Quantenmechanik für Bachelor plus Aufgabenblatt 3

Quantenmechanik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 3
Abgabe: 11. November 2013
Aufgabe 1: Orthogonalität und Normierung (7 Punkte)
(a) Zeigen Sie
Z
a
dx ψm (x)∗ ψn (x) = δmn
(1.1)
0
für die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung des unendlichen Potentialtopfes mit Breite a, d.h.
r
nπ 2
ψn (x) =
sin
x ,
0≤x≤a.
(1.2)
a
a
(4 Punkte)
Hinweis: cos(x) − cos(y) = 2 sin
y+x sin
2
y−x .
2
(b) Betrachten Sie die allgemeine Lösung der zeitabhängigen SchrödingerGleichung im unendlichen Potentialtopf
Ψ(x, t) =
∞
X
cn ψn e−iEn t/~
(1.3)
n=1
und zeigen Sie
∞
X
|cn |2 = 1 ,
n=1
falls Ψ(x, t) normiert ist. (3 Punkte)
1
(1.4)
Aufgabe 2: Teilchen im unendlichen Potentialtopf∗
(14 Punkte)
Ein Teilchen im unendlichen Potentialtopf habe als anfängliche Wellenfunktion eine Linearkombination der ersten beiden stationären Zustände:
Ψ(x, 0) = A[ψ1 (x) + ψ2 (x)] .
(2.1)
(a) Normieren Sie Ψ(x, 0) unter Benutzung von (1.1). (2 Punkte)
(b) Geben Sie Ψ(x, t) and |Ψ(x, t)|2 an. Drücken Sie Ihr Ergebnis für |Ψ(x, t)|2
durch Sinus- und Kosinus-Funktionen aus. Führen Sie zur Vereinfachung der
Notation die Abkürzung ω ≡ π 2 ~/2ma2 ein. (2 Punkte)
(c) Berechnen Sie hxi. Was ist die Frequenz der Oszillation von hxi?
(5 Punkte)
Hinweis: Beachten Sie den Hinweis zu Aufgabe 1(a) und zusätzlich
Z
nπx
nπx 2
nπx 2
n2 π 2 x2 − 2nπxa cos( nπx
a ) sin( a ) − a cos( a )
=
dx x sin2
a
4n2 π 2
Z
nπx
nπx a2 cos( nπx
a ) + nπxa sin( a )
dx x cos
=
(2.2)
a
n2 π 2
(d) Bestimmen Sie hpi. (2 Punkte)
Hinweis: Benutzen Sie Ihr Ergebnis aus Teil (c).
(e) Welche möglichen Werte könnte eine Messung der Energie des Teilchens
ergeben? Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten sie auf? Was ist der Erwartungswert hHi? (3 Punkte)
Hinweis: In der Vorlesung wird gezeigt, dass für ein Teilchen mit Wellenfunktion
∞
X
Ψ(x, t) =
cn ψn (x)e−iEn t/~
(2.3)
n=1
der Erwartungswert für die Energie durch
hHi =
∞
X
|cn |2 En
(2.4)
n=1
gegeben ist, d.h. die |cn |2 haben die Interpretation der Wahrscheinlichkeit,
dass eine Messung der Energie den Wert En ergibt.
Bei Fragen:
[email protected]
∗:
Aufgabe wird korrigiert. Die Punkte dienen nur der Orientierung und
haben keinerlei praktische Konsequenzen.
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