gl. herleiten + qΦϕ 14 1 (~σ · P~ )(~σ · P~ )ϕ + qΦϕ 2m 1 ~ ~ ϕ ~σ (~p − q A) ~σ (~p − q A) 2m Pauli-Gleichung und g Faktor ~ ×A ~=B ~ Mit q = −e (Elektron) und ∇ 1 eℏ ∂ϕ ~ + eA) ~ 2+ ~ − eΦ ϕ Pauli Gleichung = (−iℏ∇ ~σ · B ֒→ iℏ ∂t 2m 2m Term eℏ ~σ 2m ~ = −~µ · B ~ = potenzielle Energie des magnetischen Momentes des Elektrons mit ·B dem äusseren Magnetfeld, dieser Term fehlt in der Schrödingergleichung, weil Sie nichts vom Spin des Elektrons weiss! |µElektron | = g g-Faktor e · 2m gyromagnet. Verhältnis · ℏ2 Spin Aus Pauli Gl. → g = 2, Gemessen g = 2a , klassisch nicht erklärbar ⇒ wichtiger Erfolg der Dirac-Gleichung a kleine Abweichung von g=2 durch QED Effekte, Diskussion später 15 Dirac Gleichung relativistischer Fall Freie Dirac Gleichung (ohne Feld): 3. Vorlesung, 13.4.2010 (ℏ = c = 1 ) ∂Ψ = [~ α · p~ + mβ] Ψ ∂t ! 0 ~σ α ~= , β= ~σ 0 ↑ 2 × 2 Pauli Matrizen iℏ 1 0 0 −1 ! Lösungsansatz: Ψ(x) = ϕ(p) χ(p) ! ↓ pos. Energie e∓ipx ← ∓i(Et − p~ · ~x) ↑ neg. Energie Lösungen ∼ e−ipx (pos. Energie): " ! # " ! ∂ ϕ 0 ~σ · p~ i e−ipx = + ∂t χ ~σ · p~ 0 (E − m) ϕ − ~σ · p~ χ = 0 (E + m) χ − ~σ · p~ ϕ = 0 ֒→ χ = ~σ · p~ = ϕ χ ! e−ipx gekoppelte Gl. für ϕ, χ pz px + ipy px − ipy −pz ! 16 ~σ · p~ ϕ; E+m m 0 0 −m !# Obere Gl. damit automatisch erfüllt: ~σ · p~ ϕ=0 (E − m)ϕ − (~σ · p~) E+m | {z } p ~2 E 2 −m2 ϕ = E+m E+m ϕ = (E − m)ϕ 1 0 Wähle ϕ1 = N ; ϕ2 = N ; ⇒ Lsg. der Dirac-Gl.: u1 (p)e−ipx , u2 (p)e−ipx 0 1 0 1 1 0 u2 (p) = N px −ipy u1 (p) = N , pz E+m E+m px +ipy E+m −pz E+m Lösungen negativer Energie E = −E < 0: v1 (p)e+ipx , v2 (p)e+ipx (−E − m) ϕ + ~σ · p~ χ = 0 (−E + m) χ + ~σ · p~ ϕ = 0 ~σ · p~ χ ϕ= E+m px −ipy E+m −pz E+m 0 1 , 0 , χ2 = N 1 p 1 0 z v2 (p) = N E+m px +ipy E+m 1 0 17 v1 (p) = N Hier: wähle χ1 = N Normierung der Spinoren Ψ+ Ψ −→ u+ u, v + v Beliebteste Möglichkeiten für N : q E + → u u = a) NBjorken,Drell = E+m m √ 2m b) NEichtheorien = E + m → u+ u = 2E (=1 im Ruhesystem) (=2m im Ruhesystem) Komplette Lösungen: Ψ+ (x) = u1,2 (p)e−iEt e+i~p·~x Ψ− (x) = v1,2 (p)e+iEt e−i~p·~x → Problem: neg. Energie! 18 Interpretation der Lösungen negativer Energie: 1lDirac-See: Alle negativen Energieniveaus besetzt ≡ “See” von Elektronen → erklärt γ → e+ e− Paarerzeugung (Eγ > 2me c2 ) Entdeckung der Positronen 1932 durch C.D. Anderson 19 2lFeynman - Stückelberg Interpretation (um 1934) Wellenfunktion Energie< 0, Teilchen e− , läuft rückwärts in der Zeit Wellenfunktion Energie< 0, Antiteilchen e+ , läuft vorwärts in der Zeit ≡ ≡ 20 Moderne Schreibweise der Diracgl. mit γ Matrizen Vierervektoren: kontravariante (wie xµ ) und kovariante (wie xµ ) pµ = (E, px , py , pz ) = (E, p1 , p2 , p3 ) = (E, ~p), µ = 0, 1, 2, 3 X pµ pµ = E 2 − p~ 2 = m2 Lorentz-invariant pµ = (E, −~p) µ Metrischer Tensor gµν : 1 0 0 0 0 −1 0 0 µν gµν = g = 0 0 −1 0 0 0 0 −1 ν P3 pµ = gµν p := ν=0 gµν pν ↑ Einsteinsche Summenkonvention Lorentz invariantes Skalarprodukt von 4-Vektoren: ab = aµ bµ = aµ bµ = aµ gµν bν = a0 b0 − ~a · ~b a2 > 0 zeitartig, a2 = 0 lichtartig, a2 < 0 raumartig 21 Lorentz-Trafo: ′ν x = aνµ xµ LT in z-Richtung: Beispiele für Vierervektoren: Zeit-Ort Energie-Impuls elektromagn. Viererpotential Viererstromdichte Gradient aνµ = γ 0 0 −γβ xµ = (t, ~x) pµ = (E, ~p) ~ Aµ = (Φ, A) j µ = (ρ, ~j) ∂ ~ ∂ µ = ( ∂t , −∇) 0 1 0 0 0 0 1 0 −γβ 0 0 γ (weil ∂ µ = ∂ ) ∂xµ 22 Diracgleichung und γ-Matrizen γ 0 = β, γ 1 = βα1 , γ 2 = βα2 , γ 3 = βα3 Dirac-Pauli Darstellung: ! ! 1 0 0 σi γ0 = , γi = , 0 1 −σi 0 i = 1, 2, 3 β· Diracgleichung (ℏ = c = 1) ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ i β + βα1 + βα2 + βα3 + − mβ 2 Ψ = 0 ∂t ∂x1 ∂x3 ∂x3 ∂ ∂ ∂ ∂ + γ2 + γ3 +i γ 0 + γ 1 − m1 Ψ = 0 ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 γ µ = (γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 ) (iγ µ ∂µ − m)Ψ(x) = 0 Achtung! Ist kein 4-Vektor, γ µ sind in jedem Lorentzsystem gleich Diracgleichung 23 Eigenschaften der γ-Matrizen: γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν · 1 (γ 0 )+ = γ 0 (γ k )+ = −γ k , (γ 0 )2 = 1 (γ k )2 = −11 (γ µ )+ = γ 0 γ µ γ 0 k = 1, 2, 3 Weitere Abkürzungen: 6a ≡ γ µ aµ ”a dagger, a slash” ⇒ (i6∂ − m)Ψ = 0 Diracgleichung 24 Dirac Gl. mit elektromagnetischem Feld Aµ pµ = i∂µ −→ Eichtheorie pµ − qAµ = i∂µ − qAµ ∂µ → ∂µ + iqAµ (iγ µ ∂µ − m)Ψ(x) = gγ µ Aµ Ψ(x) (i6∂ − m)Ψ = q6AΨ Adjungierter Spinor und Vierer-Stromdichte: Def. Ψ̄ ≡ ψ + γ 0 adjungierter Spinor Warum nützlich? Ψ+ Ψ = ρ, Wahrs.Dichte, transformiert bei LT ∼ E Ψ̄Ψ ist ein Skalar, s. Übungsblatt 2.1 Def. j µ = Ψ̄γ µ ψ j 0 = Ψ̄γ 0 Ψ = Ψ+ γ 0 γ 0 Ψ = Ψ+ Ψ = ρ, j k = Ψ̄γ k Ψ = Ψ+ γ 0 γ k Ψ = Ψ+ ββαk Ψ = Ψ+ αk Ψ |{z} k=1,2,3 Diracgleichung für den adjungierten Spinor Ψ̄: i∂µ Ψ̄γ µ + mΨ̄ = 0 25 Fragen und Antworten von der Stunde 13.4.2010: • Man kann Teilchen mit a) negativer Energie die sich rückwaerts in der Zeit ausbreiten behandeln wie b) Antiteilchen mit positiver Energie die sich vorwärts in der Zeit ausbreiten. Frage: ist es besser a) oder b) zu benutzen und gibt es irgenwelche Unterschiede? Antwort: a) und b) sind absolut äquivalent und es gibt keine Unterschiede. Das sieht man z.B. wenn man das Skalarprodukt von einem auslaufenden Teilchen mit negativer Energie φf = eiEf t−ip~f ·~x mit einem einlaufenden Zustand mit positiver Energie φi = e−iEi t+ip~i ·~x bildet: Z Z 3 ∗ hφf |φi i = d xφf (~x)φi ~x = d3 xe−iEf t+p~f ·~x e−iEi t+ip~i ·~x ≡ Z d3 xe+i(−Ei )t−i(−p~i )·~x e−iEf t+p~f ·~x ≡ hφiEi →−Ei ,p~i →−p~i |φf−Ef →Ef ,−p~f →p~f i D.h. Ein- und Auslaufen von Teilchen und Antiteilchen kann man gegeneinander austauschen wenn man Energie und Impuls umdreht. (Nebenbei: Physikalische Observable werden immer durch solche Skalarprodukte (Matrixelemente) beschrieben). Mehr dazu im Schmüserbuch Kapitel 3., S29 ff ! ~σ 0 • Wo kommt es her, dass S = → Die Paulimatrizen sind Repraesentanten der SU2 0 ~σ Drehgruppe und charakterisieren in der Quantenmechanik den Spin von Spin 1/2 Teilchen s. http : //en.wikipedia.org/wiki/P auli matrices Für die Diracspinoren müssen wir das noch auf die Vierervektoren verallgemeinern, d.h. die Teilchen und Antiteilchen gleichzeitig beschreiben. 26 ∂ ~ sich wie kontravarianter Vierervektor verhält (d.h. wie xµ ). • Beweis, dass ∂ µ = ∂x∂µ = ( ∂t , −∇) Wenn wir als Beispiel nehmen ∂ µ S mit S = xν xν = x0 x0 − x1 x1 − x2 x2 − x3 x3 (S ist ein Lorentzskalar, d.h. invariant unter LTs) finden wir sofort: ∂ µ S = 2xµ = 2(x0 , x1 , x2 , x3 ) d.h. verhält sich wie kontravarianter Vektor xµ . (Formaler Beweis auch über LT von ∂x∂µ möglich.) 2. Herleitung der Feynman-Regeln 4. Vorlesung, 16.4.2010 Matrixelement von Streuprozessen (z.B. Elektronenstreuung) , - e t=t1 ebene Welle Φi t=t µ , Potenzial A (x ) ψstreu - e ebene Welle Φf t=t2 Von Streuwelle ΨStreu wird nur Anteil Φf mit p~f gemessen. Wahrscheinlichkeit für Übergang Φi → φf ist gegeben durch: Sf i ≡ hΦf |Ψstreu i = hΦf |S|Φi i R 3 ∂σ ւ σ, ∂Ω , Γ = d x2 Φ+ f (x2 )Ψstreu (x2 ) = Z d 3 x2 Φ+ f (x2 )SΨi (x2 ) {z } | Störungstheorie, Feynmangraphen 27 Berechnung von ΨStreu (Kapitel 4 Schmüser) (iγ µ ∂µ − m)Ψstreu (x) = −eγ µ Aµ (x)Ψstreu (x) = −e6AΨstreu (x) Erinnnerung: Lösung von DGLs mit Greenschen Funktion ֒→ Bsp. Elektrostat. Potenzial: ∇2 Φ(x) = −ρ(x) Poissongleichung Lösung ist Z Φ(x) = G(~x − x~′ )ρ(x~′ )d3 x′ mit Greenscher Funktion: 1 G(~x − x~′ ) = , denn ∇2 G(~x − x~′ ) = −δ 3 (~x − x~′ ) 4π|~x − x~′ | 28 Greensche Funktion für Diracgleichung mit Feld (i6∂ − m)K(x − x′ ) = δ 4 (x − x′ ) ↑ gesucht R Ψ(x) = −e K(x − x′ )6AΨ(x′ )d4 x′ Integralgleichung ↑ Ψ taucht wieder auf Vorteil: Iterative Lösung möglich → Störungstheorie Ψ(0) (x) = Φ(x) ebene Welle R (1) Ψ (x) = Φ(x) − e K(x − x′ )6AΨ(0) (x′ )d4 x R (2) Ψ (x) = Φ(x) − e K(x − x′ )6AΨ(1) (x′ )d4 x Allgemeine Lösung einer DGL = Lsg. des homogenen Systems + spezielle Lsg. des inh. Systems Störungstheorie Terme für Sf2i ∼ α0,1,2 mit α = e2 4πℏc = 1/137 29 Der Elektronpropagator Berechnung der Greenschen Funktion K(x − x′ ) → Propagator! Z 1 ′ 4 −ip(x−x′ ) K(x − x ) = d p K̃(p)e (2π)4 ↑ Fouriertransf. von K Z 1 4 −ip(x−x′ ) d p (6 p − m) K̃(p)e (i6∂ − m)K(x − x′ ) = (2π)4 Z 1 fordere 4 ′ 4 −ip(x−x′ ) δ (x − x ) = d p e = (2π)4 ⇒ (6p − m)K̃(p) = 1 (6p + m)(6p − m) K̃(p) = (6p + m) {z } | p2 −m2 K̃(p) = p6 + m p2 − m2 Elektronpropagator Beachte: p2 − m2 6= 0, virtuelles Teilchen! (reelles Teilchen: p2 = E 2 − p ~2 = m2 ) 30 Wie sieht K(x − x′ ) aus? Z ∞ Z −ip0 (t−t′ ) e (6p + m) 1 3 i~ p(~ x−x~′ ) ′ dp0 d pe K(x − x ) = (2π)4 (p0 − E)(p0 + E) −∞ | {z } Pole bei p0 =±E p mit E = + p ~2 + m2 Integral konvergiert nicht bei Integration über reelle Achse (über p0 ) Trick: Erweiterung auf komplexe p0 Ebene → Residuensatz t > t′ : ′ K(x − x ) Pol +E = t < t′ : ′ K(x − x ) Pol -E = R 1 −i (2π) 3 R Äquivalente Herleitung K̃(p) = d 3 ~+m +i~ p(~ x−x~′ )−iE(t−t′ ) γ 0 E−~γ p pe 2E d 3 ~+m +i~ p(~ x−x~′ )+iE(t−t′ ) −γ 0 E−~γ p pe 2E p6 + m p − m2 + iǫ 2 31 1 −i (2π) 3 Warum heisst K(x’-x) Propagator? K(x − x′ ) bewirkt Propagation (Ausbreitung) eines freien Dirac Spinors von x′ nach x: R 3 ′ ′ t > t : i d x K(x − x′ )γ 0 φ(x′ ) = Φ(x) R 3 ′ ′ t < t : i d x K(x − x′ )γ 0 φ(x′ ) = 0 Mit φ̄(x) = φ+ γ 0 : R 3 ′ ′ t < t : i d x φ̄(x′ )γ 0 K(x − x′ ) = φ̄(x) R 3 ′ ′ t > t : i d x φ̄(x′ )γ 0 K(x − x′ ) = 0 32 Beweis für Propagatorrolle von K: ′ ~ ~′ x φ(x′ ) = u(k)e−ik0 t +ik· Z R 3 1 3 ′ i(~k−~ p)·x~′ γ 0 E−~γ ·~k+m i(E−k0 )t′ 0 i~ p·~ x−iEt d x e φ(x) = d p e γ u(k)e 2E (2π)3 | {z } δ 3 (~k−~ p)⇒~k=~ p und k0 =E −ik0 t+i~k·~ x =e γ 0 E − ~γ · ~k + m 0 γ u(k) =? 2k0 (γ 0 k0 − ~γ~k + m)γ 0 u(k) = γ 0 [γ 0 k0 u(k) + (~γ~k + m)u(k) ] | {z } Dirac−Gl.=γ 0 k0 u(k) = 2k0 u(k) ~ ֒→ einsetzen → φ(x) = e−ik0 t+ik·~x u(k) = φ(x) 33 Kovarianz der Dirac-Gleichung Forderung: Dirac Gl. sollte in jedem Inertialsystem gleich aussehen. homogenea Koordinatentransformationen x′ = ax: Drehungen und LTs Ansatz für Spinortrafo: Ψ′ (x′ ) = S(a) · Ψ(x) = S(a) · Ψ(a−1 x′ ); Es sollte gelten: S −1 (a) = S(a−1 ) ∂ ∂ ∂x′ν ν ′ Dirac Gl.: iγ ∂µ − m)ψ(x) = 0; benutze ∂µ = = = a µ ∂ν µ ′ν µ ∂x ∂x ∂x µ ′ ⇒ (iγ µ aνµ ∂ν − m)S −1 ψ ′ (x′ ) = 0 ′ (i Saνµ γ µ S −1 ∂ν − m)ψ ′ (x′ ) = 0 | {z } =γ ν a homogene K.T. lassen den Koordinatenursprung unverändert 34 ⇒ S −1 γ ν S = aνµ γ µ Ziel: Wirkungsquerschnitt (σ, t 3j µ - - e - µ Sf i = hΦf |ΨStreu i = dσ ↓ σ, dΩ R 1j - e dσ ) dΩ 5. Vorlesung, 20.4.2010 − − − − für e + µ → e + µ - 4j , t=t e t=t1 2j ebene Welle Φi d 3 x2 Φ+ f (x2 )ΨStreu (x2 ) µ , Potenzial A (x ) ψstreu - e ebene Welle Φf t=t2 ΨStreu lässt sich in Störungstheorie berechnen Z ΨStreu ≈ Ψ(1) (x) = Φi (x)−e d4 x′ K(x−x′ )6A(x′ )Φi (x′ ), z.B. Φ(x) = u(p1 )e−ip1 x Z Z Z 3 + ′ ′ 4 ′ ′ d x Φ A 6 (x )Φ (x ) x (x )K(x − x ) −e d Sf i = d 3 x2 Φ+ (x )Φ (x ) 2 i 2 2 2 i 2 f f | | {z } {z } 2Ei δf i (0) (1) Sf i = Sf i + Sf i + ... iΦ̄f (x′ ) (1) Sf i = ie d4 x′ Φ̄f (x′ )6A(x′ )Φi (x′ ) Zwischenergebnis, wie erhält man 6A aus Myonstrom? ⇒ 35 Z Berechnung von Aµ aus Muonstrom ⇒ konstruiere Photonpropagator ∂2 − ∇2 Aµ (x) = eJ µ (x) | {z } µ (Lorentz-Eichung ∂µ A = 0) Viererstrom eines Teilchens mit Ladung +e Aµ (x) = ∂t2 Sei Dµν eine Lösung von: Dµν (x − x′ ) = g µν δ 4 (x − x′ ) Dann gilt: Aµ (x) = e Z d4 x′ Dµν (x − x′ )Jν (x′ ) Berechnung von Dµν (x − x′ ) Z 4 d q µν µν ′ −iq(x−x′ ) D (x − x ) = D̃ (q)e (2π)4 Z d4 q 2 µν −iq(x−x′ ) ! µν 4 ′ µν ′ (−q ) D̃ (q)e g δ (x − x ) D (x − x ) = = 4 (2π) → Interaktive Übungsaufgabe 36 −g µν ⇒ D̃ (q) = 2 q + iǫ µν Hier (Streuproblem e− µ− → e− µ− ) gilt: Aµ (x) = −e J µ (x) = −e Ψ̄f (x) γ µ Ψi (x) | {z } | {z } | {z } M yon M yon M yon J µ (x) = ū(pf )γ µ u(pi )ei(pf −pi )x Z Z µν 4 −g d q i(pf −pi )x′ −iq(x−x′ ) µ 4 ′ ·ū(pf )γν u(pi )e e A (x) = −e d x (2π)4 q 2 + iǫ {z } | Dµν (x−x′ ) ′ 4 4 R Integration über x kann man ausführen (2π) δ (k) = d4 x′ e−ikx Z µν −g e−iqx ū(pf )γν u(pi ) Aµ (x) = −e d4 q δ 4 (pf − pi + q) 2 q + iǫ ′ → Zwischenergebnis 37 p3 t Φf Φi µ - Z Z 4 ′ p4 Elektron: Myon: ′ ′ Φi (x′ ) = u(p1 )e−ip1 x Ψi (x′ ) = u(p2 )e−ip2 x ′ ′ Φf (x′ ) = u(p3 )e−ip3 x Ψf (x′ ) = u(p4 )e−ip4 x Ψf - e p1 (1) = +ie - e Sf i = +ie 2 µ - Ψi p2 ′ d4 x′ ū(p3 )e+ip3 x γµ Aµ (x′ )u(p1 )e−ip1 x d x ū(p3 )e ′ +ip3 x Z ′ ′ g µν −iqx′ γµ d q δ (p4 − p2 + q) 2 ū(p4 )γν u(p2 ) u(p1 )e−ip1 x e q + iǫ | {z } 4 4 Aµ (x′ ) Integration über x′ → δ 4 (): Z g µν (1) 2 4 4 4 4 Sf i = ie d q (2π) δ (p4 − p2 + q)δ (p3 − p1 − q)ū(p3 )γµ u(p1 ) 2 ū(p4 )γν u(p2 ) q + iǫ {z } | ≡ Resultat mit Feynmanregeln (1) Sf i = ie2 (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 )ū(p3 )γµ u(p1 ) (1) M (1) = +ie2 ū(p3 )γµ u(p1 ) 1 ū(p4 )γ µ u(p2 ) 2 (p1 − p3 ) 38 Sf i = M (1) (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 ), 1 ū(p4 )γ µ u(p2 ) 2 (p1 − p3 ) Feynman-Diagramme: - ū(p3 ) ū(p4 ) e ieγ µ (2π)4 δ 4 (p3 − p1 − q) - e µ - ieγν (2π)4 δ 4 (p4 − p2 + q) −ig µν q 2 +iǫ µ - u(p1 ) u(p2 ) Feynman-Diagramm (QED) Konventionen: Fermionen −→ Photonen −→ einlaufendes Fermion −→ auslaufendes Fermion −→ gerade Linien Wellenlinien u(p) ū(p) ǫµ (k) Pol.vektor einlaufendes Photon (relles) −→ ausl. Photon −→ virtuelles Photon −→ Lepton-Photon Vertex −→ ausl. Antifermion −→ v̄(p) v(p) ǫµ = (ǫ0 ,~ǫ) = (0,~ǫ) ǫ∗µ (k) −ig µν q 2 +iǫ virtuelles Elektron −→ −i(±e)γ µ (2π)4 δ 4 (pf − pi − q) R d4 q (2π)4 (6p + m) i p2 −m2 +iǫ 39 integriere über innere Linien −→ einl. Antifermion → Kinematik der 2 → 2 Streuung: s = q2 s-Kanal t = q2 t-Kanal u = q2 u-Kanal Energie- und Impulserhaltung: → p1 + p2 = p3 + p4 Erinnerung: pi pi = m2i , i=1,2,3,4 2 unabhängige Grössen beschreiben diese Streusituation ⇒ Mandelstam-Variablen: s = (p1 + p2 )2 = (p3 + p4 )2 = p21 + p22 + 2p1 p2 sehr hohe Energie ≈ ≈ ≈ 2p1 p2 =m21 40 t = (p1 − p3 )2 = (p2 − p4 )2 = p21 + p23 − 2p1 p3 −2p1 p3 u = (p1 − p4 )2 = (p2 − p3 )2 = p21 + p24 − 2p1 p4 −2p1 p4 P4 zu zeigen! Es gilt s + t + u = i=1 m2i s + t + u = (p1 + p2 )2 + (p1 − p3 )2 + (p1 − p4 )2 = p21 +2p1 p2 + weiterrechnen, für −2p1 p4 für p1 ersetzen durch p1 = p3 + p4 − p2 |{z} Wiederholung: Ziel Matrixelement M eines Prozesses - ū(p3 ) ū(p4 ) µ - e −i(−e)γ µ (2π)4 δ 4 (p3 − p1 − q) - e −ig µν q 2 +iǫ u(p1 ) 6. Vorlesung, 23.4.2010 −i(−e)γν (2π)4 δ 4 (p4 − p2 + q) µ - u(p2 ) 1.l Diagramm aufzeichnen 2.l Pfeile einfügen 3.l u, ū, v, v̄ Spinoren mit Impulsen verteilen, Propagatoren 4.l Faktoren für die Vertices 5.l über (1) Sf i = ie 2 R d4 q innere Linien integrieren (2π)4 Z g µν d4 q 4 4 (2π)4 δ 4 (p3 − p1 − q) ū(p4 )γν u(p2 ) (2π) δ (p4 − p2 + q) ū(p3 )γµ u(p1 ) 2 4 | {z } (2π) | {z } q + iǫ Jµ =Elektronstrom M mit q = p1 − p3 41 1 (1) Sf i = (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 ) ie2 ū(p3 )γµ u(p1 ) 2 ū(p4 )γ µ u(p2 ) q {z } | Jν =Muonstrom Elementarprozesse γ Emission γ Absorption Paarvernichtung Paarerzeugung Streuung geladener Teilchen Comptonstreuung Bremsstrahlung Paarerzeugung + -vernichtung 42 Berechnung von Zerfallsraten und Wirkungsquerschnitten aus dem Matrixelement M : Notationshinweis: wir benutzen kleine pi für Viererimpulse und grosse Pi für Dreierimpulse 1. Goldene Regel für Zerfälle 1 −→ 2 + 3 + 4 + ...n (Hier ohne Herleitung, siehe Schmüser S. 51 ff für dσ) i h 3 3 3 c d P c d P c d P S 3 ... (2π)3 2En n dΓ = |M |2 2ℏm1 (2π)3 2E2 2 (2π)3 2E3 ·(2π)4 )δ 4 (p1 − p2 − p3 − ... − pn ) S ist statistischer Faktor: 1 j! für jede Gruppe von j identischen Teilchen 2. Goldene Regel für Streuprozesse 1 + 2 → 3 + 4 + ... + n i h 3 3 3 2 c d P4 c d P3 ℏ S c d Pn dσ = |M |2 √ ... 3 3 (2π) 2E3 (2π) 2E4 (2π)3 2En 4 (p1 p2 )2 −(m1 m2 c2 )2 | {z } dLips, Lorentz inv. Phasenraum ·(2π)4 δ 4 (p1 + p2 − p3 − p4 − ... − pn ) p F = 4 ( )2 − ( )2 Lorentz-invarianter Flussfaktor 43 Im Folgenden: Ziel ist die komplette Herleitung des Wirkungsquerschnittes für den Streuprozess e− µ− → e− µ− (diese Reaktion ist vom Typ 1 + 2 → 3 + 4) Schritte: 1. Bestimme Flussfaktor F für einlaufende Teilchen 2. Führe Phasenraumintegration aus über die auslaufenden Impulse, ersetze dabei Integration über Impulse durch Integration über Energie und Raumwinkel 3. Berechne Matrixelementquadrat |M |2 unter Berücksichtigung aller möglichen Spineinstellungen 44 Bemerkungen zum Flussfaktor: dσ ∼ 1 F ↓ Dichte der Targetteilchen |v~1 | |v~1 |4E1 E2 2E2 F = |jein | · ntarget = = · V /2 E1 V V2 ↑ Stromdichte der einlaufenden Teilchen (u+ u ∼ 2E Normierung) p 4 zu zeigen F = 2 (p1 p2 )2 − (m1 m2 )2 V Beweis im Laborsystem: p1 = (E1 , P~1 ), p2 = (m2 , 0), ⇒ p1 p2 = E1 m2 4 F = 2 V q 4 4|~v1 |E1 E2 4 E12 m22 − m21 m22 = 2 m2 |P~1 | = 2 m2 |~v1 |E1 = V V V2 Im Schwerpunktssystem (CMS) (Empfehlung: nachrechnen!) s = (p1 + p2 )2 Fcms |P~1 | = |P~2 | = Pi Im Folgenden: Lasse 12 weg, kürzt sich mit enstprechenden Faktoren in |M |2 V √ 4 = 2 Pi s V 45 Ziel: Differenzieller WQ → ausintegrieren von dLips im CMS: 1+2→3+4 Z d3 P3 1 d3 P4 4 4 √ dσ = |M | · 2π δ (p1 + p2 − p3 − p4 ) 4Pi s (2π)3 2E3 (2π)3 2E4 | {z } | {z } 2 F dLips d3 P4 kann leicht ausgeführt werden; es gilt P~3 = −P~4 , |P~3 | = |P~4 | = Pf s = (p1 + p2 )2 = (E1 + E2 )2 = (p3 + p4 )2 = (E3 + E4 )2 dLips = Z 3 1 1 d3 P3 √ d P3 √ 3 ~ ~4 − P ~2 − P ~1 ) = d P4 s − E − E ) δ ( P + P δ( δ( s − E3 − E4 ) 3 4 3 | {z } (2π)2 4E3 E4 (2π)2 4E3 E4 3 =0 Ersetze Impuls- durch Energieintegration: p p 2 2 mit E3 = |Pf | + m3 , E4 = |Pf |2 + m24 W = E3 + E4 , P P ⇒ dE3 = Ef dPf , dE4 = Ef dPf 3 4 E3 ) = dE W dW = dE3 + dE4 = dE3 (1 + E 3E 4 4 Pf2 dPf dΩ d3 P3 dW Pf E3 dE3 dΩ ⇒ dΩ = = = Pf E3 E4 E3 E4 E3 E4 W Z Z 1 d3 P3 √ 1 Pf dW dΩ √ 1 Pf √ dΩ dLips = δ( δ( s − W ) = s − W ) = 2 2 2 (2π) 4E3 E4 (2π) 4W (2π) 4 s s = (p1 + p2 ) 2 Pf 1 → 1 σ ∼ Hochenergiegrenze: s √ Pi (m ≪ s) 46 dσ 1 1 Pf |cms = · |M |2 · 2 dΩ 64π s Pi Jetzt: dσ für e− µ− → e− µ− dΩ Berechnung von |M |2 = M · M ∗ 1 M = ie ū(p3 )γµ u(p1 ) 2 ū(p4 )γ µ u(p2 ) q 2 u1 (p), u2 (p) Spin ⇓ ↑p ⇑ ↑p (und v1 (p), v2 (p)) unterscheiden sich durch Spinstellung Streuung von unpolarisierten Teilchen: • Mittelung über die Spins der Teilchen im Anfangszustand P |M |2 |M |2 = 41 S1 ,S2 47 • Wenn Polarisation nicht beobachtet: Summation über alle möglichen Spins im Endzustand 2 2 P P 1 2 4 s +u 2 |M | = 2e |M | = 4 nächstes Mal Beweis 4 t S1 ,S2 S3 ,S4 Elektron Myonstreuung: Betrachtungen der Dimensionalität Eine Betrachtung der physikalischen Dimensionen ist hilfreich im Verständis der QED Streuprozesse. Mit natürlichen Einheiten ℏ = 1, c = 1 gibt es nur eine unabhängige Dimension die wir als Länge L wählen wollen. Damit: [x] = [t] = L, [E] = [P ] = L−1 (1) Aufgabe: Tragen Sie für die Streuamplitude Sf i unter den Klammern die Dimension der jeweiligen Ausdrücke ein und bestimmen Sie die resultierende Dimension: 1 (1) Sf i = (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 ) ie2 ū(p3 )γµ u(p1 ) 2 ū(p4 )γ µ u(p2 ) = M (1) (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 ) {z } {z } | | {z } q | |{z} 4 −1 −1 L L L L2 Wie ändert sich die Situation wenn wir ein Normierungsvolumen für die Spinoren einführen? (1) Sf i = 1 1 (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 ) ie2 ū(p3 )γµ u(p1 ) 2 ū(p4 )γ µ u(p2 ) 2 V | {z } {z } {z } q | | |{z} |{z} L−6 L4 L−1 L2 L−1 Wir betrachten die Übergangswahrscheinlichkeit und integrieren über ein- und auslaufende Impulszustände. Was ist die Dimension von W ? Z Z Z Z d3 p2 d3 p3 d3 p4 d3 p1 2 V V V W = |Sf i | · V hat korrekte Dimension (2π)3 2E1 (2π)3 2E2 (2π)3 2E3 (2π)3 2E4 | {z } {z } | {z } | {z } | {z } | Streuung Teilchen 1 an Targetteilchen 2 (beide mit fixem Impuls): Hinweis: Sf2 i enthält [δ 4 (ω)]2 mit ω = p3 + p4 − p1 − p2 , R 4 −iωx R 4 ′ −iωx′ R 1 benutze (2π)4 [δ 4 (ω]2 = (2π) d xe d xe = d4 xe−iωx δ(ω) ≈ V T δ(ω) 4 Z Z V T d3 p3 d3 p4 4 4 2 1 V (2π) δ (p + p − p − p ) (Faktor 2E · W = |Mf i | V für Dichte Targetteilchen) 3 4 1 2 3 2E 3 2E 2 (2π) (2π) 2E {z } | {z } 3 4 | 2 | {z } | {z } | {z } Wirkungsquerschnitt: Z d3 p3 V (2π)3 2E3 {z } | Z V d3 p4 V 4 4 (2π) δ (p + p − p − p ) · 3 4 1 2 (2π)3 2E4 | {z } 2E2 v1 2E1 | {z } | {z } {z } beachte: dieser WQ = dem aus Fermis goldener Regel! (s. Vorlesung) Die letzen beiden Terme ≡ 1 F hat korrekte Dim.! (mit F = Flussfaktor). 48 2 W σ = = |Mf i | V T · jein |{z} | {z } | |Matrixelement|2 für e− µ− → e− µ− Streuung: Spinmittelung 7. Vorlesung, 27.4.2010 4 X X e 1 + µ ν + [ū(p )γ u(p )][ū(p )γ u(p )] [ū(p )γ u(p )][ū(p )γ u(p )] |M |2 = 3 µ 1 3 ν 1 4 2 4 2 4 s ,s s ,s q 4 |M |2 = 1 3 4 e q4 2 4 Lµν · M µν − Leptontensor des e : Lµν 1X = [ū(p3 )γµ u(p1 )][ū(p3 )γν u(p1 )]+ 2 s ,s 1 − Leptontensor des µ : M µν 3 1X = [ū(p4 )γ µ u(p2 )][ū(p4 )γ ν u(p2 )]+ 2 s ,s 2 4 Jetzt Berechnung von Lµν (M µν analog): [ū(p3 )γν u(p1 ]+ = u+ (p1 )γν+ ū+ (p3 ) |{z} = u+ (p1 )γ0 γν γ0 γ0+ u(p3 ) = ū(p1 )γν u(p3 ) |{z} (γν )+ =γ0 γν γ0 =γ0 49 1X ū(p3 )γµ u(p1 )ū(p1 ) γν u(p3 ) Lµν = 2 s ,s 1 3 X Behauptung: u(p1 )ū(p1 ) = u1 (p1 )ū1 (p1 ) + u2 (p1 )ū2 (p1 ) = (6p + m) · 1 Berechnung von P u(p1 )ū(p1 ): Wir wählen Koordinatensystem so, dass p ~||z: ⇒ u1 (p) = √ 0 1 0 1 B C B C E + m B pz C , @ E+m A 0 u2 (p) = Verifizieren Sie, dass: u1 ū1 + u2 ū2 = 6p + m = γ 0 E − γ 3 pz + m 0 B B =B @ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 1 C C C·E A 0 B B −B @ 0 0 −1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 C C C · pz A B B +B @ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 B √ B E + mB @ 0 1 0 −pz E+m 1 C C C A 1 C C C·m A Anfang der Rechnung: 0 E+m 0 B 0 0 B u1 ū1 = B B 0 @ pz 0 0 −pz 0 2 −pz E+m 0 1 0 0 0 0 C B 0 C B 0 E+m C , u2 ū2 = B 0 C B 0 0 A @ 0 −pz 0 0 0 0 0 0 pz 0 −p2z E+m 0 E+m 0 B 0 E+m C B C B C ⇒ u1 ū1 +u2 ū2 = B C 0 B pz A @ 0 −pz 1 −pz 0 −p2z E+m 0 0 pz 0 2 −pz E+m 1 C C C C C A Anleitung: ersetze in der letzten Matrix −p2z als Funktion von E und m: ⇒ u1 ū1 + u2 ū2 = 1 C C C A 50 Lösung: p2z = E 2 − m2 = (E + m)(E − m) 0 E+m 0 −pz 0 B 0 E+m 0 pz B → u1 ū1 + u2 ū2 = B @ pz 0 −E + m 0 0 −pz 0 −E + m Leptontensor Lµν Lµν 1X = ū(p3 ) γµ (6p1 + m1 )γν u(p3 ) {z } | 2 s 3 Matrix Ajk Lµν = 1 2 Lµν = = X jk 4 P P ū(p3 )j Ajk u(p3 )k = j,k=1 s3 1 2 P jk P 1 2 1 2 P Ajk jk P u(p3 )k ū(p3 )j s3 ↑ komplexe Zahlen, vertausche Reihenfolge Ajk (6p3 + m3 )kj [γµ (6p1 + m1 )γν ]jk [6p3 + m3 ]kj Ajk Bkj = Spur(A · B) Spur = Summe der Diagonalelemente 1 Lµν = Spur [γµ (6p1 + m1 )γν (6p3 + m3 )] 2 1 M µν = Spur [γ µ (6p2 + m2 )γ ν (6p4 + m4 )] 2 51 Einige nützliche Rechenregeln: (Griffith S. 252/253) 1.) 2.) 3.) Spur(A + B) = Spur(A) + Spur(B) A, B Matrizen Spur(α · A) = α · Spur(A) α = Zahl Spur(AB) = Spur(BA) 0 1 0 1 4.) gµν g µν = 4 5.) 6.) 7.) 8.) 9.) 10.) 11.) 12.) 13.) γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν → a 6 6b + 6b6a = 2ab γµ γ µ = 4 γµ γ ν γ µ = −2γ ν → γµ 6aγ µ = −26a (Beweis?) ... ... Spur(Produkt einer ungeraden Anzahl von γ’s) = 0 ! Spur(11) = 4 Spur(γ µ γ ν ) = 4g µν Spur(γ µ γ ν γ λ γ σ ) = 4(g µν g λσ − g µλ g νσ + g µσ g νλ ) C B −1 C B g µν = B C A @ −1 0 −1 s. interaktive Übungsaufgabe 52 Berechnung des Leptontensors Lµν 2Lµν = Sp (γµ m1 γν m3 ) +Sp (γµ 6p1 γν m3 ) +Sp (γµ m1 γν 6p3 ) +Sp (γµ 6p1 γν 6p3 ) | {z } | {z } | {z } | {z } (1) (2) (3) (4) (1) Sp(γµ m1 γν m3 ) = m1 m3 Sp(γµ γν ) = m1 m3 4gµν = |{z} m2 4gµν m1 =m3 =m (2) Sp(γµ 6p1 γν m3 ) = mSp(γµ γα pα1 γν ) = mpα1 Sp(γµ γα γν ) = 0 (3) Sp(γµ mγν 6p3 ) = 0 analog zu (2) (4) Sp(γµ 6p1 γν 6p3 ) = Sp(γµ γα pα1 γν γβ pβ3 ) = pα1 pβ3 Sp(γµ γα γν γβ ) = pα1 pβ3 4 [gµα gνβ − gµν gαβ + gµβ gαν ] = 4 [p1µ p3ν + p1ν p3µ − gµν (p1 p3 )] ⇒ Lµν = 2p1µ p3ν + 2p1ν p3µ − 2(p1 p3 )gµν + 2m2 gµν → Analog für M µν 53 Finales Ergebnis für |M |2 der e− µ− → e− µ− Streuung 4 e |M |2 = 4 Lµν M µν q Def. m : = Elektronmasse, M : = Myonmasse 2 2µ 4ν 2 4e4 2ν 4µ µν = 4 p1µ p3ν + p1ν p3µ + gµν m − (p1 p3 ) p p + p p + g M − (p2 p4 ) q mit gµν g µν = 4 ⇒ Empfehlung: folgenden Schritt nachrechnen: |M |2 8e4 2 2 2 2 = 4 (p1 p2 )(p3 p4 ) + (p1 p4 )(p2 p3 ) − m (p2 p4 ) − M (p1 p3 ) + 2m M q exaktes Ergebnis! (noch keine Näherung gemacht) Hochenergiefall: m, M → 0 4 8e |M |2 = 4 (p1 p2 ) (p3 p4 ) + (p1 p4 ) (p2 p3 ) | {z } | {z } | {z } | {z } q s 2 s 2 −u 2 “t-Kanal” Prozess mit t = q 2 54 2 2 4 s + u 2e 2 2 4 |M |2 = 2 s + u = 2 e t t2 −u 2 Beweis für p1 p2 : s = (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 p2 = m2 + M2 + 2p1 p2 ∼ 2p1 p2 e− µ− → e− µ− Streuung: → Crossing in e− e+ → µ− µ+ µ - - e 2 2 s + u |M |2 = 2 e t2 4 - p4 Crossing Symmetrie: p3 p4 e −p2 µ - Muonpaarzeugung an e+ e− Collidern, experimentell wichtiger Prozess! ≡ - e mit t = q 2 µ - e - 8. Vorlesung, 30.4.2010 p1 p2 µ - p1 −p3 s = (p1 + p2 )2 → (p1 − p3 )2 ⇒ s und t vertauschen 2 2 t = (p1 − p3 ) → (p1 + p2 ) u = (p1 − p4 )2 → (p1 − p4 )2 55 → |M |2 e− e+ →µ− µ+ t2 + u 2 = 2e s2 4 Berechnung e− e+ → µ− µ+ Wirkungsquerschnitt (Hochenergiefall) Situation am Collider: p1 p2 p3 p4 = (E, 0, 0, E) = (E, 0, 0, −E) = (E, E sin θ, 0, E cos θ) = (E, −E sin θ, 0, −E cos θ) s = (p1 + p2 )2 ≈ 2p1 p2 = 4E 2 t = (p1 − p3 )2 ≈ −2p1 p3 = −2E 2 (1 − cos θ) = − s2 (1 − cos θ) u = (p1 − p4 )2 ≈ −2p1 p4 = −2E 2 (1 + cos θ) = − s2 (1 + cos θ) ⇒ |M |2 4 (1 = 2e − cos θ)2 + (1 + cos θ)2 = e4 (1 + cos2 θ) 4 56 e2 mit α = ⇒ |M |2 = (4πα)2 (1 + cos2 θ) 4πℏc 2 α 1 1 dσ 2 2 = |M | |cms = (1 + cos θ) 2 dΩ 64π s 4s Z dσ 4πα2 87 nbarn − + − + σ(e e → µ µ ) = dΩ = = dΩ 3s s [GeV2 ] Helizitätserhaltung bei hohen Energien Helizität λ = ~s · P~ /|P~ ≡ Spinprojektion auf Flugrichtung, up = Rechtsschraube, down = Linksschraube Im Grenzfall hoher Energien (Massen vernachlässigbar) gilt für beliebigen Spinor Ψ 0 1 0 0 1 0 ! p ~ B 0 0 0 1 C 0 ~ σ · B C 5 5 5 |~ p| γ Ψ= Ψ mit γ = ⇒ γ ≡ Helizitätsoperator! B C @ 1 0 0 0 A 0 ~σ · |~pp~| 0 1 0 0 ~ ): Bei hohen Energien haben unsere vier Basisspinoren folgende Form (wähle z||P 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 C C C √ B √ B √ B √ B B 0 C B 1 C B −1 C B 0 u1 = E B C , u2 = E B C , v1 = E B C , v2 = E B @ 1 A @ 0 A @ 0 A @ 1 0 −1 1 0 Chiralitäts-Projektionsoperator: PL = 12 (1 − γ 5 ) Impuls/Spin PL PR u1 ↑⇑ PL u1 = 0 PR u1 = u1 u2 ↑⇓ PL u2 = u2 PR u2 = 0 0 B B = 1 B 2 @ 1 1 0 −1 0 0 1 0 −1 C C C −1 0 1 0A 0 −1 0 1 v1 ↓⇓ PL v1 = v1 PR v1 = 0 1 C C C A , PR = 12 (1 + γ 5 ) 0 B B = 1 B 2 @ 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 C C C A v2 ↓⇑ PL v2 = 0 PR v2 = v2 57 Achtung: das linkshändige v1 mit negativer Energie, Impuls und Spin nach unten ≡ rechtshändiges Positron mit Impuls und Spin nach oben (und v2 ≡ linkshändiges Positron) Helizitätserhaltung der elektromagnetischen WW Elm. Wechselwirkung ∼ j µ Aµ mit j µ = ūγ µ u Behauptung: diese WW ist helizitätserhaltend: Beweis: Mit 1 = 21 (1 − γ 5 ) + 12 (1 + γ 5 ) = PL + PR ūγ µ u = (ūL + ūR )γ µ (uL + uR ) µ µ = (ū γ u ) + (ū γ uR ) L L R |{z} zu zeigen 1 ūL = = u (1 − γ )γ = ū (1 + γ 5 ) 2 2 1 µ 5 µ 5 → ūL γ uR = ū (1 + γ )γ (1 + γ ) u 4 1 µ 5 5 = ūγ (1 − γ )(1 + γ ) u = 0 4 0 u+ Lγ +1 0 58 ⇒ keine Spinflips erlaubt 5 Erlaubte Vertices zu o(m/E) Berechnung des Matrixelementes für e− e+ → µ− u+ über LL, RR Amplituden Amplituden für die Streuung ∼ Wahrscheinlichkeitsamplituden dass wenn im rotierten System Jz′ = λ′ → dann im unrotierten System Jz = λ Amplituden M ∼ dJλ′ λ (θ) = hjλ′ |e−iθJy |jλi λ, λ′ = Nettohelizitäten || zur z und z ′ Achse ( ) 1 u d111 (θ) = d1−1−1 (θ) = 2 (1 + cos θ) = − s d11−1 (θ) = d1−11 (θ) = 12 (1 − cos θ) = − st u 2 + t2 ⇒ |M | ∼ s2 2 zu den Rotationsmatrizen und ihrer Bedeutung: siehe D. Perkins: Introduction to HEP, Appendix c 59 a mehr d = Rotationsmatrizena Myon-Paarerzeugung e+ e− → µ+ µ− mit Spinoren gerechnet M = +ie2 12 [v̄(p2 )γµ u(p1 )] [ū(p4 )γ µ v(p3 )] q |M |2 = Lµν 4 e µν M L µν |{z} |{z} q4 Elektron M yon ↓ Unterschied zu u P vv̄ = (6p − m) s1 ,s2 P uū = (6p + m) s1 ,s2 P 1 =2 [v̄(p2 )γµ u(p1 )] [ū(p1 )γν v(p2 )] = 21 Spur [γµ (6p1 + m)γν (6p2 − m)] s1 ,s2 = 2 [p1µ p2ν + p1ν p2µ − (p1 p2 )gµν − m2 gµν ] ”+” bei e− µ− → e− µ− Analog M µν = 21 Spur [γ µ (6p4 − M )γ ν (6p3 + m)] = ... Lµν M µν |e− e+ →µ− µ+ = 8 (p1 p4 )(p2 p3 ) + (p1 p3 )(p2 p4 ) + m2 (p3 p4 ) + M2 (p1 p2 ) + 2m2 M2 Vergleiche: identisch wenn p2 ↔ −p3 ⇒ Ergebnisse können durch Crossing gewonnen werden (Resultate s. oben) 60 ˆ ˜ Lµν M µν |e− µ− →e− µ− = 8 (p1 p2 )(p3 p4 ) + (p1 p4 )(p2 p3 ) − m2 (p2 p4 ) − M2 (p1 p3 ) + 2m2 M2 Crossingregeln ū(k4 ) - ū(p3 ) ū(p4 ) e v(k3 ) µ - ≡ - e u(p1 ) u(p2 ) µ - M ∼ 12 ū(p3 )γµ u(p1 )ū(p4 )γ µ u(p2 ) q u(k1 ) v̄(k2 ) M ′ ∼ 1′2 v̄(k2 )γµ u(k1 )ū(k4 )γ µ v(k3 ) q Um M in M ′ zu überführen, substituiere: p2 → −k3 u(p2 ) → v(k3 ) p3 → −k2 ū(p3 ) → v̄(k2 ) p1 → k1 p4 → k4 61 e− e− → e− e− Streuung (Møller Streuung) (Praktische Bedeutung: Zur Messung der e− Polarisation (e− Streuung an Fe-Folien)) Besonderheit: Elektronen im Endzustand sind ununterscheidbar Fermionen: ⇒ Streuamplitude muss antisymmetrisch sein bezüglich Vertauschung der Elektronen! e− ū(p3 ) ū(p4 ) ū(p3 ) e− ū(p4 ) e− e− − Asymmetrie e− u(p1 ) u(p2 ) e− M1 u(p2 ) e− ”u-Kanal”: q ′2 = (p1 − p4 )2 = u 1 − ie2 ′2 ū(p4 )γµ u(p1 )ū(p3 )γ µ u(p2 ) q {z } | M2 62 ”t-Kanal”: q 2 = (p1 − p3 )2 = t 1 ie2 2 ū(p3 )γµ u(p1 )ū(p4 )γ µ u(p2 ) q {z } | e− u(p1 ) Møller Streuung Wirkungsquerschnitt: Matrixelement: M = M1 − M2 ⇒ |M |2 = M · M ∗ = (M1 − M2 )(M1 − M2 )∗ = |M1 |2 + |M2 |2 − 2Re(M1 M2∗ ) {z } | Interferenzterm Im folgenden Hochenergienäherung: 2 2 2 2 s + u s + t 4 , |M1 |2 = 2e |M2 |2 = 2e 2 t u2 4 e 1XX ∗ M1 M2 = [ū(p3 )γµ u(p1 )][ū(p1 ) γν u(p4 )][ū(p4 ) γ µ u(p2 )][ū(p2 ) γ ν u(p3 )] {z } | {z } | {z } | {z } | tu 4 s ,s s ,s 1 2 3 3 6p1 6p4 6p2 6p3 2 8e4 e4 µ ν 4s Spur(γµ 6p1 γν 6p4 γ 6p2 γ 6p3 ) = − (p1 p2 )(p3 p4 ) ≈ −2e ≈ 4tu tu tu 2 2 2 2 2 s + t s s + u 4 + −2 |M |2 = 2e t2 u2 tu ( ) 4θ 4θ 2 1 + sin 2 1 + cos 2 dσ α 2 |cms = + + dΩ 2s sin4 θ2 cos4 2θ sin2 2θ cos2 2θ 4 63 64 Von der e− µ− zur e− Quark Streuung 9. Vorlesung, 7.5.2010 Vorbemerkung: Wir vernachlässigen in dieser Vorlesung durchgehend die Elektronmasse, d.h. me = 0 dσ 1 Pf 2 = |M | dΩ |cms (8π)2 s Pi 2 Q ≈ 2p1 p3 = E1 E3 − 2Pi Pf cos θ 1 dσ 2 = ⇒ |M | 2 dQ2 64πs Pi Pi Pf dΩ ⇒ dQ = 2Pf Pi d(−cosθ) = π 2 lorentzinvariant! Es gilt: s − M2 √ Pi = ⇒ 4sPi2 = s̄2 2 s mit s̄ := s−M2 = 2p1 p2 Beweis für Pi : p E1 ≈ Pi , E2 = M2 + Pi2 p √ s = Pi + M2 + Pi2 √ ⇒ s + Pi2 − 2 sPi = Pi2 + M2 2 √ ⇒ Pi = s−M 2 s 65 1 dσ 2 = ⇒ |M | dQ2 16πs̄2 Herleitung s. Vorlesung 6 e− µ− Streuung in der Hochenergienäherung (Wiederholung) e4 8e4 µν |M | = 4 Lµν M = 4 q q 2 2 (p1 p2 ) (p3 p4 ) + (p1 p4 ) (p2 p3 ) −M (p1 p3 ) | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } s̄/2 Lµν M I := 4s̄2 µν 2 s̄/2 2 1 ū 2q + = +M 2 2 2s̄2 s̄ Amplitude ∼ const. ū/2 ū/2 −→ Hochenergienäherung M ≈ 0 mit ū = u − M2 −q 2 /2 2 ū 1 + 2 2s̄2 Amplitude ∼ d111 = (1 + cos θ) = −u s Nützliche Umformungen: 2 66 t + s + u ≈ 2M ⇒ t = −s̄ − ū 2 2 t ū 2q + M ⇒I= − 2s̄2 s̄ s̄2 t2 ū2 (−s̄ − ū)2 1 ū ⇒ 2 = + = + 2s̄ 2s̄2 2 2s̄2 s̄ e− µ− Streuung im Muonruhesystem Auszurechnen: 2 dσ 1 4πα = |M |2 = 4 I 2 2 dQ 16πs̄ q 2 2 2 4πα t ū 2q = + M − q4 2s̄2 s̄ s̄2 s̄ = 2p1 p2 = 2ME ū = −2p2 p3 = −2ME ′ 2 2 ′ q = −2p 1 p3 = −4EE sin ′ 2 q = −2M (E − E ) | {z } =ν 2 θ 2 2 2 t2 = q 2 q = − E ′ q sin2 2 E 2M2 2s̄2 2s̄ ⇒ − ū = E ′ s̄ E 2 q 2 θ E′ 2 M sin = − 2 s̄ E 2 θ 2 Beweis für zweite q Formel: M2 = (p2 + q)2 = M2 + 2p2 q + q 2 ⇒ q 2 = −2M(E − E ′ ) ′ M 2 67 2 ⇒ dσ2 = 4πα4 E cos2 θ + Q 2 sin2 θ 2 2M 2 dQ Q E 2 E ′ ausrechnen: −4EE ′ sin2 2θ = −2M(E − E ′ ) E ′ (E sin2 2θ + 12 M) = 21 ME E ′ = 1+ 2EEsin2 θ e− µ− Streuung im Muonruhesystem Mottstreuung: 1/2 Amplitude ∼ d1/2 1/2 = cos θ2 Modifikation durch Wechselwirkung mit magnetischem Moment des Muons → Helizität des Elektrons wechselt! 1/2 Amplitude: ∼ d1/2 −1/2 = sin 2θ 68 e− u Quark Streuung Wenn es freie Quarks gäbe... Mit sq = (pe + pu )2 , Quarkmasse mu und Ladung Qu = 2/3: h i m2u q 2 4πα2 Q2u 4πα2 Q2u dσ t2 ū + s̄2 dQ2 = q 4 hI = q 4i 2s̄2q − s̄ q q i h 2 2 2 2 2 4πα Qu 4πα u t t t ≈ = − + 1 + |{z} q4 2s2q sq q4 2s2q sq mu ∼ 0 Inelastische Elektronprotonstreuung bei HERA im Quark Parton Modell: 69 s = (p + k)2 ≈ 2pk x p = Viererimpuls des einlaufenden u Quarks, (x ≡ Impulsbruchteil) sq = (xp + k)2 ≈ 2xpk = xs q = (k − k ′ ) Photonviererimpuls Q2 = −q 2 ≈ −2kk ′ (≡ Auflösung des Photons) pq y= (≡ Energie des Photons) pk Q2 2 2 (xp + q) = 2xpq + q ≈ 0 ⇒ x = 2pq pq Q2 Q2 Q2 2 Q = 2kp 2pq = syx ⇒ y = sx = sq = −t sq pk Inelastische Elektronprotonstreuung und Formfaktoren xfj (x) fj : Wahrscheinlichkeit Parton j mit ImAnnahme: inkohärente Streuung pulsanteil zwischen x und x+dx zu finden an verschiedenen Partonen 1 2 X 2 4πα2 d2 σ Qj fj (x) 1−y+ y = dQ2 dx q4 2 j Definiere Strukturfunktion: F2 := x 2 X Q2j fj (x) dσ 4πα2 1 2 ⇒ = (1 − y + y )F2 (x) dQ2 dx Q4 x 2 magn. Formfaktor elektr. Formfaktor 2 ∼ cos2 Wären Quarks Bosonen: F1 = 0, θ 2 Spin 1/2: 2xF1 = F2 ∼ sin2 θ 2 z }| { F1 (x) ] (Callan Gross Relation, experimentell bestätigt!) 70 z }| { d σ 4πα 2 Allgemeinerer Ansatz: = [(1 − y) F (x) + xy 2 |{z} dQ2 dx Q4 x | {z } Bjorken Scaling und Callan Gross Relation SLAC Daten νω2 = F2 , ω = 1 x Die Partondichten hängen bei dem getesteten x = 0.25 im Bereich 1 < Q2 < 6 GeV2 kaum von der Auflösungsskala Q2 ab, was man als “Bjorken Scaling” bezeichnet. (Dies ist bei den viel kleineren x Werten und höheren Auflösungsskalen Q2 bei HERA ganz anders! → durch Effekte der QCD (Gluonabstrahlungen)) SLAC Daten 71 3.1 Eichinvarianz 10. Vorlesung, 11.5.2010 Eichinvarianz und Maxwellgleichungen: (ǫ0 = µ0 = 1, Heaviside-Lorentz-Einheiten) ~E ~ = ρ, ∇ ~B ~ =0 ∇ ~ ~ ∂ E d B ~ ×B ~ = ~j + ~ ×E ~ =− , ∇ ∇ dt ∂t ~ =∇ ~ ×A ~ Einführung von Potentialen: B ~ ~ ∂ B ∂ ∂ A ~ ×E ~ =− ~ ×A ~ = −∇ ~ × ∇ =− ∇ ∂t ∂t ∂t ! ~ ~ ∂A ∂A ~ ~ ~ ~ =0 →E+ = −∇Φ →∇× E+ ∂t ∂t ) ( ~ ∂ A ~ ~ = −∇Φ ~ − statt E, B E ∂t ~ ~ =∇ ~ ×A ~ −→ Φ, A B ~ Φ sind nicht eindeutig festgelegt A, ′µ µ µ Aµ Eichtrafo → A =A −∂ χ ~ B ~ und Maxwellgl. invariant lässt E, ∂ ~ , −∇) ∂ µ = ( ∂t 72 ~′ = A ~ + ∇χ(~ ~ r.t) ⇒ B ~′ = B ~ A ∂ ~′ = E ~ Φ′ = Φ − ∂t χ(~r.t) ⇒ E ~ Φ zu Vierervektor A, ~ Aµ = (Φ, A) Bemerkungen und Schreibweisen: µ ~ Viererstromdichte: j = (ρ, j) 0 E1 E2 E3 −E 0 −B3 B2 1 Feldstärketensor: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ = −E2 B3 0 −B1 −E3 −B2 B1 0 Damit lauten die Maxwellgleichungen: 1.) ∂λ Fµν + ∂µ Fνλ + ∂ν Fλµ = 0 µ, ν, λ = 0, 1, 2, 3 ~ ×E ~ = .., ∇ ~B ~ = ... (4 Gleichungen) →∇ 2.) ∂ µ Fµν = jν ~E ~ = .., ∇ ~ ×B ~ = .. (4 Gleichungen) → ∇ • Kontinuitätsgleichung: Differenzieren von 2lund Einsetzen von Fµν ~ ~j = 0 ∂ ν jν = 0 → ∂ρ +∇ ∂t • Wellengleichung: Einseten von Fµν in 2l Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = j ν 73 • Lorenzeichung: Man kann geeignetes χ finden, so dass ∂µ Aµ = 0 → Aν = j ν Eichinvarianz in der Quantenmechanik: 1.) Schrödingergleichung mit elm. Feld 2 1 ~ ∂ ~ −i∇ − q A + qΦ Ψ(x) = i ψ(x) 2m ∂t ~ = −∇ ~ + iq A, ~ D0 = andere Schreibweise: D 1 ~ 2 ψ = iD0 ψ ⇒ 2m (iD) ∂ ∂t + iqΦ ! Eichtrafo: ~→A ~′ = A ~ + ∇χ ~ A ∂ χ Φ → Φ′ = Φ − ∂t Damit SGL forminvariant ist, muss sich ψ wie folgt transformieren: ψ(x) → ψ ′ (x) = ψ(x) e|+iqχ(x) {z } lokale Phasenänderung 74 Eichinvarianz in der Quantenmechanik: 2. Relativistische Wellengleichungen (iγ µ Dµ − m) ψ = 0 Dµ = ∂µ + iqAµ kovariante Ableitung ist identisch mit (i6∂ − m)ψ = q6Aψ Ist diese Gleichung invariant unter der Eichtrafo:? Aµ → A′µ = Aµ − ∂ µ χ Ja, wenn ψ → ψ ′ = ψ · e+iqχ(t,~x) Hier: Eichtrafo der Felder erfordert lokale Phasentransformation der Wellenfunktion damit Forminvarianz der Gleichungen gegeben. 75 Lokale und globale Phasentransformation a) Globale PT: ψ → ψ ′ = eiα ψ α unabh. von ~x und t ist nicht messbar Denn Observablen bleiben gleich: Z Z Z hOi = d3 x ψ ′∗ O ψ ′ = d3 x ψ ∗ e−iα O e+iα ψ = d3 x ψ ∗ O ψ Bedeutung der globalen PT: Aus der Invarianz der Lagrangedichte gegenüber globaler PT folgt ein Erhaltungssatz (Noether-Theorem) b) lokale Phasentransformationen ψ → ψ ′ (x) = eiqχ(x) ψ(x) Ändern die Observablen! (z.B. Interferenzmuster) Aharonov Bohm Effekt 2πℏ ~ |m~v −eA| ∆x → ∆ϕ = 2π λ ~ ∆~x ∆ϕ′ = − ℏe A |{z} λ= = 76 ~ mit A 2π ~| |P Veranschaulichung mit Wasserwellen ⇓ Existenz eines Hindernisses ⇓ erfordert äussere Kräfte → Felder 77 Lokale Phasentransformation ↔ Eichinvarianz DGL im Vakuum (iγ µ ∂µ − m)ψ(x) = 0 Jetzt lokale PT: ψ ′ = eiqχ(x) ψ(x) (iγ µ ∂µ − m)ψ ′ = eiqχ (iγ µ ∂µ − m)ψ −qγ µ ∂µ χ eiqχ ψ | {z } | {z } =0 ψ′ = −qγ µ ∂µ χ · ψ ′ DG mit Feld (iγ µ ∂µ − m)ψ ′ = qγ µ A′µ ψ ′ wobei hier A′µ = −∂µ χ Invarianz bei lokaler Phasentrafo geht nur mit Feld (iγ µ ∂µ − m)ψ(x) = qγ µ Aµ (x)ψ(x) ψ ′ (x) = eiqχ(x) ψ(x) ist Lösung einer formgleichen Gleichung mit A′µ = Aµ − ∂ µ χ. 78 Eichprinzip: Postulat/Forderung: Die Diracgleichung muss invariant sein gegenüber beliebiger lokaler Phasentransformation ⇓ Dies ist im feldfreien Raum unmöglich ⇓ Existenz eines Vektorfeldes (Aµ ) das gleichzeitig eichtransformiert wird Ψ′ (x) = eiqχ(x) ψ(x) A′µ (x) = Aµ (x) − ∂µ χ(x) Einführung der kovarianten Ableitung (minimale Kopplung): Dµ = ∂µ + iqAµ 79 Verallgemeinerung (Ausblick) schwache WW: SU(2) ↓ 2 × 2 Matrizen g ~ Ψ′ (x) = exp (i ~τ · β(x)) ψ(x) (Drehung im Isospinraum) 2 ↑ Pauli-Matrizen ~ µ → 3 Felder, da 3 Winkel im Isospinraum Dµ = ∂ µ + i g2 ~τ W starke WW: Farb SU(3) ψ ′ (x) = exp (i g2s ↓ 3 × 3 Matrizen Gell-Mann Matrizen λj βj (x)) ψ(x) ↑ j = 1, ..., 8 ⇒ Existenz der 8 Gluonen Felder 80 Der Lagrange-Formalismus 11. Vorlesung, 11.5.2010 Literatur: Anhang A,B Schmüser, Kapitel 1 Griffith 1.l LF in klassischer Mechanik: Z q, q̇ ) Lagrange Funktion o n L( |{z} Aus δS = 0 mit S = dt L(q, q̇) verallgemeinerte Koordinaten | {z } Wirkung – Z » – » Z δS = dt ∂L ∂L δq + δ(q̇) = ∂q ∂ q̇ ∂L = 0 d ∂L ⇒ − ∂q dt ∂ q̇ dt ∂L d ∂L δq + δ(q) = ∂q ∂ q̇ dt Euler-Lagrangegleichungen 1 p2 − V = mẋ2 − V Beispiel Punktteilchen: L = T − V = 2m 2 ∂L ∂L ∂V ∂L d dP = =− = F, = mẋ = P ⇒ F − P = 0 ⇒ F = ∂q ∂x ∂x ∂ ẋ dt dt Aus δs = 0 ⇒ ∂L − ∂ ∂L =0 µ ∂φ(x) ∂(∂µ φ(x)) 81 2.l Ausweitung auf Felder, allgemein φ(x): L = L(φ(x), ∂µφ(x)) R R 3 Lagrangedichte L, S = dt d x L(φ, ∂µ φ) Beispiele für Lagrangedichten: 1. Skalares Feld: 1 µ 2 2 (∂µ φ) (∂ φ) − m φ LSkalar = 2 ∂L ∂L 2 = −m φ; = ∂ µφ ∂φ ∂µ φ ⇒ Lagrangegleichungen: −m2 φ − ∂µ ∂ µ φ = 0 ∂µ ∂ µ φ + m2 φ = 0 Klein-Gordon-Gleichung 2. Dirac-Feld: LDirac = ψ̄(x) (iγ µ ∂µ − m) ψ(x) = iψ̄γ µ ∂µ ψ − mψ̄ψ ψ̄, ψ als unabhängige Koordinaten ∂L = −mψ̄; ∂ψ ∂L = ψ̄iγ µ ∂(∂µ ψ) ← ⇒ Lagrangegl.: − mψ̄ − ∂µ ψ̄iγ µ = 0 ⇒ ψ̄ i ∂µγ µ + m = 0 ∂L =0 ∂(∂µ ψ̄) ⇒ Lagrangegl.: (iγ µ ∂µ − m) ψ = 0 82 ∂L = (iγ µ ∂µ − m) ψ, ∂ ψ̄ QED Lagrangedichte 3. Elektromagnetisches Feld (Vakuum) Lem = − 41 Fµν F µν = − 41 (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) ↑ nötig um richtige Energiedichte zu erhalten (∗) ∂µ ∂L ⇒ ∂(∂µ Aν ) Wellengleichung im Vakuum Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = 0 4. Lagrangedichte der QED: LDirac + Lem mit Dµ = ∂µ + iqAµ 1 LQED = ψ̄ (iγ µ Dµ − m) ψ − Fµν F µν 4 1 = ψ̄ (iγ µ ∂µ − m) ψ − q ψ̄γ µ ψ Aµ − Fµν F µν | {z } 4 jµ Tests: ∂L ∂ ψ̄ Euler-Lagrange-gl. = (iγ µ ∂µ − m) ψ − qγ µ ψAµ ⇒ µ = q ψ̄γ ψ = j µ +(∗) ⇒ Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = j µ mit Feld ⇒ Wellengl. mit Quelle 83 ∂L − ∂A µ (iγ µ ∂µ − m) ψ = qγ µ ψAµ ⇒ Diracgl. Noether Theorem (L und globale PT) Lagrangedichte ist invariant unter infinitesimaler globaler Phasentransformation ⇒ Es gibt einen erhaltenen Strom j µ = ∂(∂∂Lµ φ) · φ ′ φ → φ = eiα φ ≈ (1 + iα)φ, δφ = iαφ ∂L ∂L δφ + δ(∂µ φ) ∂φ ∂(∂µ φ) ∂L = ∂ ∂L µ ∂L ∂φ ∂(∂µ φ) δφ warum? δL = ∂µ ∂(∂µ φ) δ(∂µ φ) = ∂µ (δφ) + Kettenregel! 1 ∂L =0 δL = ∂µ φ iα ∂(∂µ φ) } | {z j µ ist erhalten δL = 0, δL = ′ Beispiel: Diracteilchen L = ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ ist inv. unter ψ → ψ = eiθ ψ ∂L = ψ̄iγ µ ∂(∂µ ψ) ∂L =0 ∂(∂µ ψ̄) 84 j µ = ψ̄iγ µ ψ = iψ̄γ µ ψ ist erhalten → Ladungsherhaltung Lagrange-Formalismus und lokale Phasentransformation ′ ψ → ψ = eiqχ(x) ψ Ist LDirac auch invariant unter lokaler Eichtrafo? ′ µ ′ ′ µ LT est = ψ̄(iγ ∂µ − m)ψ → L = ψ̄ (iγ ∂µ − m)ψ = L − q(∂µ χ)ψ̄γ µ ψ Lösung: muss das Feld dazunehmen Aµ mit ′ ′ Aµ = Aµ − ∂µ χ wenn ψ = ψ(x)eiqχ(x) , bzw.: L = iψ̄γ µ Dµ ψ − mψ̄ψ ֒→ Dµ = ∂µ + iqAµ L noch nicht komplett, tue “freies Vektorfeld” 41 Fµν F µν dazu Wellengl. des Photons: ∂µ F µν = j ν ; ∂µ ∂ µ Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = j ν | {z } = 0 in Lorenzeichung ′µ ist invariant unter Aµ → A = Aµ − ∂ µ χ 85 Wellengleichung eines massiven Vektorbosons (Feld W mit Masse MW ): 2 )W ν − ∂ ν (∂µ W µ ) = j ν (∂µ ∂ µ + MW ′ 2 µ ∂ χ Unter W µ → W µ = W µ − ∂ µ χ → Extraterm in Wellengl.: −MW ⇒ Problem bei Vektorfeldern mit Masse! Eichfreiheit und Photonpolarisation Betrachte im Folgenden freies Photon mit 3-er Impuls || z-Achse Wellengleichung: ∂µ ∂ µ Aν = 0, Polarisation: Aµ = N |{z} ǫµ e−ikx Polarisation (Vierervektor) Lorenz-Bedingung (LB) ⇒ ∂µ Aµ = 0 ⇒ kµ ǫµ = 0 Beispiel: Photon mit k µ = E(1, 0, 0, 1), ǫµ = (1, 1, 0, 1) erfüllt LB ⇒ LB ↔ |ǫ0 | = |ǫ3 | −ikx e Eichtrafo mit χ = −iE ′ ⇒ A µ = Aµ − ∂ µ χ = interaktive Aufgabe (0, 1, 0, 0)e−ikx ⇒ kann Feld so umeichen, dass ~k · ~ǫ = 0 (Coulombeichung) Feld A hat 4 Freiheitsgrade (DoF): • 1 DoF durch Lorenzeichung festgelegt • Masselosigkeit → 1 DoF ⇒ es bleiben 2 DoF: mit ~k = (0, 0, k): 2 2 86 transversal polarisiert ~ǫ1 = (1, 0, 0) ~ǫ2 = (0, 1, 0) zirkular polarisiert ~ǫλ=+ 1 = − √12 (1, i, 0) ~ǫλ=− 1 = √12 (1, −i, 0) Bemerkungen zum Lagrange-Formalismus • Klassische Mechanik: L = T − V QFT: L wird axiomatisch festgelegt • Aus Lagrangedichte lassen sich Feynman-Regeln der Theorie ableiten (Verallgemeinerte Koordinaten oder Pfadintegral) 87 Lagrangedichte, Bewegungsgleichungen und Feynmanregeln Freies Elektron Lagrangian Euler-Lagr.gl. Wechselwirkung mit Photonfeld Freies Photon LF rei = LInt = Lf rei = ψ̄(6p − m)ψ −q ψ̄γ µ ψAµ − 14 Fµν F µν → = qγ µ ΨAµ | q ψ̄γ µ ψ = j µ = ← (6p − m)ψ = 0 K̃ Propagatoren: ∼ quadratische Terme in Lf rei = −i(6p =− = g µν Aν 1 − m) (6p + m) D̃µν p2 −m2 P uū i (Lor. Eichung) =0 = = s i·−g µν q2 4 P (λ)∗ (λ) i ǫν ǫµ λ=1 q2 ≡ −iAA q2 p2 −m2 ≡i µ A | {z= 0} ψ ψ̄ p − m2 2 Vertices ∼ iLW W Photonpolarisationen: → i 4 P λ=1 (λ)∗ (λ) ǫν = ǫµ P T∗ T L L S∗ S + ǫµ ∗ǫν + ǫµ ǫν ǫµ ǫν T | {z } | {z } | {z } transversal longitudinal skalar (s. Halzen & Martin Seite 139 ff) 88 P Feynmandiagramme: Höhere Ordnungen und Renormierung 12. Vorlesung, 21.5.2010 Beispiel: e− µ− → e− µ− - e µ - 1. Ordnung - e µ - Jetzt zusätzlich: Bei kleinen Abständen sieht Loop man mehr von der zentralen Ladung → quantifizieren gµν (1) 2 µ M = −e [ū(p3 )γ u(p1 )] 2 [ū(p4 )γ ν u(p2 )] q Folgendes: Herleitung siehe z.B. Halzen-Martin Z 4 6 + m)) d4 k Sp (γµ (6k + m)γν (6q − k ie Loop ν µ [ū(p )γ u(p)2)] M = − 4 [ū(p3 )γ u(p1 )] 4 4 2 2 2 2 q (2π) (k − m )((q − k) − m ) ) ) 89 Berücksichtigung zusätzliche Ordnung (Loop): Z 4 gµν d k Sp( gµν i 2 → 2 − 4 Iµν wobei Iµν = −e q2 q q (2π)4 ( )( Loopdiagramm-Integral Man kann zeigen: Iµν = −igµν I(q 2 )q 2 I(q 2 ) = 2 e 12π 2 Z∞ dx x 2 m | {z } log. divergent Z∞ m2 dx = lim M 2 →∞ x ZM 2 m2 −6 | Z1 0 2 dz z(1 − z) ln 1 − dx = lim ln M 2 →∞ x q z(1 − z) 2 m {z 2 M m2 Abschneideparameter M 2 , am Ende M 2 → ∞ 2 2 M e 2 2 + ln 2 e M 12π m2 2 2 2 I(q ) = ln − f (q ) = 2 2 2 e 2 ln M 2 12π m 12π q 2 = −4|~ p|2 sin2 θ/2 im CMS Nebenbei: q 2 < 0, 2 gµν e M = −e [ū(p3 γ u(p1 )] 2 1 − q 12π 2 2 µ ln e2 q2 60π 2 m2 M m2 − f (q 2 ) m2 −q 2 m2 −q 2 −q 2 ≪1 ≫1 [ū(p4 )γ ν u(p2 )] 90 } f (q 2 ) > 0 und endlich Renormierung der Ladung: M2 m2 in “renormierte” Ladung eR : Jetzt: Wir stecken ln s 2 2 M e eR ≡ e 1 − ln 12π 2 m2 Damit wird die Amplitude zu: 2 g e µν M = −e2R ū ... u 2 1 + R 2 f (q 2 ) ū ... u q 12π 31 24 + O(e6 ) • M taucht nicht mehr explizit auf, eR ist die gemessene Ladung 91 • absorbiere endlichen Term f (q 2 ) in Kopplungsstärke r 2 e 2 R (0) 2) f (q eR (q ) ≡ eR (0) 1 + 12π 2 2 α(0) e 2 ⇒ α(q ) = α(0) 1 + f (q 2 ) ”laufende” Kopplungskonstante mit α = 4π 3π 1 , α(100 GeV) = 1 Effekt sehr klein: α(0) = 137 128 Aufsummieren der Loopdiagramme Loopdiagramme in allen Ordnungen: 1 eR (q 2 ) ≡ e 1 − I(q 2 ) + I 2 (q 2 ) − I 3 (q 2 ) + ... = e | {z } 1 + I(q 2 ) geometrische Reihe Im Grenzfall hoher |q 2 |: I(q) = α ln 3π 2 −q M2 ⇒ α(q 2 ) = α(0) 2 α(0) 1 − 3π ln −q M2 Renormierungsprozedur: Wähle Renormalisierungsskala µ (=Referenzskala) und subtrahiere α(µ2 ) von α(Q2 ), nun schicke M 2 → ∞ ⇒ Verlauf der Kopplung mit q2 → fixiert Renormierungsgruppengl. ⇒ Absoluter Wert von α(q2 ) muss experimentell bestimmt werden! 92 α(µ2 ) 2 2 ⇒ α(q ) = −q α(µ ) ln 1− 3π µ2 2 Komplettes Set von O(α2 ) Diagrammen Modifiziert: Strom jfµi = −eūγ µ u Photon-Propagator Renormierung: Ladung: Magn. Moment: e− -Selbstenergie = Masse 2 −I(q ) Hochener. = x x α ln 3π “ Q2 µ2 ” ———————— = 0, Ward-Identitäten ————————g = 2+ x α π x x ja ja 93 Messung der laufenden Kopplung in Bhabha Streuung bei LEP http : //arxiv4.library.cornell.edu/abs/hep − ex/0505072v3 94 Running α: Beiträge verschiedener Teilchensorten im Loop http : //www.slac.stanf ord.edu/econf /C060706/pdf /0610037.pdf 95 Brookhaven AGS 2000-2002 (BNL-821) Zahl der e+ hängt von φ(t) ab Oszillationsperiode ⇒ aµ = g−2 2 eB Zyklotronfrequenz eines Teilchen im B-Feld: ωc = γm eB Larmorfrequenz der Spin Präzession ωL = γm 1 + g−2 γ 2 g−2 eB φ(t) = (ωL − ωc ) · t = 2 m t Winkel zwischen Spin und Impuls 96 g − 2 Vergleich Experiment (BNL E821) vs Rechnungen 97 98