Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2

Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
83
2etv151
1.5
1.5.1
Messung elektrischer Größen
Messwerke
Physikalische Größe ist das messbare Merkmal eines Objekts. Im Rahmen des
technischen Umgangs mit den elektrischen Größen, müssen Strom, Spannung,
Widerstand, Leistung messtechnisch erfasst werden.
Methoden:
Ausschlagmethode, analog (Zeigerausschlag) oder digitale
Anzeige längs einer vorgegebenen Skala
Kompensationsmethode;
Bewertung der Größe im Ergebnis eines Nullabgleichs
Zeigerinstrumente:
Anzeige veränderlicher Messgrößen und ihres tendenziellen
Verlaufs
dW
Für den Zeigerausschlag ist Kraft F =
notwendig.
ds
a) Wirkprinzipien
Wirkprinzipien unterscheiden sich nach den energetischen Wirkungen der
elektrischen Erscheinungen.
Messwerk
Hitzdrahtoder
Bimetallmesswerk
elektrostatisches
Messwerk
Wirkprinzip
thermische Wirkung
des Stromes
Anzeigewert
Effektivwert
des Stromes
∼ I2
Eigenverbrauch
1W
Kräfte im elektrostatischen Feld
1nW
Drehspulmesswerk
elektrodynamisches
Messwerk
Kräfte auf stromdurchflossene Leiter
im Dauermagnetfeld
Kräfte auf stromdurchflossene Leiter
im Magnetfeld
Effektivwert
der Spannung
∼ U2
arithmetischer
Mittelwert
∼I
arithmetischer
Mittelwert
der Messgröße
Dreheisenmesswerk
Kräfte zwischen
Magneten
Effektivwert
des Stromes
∼ I2
10mW
5µW
20µW
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
84
2etv151
Hitzdraht-Messwerk
Elektrostatisches Messwerk
Drehspulmesswerk
Elektrodynamisches Messwerk
Dreheisenmesswerk
Digitales Vielfach-Instrument
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
85
2etv151
Hitzdrahtmesswerk:
Drahtlänge s ist proportional der Drahttemperatur ϑ
Längenänderung des Drahtes
ds
dα
Winkeldrehung des Zeigers
Temperaturänderung
dϑ
ds dα dϑ
ds ∼ dα ∼ dϑ
=
=
α
ϑ
s
stationärer Betrieb:
ϑ = PV ⋅ R th,K
Pv = I2 ⋅ R =
Hitzdraht-Verluste
Pv
Hitzdraht-Widerstand
R
thermischer Konvektionswiderstand des Hitzdrahtes
ds dα dϑ dPV  dI 
=
=
=
= 
α
ϑ
s
PV
 I 
U2
R
Rth,K
2
Elektrostatisches Messwerk:
M = F ⋅r
Drehmoment
Kraft F durch Grenzflächenkräfte im elektrostatischen Feld der Feldstärke E = U/d
U2
dC
dW = U2 ⋅
Drehkondensator: W = C ⋅
2
2
2
dW
dW U
dC
F=
=
=
⋅
ds r ⋅ dα 2 r ⋅ dα
U2 dC
M = F⋅r =
⋅
2 dα
Drehspulmesswerk:
F2
Drehmoment eines Leiters:
ML = I ⋅ B ⋅ h ⋅ R
N
S
N
2R
F1
Gesamtdrehmoment:
M = 2 ⋅ N ⋅ ML = 2 ⋅ N ⋅ I ⋅ B ⋅ h ⋅ R
Dauermagnet: B = konstant
B
h
I
Elektrodynamisches Messwerk:
wie Drehspulmesswerk, aber Magnetfeld wird durch eine zweite Wicklung I1; N1
aufgebaut.
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
86
2etv151
M = 2 ⋅N⋅I⋅B ⋅ h ⋅R
Θ1 = I1 ⋅ N1 = H0 ⋅ 2δ + HFe ⋅ sFe
µFe
µ0
B=
I1 ⋅ N1 ⋅ µ0
2δ
B
⋅ 2δ
µ0
I ⋅N ⋅ µ
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R
M = 2 ⋅N⋅I⋅ 1 1 0 ⋅ h ⋅R =
⋅ I ⋅ I1
2δ
δ
Θ1 = I1 ⋅ N1 = H0 ⋅ 2δ =
Dreheisenmesswerk:
Kraft auf Grenzflächen F = w m ⋅ A =
Φ=
Φ2
B2 ⋅ A
=
2µ0
2µ0 ⋅ A
I ⋅ N I ⋅ N ⋅ µ0 ⋅ A
=
Rm
s
2
1
N2 ⋅ µ0 ⋅ A 2
 I ⋅ N ⋅ µ0 ⋅ A 
F=
=
⋅I
 2µ ⋅ A
s
2 ⋅ s2


0
Drehmoment:
N2 ⋅ µ0 ⋅ A ⋅ r 2
⋅I
M = F⋅r =
2 ⋅ s2
b)
Kenngrößen, Fehler
Messinstrumente werden durch Kenngrößen charakterisiert, die für die Anzeige des
Messbereichs-Endwertes b (Vollausschlag) gelten.
IM
UM
RM =
Strom bei Vollausschlag
Spannung bei Vollausschlag
UM
IM
Innenwiderstand
PM = UM ⋅ IM =
UM2
= IM2 ⋅ RM
RM
Eigenverbrauch
Bei elektrischen Messgeräten weicht der wahre Wert w der Messgröße vom
angezeigten Wert m ab. Der Fehler wird definiert als
∆m = w − m
∆m w − m w
p=
=
= −1
m
m
m
absoluter Fehler
relativer Fehler
Hinsichtlich ihres zulässigen absoluten Fehlers werden analog anzeigende
Messinstrumente durch die Genauigkeitsklasse (Klasse k) gekennzeichnet.
Klasse 1:
Wahrer Wert w kann ± 1% vom Messbereichs-Endwert b abweichen.
k ⋅b
∆m = ±
100
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
87
2etv151
Weitere Werte:
Beispiel:
s
c
Skalenendwert
Skalenkonstante
b = c⋅s
e
Empfindlichkeit
e=
k = 2.5
m = 1.2A
1
c
b = 1.5A
s = 15
k ⋅b
2.5 ⋅ 1.5 A
=±
= 0.038 A
100
100
∆m 0.038 A
p=
=
= 0.032 = 3.2%
m
1 .2 A
w = m ± ∆m
w 1 = m + ∆m = 1.2A + 0.038 A = 1.24 A
∆m = ±
w 2 = m − ∆m = 1.2A − 0.038 A = 1.16 A
b 1 .5 A
1
1
c= =
e= =
= 0.10 A
= 10 A −1
s
15
c 0.1A
Bei digital anzeigenden Messinstrumenten wird der absolute Fehler in Prozent k vom
Messwert (v. M.) angegeben und dazu die Unsicherheit z der letzten Anzeigestelle.
Der Anteil der Unsicherheit am absoluten Fehler ist durch die Auflösung (Digit) L des
Messgerätes bestimmt.
∆m =
k ⋅m
+ z ⋅L
100
Beispiel:
Ein 3.5-stelliges Messgerät hat im
Bereich AC 200V den Fehler
±(1.2% v.M. + 3Digit)
Maximale Anzeige:
aM = 199.9V ⇒
L = 0.1V
k ⋅m
+ z ⋅ L)
100
1.2 ⋅ 41.6 V
∆m = ±(
+ 3 ⋅ 0.1V ) = ±0.80 V
100
∆m = ±(
w 1 = m + ∆m = 41.6 V + 0.8 V = 42.4 V
w 2 = m − ∆m = 41.6 V − 0.8 V = 40.8 V
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
88
2etv151
1.5.2
Messbereichserweiterung
Mit einem unbeschalteten Messinstrument sind nur relativ kleine Spannungen und
Ströme messbar (UM; IM). Zur Vergrößerung der messbaren Werte von Spannung
und Strom ist eine Messbereichserweiterung erforderlich. Das Messinstrument wird
dann mit dem Messzubehör zu einem Messgerät.
Spannungsmessbereichserweiterung
Zur Vergrößerung der messbaren
Spannung um den Faktor n wird ein
Vorwiderstand RV in Reihe zum
Messinstrument geschaltet.
Strommessbereichserweiterung
Zur Vergrößerung des messbaren
Stromes um den Faktor n ist zum
Messinstrument ein Parallelwiderstand RP
zu schalten
I
RM
RV
V
IM
A
UV
UM
U
Abb. 3.5.5 Schaltung zu Erweiterung des
Spannungsmessbereiches
U RM + R V
R
=
= 1+ v
UM
RM
RM
R V = R M ⋅ (n − 1)
IP
Spannungs-Messgeräte werden durch
ihren wirksamen Innenwiderstand RMi
gekennzeichnet.
R + R V RM
[rMi ] = kΩ
rMi = M
=
U
UM
V
RP
Abb. 3.5.6 Schaltung zu Erweiterung des
Strommessbereiches
n=
RMi = rMi ⋅ b
RM
n=
I RM + RP RM
=
=
+1
IM
RP
RP
RP = RM ⋅
1
(n − 1)
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
89
2etv151
1.5.3
Messgeräte mit Nullindikator
Messtechnische Anordnungen mit Nullabgleich arbeiten nach der
Kompensationsmethode. Die Messgröße wird dabei mit einem bekannten Normal
verglichen.
Anordnungen mit zwei Quellen werden als Kompensatorschaltungen bezeichnet,
Anordnungen mit einer Quelle als Brückenschaltungen.
a)
Kompensatorschaltung
Mit dem verstellbaren Widerstand wird
die Anordnung so abgeglichen, dass
der Strom I = 0 wird. Es liegt dann ein
leerlaufender Spannungsteiler vor
RM
I
R1
UqN
R2
U2
Uqx
M
R2
⋅ UqN
R1 + R2
-U2 + Uqx = 0
U2 = U20 =
M:
Uqx = UqN ⋅
b)
R2
R1 + R2
Brückenschaltung
Brückenschaltungen werden in der
Elektrotechnik vielfältig angewendet.
Eine typische Gleichstrom-Brückenschaltung ist die Wheatstonsche Brückenschaltung. Sie wird im Gleichstromkreis zur
Bestimmung unbekannter Widerstände
verwendet.
Im unabgeglichenem Zustand fließt durch
das Messinstrument (Mittellageinstrument)
der Strom I. Der Normalwiderstand RN hat
die gleiche Größenordnung wie der zu
bestimmende Widerstand RX.
Durch Veränderung des Widerstandsverhältnisses R1/R2 wird die Brücke abgeglichen.
IN
IX
I
RX
UM
I1
RN
RM
R2
R1
Uq
Brückenabgleich:
I = 0; UM = 0
I1 = I2 und IX = IN.
R
R X R1
=
R X = RN ⋅ 1
RN R2
R2
I2
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
90
2etv151
1.5.4
a)
Gleichstrombrückenschaltungen
Wheatstone-Brücke
IX
IN
K1
RX
I
UM
RN
UM = I ⋅ RM = 0
I2
K1: −IX + I + IN = 0
mit I = 0
IX = IN
K2: −I1 − I + I2 = 0
mit I = 0
I1 = I2
RM
I1
K2
R1
Brückenabgleichbedingung:
R2
I=0
Uq
Ma:
Mb:
IX=IN
IXRX + UM -I1R1 = 0
-UM +INRN –I2R2 = 0
Mit UM = 0
IX ⋅ R X = I1 ⋅ R1
IN ⋅ RN = I2 ⋅ R2
I X = IN
I1 = I2
RX
RN
UM = 0
Ma
R1
Mb
R2
I1 =I2
Spannungsteilung in beiden Zweigen
der Brücke gleich:
I X ⋅ R X I1 ⋅ R1
=
IN ⋅ R N I2 ⋅ R 2
R X = RN ⋅
R X R1
=
RN R 2
Uq
abgeglichene Brücke
R1
R2
Der Normalwiderstand wird in technischen Wheatstone-Brücken schaltbar ausgeführt
(10Ω; 100Ω; 1kΩ; 10kΩ; ...). Nach dem Brückenabgleich mit dem Nulllageinstrument
liegt das Verhältnis R1/R2 als Zahlenwert vor. Der unbekannte Widerstand kann mit
R
R X = R N ⋅ 1 bestimmt werden.
R2
Für die Bestimmung von Widerständen RX < 1Ω ist die Wheatstone-Brücke nicht
geeignet, da die Messleitungswiderstände das Ergebnis verfälschen.
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
91
2etv151
b)
Thomson-Brücke
Diese Brücke wird zur Messung von Widerständen RX<1Ω eingesetzt.
RN ist ein Präzisionswiderstand in der Größenordnung des zu bestimmenden
Widerstandes RX. Die Widerstände R1 bis R4 müssen sehr viel größer als die
Kontakt und Leitungswiderstände sein.
RX
R1
R3
R2
R4
Uq
RN
Thomson-Brücke
RX
A
R1
Uq
R2
RN
B
Wheatstone-Brücke
Mit der Wheatstone-Brücke würde der Widerstand RX nicht nur mit dem Widerstand
RN verglichen, sondern mit dem Widerstand zwischen den Klemmen A und B.
Solange RX und RN >> als Leitungs- und Kontaktwiderstände ist der Fehler gering.
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
92
2etv151
R5
Ix
Rx
Ma
I1
K3
I7
R1
Uq
R7
I3
K1: −I1 + IB + I2 = 0
K2: −I3 − IB + I4 = 0
UB IB R3
K2
K1
R2
R4
K4
R6
IN
RN
I2
Mb
Brückenabgleich: IB = 0
UB = IB ⋅ RM = 0
I4
I1 = I2
I3 = I4
R1 R7
R 2 R7
IX = I7
K3: −IX + I1 + I7 = 0
IN = I7
K4: −I7 − I2 + IN = 0
I X = I7 = IN
Ma: −I1R1 − IXR X + I3R3 − UB = 0
UB = 0
I R −I R
RX = 3 3 1 1
IX
Mb: −INRN − I2R2 + UB + I4R 4 = 0
UB = 0
I R −IR
IN = 3 4 1 2 = IX
RN
I3R3 − I1R1
I3R 4 − I1R2
Der schaltungstechnische Aufbau der Brücke wird so gestaltet, dass das
Widerstandsverhältnis der Widerstände R3 und R4 und R1 und R2 bei der
Brückenabstimmung durch Einführung von Tandempotenziometern konstant bleibt.
R X = RN ⋅
R1
R3
R2
R4
k=
R4 R2
=
R3 R1
R X = RN ⋅
I3R3 − I1R1
I R −IR
I R −IR
= R N ⋅ 3 3 1 1 = RN ⋅ 3 3 1 1
I3R 4 − I1R2
I3kR3 − I1kR1
k ⋅ I3R3 − I1R1
R X = RN ⋅
1
k
(
)
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
93
2etv151
1.5.5
a)
Wechselstrombrückenschaltungen
Allgemeine Wechselstrombrücke
Wechselstrommessbrücken werden zur Induktivitäts- und Kapazitätsbestimmung, zur
Bestimmung von Verlustwiderständen und Verlustfaktoren von Kondensatoren sowie
zur Frequenzbestimmung verwendet.
IN
IX
I B ZN
ZX
UB
M
I1
I2
Z1
Z2
I X Z X + UB − I 1Z1 = 0
− I X + I B + I N= 0
− I 1− I B + I 2 = 0
Brückenabgleich durch Veränderung der
Widerstände Z1 und Z 2 , so dass
I B = 0; UB = 0 .
I X Z X = I 1Z1
I N ZN = I 2 Z 2
I X= I N
I 1= I 2
Uq
Z X = ZN ⋅
M:
K:
Z X Z1
=
ZN Z2
Z1
Z2
R X + jX X =
(RN + jXN )(R1 + jX1 ) = (RN + jXN )(R1 + jX1 )(R2 − jX2 )
R 2 + jX2
(R2 + jX2 )(R2 − jX2 )
R1R2RN + RN X1X2 + R1X2 XN − R2 X1XN − jR1RN X2 + jR2RN X1 + jR1R2 XN + jX1X2 XN
R22 + X22
R R R + RN X1X2 + R1X2 XN − R2 X1XN
R R X − R1RN X2 + R1R2 XN + X1X2 XN
+j 2 N 1
R X + jX X = 1 2 N
2
2
R 2 + X2
R22 + X22
R R R + RN X1X2 + R1X2 XN − R2 X1XN
RX = 1 2 N
R22 + X22
R R X − R1RN X2 + R1R2 XN + X1X2 XN
XX = 2 N 1
R22 + X22
Z
Z X = ZN ⋅ 1
Z2
R X + jX X =
Z X ⋅ e jϕX = ZN ⋅ e jϕN ⋅
Z X = ZN ⋅
Z1
Z2
Z1 ⋅ e jϕ1
Z2 ⋅ e jϕ2
ϕ X = ϕN + ϕ1 − ϕ2
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
94
2etv151
Oft werden die veränderlichen Widerstände als ohmsche Widerstände ausgeführt:
Z1 = R1
Z2 = R2
X1 = X2 = 0
R1R2RN R1RN
=
R22
R2
RR X
RX
X X = 1 22 N = 1 N
R2
R2
R1
R2
R
X X = XN ⋅ 1
R2
R X = RN ⋅
RX =
Z X = ZN ⋅
b)
R1
R2
ϕ1 = ϕ2 = 0
ϕ X = ϕN
Induktivitätsmessbrücke
Die Induktivitätsmessbrücke (Maxwell-Wien-Brücke):
Bestimmung von Induktivitäten LX und
von ohmschen Widerständen realer Spulen RX
R1
j ωL X
RX
R2
RN
Uq
−j
1
ωC
1 

RNR1  R2 − j
ωC  R1RN

=
+ jR1RNωC
R X + j ωL X =
R2
R
2
−j
ωC
RR
RX = 1 N
R2
ωL X = R1RNωC
L X = R1RNC
Z X = ZN ⋅
Z1
Z2
R X + jωL X = RN ⋅
R1
1 

R2II  − j

 ωC 
RNR1
R X + j ωL X =
R
−j 2
ωC
1
R2 − j
ωC
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
95
2etv151
c)
Kapazitätsmessbrücke
Schering-Brücke, zur Bestimmung von Kapazitäten CX und Verlustfaktoren realer
Kondensatoren. Brückenabgleich erfolgt mit R1 und C2.
RX
−j
1
ωC X
R1
1
ωCN
1
+ jωC X = YX ϕY
RX
ZX =
1
1
=
ϕZ
YX YX
ϕZ = −ϕY
R2
−j
YX =
tan δ =
Uq
−j
1
ωC2
Im
ϕY + δ = 90o
−ϕZ + δ = 90o
Brückenabgleich:
δ
Z X = ZN ⋅
jωC X
ZN = − j
ϕY
1
RX
ϕZ
Re
ZX
Z2 =
R 2 0o
1 + ( R 2 ωC 2 ) α
2
Z1
Z2
= Z 2 ϕ2
tan ϕ2 = tan ( −α ) = − tan α = −R 2ωC2
ϕZ = ϕN + ϕ1 − ϕ2
1
1
=
−90 o
ωCN ωCN
ϕN = −90o
Z1 = R1 0o
− j ωC X
YX∗
1
R X ωC X
ϕ1 = 0o

1 
Z 2 = R 2II  − j

 ωC 2 
− jR2
R2
ωC2
=
Z2 =
1
1 + jR2 ωC2
R2 − j
ωC2
ϕ2 = 0 o − α
tan α = R2ωC2
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
96
2etv151
ϕZ = ϕN + ϕ1 − ϕ2
ϕZ = −900 + 0o + α
δ = 90o + ϕZ = 90o − 900 + α = α
tan δ = tan α = R2ωC2
Für die Bestimmung der Kapazität wird CX verlustfrei angesetzt (R X = ∞ )
CN ist in der Brücke ein extrem verlustarmer Kondensator.
1
1
ZX = − j
ZN = − j
ωC X
ωCN
Brückenabgleich:
ZX
=
ZN
R1

1 
R2II  − j

 ωC2 

1 
1
R1  R2 − j

ωC2  R1
R1
ωC X

=
=
=
+ jR1ωC2
1
R2
R


1
2
−j
−j
R2II  − j

ωCN
ωC2
 ωC 2 
−j
CN R1
=
CX R2
CN R1
=
+ jR1ωC2
CX R2
0 = R1ωC2
Dass der Imaginärteil hier Null sein muss resultiert aus der Annahme
verlustfreier Kondensatoren CX und CN.
d)
Frequenzmessbrücke
Wien-Robinson-Brücke, zur Bestimmung unbekannter Frequenzen
Abgleich mit den Widerständen R1 und R2.
R1
−j
R2
1
ωC1
−j
1
ωC 2
n ⋅R
R
Uq

1 
Z1 = R1II  − j

 ωC1 
− jR1
R1
ωC1
Z1 =
=
1
1 + jωC1R1
R1 − j
ωC1
1
Z2 = R2 − j
ωC 2
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
97
2etv151
Brückenabgleich:
Z1
R
1
=
=
Z2 n ⋅ R n
1
Z1 = Z2 ⋅
n

R1
1  1
=  R2 − j
⋅
ωC 2  n
1 + jωC1R1 
Die Schaltung wird mit der nachstehenden Dimensionierung vereinfacht:
R1 = R 2 = R
und
C1 = C2 = C
Brückenabgleich mit Tandempotenziometer (R1 und R2 auf gleicher Welle)

R
= R
1 + jωC R


1
nR =  R − j
ωC

−j
1  1
⋅
ωC  n

 ⋅ (1 + jωC R )

nR = R + jωC R2 − j
1
+R
ωC

1
1 
+ R = 2R + j  ωC R 2 −

ωC
ωC 

Real- und Imaginärteil-Abgleichbedingungen
nR = R + jωC R 2 − j
nR = 2R
n=2
1
0 = ωC R2 −
ωC
e)
ω=
1
RC
f=
ω
1
=
2π 2π ⋅ RC
Phasendrehbrücke
Einstellung eines gewünschten Phasenwinkels zwischen zwei definierten
Spannungen Ua und Ub .
−j
RX
1
ωCN
UX
Ub
Ma
R1
U1
Ma: UX − Ub − U1 = 0
Ub = UX − U1
UC
Mb
R2
Mc
Ua
U2
Mb: −Ua + UX + UC = 0
Ua = UX + UC
Mc: −Ua + U1 + U2 = 0
Ua = U1 + U2
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
98
2etv151
Auswertung im Zeigerbild der Spannungszeiger
Im
UX
ϕX
Ub
ϕb
U1
Ua
UC
U2
Re
ϕb = 2 ⋅ ϕX
(Zentri- und Peripheriewinkel)
ϕba = ϕb − ϕa
Winkel zwischen den Spannungen Ub und Ua
ϕa = 0o
ϕba = ϕb − 0o = ϕb
tan ϕ X = tan
ϕb UC
1
=
=
2 UX ωCN ⋅ R X
ϕba = 2 ⋅ arctan
1
ωCN ⋅ R X
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
99
2etv151
1.5.6
Leistungsmessung
Leistung im Gleichstromkreis P = U ⋅I ; im Wechselstromkreis P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ .
Für Leistungsmessung werden elektrodynamische Messwerke verwendet, die das
Produkt zweier Ströme anzeigen. Digitale Instrumente messen Spannung und Strom
und verarbeiten die Messwerte rechentechnisch zur Leistung.
a)
Elektrodynamisches Messwerk im Gleichstromkreis
B0
h
Feldspule
N1
I
2R
Drehmoment eines Leiters:
ML = I ⋅ B0 ⋅ h ⋅ R
I1
Drehspule
N
F2
Gesamtdrehmoment der
Drehspule mit Windungszahl N:
δ
N
S
I
M
B0
M = 2 ⋅ N ⋅ ML = 2 ⋅ N ⋅ I ⋅ B0 ⋅ h ⋅ R
2R
F1
Flussdichte B0 durch Durchflutung Θ1 = I1 ⋅ N1 aufgebaut.
Magnetischer Kreis des Instrumentes:
Θ1 = I1 ⋅ N1 = H0 ⋅ 2δ + HFe ⋅ sFe
µFe
µ0
Θ1 = I1 ⋅ N1 = H0 ⋅ 2δ =
B0
⋅ 2δ
µ0
I1 ⋅ N1 ⋅ µ0
2δ
I ⋅N ⋅ µ
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R
M = 2 ⋅N⋅I⋅ 1 1 0 ⋅ h ⋅R =
⋅ I ⋅ I1
2δ
δ
B0 =
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
100
2etv151
I I
1
I=
W
U
RDS
RDS
U
Rx
U = I ⋅ RDS
Widerstand der Drehspule
P = U ⋅ I1 = I ⋅ RDS ⋅ I1
P
I ⋅ I1 =
RDS
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R P
⋅ I ⋅ I1 =
⋅
δ
δ
RDS
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R
M=
⋅P = k ⋅P
δ ⋅ RDS
M=
b)
Wirkleistungsmessung mit elektrodynamischem Messwerk im
Wechselstromkreis
i i
1
i1 = 2 ⋅ I1 cos ( ωt + ϕi1 )
W
u
u = 2 ⋅ Ucos ( ωt + ϕu )
RLx
R
C
di
dt
Dimensionierung:
di
i ⋅ RDS LDS ⋅
dt
Instrumente ohne geschlossenen
Eisenkreis!
u = i ⋅ RDS + LDS ⋅
i1
i
u ≈ i ⋅ RDS
u
i=
RDS
ϕu = ϕi
i1 ⋅ N1 ⋅ µ0
2δ
N ⋅µ
B0 ( t ) = 1 0 2 ⋅ I1 cos ( ωt + ϕi1 )
2δ
B0 ( t ) =
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
101
2etv151
m(t) =
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R u
⋅ i ⋅ i1 =
⋅
⋅ i1
δ
δ
RDS
ϕu = ϕi
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R u
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R 2 ⋅ U ⋅ I1
⋅
⋅ i1 =
⋅
⋅ cos ( ωt + ϕu ) ⋅ cos ( ωt + ϕi1 )
δ
δ
RDS
RDS
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R U ⋅ I1
m(t) =
⋅
⋅ cos ( ϕu − ϕi1 ) + cos ( 2ωt + ϕu + ϕi1 ) 
δ
RDS 
Messwerk bildet arithmetischer Mittelwert durch seine Eigenträgheit, Drehspule kann
der Sinusschwingung mit 2ω nicht folgen.
t +T
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R
⋅ U ⋅ I1 ⋅ cos ϕ
m = M = ∫ m(t) =
δ ⋅ RDS
t
m(t) =
M = k ⋅ U ⋅ I1 ⋅ cos ϕ = k ⋅ P
Drehmoment ist der Wirkleistung proportional.
c)
Blindleistungsmessung mit elektrodynamischem Messwerk im
Wechselstromkreis
Wird in der Praxis selten angewandt. In den Spannungspfad wird ein 90o
phasendrehendes Glied eingebaut.
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R
⋅ U ⋅ I1 ⋅ cos ( ϕu − ϕi1 )
δ ⋅ RDS
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R
m=M=
⋅ U ⋅ I1 ⋅ cos ϕi − 90o − ϕi1
δ ⋅ RDS
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R
m=M=
⋅ U ⋅ I1 ⋅ cos ϕ − 90o
δ ⋅ RDS
N ⋅ N1 ⋅ µ0 ⋅ h ⋅ R
m=M=
⋅ U ⋅ I1 ⋅ sin ϕ
δ ⋅ RDS
M = k ⋅Q
ϕu = ϕi − 900
m=M=
(
(
)
ϕ = ϕi − ϕi1
(
)
)
cos ϕ − 90o = sin ϕ
Realisierung durch Hummel-Schaltung
I
I2
U2
Im
I3
U2
R 2 jX3
U
ZB
U
UR1
R1
I1
UX1
jX1
U1
I3
I1
I2
U2
U1
UR1
Re
UX1
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
102
2etv151
1.5.7
Leistungsmessung im Drehstromsystem
a) Leistung im Drehstromsystem
Zeitverlauf der Leistung
Satz von Telegen: Gesamtleistung ist Summe der Teilleistungen.
In den drei Strängen ergibt sich damit der zeitliche Leistungsverlauf:
p = ustr,a istr,a + ustr,b istr,b + ustr,c istr,c’
Mit den Ergebnissen der Leistungsbetrachtung bei Wechselstrom
p = U I cos ϕ + U I cos (2ωt + ϕu + ϕi)
2π/3
p = Ustr,a Istr,a cos ϕa + Ustr,a Istr,a cos (2ωt + ϕu,a + ϕi,a)
+ Ustr,b Istr,b cos ϕa + Ustr,b Istr,b cos (2ωt + ϕu,a + ϕi,a - 4π/3)
ϕu,b = ϕu,a -
+ Ustr,c Istr,c cos ϕa + Ustr,c Istr, cos (2ωt + ϕu,a + ϕi,a - 8π/3)
ϕi,b = ϕi,a - 2π/3
p = P = Ustr,a Istr,a cos ϕa + Ustr,b Istr,b cos ϕb + Ustr,c Istr,c cos ϕc
P = Pstr,a + Pstr,b + Pstr,c
Q = Ustr,a Istr,a sin ϕa + Ustr,b Istr,b sin ϕb + Ustr,c Istr,c sin ϕc
S = P2 + Q2
Für symmetrisches System gilt:
Ustr,a = Ustr,b = Ustr,c = Ustr
Istr,a = Istr,b = Istrc = Istr
ϕa = ϕb = ϕc = ϕ
p = P = 3 Ustr Istr cos ϕ
P = 3 Ustr Istr cos ϕ
Q = 3 Ustr Istr sin ϕ
S = 3 Ustr Istr
S = P + j Q = S ϕ = 3 Ustr Istr*
P = 3 Re {Ustr Istr*}
b)
Leistungsmessung bei unsymmetrischer Belastung
Bei der Leistungsmessung eines Drehstromverbrauchers werden die
Strangleistungen nicht unmittelbar gemessen, sondern nach dem Knotensatz der
Leistung (Energieerhaltungssatz) die über die Zuleitungen zum
Drehstromverbraucher zugeführte Leistung.
Pzu = PB = Pstr,a + Pstr,b + Pstr,c
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
103
2etv151
Verbraucher mit angeschlossenem Neutralleiter
P1
zugeführte Leistung:
P = P1 + P2 + P3
L1
L2
L3
P2
Verbraucher
Verbraucherleistung:
P = Pstr,a + Pstr,b + Pstr,c
P3
N
Verbraucher ohne angeschlossenen Neutralleiter
P1
L1
L2
L3
P2
Verbraucher
P3
Schaffung eines künstlichen
Sternpunktes durch drei gleichgroße
Widerstände R. An diesen
Sternpunkt werden die drei
Spannungspfade der
Leistungsmesser angeschlossen.
Spannungsmessung:
RMU ZB,str
R ZB,str
R R R
zugeführte Leistung:
P = P1 + P2 + P3
Verbraucherleistung:
P = Pstr,a + Pstr,b + Pstr,c
zugeführte Leistung:
P = PA + PB
Verbraucherleistung:
P = Pstr,a + Pstr,b + Pstr,c
PA
L1
Verbraucher
L2
(Aronschaltung)
L3
PB
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2"
104
2etv151
c)
Leistungsmessung bei symmetrischer Belastung
Ustr,a = Ustr,b = Ustr,c = Ustr
Istr,a = Istr,b = Istrc = Istr
ϕa = ϕb = ϕc = ϕ
P = 3 Ustr Istr cos ϕ
Es reicht ein Messgerät für die
Leistungsmessung aus.
Verbraucher mit angeschlossenem Neutralleiter
P1
zugeführte Leistung:
P = 3 ⋅ P1
L1
Verbraucher
L2
Verbraucherleistung:
P = 3 ⋅ Pstr
L3
N
Verbraucher ohne angeschlossenen Neutralleiter
P1
zugeführte Leistung:
P = 3 ⋅ P1
L1
Verbraucher
L2
Verbraucherleistung:
P = 3 ⋅ Pstr
L3
R R R
PA
L1
L2
L3
Verbraucher
zugeführte Leistung:
P = 2 ⋅ PA
Verbraucherleistung:
P = 3 ⋅ Pstr
(Aronschaltung)