1) Quantenmechanische Beschreibung von Elektronen

Vorlesung: E-Teilchen für Fortgeschrittene, Uni Hamburg SS10, Inhalt (Teil1)
Autor: Olaf Behnke, 1. Vorlesung, 6.4.2010
1. Quantenmechanische Beschreibung von Elektronen
Dirac Gleichung → berücksichtigt Spin 1/2 des Elektrons
→ relativistisch korrekt
2. Feynman-Regeln und -Diagramme
- Elektronenstreuung
- Wirkungsquerschnitte
3. Lagrange Formalismus (⇒ Feynman-Regeln)
und Eichprinzip (⇒ Existenz des elektromagnetischen Feldes)
4. QED (Quanten-Elektro-Dynamik)
→ Unendlichkeiten in der Berechnung solcher Diagramme
→ Renormierung, ⇒ laufende Kopplung α(Q2 )
Literatur:
• Peter Schmüser, “Feynman-Graphen und Eichtheorien für Experimentalphysiker” Springer
Verlag, 1988/1995 → Vorlesung folgt in Abschnitten 1.-3. weitgehend diesem Buch
• F. Halzen & A.D. Martin, “Quarks & Leptons” Wiley & Sons, 1984 → folgen wir
insbesondere für Abschnitt 4.
zum “Tieferbohren”: dieses Buch liefert auch den kompletten feldtheoretischen Hintergrund
1
• Otto Nachtmann, “Elementarteilchenphysik, Phänomene und Konzepte” Vieweg Verlag, 1986
1) Quantenmechanische Beschreibung von Elektronen
Zur Erinnerung: Grundlegende Axiome der QM:
1. Zustand eines Systems wird durch Zustandsvektor |Ψi beschrieben (in einem
linearen Raum)
2. Physikalische Observablen: durch hermitesche Operatoren beschrieben:
A+ = (At )∗ = A
⇒ A hat relle Eigenwerte
3. Erwartungswert einer Observablen: hAi = hΨ|A|Ψi
4. Zeitentwicklung: iℏ ∂Ψ
= H|Ψi
∂t
5. Messung von A: |Ψi geht in den Eigenzustand |ni über
(Eigenwert an wurde gemessen, Reduktion der Wellenfunktion)
2
1.1 Schrödingergleichung
∂
∂t
E
QM
−→
iℏ
p~
QM
−→
~
− iℏ∇
→ Schrödingergleichung E =
p2
2m
∂Ψ
ℏ2 2
iℏ
=−
∇Ψ
mit Ψ = Ψ(~r, t)
∂t
2m
mit Potenzial
ℏ2 2
∂Ψ
= −
∇ + V (~r, t) Ψ
iℏ
∂t
2m
Lösung der freien Schrödingergleichung:
1 ~
Ψ(~r, t) = √ eik~r · e−iωt ,
V
E = ℏω,
p2
ℏ2 k 2
=
2m
2m
3
1.2 Kontinuitätsgleichung
ρ
Klassisch: Teilchenfluss durch Fläche
~j = ρ~v
Lokaler Erhaltungssatz → Kontinuitätsgleichung:
∂ρ
~ ~j = 0 (≡ wenn die Dichte geringer wird muss an diesem Ort mehr raus- als reinfliessen)
+∇
∂t
QM → Wahrscheinlichkeitsdichte: ρ = Ψ∗ Ψ
freies Teilchenρf rei =
~
~ ∗ )Ψ
Wahrscheinlichkeitsstromdichte: ~j = ℏ Ψ∗ (∇Ψ)
− (∇Ψ
1
V
2im
4
Herleitung der K.Gl. aus Schrödinger Gl. (gute interaktive Übung!): benutze iℏ ∂Ψ = HΨ und
∂t
∗
−iℏ ∂Ψ = HΨ∗
∂t
∂
∂Ψ∗
∂Ψ
iℏ (Ψ∗ Ψ) = iℏ
Ψ + iℏΨ∗
= −(HΨ∗ )Ψ + Ψ∗ (HΨ)
∂t
∂t
∂t
«
«
„
„
ℏ2 2
ℏ2
2 ∗
∗
∗
(∇ Ψ )Ψ + V Ψ Ψ + Ψ −
∇ Ψ+VΨ
= − −
2m
2m
”
´
ℏ2 ` ∗ 2
ℏ2 ~ “ ∗ ~
~ ∗ )Ψ
= −
∇ Ψ (∇Ψ) − (∇Ψ
Ψ (∇ Ψ) − (∇2 Ψ∗ )Ψ = −iℏ
2m
2m
∂ρ
~ ~j
→
= −∇
∂t
1.3 Klein Gordon Gleichung
Versuch: E =
p
p2 c2 + m2 c4
(relativistische Energie- Impulsbeziehung)
∂Φ √ 2 2 2
= −ℏ c ∇ + m2 c4 Φ
∂t
Problem: Entwicklung nach ∞ hohen Potenzen nötig!
deshalb:
iℏ
E 2 = p2 c2 + m2 c4
∂2
−ℏ 2 Φ = −ℏ2 c2 ∇2 + m2 c4 Φ → Klein Gordon Gleichung (1926)
∂t
mc 2
1 ∂2
KGGL: ist 2. Ordnung in t und in ~x
֒→ 2 2 − ∆ + ( ) Φ = 0
c ∂t
ℏ
⇒ Lorentz kovariant
Lösungen:
2
Φ+ (~r, t) =
Φ− (~r, t) =
√1
V
1
√
V
~
eik~r−iωt E = +ℏω
~
eik~r+iωt E = −ℏω
!!! Bedeutung?
Einsetzen in KGGL: ℏ2 ω 2 = p2 c2 + m2 c4 ;
p
p2 c2 + m2 c4
5
E = ±ℏω = ±
Kontinuitätsgleichung aus Klein Gordon Gleichung
ρ̇ + div ~j = 0
konstruiere ρ und ~j die das erfüllen
i
i
ℏ h ∗ ~
iℏ h ∗
∗
∗
~
~
Φ Φ̇ − Φ̇ Φ ,
j=
Φ (∇Φ) − (∇Φ )Φ
ρ=
2mc2
2im
Verifikation:
(gute interaktive
Übung!) benutze KGGL:
m2 c4
m2 c4
2
∗
2
φ̈ = c ∆ + ℏ2 φ;
φ̈ = c ∆ + ℏ2 φ∗
m2 c4 ∗
iℏ
m2 c4
iℏ ∗
2
∗
∗ 2
φ φ̈ − φ̈ φ =
Φ (c ∆ + 2 )Φ − (c ∆ + 2 )Φ Φ
ρ̇ =
2mc2
2mc2
ℏ
ℏ
h
i
iℏ
ℏ ~
~
~ ∗ )Φ = −∇
~ ~j
=
[Φ∗ ∆Φ − (∆Φ∗ )Φ] = −
∇ Φ∗ (∇Φ)
− (∇Φ
2m
2im
ρ+ =
1 ℏω
,
V mc2
~j+ = 1 ℏk = 1 ~v
V m
V
֒→ ρ ∼ E → relativistische Volumenkontraktion, ρµ = (ρ, ~j) ist Lorentz Vierervektor
ρ− < 0 Problem !?
6
→ KGGL wurde aufgrund der nicht positiv definiten Wahrs.Dichte für die negativen Energielösungen
verworfen! Rehabilitierung 1934 durch Pauli & Weisskopf, die gezeigt haben, dass man ρ± als
Ladungsdichte interpretieren kann wenn man es mit −e multipliziert. Die Lösungen mit der negativen
Energie entsprechen Antiteilchen (Positronen) mit positiver Ladungsdichte. In der Quantenfeldtheorie
ist KGGL die Feldgleichung für neutrale und geladene Mesonen mit Spin=0 (Pionen).
1.4 Die Dirac-Gleichung
Suche Differentialgleichung
relativistische Kovarianz ⇒
2. Vorlesung, 9.4.2010
1. Ordnung in der Zeit,
1. Ordnung auch in Ortskoordinaten
H rel Ψ = i ∂Ψ
(ℏ = c = 1)
∂t
↑ zu bestimmen
Ansatz:
H rel = α1 p1 + α2 p2 + α3 p3 + βm
= α
~ · p~ + βm
 
p1
mit

p~ = p2  = −i 
p3
∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3
Es muss gelten H 2 = p~2 + m2 ⇒ Bedingungen für αi und β:

 
α1
, α
~ = α2 
α3
1. αi αj + αj αi = 2δij
2. αi β + βαi = 0
3. β 2 = 1
7
⇒ αi , β sind nicht vertauschbar
Behauptung: αi , β müssen n × n Matrizen sein mit n ≥ 4.
Dimension von αi , β: N ≥ 4
Beweis:
1. αj , β hermitesch, weil H hermitesch: αj+ = ((αj )∗ )t , β + = β
2. αj2 = β 2 = 1 ⇒ Eigenwerte von αj , β sind ±1.
3. αj , β haben Spur=0
Beweis:
Spur(αj ) = Spur(β βαj ) = Spur(βαj β) = - Spur(ββαj ) = -Spur(αj ) = 0
Spur(β) = Spur(αi αi β) = Spur(αi β αi ) = - Spur(αi αi β) = -Spur(β) = 0
Dabei benutzt: Spur(AB) = Spur(BA) und αj β = −βαj
P
4. Spur(A) =
Eigenwerte
Da die Eigenwerte ±1, muss N gerade sein
Falls N = 2: gibt nur drei linear unabhängige Matrizen
mit Spur = 0 → Pauli Matrizen σ1 , σ2 , σ3 ⇒ N ≥ 4
8
Darstellung der αj , β :
Die Paulimatrizen sind gegeben durch:




0
−i
0 1
,
 , σ2 = 
σ1 = 
+i
0
1 0
Die Diracmatrizen sind gegeben durch:




0 σi
1
0
, β = 

αi = 
σi 0
0 −1

0
0
1
0
0
1
0
0
0
1


σ3 = 
1

0

0 −1
(Dirac Darstellung)
existieren andere Darstellungen, z.B. die von Weyl
0


 0
0 


 , α2 = 
 0

0 

+i
0


1
0


 0
−1 


, β = 
 0

0 

0
0
0
0
0
+i
−i
−i 0
0
0
0
0
0


0 

,
0 

0


0 


0 −1
0 

0
0 −1
1
0
9

 0
0

α1 = 
 0
1

1
0

0
0

 0
0

α3 = 
 1
0

0 −1
0

~ + mc2 βΨ
= −iℏc~
α · ∇Ψ
Diracgleichung: iℏ ∂Ψ
∂t
Bedeutung? Was ist Ψ? ⇒ 4 Komponenten Spinor

Ψ1





 Ψ2 
,

Ψ=

 Ψ3 


Ψ4
Ψ+ = (Ψ∗1 , Ψ∗2 , Ψ∗3 , Ψ∗4 )
Vermutung: ρ = Ψ+ Ψ = Ψ∗1 Ψ1 + Ψ∗2 Ψ2 + .. = |Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 + |Ψ3 |2 + |Ψ4 |2
Aufstellung einer Kontinuitätsgleichung: (c = ℏ = 1)
Ψ+· Diracgleichung – komplex konjugierte Diracgleichung · Ψ
~
a) Ψ+ i ∂Ψ = −iΨ+ α
~ · ∇Ψ
+ mΨ+ βΨ
b)
∂t
∂Ψ+
−i ∂t Ψ
ρ̇ =
~ +) · α
= +i(∇Ψ
~ Ψ + mΨ+ βΨ
∂
Ψ+ Ψ
∂t
= Ψ+ ∂Ψ
+
∂t
∂Ψ+
Ψ
∂t
= −i[a) − b)]
~ − (∇Ψ
~ +) · α
~ ~j,
= −Ψ+ α
~ · ∇Ψ
~ Ψ = −∇
mit ~j = Ψ+ αΨ
10
Nichtrelativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung
zunächst freies, ruhendes Elektron
~k = 0 → ∇Ψ
~ =0
= mc2 βΨ
iℏ ∂Ψ
∂t
Diracgl.:

Ψ1


1



 0

∂ 
 Ψ2 
2
iℏ 
 = mc 
 0
∂t  Ψ3 



0
Ψ4
→ 4 unabhängige

1

 0

Ψ1 = e−iω0 t 
 0

0
Lsg.

0
0
0

Ψ1





0 
  Ψ2 


 Ψ3 
0 −1
0 


Ψ4
0
0 −1
1
0

0


0


0








 0 
 0 
 1 









 , Ψ4 = e+iω0 t 
 , Ψ3 = e+iω0 t 
 , Ψ2 = e−iω0 t 
 0 
 1 
 0 








1
0
0
E1 = E2 = ℏω0 = mc2
E3 = E4 = −ℏω0 = −mc2
11
Für folgende Diskussion des nichtrelativistischen Grenzfalles:
betrachte nur die positiven Energielösungen
Grenzfall: Kleine, aber nichtverschwindende kinetische Energie
p
p~2
2
2
2
2
4
E = p~ c + m c ≈ |{z}
mc +
2m
|{z}
ℏω0
≪mc2
Ansatz:

Ψ(~r, t) ≈ e−iω0 t 
ϕ(~r, t)
χ(~r, t)


(ϕ, χ haben jeweils 2 Kompon.)
2
′
p
ϕ, χ nur “langsam” zeitabhängig: ϕ, χ ∼ e−iω t mit ℏω ′ = 2m
Zeige im Folgenden:
χ≪ ϕ und ϕ erfüllt Schrödingergleichung



Ψ = e−iω0 t 
ϕ(~r, t)
 in Diracgl. mit αi = 
0
σi

σi 0


 



1 0
ϕ
0
~σ · p~
ϕ̇
ϕ

   + mc2 
→ ℏω0   + iℏ   = c 
0 1
χ
~σ · p~
0
χ̇
χ
χ(~r, t)


ℏω ′ χ≈0
≪mc2
⇒χ≈
~
σ ·~
p
ϕ
2mc
12
→ Gl. für χ: iℏχ̇ = c~σ · p~ ϕ − 2mc2 χ
|{z}
p~2
1
(~σ · p~)2 +
ϕ
ϕ
=
·
ϕ+ ϕ
χ χ=
2
2
2
4m c
|2m {z2mc }
+
≪1
d.h. für freies nichtrelativist. Elektronen: χ+ χ ≪ ϕ+ ϕ
Einschub: Beweis (~σ · p
~)2 = p
~2 1
0
0
~σ ·~
p = σ1 px +σ2 py +σ3 pz = @
px
0
@
pz
px − ipy
px + ipy
−pz
10
A@
px
0
pz
px + ipy
1 0
A+@
0
−ipy
+ipy
px − ipy
−pz
1
0
0
A=@
1 0
A+@
pz
0
0
−pz
1
0
A=@
p2z + p2x + p2y
0
0
p2z + p2x + p2y
pz
px − ipy
px + ipy
1
−pz
1
A
A
Gleichung für die (grosse) ϕ-Komponente
ℏω0 ϕ + iℏϕ̇ = c~σ · p~χ + mc2 ϕ
|{z}
mc2
→ Schroedingergleichung!
13
(~σ · p~)2
p~2
∂ϕ
=
ϕ=
ϕ
iℏ
∂t
2m
2m
Nichtrelativ. Grenzfall der Diracgl. im elektromagnetischen Feld
zur Erinnerung:
Schrödinger
p~2
2m
Hohne Feld
=
Hmit Feld =
~ 2
(~p − q A)
+ qΦ
2m
~ = Vektorpotenzial und qΦ = potenzielle Energie im elektrischen Feld
Hier A
~
p~
−→ P~ = (~p − q A)
|{z}
ohne Feld
P~ ist der kanonische Impuls aus Langrangefunktion und p~ der kinetische Impuls
nichtrelativistische Grenzfall der Dirac-Gleichung mit elektromagnetischem Feld:
iℏϕ̇ =
=
Übungsblatt 1 ⇒ Pauli Gl. herleiten
+ qΦϕ
14
1
(~σ · P~ )(~σ · P~ )ϕ + qΦϕ
2m 1
~
~
~σ (~p − q A) ~σ (~p − q A) ϕ
2m
Pauli-Gleichung und g Faktor
~ ×A
~=B
~
Mit q = −e (Elektron) und ∇
∂ϕ
1
eℏ
2
~ + eA)
~ +
~ − eΦ ϕ Pauli Gleichung
֒→ iℏ
=
(−iℏ∇
~σ · B
∂t
2m
2m
Term
eℏ
~σ
2m
~ = −~µ · B
~ = potenzielle Energie des magnetischen Momentes des Elektrons mit
·B
dem äusseren Magnetfeld, dieser Term fehlt in der Schrödingergleichung, weil Sie nichts vom Spin
des Elektrons weiss!
e
· 2m
|µElektron | = g
g-Faktor
· ℏ2
gyromagnet.
Verhältnis
Spin
Aus Pauli Gl. → g = 2, Gemessen g = 2a , klassisch nicht erklärbar
⇒ wichtiger Erfolg der Dirac-Gleichung
a kleine
Abweichung von g=2 durch QED Effekte, Diskussion später
15
Dirac Gleichung relativistischer Fall
Freie Dirac Gleichung (ohne Feld):
3. Vorlesung, 13.4.2010
(ℏ = c = 1 )
∂Ψ
= [~
α · p~ + mβ] Ψ
∂t
!
0 ~σ
α
~=
,
β=
~σ 0
↑ 2 × 2 Pauli Matrizen
iℏ
1 0
0 −1
!
Lösungsansatz:
Ψ(x) =
ϕ(p)
χ(p)
!
↓ pos. Energie
e
← ∓i(Et − p~ · ~x)
↑ neg. Energie
∓ipx
Lösungen ∼ e−ipx (pos. Energie):
"
!
# "
!
∂
ϕ
0
~
σ
·
p
~
e−ipx =
+
i
∂t
χ
~σ · p~ 0
(E − m) ϕ − ~σ · p~ χ = 0
(E + m) χ − ~σ · p~ ϕ = 0
֒→ χ =
~σ · p~ =
!#
ϕ
χ
!
e−ipx
gekoppelte Gl. für ϕ, χ
pz
px + ipy
px − ipy
−pz
!
16
~σ · p~
ϕ;
E+m
m 0
0 −m
Obere Gl. damit automatisch erfüllt:
~σ · p~
(E − m)ϕ − (~σ · p~)
ϕ=0
E+m
{z
}
|
p
~2
E 2 −m2
E+m ϕ = E+m ϕ = (E − m)ϕ
1
0
Wähle ϕ1 = N
; ϕ2 = N
; ⇒ Lsg. der Dirac-Gl.: u1 (p)e−ipx , u2 (p)e−ipx
0
1




1
0




0
1




u1 (p) = N 
,
u
(p)
=
N


pz
px −ipy 
2
 E+m
 E+m


px +ipy
E+m
−pz
E+m
Lösungen negativer Energie E = −E < 0: v1 (p)e+ipx , v2 (p)e+ipx
(−E − m) ϕ + ~σ · p~ χ = 0
(−E + m) χ + ~σ · p~ ϕ = 0
~σ · p~
χ
ϕ=
E+m

px −ipy
E+m
−pz
E+m
0
1



,

0
1
, χ2 = N
1
0


p
z


v2 (p) = N 

E+m
px +ipy
E+m
1
0




17


v1 (p) = N 

Hier: wähle χ1 = N
Normierung der Spinoren
Ψ+ Ψ −→ u+ u, v + v
Beliebteste Möglichkeiten
für N :
q
E
→ u+ u = m
a) NBjorken,Drell = E+m
2m
√
b) NEichtheorien = E + m → u+ u = 2E
(=1 im Ruhesystem)
(=2m im Ruhesystem)
Komplette Lösungen:
Ψ+ (x) = u1,2 (p)e−iEt e+i~p·~x
Ψ− (x) = v1,2 (p)e+iEt e−i~p·~x
→ Problem: neg. Energie!
18
Interpretation der Lösungen negativer Energie:
1lDirac-See: Alle negativen Energieniveaus besetzt ≡ “See” von Elektronen
→ erklärt γ → e+ e− Paarerzeugung (Eγ > 2me c2 )
Entdeckung der Positronen 1932 durch C.D. Anderson
19
2lFeynman - Stückelberg Interpretation (um 1934)
Wellenfunktion Energie< 0,
Teilchen e− ,
läuft rückwärts in der Zeit
Wellenfunktion Energie< 0,
Antiteilchen e+ ,
läuft vorwärts in der Zeit
≡
≡
20
Moderne Schreibweise der Diracgl. mit γ Matrizen
Vierervektoren:
kontravariante (wie xµ ) und kovariante (wie xµ )
pµ = (E, px , py , pz ) = (E, p1 , p2 , p3 ) = (E, ~p),
µ = 0, 1, 2, 3
X
pµ pµ = E 2 − p~ 2 = m2 Lorentz-invariant
pµ = (E, −~p)
µ
Metrischer Tensor gµν :

1 0
0
0
 0 −1 0
0

µν
gµν = g = 
 0 0 −1 0
0 0
0 −1





P
pµ = gµν pν := 3ν=0 gµν pν
↑ Einsteinsche Summenkonvention
Lorentz invariantes Skalarprodukt von 4-Vektoren:
ab = aµ bµ = aµ bµ = aµ gµν bν = a0 b0 − ~a · ~b
a2 > 0 zeitartig, a2 = 0 lichtartig, a2 < 0 raumartig
21
Lorentz-Trafo:
′ν
x =
aνµ xµ
LT in z-Richtung:
Beispiele für Vierervektoren:
Zeit-Ort
Energie-Impuls
elektromagn. Viererpotential
Viererstromdichte
Gradient
aνµ



=

γ
0
0
−γβ
xµ = (t, ~x)
pµ = (E, ~p)
~
Aµ = (Φ, A)
j µ = (ρ, ~j)
∂
~
∂ µ = ( ∂t
, −∇)
0
1
0
0
0
0
1
0
−γβ
0
0
γ
(weil ∂ µ =





∂
)
∂xµ
22
Diracgleichung und γ-Matrizen
γ 0 = β, γ 1 = βα1 , γ 2 = βα2 , γ 3 = βα3
Dirac-Pauli Darstellung:
!
!
1
0 σi
0
,
, γi =
γ0 =
−σi 0
0 1
i = 1, 2, 3
β· Diracgleichung (ℏ = c = 1)
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ
i β
+ βα2
+ βα3
+ − mβ 2 Ψ = 0
+ βα1
∂t
∂x1
∂x3
∂x3
1 ∂
2 ∂
3 ∂
0 ∂
+γ
+γ
+γ
− m1 Ψ = 0
+i γ
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
γ µ = (γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 )
(iγ µ ∂µ − m)Ψ(x) = 0
Achtung! Ist kein 4-Vektor, γ µ sind in jedem Lorentzsystem gleich
Diracgleichung
23
Eigenschaften der γ-Matrizen:
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν · 1
(γ 0 )+ = γ 0
(γ k )+ = −γ k ,
(γ 0 )2 = 1
(γ k )2 = −11
(γ µ )+ = γ 0 γ µ γ 0
k = 1, 2, 3
Weitere Abkürzungen:
6a ≡ γ µ aµ
”a dagger, a slash”
⇒ (i6∂ − m)Ψ = 0 Diracgleichung
24
Dirac Gl. mit elektromagnetischem Feld Aµ
pµ = i∂µ
−→
Eichtheorie
pµ − qAµ = i∂µ − qAµ
∂µ → ∂µ + iqAµ
(iγ µ ∂µ − m)Ψ(x) = gγ µ Aµ Ψ(x)
(i6∂ − m)Ψ = q6AΨ
Adjungierter Spinor und Vierer-Stromdichte:
Def. Ψ̄ ≡ ψ + γ 0 adjungierter Spinor
Warum nützlich? Ψ+ Ψ = ρ, Wahrs.Dichte, transformiert bei LT ∼ E
Ψ̄Ψ ist ein Skalar, s. Übungsblatt 2.1
Def. j µ = Ψ̄γ µ ψ
j 0 = Ψ̄γ 0 Ψ = Ψ+ γ 0 γ 0 Ψ = Ψ+ Ψ = ρ,
j k = Ψ̄γ k Ψ = Ψ+ γ 0 γ k Ψ = Ψ+ ββαk Ψ = Ψ+ αk Ψ
|{z}
k=1,2,3
Diracgleichung für den adjungierten Spinor Ψ̄:
i∂µ Ψ̄γ µ + mΨ̄ = 0
25
Fragen und Antworten von der Stunde 13.4.2010:
• Man kann Teilchen mit
a) negativer Energie die sich rückwaerts in der Zeit ausbreiten behandeln wie
b) Antiteilchen mit positiver Energie die sich vorwärts in der Zeit ausbreiten.
Frage: ist es besser a) oder b) zu benutzen und gibt es irgenwelche Unterschiede?
Antwort: a) und b) sind absolut äquivalent und es gibt keine Unterschiede. Das sieht man z.B. wenn
man das Skalarprodukt von einem auslaufenden Teilchen mit negativer Energie φf = eiEf t−ip~f ·~x mit
einem einlaufenden Zustand mit positiver Energie φi = e−iEi t+ip~i ·~x bildet:
Z
Z
3
∗
hφf |φi i = d xφf (~x)φi ~x = d3 xe−iEf t+p~f ·~x e−iEi t+ip~i ·~x
≡
Z
d3 xe+i(−Ei )t−i(−p~i )·~x e−iEf t+p~f ·~x ≡ hφiEi →−Ei ,p~i →−p~i |φf−Ef →Ef ,−p~f →p~f i
D.h. Ein- und Auslaufen von Teilchen und Antiteilchen kann man gegeneinander austauschen wenn
man Energie und Impuls umdreht. (Nebenbei: Physikalische Observable werden immer durch solche
Skalarprodukte (Matrixelemente) beschrieben). Mehr dazu im Schmüserbuch Kapitel 3., S29 ff
!
~σ 0
→ Die Paulimatrizen sind Repraesentanten der SU2
• Wo kommt es her, dass S =
0 ~σ
Drehgruppe und charakterisieren in der Quantenmechanik den Spin von Spin 1/2 Teilchen s.
http : //en.wikipedia.org/wiki/P auli matrices Für die Diracspinoren müssen wir das noch auf die
Vierervektoren verallgemeinern, d.h. die Teilchen und Antiteilchen gleichzeitig beschreiben.
26
∂
~ sich wie kontravarianter Vierervektor verhält (d.h. wie xµ ).
, −∇)
• Beweis, dass ∂ µ = ∂x∂µ = ( ∂t
Wenn wir als Beispiel nehmen ∂ µ S mit S = xν xν = x0 x0 − x1 x1 − x2 x2 − x3 x3 (S ist ein
Lorentzskalar, d.h. invariant unter LTs) finden wir sofort: ∂ µ S = 2xµ = 2(x0 , x1 , x2 , x3 ) d.h. verhält
sich wie kontravarianter Vektor xµ . (Formaler Beweis auch über LT von ∂x∂µ möglich.)
2. Herleitung der Feynman-Regeln
4. Vorlesung, 16.4.2010
Matrixelement von Streuprozessen (z.B. Elektronenstreuung)
t=t
-
e
t=t1
,
µ
,
Potenzial A (x )
ψstreu
-
e
ebene Welle
Φi
ebene Welle
Φf
t=t2
Von Streuwelle ΨStreu wird nur Anteil Φf mit p~f gemessen. Wahrscheinlichkeit für
Übergang Φi → φf ist gegeben durch:
Sf i ≡ hΦf |Ψstreu i = hΦf |S|Φi i
R
∂σ
= d 3 x2 Φ+
σ, ∂Ω
, Γւ
f (x2 )Ψstreu (x2 ) =
Z
d 3 x2 Φ+
f (x2 )SΨi (x2 )
|
{z
}
Störungstheorie, Feynmangraphen
27
Berechnung von ΨStreu (Kapitel 4 Schmüser)
(iγ µ ∂µ − m)Ψstreu (x) = −eγ µ Aµ (x)Ψstreu (x) = −e6AΨstreu (x)
Erinnnerung: Lösung von DGLs mit Greenschen Funktion
֒→ Bsp. Elektrostat. Potenzial:
∇2 Φ(x) = −ρ(x)
Poissongleichung
Lösung ist
Z
Φ(x) = G(~x − x~′ )ρ(x~′ )d3 x′
mit Greenscher Funktion:
1
G(~x − x~′ ) =
, denn ∇2 G(~x − x~′ ) = −δ 3 (~x − x~′ )
4π|~x − x~′ |
28
Greensche Funktion für Diracgleichung mit Feld
(i6∂ − m)K(x − x′ ) = δ 4 (x − x′ )
↑ gesucht
R
Ψ(x) = −e K(x − x′ )6AΨ(x′ )d4 x′
Integralgleichung
↑ Ψ taucht wieder auf
Vorteil: Iterative Lösung möglich → Störungstheorie
Ψ(0) (x) = Φ(x) ebene Welle
R
Ψ(1) (x) = Φ(x) − e K(x − x′ )6AΨ(0) (x′ )d4 x
R
Ψ(2) (x) = Φ(x) − e K(x − x′ )6AΨ(1) (x′ )d4 x
Allgemeine Lösung einer DGL
= Lsg. des homogenen Systems +
spezielle Lsg. des inh. Systems
Störungstheorie Terme für Sf2i ∼ α0,1,2
mit α =
e2
4πℏc
= 1/137
29
Der Elektronpropagator
Berechnung der Greenschen Funktion K(x − x′ ) → Propagator!
Z
1
′
4
−ip(x−x′ )
K(x − x ) =
d
p
K̃(p)e
(2π)4
↑ Fouriertransf. von K
Z
1
4
−ip(x−x′ )
′
d
p
(6
p
−
m)
K̃(p)e
(i6∂ − m)K(x − x )
=
(2π)4
Z
1
fordere
4
−ip(x−x′ )
4
′
d
p
e
δ
(x
−
x
)
=
=
(2π)4
⇒ (6p − m)K̃(p) = 1
(6p + m)(6p − m) K̃(p) = (6p + m)
|
{z
}
p2 −m2
K̃(p) =
p6 + m
p2 − m2
Elektronpropagator
Beachte: p2 − m2 6= 0, virtuelles Teilchen!
(reelles Teilchen: p2 = E 2 − p
~2 = m2 )
30
Wie sieht K(x − x′ ) aus?
Z ∞
Z
′
e−ip0 (t−t ) (6p + m)
1
3
i~
p(~
x−x~′ )
′
dp0
d pe
K(x − x ) =
(2π)4
(p − E)(p0 + E)
−∞
| 0
{z
}
Pole bei p0 =±E
p
mit E = + p
~2 + m2
Integral konvergiert nicht bei Integration über reelle Achse (über p0 )
Trick: Erweiterung auf komplexe p0 Ebene → Residuensatz
t > t′ :
K(x − x′ )
Pol +E
K(x − x′ )
Pol -E
=
′
t<t :
=
1
−i (2π)
3
R
d3 p e+i~p(~x−x )−iE(t−t ) γ
1
−i (2π)
3
R
d3 p e+i~p(~x−x )+iE(t−t ) −γ
′
~′
′
0 E−~
γp
~+m
2E
0 E−~
γp
~+m
2E
p6 + m
p − m2 + iǫ
31
Äquivalente Herleitung K̃(p) =
~′
2
Warum heisst K(x’-x) Propagator?
K(x − x′ ) bewirkt Propagation (Ausbreitung) eines freien Dirac Spinors
von x′ nach x:
R
t > t′ : i d3 x′ K(x − x′ )γ 0 φ(x′ ) = Φ(x)
R
t < t′ : i d3 x′ K(x − x′ )γ 0 φ(x′ ) = 0
Mit φ̄(x) = φ+ γ 0 :
R
t < t′ : i d3 x′ φ̄(x′ )γ 0 K(x − x′ ) = φ̄(x)
R
t > t′ : i d3 x′ φ̄(x′ )γ 0 K(x − x′ ) = 0
32
Beweis für Propagatorrolle von K:
~ ~′
′
x
φ(x′ ) = u(k)e−ik0 t +ik·
Z
R 3
1
3 ′ i(~k−~
p)·x~′ γ 0 E−~γ ·~k+m i(E−k0 )t′ 0
d
x
e
e
γ u(k)ei~p·~x−iEt
φ(x) = d p
2E
3
(2π)
{z
}
|
δ 3 (~k−~
p)⇒~k=~
p und k0 =E
−ik0 t+i~k·~
x
=e
γ 0 E − ~γ · ~k + m 0
γ u(k) =?
2k0
(γ 0 k0 − ~γ~k + m)γ 0 u(k) = γ 0 [γ 0 k0 u(k) + (~γ~k + m)u(k) ]
{z
}
|
Dirac−Gl.=γ 0 k0 u(k)
= 2k0 u(k)
~
֒→ einsetzen → φ(x) = e−ik0 t+ik·~x u(k) = φ(x)
33
Kovarianz der Dirac-Gleichung
Forderung: Dirac Gl. sollte in jedem Inertialsystem gleich aussehen.
homogenea Koordinatentransformationen x′ = ax: Drehungen und LTs
Ansatz für Spinortrafo:
Ψ′ (x′ ) = S(a) · Ψ(x) = S(a) · Ψ(a−1 x′ );
Es sollte gelten: S −1 (a) = S(a−1 )
∂
∂ ∂x′ν
′
Dirac Gl.: iγ ∂µ − m)ψ(x) = 0; benutze ∂µ =
=
= aνµ ∂ν
µ
′ν
µ
∂x
∂x ∂x
µ
′
⇒ (iγ µ aνµ ∂ν − m)S −1 ψ ′ (x′ ) = 0
′
(i Saνµ γ µ S −1 ∂ν − m)ψ ′ (x′ ) = 0
| {z }
=γ ν
a homogene
K.T. lassen den Koordinatenursprung unverändert
34
⇒ S −1 γ ν S = aνµ γ µ
Ziel: Wirkungsquerschnitt (σ,
t
µ
-
-
e
3j
-
µ
Sf i = hΦf |ΨStreu i =
dσ
↓ σ, dΩ
R
1j
5. Vorlesung, 20.4.2010
für e− + µ− → e− + µ−
-
4j
-
e
dσ
)
dΩ
t=t
,
e
t=t1
2j
µ
,
Potenzial A (x )
ψstreu
-
e
ebene Welle
Φi
d 3 x2 Φ+
f (x2 )ΨStreu (x2 )
ebene Welle
Φf
t=t2
ΨStreu lässt sich in Störungstheorie berechnen
Z
(1)
ΨStreu ≈ Ψ (x) = Φi (x)−e d4 x′ K(x−x′ )6A(x′ )Φi (x′ ), z.B. Φ(x) = u(p1 )e−ip1 x
Z
Z
Z
3
+
′
′
′
4 ′
Sf i = d x2 Φf (x2 )Φi (x2 ) −e d x
d 3 x2 Φ+
f (x2 )K(x2 − x ) 6A(x )Φi (x )
|
{z
}
{z
}
|
2Ei δf i
Sf i =
(0)
Sf i
+
(1)
Sf i
iΦ̄f (x′ )
(1)
Sf i
+ ...
= ie
d4 x′ Φ̄f (x′ )6A(x′ )Φi (x′ )
Zwischenergebnis, wie erhält man 6A aus Myonstrom? ⇒
35
Z
Berechnung von Aµ aus Muonstrom ⇒ konstruiere Photonpropagator
∂2
∂t2
− ∇ Aµ (x) = eJ µ (x)
| {z }
(Lorentz-Eichung ∂µ Aµ = 0)
Viererstrom eines Teilchens mit Ladung +e
µ
A (x) =
2
Sei Dµν eine Lösung von:
Dµν (x − x′ ) = g µν δ 4 (x − x′ )
Dann gilt:
µ
A (x) = e
Z
d4 x′ Dµν (x − x′ )Jν (x′ )
Berechnung von Dµν (x − x′ )
Z
d4 q µν
−iq(x−x′ )
µν
′
D̃
(q)e
D (x − x ) =
(2π)4
Z
d4 q
′
µν
′
! g µν δ 4 (x − x′ )
D (x − x ) =
(−q 2 )D̃µν (q)e−iq(x−x ) =
4
(2π)
→ Interaktive Übungsaufgabe
36
−g µν
⇒ D̃ (q) = 2
q + iǫ
µν
Hier (Streuproblem e− µ− → e− µ− ) gilt:
Aµ (x) = −e J µ (x) = −e Ψ̄f (x) γ µ Ψi (x)
| {z }
| {z } | {z }
M yon
M yon
M yon
J µ (x) = ū(pf )γ µ u(pi )ei(pf −pi )x
Z
Z
d4 q −g µν −iq(x−x′ )
′
µ
4 ′
e
·ū(pf )γν u(pi )ei(pf −pi )x
A (x) = −e d x
4
2
(2π) q + iǫ
|
{z
}
Dµν (x−x′ )
R
′
Integration über x′ kann man ausführen (2π)4 δ 4 (k) = d4 x′ e−ikx
Z
−g µν −iqx
µ
4
4
e
ū(pf )γν u(pi )
A (x) = −e d q δ (pf − pi + q) 2
q + iǫ
→ Zwischenergebnis
37
p3
t
Φf
Φi
(1)
Sf i
= +ie
-
e
µ
-
Z
Z
4 ′
p4
Ψf
-
e
p1
= +ie
2
µ
-
Elektron:
Myon:
′
′
Φi (x′ ) = u(p1 )e−ip1 x Ψi (x′ ) = u(p2 )e−ip2 x
′
′
Φf (x′ ) = u(p3 )e−ip3 x Ψf (x′ ) = u(p4 )e−ip4 x
Ψi
p2
′
d4 x′ ū(p3 )e+ip3 x γµ Aµ (x′ )u(p1 )e−ip1 x
d x ū(p3 )e
+ip3 x′
γµ
Z
d4 q δ 4 (p4 − p2 + q)
|
′
′
g µν −iqx′
ū(p4 )γν u(p2 ) u(p1 )e−ip1 x
e
2
q + iǫ
{z
}
Aµ (x′ )
Integration über x′ → δ 4 ():
Z
g µν
(1)
2
Sf i = ie
d4 q (2π)4 δ 4 (p4 − p2 + q)δ 4 (p3 − p1 − q)ū(p3 )γµ u(p1 ) 2
ū(p4 )γν u(p2 )
q + iǫ
|
{z
}
≡ Resultat mit Feynmanregeln
(1)
Sf i = ie2 (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 )ū(p3 )γµ u(p1 )
(1)
M (1) = +ie2 ū(p3 )γµ u(p1 )
1
ū(p4 )γ µ u(p2 )
2
(p1 − p3 )
38
Sf i = M (1) (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 ),
1
ū(p4 )γ µ u(p2 )
2
(p1 − p3 )
Feynman-Diagramme:
e
-
ū(p3 )
ū(p4 )
ieγ µ (2π)4 δ 4 (p3 − p1 − q)
e
-
ieγν (2π)4 δ 4 (p4 − p2 + q)
−ig µν
q 2 +iǫ
-
µ
µ
-
u(p1 )
u(p2 )
Feynman-Diagramm (QED) Konventionen:
Fermionen −→
gerade Linien
Photonen −→
Wellenlinien
auslaufendes Fermion −→
ū(p)
einlaufendes Fermion −→
u(p)
ǫµ (k) Pol.vektor
einlaufendes Photon (relles) −→
ǫµ =
∗
ǫµ (k)
ausl. Photon −→
−ig µν
q 2 +iǫ
virtuelles Photon −→
Lepton-Photon Vertex −→
einl. Antifermion →
(ǫ0 ,~ǫ) = (0,~ǫ)
virtuelles Elektron −→
−i(±e)γ µ (2π)4 δ 4 (pf − pi − q)
R
v(p)
(6p + m)
i p2 −m2 +iǫ
d4 q
(2π)4
39
integriere über innere Linien −→
ausl. Antifermion −→
v̄(p)
Kinematik der 2 → 2 Streuung:
s = q2
s-Kanal
t = q2
t-Kanal
u = q2
u-Kanal
Energie- und Impulserhaltung: → p1 + p2 = p3 + p4
Erinnerung: pi pi = m2i , i=1,2,3,4
2 unabhängige Grössen beschreiben diese Streusituation ⇒ Mandelstam-Variablen:
s = (p1 + p2 )2 = (p3 + p4 )2 = p21 + p22 + 2p1 p2
sehr hohe Energie
≈
≈
≈
2p1 p2
=m21
40
t = (p1 − p3 )2 = (p2 − p4 )2 = p21 + p23 − 2p1 p3
−2p1 p3
u = (p1 − p4 )2 = (p2 − p3 )2 = p21 + p24 − 2p1 p4
−2p1 p4
P
Es gilt s + t + u = 4i=1 m2i
zu zeigen!
2
s + t + u = (p1 + p2 ) + (p1 − p3 )2 + (p1 − p4 )2
= p21 +2p1 p2 + weiterrechnen, für −2p1 p4 für p1 ersetzen durch p1 = p3 + p4 − p2
|{z}
Wiederholung: Ziel Matrixelement M eines Prozesses
e
-
ū(p3 )
ū(p4 )
−i(−e)γ µ (2π)4 δ 4 (p3 − p1 − q)
e
−ig µν
q 2 +iǫ
-
u(p1 )
6. Vorlesung, 23.4.2010
µ
-
−i(−e)γν (2π)4 δ 4 (p4 − p2 + q)
µ
-
u(p2 )
1.l Diagramm aufzeichnen
2.l Pfeile einfügen
3.l u, ū, v, v̄ Spinoren mit Impulsen verteilen, Propagatoren
4.l Faktoren für die Vertices
5.l über innere Linien integrieren
(1)
Sf i
= ie
2
Z
R d4 q
(2π)4
d4 q
g µν
4 4
(2π)4 δ 4 (p3 − p1 − q) ū(p4 )γν u(p2 )
(2π)
δ
(p
−
p
+
q)
ū(p
)γ
u(p
)
4
2
3 µ
1
{z
}
|
(2π)4
|
{z
} q 2 + iǫ
Jν =Muonstrom
Jµ =Elektronstrom
mit q = p1 − p3
41
1
(1)
Sf i = (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 ) ie2 ū(p3 )γµ u(p1 ) 2 ū(p4 )γ µ u(p2 )
q
|
{z
}
M
Elementarprozesse
γ Emission
γ Absorption
Paarvernichtung
Paarerzeugung
Streuung geladener Teilchen
Comptonstreuung
Bremsstrahlung
Paarerzeugung + -vernichtung
42
Berechnung von Zerfallsraten und Wirkungsquerschnitten aus dem Matrixelement M :
Notationshinweis: wir benutzen kleine pi für Viererimpulse und grosse Pi für Dreierimpulse
1. Goldene Regel für Zerfälle 1 −→ 2 + 3 + 4 + ...n
(Hier ohne Herleitung, siehe Schmüser S. 51 ff für dσ)
i
h 3 3 3
c d P2
c d P3
c d Pn
2 S
... (2π)3 2En
dΓ = |M | 2ℏm1 (2π)3 2E2
(2π)3 2E3
·(2π)4 )δ 4 (p1 − p2 − p3 − ... − pn )
S ist statistischer Faktor:
1
j!
für jede Gruppe von j identischen Teilchen
2. Goldene Regel für Streuprozesse 1 + 2 → 3 + 4 + ... + n
h 3 3 3
i
c d P3
c d P4
ℏ2 S
c d Pn
2 √
dσ = |M |
... (2π)3 2En
(2π)3 2E3
(2π)3 2E4
4
(p1 p2 )2 −(m1 m2 c2 )2
|
{z
}
dLips,
Lorentz inv. Phasenraum
4 4
·(2π) δ (p1 + p2 − p3 − p4 − ... − pn )
p
F = 4 ( )2 − ( )2 Lorentz-invarianter Flussfaktor
43
Im Folgenden:
Ziel ist die komplette Herleitung des Wirkungsquerschnittes für den Streuprozess
e− µ− → e− µ−
(diese Reaktion ist vom Typ 1 + 2 → 3 + 4)
Schritte:
1. Bestimme Flussfaktor F für einlaufende Teilchen
2. Führe Phasenraumintegration aus über die auslaufenden Impulse, ersetze
dabei Integration über Impulse durch Integration über Energie und
Raumwinkel
3. Berechne Matrixelementquadrat |M |2 unter Berücksichtigung aller
möglichen Spineinstellungen
44
Bemerkungen zum Flussfaktor:
dσ ∼
1
F
↓ Dichte der Targetteilchen
|v~1 |4E1 E2
2E2
|v~1 |
=
·
F = |jein | · ntarget =
V /2 E1 V
V2
↑ Stromdichte der einlaufenden Teilchen
(u+ u ∼ 2E Normierung)
p
zu zeigen F = 42 (p1 p2 )2 − (m1 m2 )2
V
Beweis im Laborsystem:
p1 = (E1 , P~1 ), p2 = (m2 , 0), ⇒ p1 p2 = E1 m2
4
F = 2
V
q
4
4
4|~v1 |E1 E2
E12 m22 − m21 m22 = 2 m2 |P~1 | = 2 m2 |~v1 |E1 =
V
V
V2
Im Schwerpunktssystem (CMS)
(Empfehlung: nachrechnen!)
s = (p1 + p2 )2
Fcms
|P~1 | = |P~2 | = Pi
Im Folgenden: Lasse 12 weg, kürzt sich mit enstprechenden Faktoren in |M |2
V
√
= 42 Pi s
V
45
Ziel: Differenzieller WQ → ausintegrieren von dLips im CMS:
1+2→3+4
Z
dσ = |M 2 |
d3 P4
d3 P3
1
√
· 2π 4 δ 4 (p1 + p2 − p3 − p4 )
4Pi s (2π)3 2E3 (2π)3 2E4
{z
}
| {z } |
F
3
dLips
d P4 kann leicht ausgeführt werden;
es gilt P~3 = −P~4 ,
|P~3 | = |P~4 | = Pf
s = (p1 + p2 )2 = (E1 + E2 )2 = (p3 + p4 )2 = (E3 + E4 )2
dLips =
Z
d3 P4
d3 P3 √
d3 P3 √
1
3 ~
~4 − P
~2 − P
~1 ) = 1
δ(
δ( s − E3 − E4 )
s
−
E
−
E
)
δ
(
P
+
P
3
4
3
| {z }
(2π)2 4E3 E4
(2π)2 4E3 E4
=0
Ersetze Impuls- durch Energieintegration:
p
p
mit E3 = |Pf |2 + m23 , E4 = |Pf |2 + m24
W = E3 + E4 ,
P
P
⇒ dE3 = Ef dPf , dE4 = Ef dPf
3
4
E3 ) = dE W
dW = dE3 + dE4 = dE3 (1 + E
3E
4
4
Pf2 dPf dΩ
d3 P3
dW
Pf E3 dE3 dΩ
⇒
dΩ
=
=
= Pf
E3 E4
E3 E4
E3 E4
W
Z
Z
1
d3 P3 √
1 Pf dW dΩ √
1 Pf
√ dΩ
dLips =
δ(
δ( s − W ) =
s
−
W
)
=
2
2
(2π) 4E3 E4
(2π)
4W
(2π)2 4 s
s = (p1 + p2 )2
Pf
1
Hochenergiegrenze:
√
Pi → 1 σ ∼ s
(m ≪ s)
46
dσ
1
1 Pf
|cms =
|M |2
· ·
2
dΩ
64π s Pi
Jetzt: dσ für e− µ− → e− µ−
dΩ
Berechnung von |M |2 = M · M ∗
M = ie2 ū(p3 )γµ u(p1 )
u1 (p),
u2 (p)
Spin
⇓ ↑p
⇑ ↑p
1
ū(p4 )γ µ u(p2 )
2
q
(und v1 (p), v2 (p))
unterscheiden sich durch Spinstellung
Streuung von unpolarisierten Teilchen:
• Mittelung über die Spins der Teilchen im Anfangszustand
P
|M |2
|M |2 = 41
S1 ,S2
47
• Wenn Polarisation nicht beobachtet:
Summation über alle möglichen Spins im Endzustand
2
2
P P
|M |2 = 41
|M |2 = 2e4 s +4 u nächstes Mal Beweis
t
S1 ,S2 S3 ,S4
Elektron Myonstreuung: Betrachtungen der Dimensionalität
Eine Betrachtung der physikalischen Dimensionen ist hilfreich im Verständis der QED Streuprozesse. Mit natürlichen Einheiten
ℏ = 1, c = 1 gibt es nur eine unabhängige Dimension die wir als Länge L wählen wollen. Damit: [x] = [t] = L, [E] = [P ] = L−1
(1)
Aufgabe: Tragen Sie für die Streuamplitude Sf i unter den Klammern die Dimension der jeweiligen Ausdrücke ein und bestimmen
Sie die resultierende Dimension:
1
(1)
Sf i = (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 ) ie2 ū(p3 )γµ u(p1 ) 2 ū(p4 )γ µ u(p2 ) = M (1) (2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 )
{z
}
{z
}
|
|
{z
} q |
|{z}
4
−1
−1
L
L
L
L2
Wie ändert sich die Situation wenn wir ein Normierungsvolumen für die Spinoren einführen?
(1)
Sf i =
1
1
(2π)4 δ 4 (p3 + p4 − p1 − p2 ) ie2 ū(p3 )γµ u(p1 ) 2 ū(p4 )γ µ u(p2 )
V2
q |
|
{z
}
{z
}
{z
}
|
|{z}
|{z}
L−6
L4
L−1
L2
L−1
Wir betrachten die Übergangswahrscheinlichkeit und integrieren über ein- und auslaufende Impulszustände. Was ist die Dimension
von W ?
Z
Z
Z
Z
d3 p2
d3 p3
d3 p4
d3 p1
W = |Sf i |2 · V
hat korrekte Dimension
V
V
V
3
3
3
(2π) 2E1
(2π) 2E2
(2π) 2E3
(2π)3 2E4
| {z }
{z
} |
{z
} |
{z
} |
{z
}
|
Streuung Teilchen 1 an Targetteilchen 2 (beide mit fixem Impuls): Hinweis: Sf2 i enthält [δ 4 (ω)]2 mit ω = p3 + p4 − p1 − p2 ,
R 4 −iωx R 4 ′ −iωx′
R
1
benutze (2π)4 [δ 4 (ω]2 = (2π)
d xe
d xe
= d4 xe−iωx δ(ω) ≈ V T δ(ω)
4
Z
Z
d3 p4
d3 p3
V T
4 4
2
1
V
(2π) δ (p3 + p4 − p1 − p2 ) ·
W = |Mf i | V
(Faktor 2E
für Dichte Targetteilchen)
3
2
(2π) 2E3
(2π)3 2E4 |
{z
} 2E2
| {z }
| {z }
{z
} |
{z
}
|
Wirkungsquerschnitt:
Z
d3 p3
V
(2π)3 2E3
{z
} |
Z
V
V
d3 p4
4 4
(2π) δ (p3 + p4 − p1 − p2 ) ·
(2π)3 2E4 |
{z
} 2E2 v1 2E1
| {z } | {z }
{z
}
beachte: dieser WQ = dem aus Fermis goldener Regel! (s. Vorlesung) Die letzen beiden Terme ≡
1
F
hat korrekte Dim.!
(mit F = Flussfaktor).
48
2
W
= |Mf i | V
σ =
T · jein
|{z}
| {z }
|
|Matrixelement|2 für e− µ− → e− µ− Streuung: Spinmittelung
7. Vorlesung, 27.4.2010
X X e4 1
|M |2 =
[ū(p3 )γµ u(p1 )][ū(p3 )γν u(p1 )]+ [ū(p4 )γ µ u(p2 )][ū(p4 )γ ν u(p2 )]+
4
4 s ,s s ,s q
1
|M |2 =
2
3
4
e4
Lµν · M µν
4
q
−
Leptontensor des e : Lµν
1X
[ū(p3 )γµ u(p1 )][ū(p3 )γν u(p1 )]+
=
2 s ,s
1
Leptontensor des µ− : M µν =
3
1X
[ū(p4 )γ µ u(p2 )][ū(p4 )γ ν u(p2 )]+
2 s ,s
2
4
Jetzt Berechnung von Lµν (M µν analog):
= u+ (p1 )γ0 γν γ0 γ0+ u(p3 ) = ū(p1 )γν u(p3 )
[ū(p3 )γν u(p1 ]+ = u+ (p1 )γν+ ū+ (p3 ) |{z}
|{z}
(γν )+ =γ0 γν γ0
=γ0
Berechnung von
P
u(p1 )ū(p1 ):
0
0
1
1
B
C
√
B 0 C
⇒ u1 (p) = E + m B pz C ,
@ E+m A
0
Wir wählen Koordinatensystem so, dass p
~||z:
B
√
B
u2 (p) = E + m B
@
Verifizieren Sie, dass: u1 ū1 + u2 ū2 = 6p + m = γ 0 E − γ 3 pz + m
0
1
B 0
B
=B
@ 0
0
0
1
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
1
C
C
C·E
A
0
0
B
0
B
−B
@ −1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
−1
0
0
0
1
1
B 0
B
+B
@ 0
0
C
C
C · pz
A
0
1
0
0
49
1X
ū(p3 )γµ u(p1 )ū(p1 ) γν u(p3 )
Lµν =
2 s ,s
1 3
X
Behauptung:
u(p1 )ū(p1 ) = u1 (p1 )ū1 (p1 ) + u2 (p1 )ū2 (p1 ) = (6p + m) · 1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
−pz
E+m
1
C
C
C
A
1
C
C
C·m
A
Anfang der Rechnung:
0
E+m 0
B
0
0
B
u1 ū1 = B
B
0
@ pz
0
0
−pz
0
2
−pz
E+m
0
0
1
0
0
0
B 0 E+m
C
0 C
B
C , u2 ū2 = B
0
B 0
C
0 A
@
0 −pz
0
0
0
0
0
0
pz
0
−p2z
E+m
0
E+m
0
B
0
E
+
m
C
B
C
C ⇒ u1 ū1 +u2 ū2 = B
B
C
0
B pz
A
@
0
−pz
1
−pz
0
−p2z
E+m
0
0
pz
0
2
−pz
E+m
1
C
C
C
C
C
A
Anleitung: ersetze in der letzten Matrix −p2z als Funktion von E und m:
⇒ u1 ū1 + u2 ū2 =
1
C
C
C
A
50
Lösung: p2z = E 2 − m2 = (E + m)(E − m)
0
E+m
0
−pz
0
B
0
E+m
0
pz
B
→ u1 ū1 + u2 ū2 = B
@ pz
0
−E + m
0
0
−pz
0
−E + m
Leptontensor Lµν
1X
ū(p3 ) γµ (6p1 + m1 )γν u(p3 )
=
|
{z
}
2 s
3
Matrix Ajk
Lµν
Lµν =
1
2
Lµν =
=
X
jk
4 P
P
ū(p3 )j Ajk u(p3 )k =
j,k=1 s3
1
2
1
2
P
1
2
P
Ajk
jk
P
u(p3 )k ū(p3 )j
s3
↑ komplexe Zahlen, vertausche Reihenfolge
Ajk (6p3 + m3 )kj
jk
P
[γµ (6p1 + m1 )γν ]jk [6p3 + m3 ]kj
Ajk Bkj = Spur(A · B)
Spur = Summe der Diagonalelemente
1
Lµν = Spur [γµ (6p1 + m1 )γν (6p3 + m3 )]
2
1
M µν = Spur [γ µ (6p2 + m2 )γ ν (6p4 + m4 )]
2
51
Einige nützliche Rechenregeln: (Griffith S. 252/253)
1.)
2.)
3.)
Spur(A + B) = Spur(A) + Spur(B)
A, B Matrizen
Spur(α · A) = α · Spur(A)
α = Zahl
Spur(AB) = Spur(BA)
µν
=4
0
1
1
0
B −1
C
B
C
g µν = B
C
@
A
−1
0
−1
4.)
gµν g
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
10.)
11.)
12.)
13.)
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν → 6a6b + 6b6a = 2ab
γµ γ µ = 4
(Beweis?)
γµ γ ν γ µ = −2γ ν → γµ 6aγ µ = −26a
...
...
Spur(Produkt einer ungeraden Anzahl von γ’s) = 0 !
Spur(11) = 4
Spur(γ µ γ ν ) = 4g µν
Spur(γ µ γ ν γ λ γ σ ) = 4(g µν g λσ − g µλ g νσ + g µσ g νλ )
s. interaktive Übungsaufgabe
52
Berechnung des Leptontensors Lµν
2Lµν = Sp (γµ m1 γν m3 ) +Sp (γµ 6p1 γν m3 ) +Sp (γµ m1 γν 6p3 ) +Sp (γµ 6p1 γν 6p3 )
|
|
|
| {z }
{z
}
{z
}
{z
}
(1)
(2)
(3)
(1) Sp(γµ m1 γν m3 ) = m1 m3 Sp(γµ γν ) = m1 m3 4gµν
mSp(γµ γα pα1 γν )
(2) Sp(γµ 6p1 γν m3 )
=
(3) Sp(γµ mγν 6p3 )
= 0 analog zu (2)
(4) Sp(γµ 6p1 γν 6p3 )
=
(4)
=
|{z}
m2 4gµν
m1 =m3 =m
α
mp1 Sp(γµ γα γν ) = 0
= Sp(γµ γα pα1 γν γβ pβ3 ) = pα1 pβ3 Sp(γµ γα γν γβ )
= pα1 pβ3 4 [gµα gνβ − gµν gαβ + gµβ gαν ]
= 4 [p1µ p3ν + p1ν p3µ − gµν (p1 p3 )]
⇒ Lµν = 2p1µ p3ν + 2p1ν p3µ − 2(p1 p3 )gµν + 2m2 gµν
→ Analog für M µν
53
Finales Ergebnis für |M |2 der e− µ− → e− µ− Streuung
|M |2 =
e4
Lµν M µν
4
q
Def. m : = Elektronmasse, M : = Myonmasse
2
2µ 4ν
2
4e4 2ν 4µ
µν
p
p
+
p
p
+
g
m
−
(p
p
)
p
p
+
p
p
+
g
M
−
(p
p
)
1µ 3ν
1ν 3µ
µν
1 3
2 4
q4
mit gµν g µν = 4
⇒ Empfehlung: folgenden Schritt nachrechnen:
=
|M |2
8e4 = 4 (p1 p2 )(p3 p4 ) + (p1 p4 )(p2 p3 ) − m2 (p2 p4 ) − M2 (p1 p3 ) + 2m2 M2
q
exaktes Ergebnis! (noch keine Näherung gemacht)
Hochenergiefall: m, M → 0

|M |2 =
|M |2
8e4
q4



(p1 p2 ) (p3 p4 ) + (p1 p4 ) (p2 p3 )
| {z } | {z } | {z } | {z }
s
2
s
2
−u
2
“t-Kanal” Prozess
mit t = q 2
54
2
2
2e4 2
4s + u
2
= 2 s + u = 2e
t
t2
−u
2
Beweis für p1 p2 :
s = (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 p2
= m2 + M2 + 2p1 p2 ∼ 2p1 p2
e− µ− → e− µ− Streuung: → Crossing in e− e+ → µ− µ+
e
µ
-
-
|M |2
e
µ
-
-
p3
s2 + u2
= 2e
t2
4
p4
p4
µ
−p2
-
Muonpaarzeugung an e+ e− Collidern,
experimentell wichtiger Prozess!
≡
e
-
p1
p2
µ
mit t = q 2
-
Crossing Symmetrie:
e
8. Vorlesung, 30.4.2010
-
p1
−p3
s = (p1 + p2 )2 → (p1 − p3 )2
⇒ s und t vertauschen
t = (p1 − p3 )2 → (p1 + p2 )2
u = (p1 − p4 )2 → (p1 − p4 )2
t2 + u 2
s2
55
→ |M |2 e− e+ →µ− µ+ = 2 e4
Berechnung e− e+ → µ− µ+ Wirkungsquerschnitt (Hochenergiefall)
Situation am Collider:
p1
p2
p3
p4
= (E, 0, 0, E)
= (E, 0, 0, −E)
= (E, E sin θ, 0, E cos θ)
= (E, −E sin θ, 0, −E cos θ)
s = (p1 + p2 )2 ≈ 2p1 p2 = 4E 2
t = (p1 − p3 )2 ≈ −2p1 p3 = −2E 2 (1 − cos θ) = − s2 (1 − cos θ)
u = (p1 − p4 )2 ≈ −2p1 p4 = −2E 2 (1 + cos θ) = − s2 (1 + cos θ)
⇒
|M |2
4 (1
= 2e
− cos θ)2 + (1 + cos θ)2
= e4 (1 + cos2 θ)
4
56
e2
mit α =
⇒ |M |2 = (4πα)2 (1 + cos2 θ)
4πℏc
1 1
dσ
α2
2 =
|cms =
(1 + cos2 θ)
|M
|
2
dΩ
64π s
4s
Z
dσ
4πα2
87 nbarn
− +
− +
σ(e e → µ µ ) =
dΩ =
=
dΩ
3s
s [GeV2 ]
Helizitätserhaltung bei hohen Energien
Helizität λ = ~s · P~ /|P~
≡ Spinprojektion auf Flugrichtung, up = Rechtsschraube, down = Linksschraube
Im Grenzfall hoher Energien (Massen vernachlässigbar) gilt für beliebigen Spinor Ψ
0
1
0
0
1
0
!
B 0 0 0 1 C
0
~σ · |~pp~|
B
C
5
5
Ψ
mit
γ
=
⇒ γ 5 ≡ Helizitätsoperator!
γ Ψ=
B
C
@ 1 0 0 0 A
0
~σ · |~pp~|
0 1 0 0
~ ):
Bei hohen Energien haben unsere vier Basisspinoren folgende Form (wähle z||P
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
C
C
C
C
√ B
√ B
√ B
√ B
B 0 C
B 1 C
B −1 C
B 0 C
u1 = E B
C , v2 = E B
C , u2 = E B
C , v1 = E B
C
@ 1 A
@ 0 A
@ 0 A
@ 1 A
1
0
−1
0
Chiralitäts-Projektionsoperator: PL =
Impuls/Spin
PL
PR
u1
↑⇑
PL u1 = 0
PR u1 = u1
1
2 (1 −
5
γ )
1
1
0 −1
0
C
B 0
1
0
−1
C
B
= 1 B
C
2 @ −1
0
1
0A
0 −1
0
1
u2
↑⇓
PL u2 = u2
PR u2 = 0
0
v1
↓⇓
PL v1 = v1
PR v1 = 0
, PR =
1
2 (1
5
+γ )
0
1 0
B 0 1
B
= 1 B
2 @ 1 0
0 1
1
0
1
0
1
0
1 C
C
C
0 A
1
v2
↓⇑
PL v2 = 0
PR v2 = v2
57
Achtung: das linkshändige v1 mit negativer Energie, Impuls und Spin nach unten
≡ rechtshändiges Positron mit Impuls und Spin nach oben (und v2 ≡ linkshändiges Positron)
Helizitätserhaltung der elektromagnetischen WW
Elm. Wechselwirkung ∼ j µ Aµ mit j µ = ūγ µ u
Behauptung: diese WW ist helizitätserhaltend: Beweis:
Mit 1 = 12 (1 − γ 5 ) + 12 (1 + γ 5 ) = PL + PR
ūγ µ u = (ūL + ūR )γ µ (uL + uR )
(ūL γ µ uL ) + (ūR γ µ uR )
=
|{z}
zu zeigen
1
0
+1
ūL = u+
(1 − γ 5 )γ 0 = ū (1 + γ 5 )
Lγ = u
2
2
1
→ ūL γ µ uR = ū (1 + γ 5 )γ µ (1 + γ 5 ) u
4
1 µ
= ūγ (1 − γ 5 )(1 + γ 5 ) u = 0
4
58
⇒ keine Spinflips erlaubt
Erlaubte Vertices zu o(m/E)
Berechnung des Matrixelementes für e− e+ → µ− u+ über LL, RR Amplituden
Amplituden für die Streuung ∼ Wahrscheinlichkeitsamplituden dass
wenn im rotierten System Jz′ = λ′ → dann im unrotierten System Jz = λ
Amplituden M ∼ dJλ′ λ (θ) = hjλ′ |e−iθJy |jλi
λ, λ′ = Nettohelizitäten || zur z und z ′ Achse
)
(
d111 (θ) = d1−1−1 (θ) = 12 (1 + cos θ) = − us
d11−1 (θ) = d1−11 (θ) = 12 (1 − cos θ) = − st
u 2 + t2
⇒ |M | ∼
s2
2
zu den Rotationsmatrizen und ihrer Bedeutung: siehe D. Perkins: Introduction to HEP, Appendix c
59
a mehr
d = Rotationsmatrizena
Myon-Paarerzeugung e+ e− → µ+ µ− mit Spinoren gerechnet
M = +ie2 12 [v̄(p2 )γµ u(p1 )] [ū(p4 )γ µ v(p3 )]
q
|M |2 =
e4
µν
Lµν M
|{z}
4
|{z}
q
Elektron M yon
P
s1 ,s2
P
↓ Unterschied zu u
vv̄ = (6p − m)
uū = (6p + m)
s1 ,s2
P
Lµν = 21
[v̄(p2 )γµ u(p1 )] [ū(p1 )γν v(p2 )] = 12 Spur [γµ (6p1 + m)γν (6p2 − m)]
s1 ,s2
= 2 [p1µ p2ν + p1ν p2µ − (p1 p2 )gµν − m2 gµν ]
”+” bei e− µ− → e− µ−
Analog M µν = 12 Spur [γ µ (6p4 − M )γ ν (6p3 + m)] = ...
Lµν M µν |e− e+ →µ− µ+ = 8 (p1 p4 )(p2 p3 ) + (p1 p3 )(p2 p4 ) + m2 (p3 p4 ) + M2 (p1 p2 ) + 2m2 M2
Vergleiche:
identisch wenn p2 ↔ −p3 ⇒ Ergebnisse können durch Crossing gewonnen werden
(Resultate s. oben)
60
ˆ
˜
Lµν M µν |e− µ− →e− µ− = 8 (p1 p2 )(p3 p4 ) + (p1 p4 )(p2 p3 ) − m2 (p2 p4 ) − M2 (p1 p3 ) + 2m2 M2
Crossingregeln
ū(k4 )
e
-
ū(p3 )
ū(p4 )
µ
v(k3 )
-
≡
e
-
u(p1 )
u(p2 )
µ
-
M ∼ 12 ū(p3 )γµ u(p1 )ū(p4 )γ µ u(p2 )
q
u(k1 )
v̄(k2 )
M ′ ∼ 1′2 v̄(k2 )γµ u(k1 )ū(k4 )γ µ v(k3 )
q
Um M in M ′ zu überführen, substituiere:
p2 → −k3 u(p2 ) → v(k3 )
p3 → −k2 ū(p3 ) → v̄(k2 )
p1 → k1
p4 → k4
61
e− e− → e− e− Streuung (Møller Streuung)
(Praktische Bedeutung: Zur Messung der e− Polarisation (e− Streuung an Fe-Folien))
Besonderheit: Elektronen im Endzustand sind ununterscheidbar
Fermionen: ⇒ Streuamplitude muss antisymmetrisch sein bezüglich Vertauschung der Elektronen!
e
−
ū(p3 )
ū(p4 )
ū(p3 )
e
−
e
ū(p4 )
−
e−
−
Asymmetrie
e− u(p1 )
u(p2 )
e−
M1
u(p2 )
e−
”u-Kanal”:
q ′2 = (p1 − p4 )2 = u
1
µ
2
ū(p4 )γµ u(p1 )ū(p3 )γ u(p2 )
− ie
q ′2
|
{z
}
M2
62
”t-Kanal”:
q 2 = (p1 − p3 )2 = t
1
2
µ
ie
ū(p3 )γµ u(p1 )ū(p4 )γ u(p2 )
q2
|
{z
}
e− u(p1 )
Møller Streuung Wirkungsquerschnitt:
Matrixelement:
M = M1 − M2 ⇒ |M |2 = M · M ∗ = (M1 − M2 )(M1 − M2 )∗
= |M1 |2 + |M2 |2 − 2Re(M1 M2∗ )
|
{z
}
Interferenzterm
Im folgenden Hochenergienäherung:
s2 + u2
s2 + t2
2 = 2e4
,
|M
|
2
t2
u2
e4 1 X X
∗
[ū(p3 )γµ u(p1 )][ū(p1 ) γν u(p4 )][ū(p4 ) γ µ u(p2 )][ū(p2 ) γ ν u(p3 )]
M1 M2 =
|
{z
} |
{z
} |
{z
} | {z }
tu 4 s ,s s ,s
1 2 3 3
6p1
6p4
6p2
6p3
2
8e4
e4
µ
ν
4s
Spur(γµ 6p1 γν 6p4 γ 6p2 γ 6p3 ) = −
(p1 p2 )(p3 p4 ) ≈ −2e
≈
4tu
tu
tu
2
2
2
2
2
s +t
s
s +u
+
−
2
|M |2 = 2e4
t2
u2
tu
(
)
1 + sin4 2θ
α2 1 + cos4 θ2
dσ
2
|cms =
+
+
dΩ
2s
sin4 θ2
cos4 2θ
sin2 2θ cos2 2θ
|M1 |2 = 2e4
63
64
Von der e− µ− zur e− Quark Streuung
9. Vorlesung, 7.5.2010
Vorbemerkung: Wir vernachlässigen in dieser Vorlesung
durchgehend die Elektronmasse, d.h. me = 0
dσ
1 Pf
|M |2
=
dΩ |cms (8π)2 s Pi
Q2 ≈ 2p1 p3 = E1 E3 − 2Pi Pf cos θ
1
dσ
=
|M |2
2
2
dQ
64πs Pi
⇒
⇒ dQ2 = 2Pf Pi d(−cosθ) =
⇒
1
dσ
=
|M |2
2
2
dQ
16πs̄
2
|M | =
Beweis für Pi :
p
E1 ≈ Pi , E2 = M2 + Pi2
p
√
s = Pi + M2 + Pi2
√
⇒ s + Pi2 − 2 sPi = Pi2 + M2
2
√
⇒ Pi = s−M
2 s
mit s̄ := s−M2 = 2p1 p2
65
s − M2
√
⇒ 4sPi2 = s̄2
2 s
Pi Pf
dΩ
π
lorentzinvariant!
Es gilt:
Pi =
Herleitung s. Vorlesung 6
e− µ− Streuung in der Hochenergienäherung (Wiederholung)


e4
8e4
µν
L
M
=
µν
q4
q4


2
(p1 p2 ) (p3 p4 ) + (p1 p4 ) (p2 p3 ) −M (p1 p3 )
| {z }
| {z } | {z } | {z } | {z }
s̄/2
s̄/2
2
Lµν M µν
1
q
ū2
I :=
=
+ 2 + M2 2
2
4s̄
2 2s̄
s̄
ū/2
−→
ū/2
Hochenergienäherung M ≈ 0
mit ū = u − M2
−q 2 /2
1
ū2
+ 2
2 2s̄
Amplitude ∼ d111 = (1 + cos θ) =
Amplitude ∼ const.
−u
s
Nützliche Umformungen:
⇒
t2
(−s̄ − ū)2
1
ū2
ū
=
=
+
+
2s̄2
2s̄2
2 2s̄2 s̄
66
t + s + u ≈ 2M2 ⇒ t = −s̄ − ū
2
2
ū
q
t
− + M2 2
⇒I=
2
2s̄
s̄
s̄
e− µ− Streuung im Muonruhesystem
Auszurechnen:
dσ
4πα2
1
2
|M | = 4 I
=
dQ2
16πs̄2
q
2
2
2
t
4πα
ū
2q
=
− +M 2
q4
2s̄2
s̄
s̄


s̄ = 2p1 p2 = 2ME




 ū = −2p2 p3 = −2ME ′
q 2 = −2p1 p3 = −4EE ′ sin2



q 2 = −2M (E − E ′ )



| {z }
=ν
2
θ
2







2
2
t2 = q 2 q = − E ′ q sin2
E 2M2
2s̄2
2s̄2
′
ū
E
⇒ − =

s̄
E

′

2 q2

M s̄2 = − EE sin2 2θ


θ
2
Beweis für zweite q Formel: M2 = (p2 + q)2 = M2 + 2p2 q + q 2 ⇒ q 2 = −2M(E − E ′ )
′
2
⇒ dσ2 = 4πα4 E
dQ
Q E
M
2
67
Q2
2 θ
2 θ
cos 2 +
sin 2
2M2
E ′ ausrechnen:
−4EE ′ sin2 θ2 = −2M(E − E ′ )
E ′ (E sin2 θ2 + 12 M) = 21 ME
E ′ = 1+ 2EEsin2 θ
e− µ− Streuung im Muonruhesystem
Mottstreuung:
1/2
Amplitude ∼ d1/2 1/2 = cos θ2
Modifikation durch Wechselwirkung mit magnetischem
Moment des Muons → Helizität des Elektrons wechselt!
1/2
Amplitude: ∼ d1/2 −1/2 = sin 2θ
68
e− u Quark Streuung
Wenn es freie Quarks gäbe...
Mit sq = (pe + pu )2 , Quarkmasse mu und Ladung Qu = 2/3:
h
i
2 2
2 2
2 2
2
= 4παq4Qu I = 4παq4Qu 2s̄t 2 − s̄ūq + ms̄u2q
q
q
h 2
h 2
i
i
4πα2 Q2u
t
t
u
t
4πα2
≈
|{z}
q4
2s2q − sq = q 4
2s2q + 1 + sq
mu ∼ 0
dσ
dQ2
Inelastische Elektronprotonstreuung bei HERA im Quark Parton Modell:
69
s = (p + k)2 ≈ 2pk
x p = Viererimpuls des einlaufenden u Quarks, (x ≡ Impulsbruchteil)
sq = (xp + k)2 ≈ 2xpk = xs
q = (k − k ′ ) Photonviererimpuls
Q2 = −q 2 ≈ −2kk ′
(≡ Auflösung des Photons)
pq
y=
(≡ Energie des Photons)
pk
Q2
(xp + q)2 = 2xpq + q 2 ≈ 0 ⇒ x = 2pq
pq Q2
Q2
Q2
Q2 = 2kp 2pq = syx ⇒ y = sx = sq = −t
sq
pk
Inelastische Elektronprotonstreuung und Formfaktoren
xfj (x)
fj : Wahrscheinlichkeit Parton j mit ImAnnahme: inkohärente Streuung
pulsanteil zwischen x und x+dx zu finden
an verschiedenen Partonen
1 2 X 2
4πα2
d2 σ
1
−
y
+
Qj fj (x)
=
y
dQ2 dx
q4
2
j
Definiere Strukturfunktion: F2 := x
X
Q2j fj (x) ⇒
dσ
4πα2
1
=
(1 − y + y 2 )F2 (x)
2
4
dQ dx
Q x
2
magn. Formfaktor
elektr. Formfaktor
∼ cos2
Wären Quarks Bosonen: F1 = 0,
θ
2
Spin 1/2: 2xF1 = F2
∼ sin2
θ
2
z }| {
F1 (x) ]
(Callan Gross Relation, experimentell bestätigt!)
70
z }| {
4πα2
d2 σ
2
F
=
[(1
−
y)
Allgemeinerer Ansatz:
2 (x) + xy
2
4
|{z}
dQ dx
Q x | {z }
Bjorken Scaling und Callan Gross Relation
SLAC Daten
νω2 = F2 , ω =
1
x
Die Partondichten hängen bei dem
getesteten x = 0.25 im Bereich
1 < Q2 < 6 GeV2 kaum von der
Auflösungsskala Q2 ab, was man als
“Bjorken Scaling” bezeichnet. (Dies
ist bei den viel kleineren x Werten
und höheren Auflösungsskalen Q2 bei
HERA ganz anders! → durch Effekte
der QCD (Gluonabstrahlungen))
SLAC Daten
71
3.1 Eichinvarianz
10. Vorlesung, 11.5.2010
Eichinvarianz und Maxwellgleichungen:
(ǫ0 = µ0 = 1, Heaviside-Lorentz-Einheiten)
~E
~ = ρ,
∇
~B
~ =0
∇
~
~
∂E
dB
~
~
~
~
~
∇×B =j+
∇×E =− ,
dt
∂t
~ =∇
~ ×A
~
Einführung von Potentialen: B
~
~
∂
B
∂
~ ×E
~ =−
~ ×A
~ = −∇
~ × ∂A
∇
=−
∇
∂t
∂t
∂t
!
~
~
~
~ + ∂ A = −∇Φ
~ × E
~ + ∂A = 0
→E
→∇
∂t
∂t
)
(
~
~ = −∇Φ
~ − ∂ A~
statt E, B
E
∂t
~
~ =∇
~ ×A
~
−→ Φ, A
B
~ Φ sind nicht eindeutig festgelegt
A,
′µ
µ
µ
Aµ Eichtrafo
→ A =A −∂ χ
~ B
~ und Maxwellgl. invariant
lässt E,
∂
~
, −∇)
∂ µ = ( ∂t
72
~′ = A
~ + ∇χ(~
~ r.t) ⇒ B
~′ = B
~
A
∂
~′ = E
~
Φ′ = Φ − ∂t
χ(~r.t) ⇒ E
~ Φ zu Vierervektor
A,
~
Aµ = (Φ, A)
Bemerkungen und Schreibweisen:

Viererstromdichte: j µ = (ρ, ~j)
0
E1
E2
E3
 −E
0 −B3
B2

1
Feldstärketensor: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ = 
 −E2
B3
0 −B1
−E3 −B2
B1
0
Damit lauten die Maxwellgleichungen:





1.) ∂λ Fµν + ∂µ Fνλ + ∂ν Fλµ = 0
µ, ν, λ = 0, 1, 2, 3
~ ×E
~ = .., ∇
~B
~ = ...
(4 Gleichungen)
→∇
2.) ∂ µ Fµν = jν
~E
~ = .., ∇
~ ×B
~ = ..
(4 Gleichungen) → ∇
• Kontinuitätsgleichung: Differenzieren von 2lund Einsetzen von Fµν
~ ~j = 0
∂ ν jν = 0 → ∂ρ
+∇
∂t
• Wellengleichung: Einseten von Fµν in 2l
Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = j ν
73
• Lorenzeichung: Man kann geeignetes χ finden, so dass
∂µ Aµ = 0 → Aν = j ν
Eichinvarianz in der Quantenmechanik:
1.) Schrödingergleichung mit elm. Feld
2
1 ~
~ + qΦ Ψ(x) = i ∂ ψ(x)
−i∇ − q A
2m
∂t
~ = −∇
~ + iq A,
~ D0 =
andere Schreibweise: D
1
~ 2 ψ = iD0 ψ
⇒ 2m
(iD)
∂
∂t
+ iqΦ
!
Eichtrafo:
~→A
~′ = A
~ + ∇χ
~
A
∂
χ
Φ → Φ′ = Φ − ∂t
Damit SGL forminvariant ist, muss sich ψ wie folgt transformieren:
ψ(x) → ψ ′ (x) = ψ(x) e|+iqχ(x)
{z }
lokale Phasenänderung
74
Eichinvarianz in der Quantenmechanik:
2. Relativistische Wellengleichungen
(iγ µ Dµ − m) ψ = 0
Dµ = ∂µ + iqAµ
kovariante Ableitung
ist identisch mit
(i6∂ − m)ψ = q6Aψ
Ist diese Gleichung invariant unter der Eichtrafo:?
Aµ → A′µ = Aµ − ∂ µ χ
Ja, wenn
ψ → ψ ′ = ψ · e+iqχ(t,~x)
Hier: Eichtrafo der Felder erfordert lokale Phasentransformation der Wellenfunktion
damit Forminvarianz der Gleichungen gegeben.
75
Lokale und globale Phasentransformation
a) Globale PT:
ψ → ψ ′ = eiα ψ
α unabh. von ~x und t
ist nicht messbar
Denn Observablen bleiben gleich:
Z
Z
Z
hOi = d3 x ψ ′∗ O ψ ′ = d3 x ψ ∗ e−iα O e+iα ψ = d3 x ψ ∗ O ψ
Bedeutung der globalen PT: Aus der Invarianz der Lagrangedichte gegenüber
globaler PT folgt ein Erhaltungssatz (Noether-Theorem)
b) lokale Phasentransformationen
ψ → ψ ′ (x) = eiqχ(x) ψ(x)
Ändern die Observablen! (z.B. Interferenzmuster)
Aharonov Bohm Effekt
2π
~|
|P
2πℏ
~
|m~v −eA|
2π
→ ∆ϕ = λ ∆x
~ ∆~x
∆ϕ′ = − ℏe A
|{z}
λ=
76
~
mit A
=
Veranschaulichung mit Wasserwellen
⇓
Existenz eines Hindernisses
⇓
erfordert äussere Kräfte → Felder
77
Lokale Phasentransformation ↔ Eichinvarianz
DGL im Vakuum
(iγ µ ∂µ − m)ψ(x) = 0
Jetzt lokale PT: ψ ′ = eiqχ(x) ψ(x)
(iγ µ ∂µ − m)ψ ′ = eiqχ (iγ µ ∂µ − m)ψ −qγ µ ∂µ χ eiqχ ψ
| {z }
{z
}
|
ψ′
=0
µ
= −qγ ∂µ χ · ψ
′
DG mit Feld
(iγ µ ∂µ − m)ψ ′ = qγ µ A′µ ψ ′
wobei hier A′µ = −∂µ χ
Invarianz bei lokaler Phasentrafo geht nur mit Feld
(iγ µ ∂µ − m)ψ(x) = qγ µ Aµ (x)ψ(x)
ψ ′ (x) = eiqχ(x) ψ(x) ist Lösung einer formgleichen Gleichung
mit A′µ = Aµ − ∂ µ χ.
78
Eichprinzip:
Postulat/Forderung: Die Diracgleichung muss invariant sein
gegenüber beliebiger lokaler Phasentransformation
⇓
Dies ist im feldfreien Raum unmöglich
⇓
Existenz eines Vektorfeldes (Aµ )
das gleichzeitig eichtransformiert wird
Ψ′ (x) = eiqχ(x) ψ(x)
A′µ (x) = Aµ (x) − ∂µ χ(x)
Einführung der kovarianten Ableitung (minimale Kopplung):
Dµ = ∂µ + iqAµ
79
Verallgemeinerung (Ausblick)
schwache WW: SU(2)
↓ 2 × 2 Matrizen
g
~
Ψ′ (x) = exp (i ~τ · β(x))
ψ(x)
(Drehung im Isospinraum)
2
↑
Pauli-Matrizen
~ µ → 3 Felder, da 3 Winkel im Isospinraum
Dµ = ∂ µ + i g2 ~τ W
starke WW: Farb SU(3)
ψ ′ (x) =
exp (i g2s
↓ 3 × 3 Matrizen Gell-Mann Matrizen
λj βj (x)) ψ(x)
↑
j = 1, ..., 8 ⇒ Existenz der 8 Gluonen Felder
80
Der Lagrange-Formalismus
11. Vorlesung, 11.5.2010
Literatur: Anhang A,B Schmüser, Kapitel 1 Griffith
1.l
LF in klassischer Mechanik:
Z
L(
q,
q̇
)
Lagrange
Funktion
n
o Aus δS = 0 mit S = dt L(q, q̇)
|{z}
verallgemeinerte Koordinaten
{z
}
|
Wirkung
»
– Z
»
–
Z
δS =
dt
∂L
∂L
δq +
δ(q̇) =
∂q
∂ q̇
∂L
d
∂L = 0
⇒
−
∂q
dt ∂ q̇
dt
∂L
∂L d
δq +
δ(q) =
∂q
∂ q̇ dt
Euler-Lagrangegleichungen
p2
1
− V = mẋ2 − V
Beispiel Punktteilchen: L = T − V =
2m
2
∂L
∂L
∂V
∂L
d
dP
=
=−
= F,
= mẋ = P ⇒ F − P = 0 ⇒ F =
∂q
∂x
∂x
∂ ẋ
dt
dt
Aus δs = 0 ⇒
∂L
∂L − ∂
=0
µ
∂φ(x)
∂(∂µ φ(x))
81
2.l Ausweitung auf Felder, allgemein φ(x): L = L(φ(x), ∂µφ(x))
R R
Lagrangedichte L,
S = dt d3 x L(φ, ∂µ φ)
Beispiele für Lagrangedichten:
1. Skalares Feld:
1
LSkalar =
(∂µ φ) (∂ µ φ) − m2 φ2
2
∂L
∂L
= −m2 φ;
= ∂ µφ
∂φ
∂µ φ
⇒ Lagrangegleichungen: −m2 φ − ∂µ ∂ µ φ = 0
∂µ ∂ µ φ + m2 φ = 0
Klein-Gordon-Gleichung
2. Dirac-Feld:
LDirac = ψ̄(x) (iγ µ ∂µ − m) ψ(x) = iψ̄γ µ ∂µ ψ − mψ̄ψ
ψ̄, ψ als unabhängige Koordinaten
∂L
= −mψ̄;
∂ψ
∂L
= ψ̄iγ µ
∂(∂µ ψ)
←
⇒ Lagrangegl.: − mψ̄ − ∂µ ψ̄iγ µ = 0 ⇒ ψ̄ i ∂µγ µ + m = 0
∂L
=0
∂(∂µ ψ̄)
⇒ Lagrangegl.: (iγ µ ∂µ − m) ψ = 0
82
∂L
= (iγ µ ∂µ − m) ψ,
∂ ψ̄
QED Lagrangedichte
3. Elektromagnetisches Feld (Vakuum)
Lem = − 14 Fµν F µν = − 41 (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
↑ nötig um richtige Energiedichte zu erhalten
(∗)
∂µ
∂L
⇒
∂(∂µ Aν )
Wellengleichung im Vakuum
Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = 0
4. Lagrangedichte der QED:
LDirac + Lem
mit Dµ = ∂µ + iqAµ
1
LQED = ψ̄ (iγ µ Dµ − m) ψ − Fµν F µν
4
1
= ψ̄ (iγ µ ∂µ − m) ψ − q ψ̄γ µ ψ Aµ − Fµν F µν
| {z }
4
jµ
Tests:
∂L
∂ ψ̄
Euler-Lagrange-gl.
= (iγ µ ∂µ − m) ψ − qγ µ ψAµ ⇒
+(∗)
⇒
Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = j µ
mit Feld
⇒ Wellengl.
mit Quelle
83
∂L
= q ψ̄γ µ ψ = j µ
− ∂A
µ
(iγ µ ∂µ − m) ψ = qγ µ ψAµ ⇒ Diracgl.
Noether Theorem (L und globale PT)
Lagrangedichte ist invariant unter infinitesimaler globaler Phasentransformation
⇒ Es gibt einen erhaltenen Strom j µ = ∂(∂∂Lµ φ) · φ
′
φ → φ = eiα φ ≈ (1 + iα)φ,
δφ = iαφ
∂L
∂L
δφ +
δ(∂µ φ)
∂φ
∂(∂µ φ)
∂L = ∂ ∂L
∂L
µ
∂φ
∂(∂µ φ)
δφ
warum?
δL = ∂µ
∂(∂µ φ)
δ(∂µ φ) = ∂µ (δφ) + Kettenregel!
1
∂L
=0
δL = ∂µ
φ
iα
∂(∂µ φ)
| {z }
µ
j ist erhalten
δL = 0,
δL =
′
Beispiel: Diracteilchen L = ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ ist inv. unter ψ → ψ = eiθ ψ
∂L
= ψ̄iγ µ
∂(∂µ ψ)
∂L
=0
∂(∂µ ψ̄)
84
j µ = ψ̄iγ µ ψ = iψ̄γ µ ψ
ist erhalten → Ladungsherhaltung
Lagrange-Formalismus und lokale Phasentransformation
′
ψ → ψ = eiqχ(x) ψ
Ist LDirac auch invariant unter lokaler Eichtrafo?
′
′
′
LT est = ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ → L = ψ̄ (iγ µ ∂µ − m)ψ = L − q(∂µ χ)ψ̄γ µ ψ
Lösung: muss das Feld dazunehmen Aµ mit
′
′
Aµ = Aµ − ∂µ χ wenn ψ = ψ(x)eiqχ(x) , bzw.:
L = iψ̄γ µ Dµ ψ − mψ̄ψ
֒→ Dµ = ∂µ + iqAµ
L noch nicht komplett, tue “freies Vektorfeld” 14 Fµν F µν dazu
Wellengl. des Photons: ∂µ F µν = j ν ;
∂µ ∂ µ Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = j ν
| {z }
= 0 in Lorenzeichung
µ
′µ
µ
µ
ist invariant unter A → A = A − ∂ χ
85
Wellengleichung eines massiven Vektorbosons (Feld W mit Masse MW ):
2
(∂µ ∂ µ + MW
)W ν − ∂ ν (∂µ W µ ) = j ν
′
2 µ
∂ χ
Unter W µ → W µ = W µ − ∂ µ χ → Extraterm in Wellengl.: −MW
⇒ Problem bei Vektorfeldern mit Masse!
Eichfreiheit und Photonpolarisation
Betrachte im Folgenden freies Photon mit 3-er Impuls || z-Achse
Wellengleichung: ∂µ ∂ µ Aν = 0,
Polarisation: Aµ = N |{z}
ǫµ e−ikx
Polarisation (Vierervektor)
µ
µ
Lorenz-Bedingung (LB) ⇒ ∂µ A = 0 ⇒ kµ ǫ = 0
Beispiel: Photon mit k µ = E(1, 0, 0, 1), ǫµ = (1, 1, 0, 1) erfüllt LB
⇒ LB ↔ |ǫ0 | = |ǫ3 |
−ikx
Eichtrafo mit χ = e−iE
′
⇒ A µ = Aµ − ∂ µ χ = interaktive Aufgabe (0, 1, 0, 0)e−ikx
⇒ kann Feld so umeichen, dass ~k · ~ǫ = 0 (Coulombeichung)
Feld A hat 4 Freiheitsgrade (DoF):
• 1 DoF durch Lorenzeichung festgelegt
• Masselosigkeit → 1 DoF
⇒ es bleiben 2 DoF: mit ~k = (0, 0, k):
2
2
86
transversal polarisiert ~ǫ1 = (1, 0, 0)
~ǫ2 = (0, 1, 0)
1
zirkular polarisiert
~ǫλ=+ 1 = − √2 (1, i, 0) ~ǫλ=− 1 = √12 (1, −i, 0)
Bemerkungen zum Lagrange-Formalismus
• Klassische Mechanik: L = T − V
QFT: L wird axiomatisch festgelegt
• Aus Lagrangedichte lassen sich Feynman-Regeln der Theorie ableiten
(Verallgemeinerte Koordinaten oder Pfadintegral)
87
Lagrangedichte, Bewegungsgleichungen und Feynmanregeln
Freies Elektron
Lagrangian
Euler-Lagr.gl.
Wechselwirkung mit Photonfeld
Freies Photon
LF rei =
LInt =
Lf rei =
ψ̄(6p − m)ψ
−q ψ̄γ µ ψAµ
− 14 Fµν F µν
→ = qγ µ ΨAµ | q ψ̄γ µ ψ = j µ = ←
(6p − m)ψ = 0
K̃
Propagatoren:
∼ quadratische
Terme in Lf rei
=
=−
=
g
1
−i(6p
− m)
(6p + m)
Aν
D̃µν
p2 −m2
P
uū
i
(Lor. Eichung)
=0
=
=
s
i·−g µν
q2
4
P
(λ)∗ (λ)
ǫµ
ǫν
i
λ=1
q2
≡ −iAA
q2
p2 −m2
≡i
µν
µ
A
| {z= 0}
ψ ψ̄
p − m2
2
Vertices
∼ iLW W
Photonpolarisationen: → i
4
P
λ=1
(λ)∗ (λ)
ǫµ
ǫν =
P
T
T∗ T
L
L
S∗ S
ǫµ ǫν
+ ǫµ ∗ǫν + ǫµ ǫν
| {z }
| {z }
| {z }
transversal
longitudinal
skalar
(s. Halzen & Martin Seite 139 ff)
88
P
Feynmandiagramme: Höhere Ordnungen und Renormierung
12. Vorlesung, 21.5.2010
Beispiel: e− µ− → e− µ−
e
µ
-
-
1. Ordnung
e
µ
-
-
Jetzt zusätzlich:
Bei kleinen Abständen sieht
Loop
man mehr von der zentralen
Ladung → quantifizieren
gµν
M(1) = −e2 [ū(p3 )γ µ u(p1 )] 2 [ū(p4 )γ ν u(p2 )]
q
Folgendes: Herleitung siehe z.B. Halzen-Martin
Z
6 + m))
d4 k Sp (γµ (6k + m)γν (6q − k
ie4
Loop
µ
[ū(p4 )γ ν u(p)2)]
M
= − 4 [ū(p3 )γ u(p1 )]
4
2
2
2
2
q
(2π) (k − m )((q − k) − m )
)
89
Berücksichtigung zusätzliche Ordnung (Loop):
Z
d4 k Sp(
gµν
i
gµν
2
→ 2 − 4 Iµν wobei Iµν = −e
q2
q
q
(2π)4 (
)(
)
Loopdiagramm-Integral
Man kann zeigen: Iµν = −igµν I(q 2 )q 2
e2
2
I(q ) =
12π 2
Z∞
dx
x
m2
| {z }
log. divergent
Z∞
m2
dx
= lim
M 2 →∞
x
ZM 2
m2
−6
|
Z1
0
q2
dz z(1 − z) ln 1 − 2 z(1 − z)
m
{z
}
2
f (q ) > 0 und endlich
dx
= lim
ln
M 2 →∞
x
M2
m2
Abschneideparameter M 2 , am Ende M 2 → ∞

2
e2

2
2
ln M
+
M
e
12π 2
m2
2
2
ln
−
f
(q
)
=
I(q ) =
 e2 2 ln M 22
12π 2
m2
12π
Nebenbei: q 2 < 0,
q 2 = −4|~
p|2 sin2 θ/2 im CMS
−q
e2 q 2
60π 2 m2
−q 2
m2
−q 2
m2

≪1 
≫1 
90
2
2
M
e
g
µν
ln
− f (q 2 ) [ū(p4 )γ ν u(p2 )]
M = −e2 [ū(p3 γ µ u(p1 )] 2 1 −
q
12π 2
m2
Renormierung der Ladung:
M2
m2
in “renormierte” Ladung eR :
Jetzt: Wir stecken ln
s
2
M
e2
eR ≡ e 1 −
ln
12π 2
m2
Damit wird die Amplitude zu:
2
g
e
µν
M = −e2R ū ... u 2 1 + R 2 f (q 2 ) ū ... u
q
12π
31
24
+ O(e6 )
• M taucht nicht mehr explizit auf, eR ist die gemessene Ladung
91
• absorbiere endlichen Term f (q 2 ) in Kopplungsstärke
r
e2R (0)
2
f (q 2 )
eR (q ) ≡ eR (0) 1 +
12π 2
e2
α(0)
2
2
mit α =
⇒ α(q ) = α(0) 1 +
f (q )
”laufende” Kopplungskonstante
4π
3π
1 , α(100 GeV) = 1
Effekt sehr klein: α(0) = 137
128
Aufsummieren der Loopdiagramme
Loopdiagramme in allen Ordnungen:
1
eR (q 2 ) ≡ e 1 − I(q 2 ) + I 2 (q 2 ) − I 3 (q 2 ) + ... = e
{z
}
|
1 + I(q 2 )
geometrische Reihe
α
ln
Im Grenzfall hoher |q |: I(q) =
3π
2
−q 2
M2
⇒ α(q 2 ) =
α(0)
2
α(0)
1 − 3π ln −q
M2
Renormierungsprozedur: Wähle Renormalisierungsskala µ (=Referenzskala) und
subtrahiere α(µ2 ) von α(Q2 ), nun schicke M 2 → ∞
α(µ2 )
−q 2
α(µ2 )
ln
1−
3π
µ2
⇒ Verlauf der Kopplung mit q2 → fixiert Renormierungsgruppengl.
⇒ Absoluter Wert von α(q2 ) muss experimentell bestimmt werden!
92
2
⇒ α(q ) =
Komplettes Set von O(α2 ) Diagrammen
Modifiziert:
Strom jfµi = −eūγ µ u
Photon-Propagator
Renormierung:
Ladung:
Magn. Moment:
e− -Selbstenergie
= Masse
−I(q 2 )
Hochener.
=
x
x
α
ln
3π
“
Q2
µ2
”
———————— = 0, Ward-Identitäten ————————g = 2+
α
π
x
x
x
ja
ja
93
Messung der laufenden Kopplung in Bhabha Streuung bei LEP
http : //arxiv4.library.cornell.edu/abs/hep − ex/0505072v3
94
Running α: Beiträge verschiedener Teilchensorten im Loop
http : //www.slac.stanf ord.edu/econf /C060706/pdf /0610037.pdf
95
Brookhaven AGS 2000-2002 (BNL-821)
Zahl der e+ hängt von φ(t) ab
Oszillationsperiode ⇒ aµ = g−2
2
eB
Zyklotronfrequenz eines Teilchen im B-Feld: ωc = γm
eB
Larmorfrequenz der Spin Präzession ωL = γm
1 + g−2
2 γ
eB
φ(t) = (ωL − ωc ) · t = g−2
2 mt
Winkel zwischen Spin und Impuls
96
g − 2 Vergleich Experiment (BNL E821) vs Rechnungen
97
98