Klausur zur Quantenmechanik II Viel Erfolg!
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Klausur zur Quantenmechanik II
WS 2009/10
Dienstag, 9. Februar 2010, HS1, Physik Department, TU München
Die Klausur besteht aus 3 Aufgaben.
Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem separaten Blatt!
Bitte geben Sie auf allen Blättern
Ihren Namen an!
Sie haben zur Bearbeitung 90 Minuten Zeit.
Insgesamt können 100 Punkte erreicht werden.
Viel Erfolg!
1
Aufgabe K1 (20 Punkte)
Ein nichtrelativistisches Teilchen mit Masse m und Impuls ~~k = p~ = p~ez werde gestreut an
einem kugelsymmetrischen Potential
V (r) =
−Ze2
exp(−µr)
r
mit µ > 0.
a) (6 Punkte) Die Lösung des Streuproblems für ein solches Potential (mit asymptotisch
auslaufenden Kugelwellen) ist gegeben durch
ψ
(+)
2m
~
(~k; ~r ) = ei k·~r − 2
~
Z
0
1 eik|~r−~r |
dr
V (r0 )ψ (+) (~k; ~r 0 ).
4π |~r − ~r 0 |
3 0
Entwickeln Sie diesen Ausdruck für |~r | → ∞ für ein Potential mit endlicher Reichweite
und zeigen Sie, dass in führender Ordnung der Entwicklung gilt:
Z
~r
ei kr m
~0 0
(+) ~
i ~k·~
r
∼
d3 r0 e−ik ·~r V (r0 )ψ (+) (~k; ~r 0 ), ~k 0 = k
ψ (k; ~r) = e
−
2
r 2π~
|~r |
i kr
e
~
= ei k·~r +
f~ (ϑ, ϕ).
r k
Hinweis: (1 + x)n = 1 + nx + . . .
b) (2 Punkte) Was ist die Bornsche Näherung für die Streuamplitude? Geben Sie f~k (ϑ, ϕ)
in Bornscher Näherung an.
c) (10 Punkte) Berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt
Näherung als Funktion des Streuwinkels ϑ mit ~k · ~k 0 = k 2 cos ϑ.
Hinweis: 1 − cos ϑ = 2 sin2 ϑ2 .
dσ
dΩ
in Bornscher
d) (2 Punkte) Betrachten Sie den Grenzfall mit µ → 0. Welcher physikalische Streuprozess wird durch dieses Ergebnis beschrieben? Wie verhält sich der differentielle
Wirkungsquerschnitt in diesem Fall für kleine Streuwinkel ϑ? Worauf ist dieses Ergebnis zurückzuführen?
Aufgabe K2 (40 Punkte)
Gegeben sei ein System von N nichtrelativistischen Fermionen in einem Volumen V, die sich
durch Wirkung eines äußeren Magnetfeldes alle im gleichen Spinzustand ν = + 12 befinden.
Zwischen den Fermionen wirke eine Zweiteilchenwechselwirkung, welche den Spin unverändert
lässt und gegeben sei durch
V (|~ri − ~rj |) = −V0
1
exp(−µ|~ri − ~rj |),
|~ri − ~rj |
V0 > 0, µ ≥ 0.
Es gebe kein weiteres äußeres Potential. Benutzen Sie im Folgenden das Hartree-FockVerfahren, um näherungsweise die Grundzustandsenergie dieses Systems zu bestimmen. Als
Basiszustände verwende man ebene Wellen |~p i.
2
a) (4 Punkte) Stellen Sie ausgehend von der allgemeinen Form des Hamiltonoperators in
Hartree-Fock-Näherung
(
)
N X
N
N h
i
X
X
ĤHF =
α|t̂|β +
hλ, α|V̂ |λ, βi − hλ, α|V̂ |β, λi a+
α aβ
α=1 β=1
λ=1
die (formalen) Hartree-Fock-Gleichungen für diesen Fall auf.
b) (10 Punkte) Bestimmen Sie zuerst die Matrixelemente für das Hartree-Potential
X
h~p1 |UH |~p2 i =
h~p3 , p~1 |V̂ |~p3 , p~2 i.
p
~3 ∈F
Was ist die physikalische Bedeutung dieses Potentials?
Hinweise: Werten Sie das Matrixelement aus mit Hilfe der Näherung
Z
Z
1
1
3
d r1 V (|~r1 − ~r2 |) ≈
d3 rV (|~r |).
V
V
R∞
R 3
dx xn exp(−x) = n!
d r exp(− ~i (~p1 − p~2 ) · ~r ) = Vδp~1 ,~p2 .
0
c) (12 Punkte) Bestimmen Sie die Matrixelemente für das Fock-Austauschpotential
X
h~p1 |UF |~p2 i =
h~p3 , p~1 |V̂ |~p2 , p~3 i.
p
~3 ∈F
Führen Sie die Summe über p~3 noch nicht aus. Hinweise: Benutzen Sie, dass aufgrund
der Impulserhaltung p~1 + p~3 = p~2 + p~3 und daher p~1 = p~2 ist. Verwenden Sie die
Näherung
Z
Z
1
i
1
i
3
d r1 exp[− ~q · (~r1 − ~r2 )]V (|~r1 − ~r2 |) ≈
d3 r exp[− ~q · ~r ]V (|~r |).
V
~
V
~
d) (4 Punkte) Geben Sie jetzt den gesamten Hamiltonoperator in Hartree-Fock-Näherung
mit den von Ihnen berechneten Matrixelementen an. Vergleichen Sie den Hartree-Term
mit dem Fock-Term bei verschwindendem Impulsübertrag ~q = p~3 − p~1 = ~0. Betrachten
Sie den Grenzwert µ → 0 und zeigen Sie, dass als Beitrag der Wechselwirkung verbleibt
X X 4πV0 ~2 X
1
a+
δ
p
~
,~
p
~2 .
~1 ap
2 1 2 p
V
(~
p
−
p
~
)
1
3
p
~
∈F
p
~1 ∈F p
~2 ∈F
3
p
~3 6=p
~1
Warum sind die Impulseigenzustände zur Lösung der Hartree-Fock-Gleichungen geeignet?
e) (10 Punkte) Bestimmen Sie im Grenzfall µ → 0 die Hartree-Fock-Einteilchenenergien
εHF (~p ) und berechnen Sie die Hartree-Fock-Energie EHF und die Energie E0 des Grundzustands in Hartree-Fock-Näherung. Führen Sie dazu die verbleibenden Impulssump2F
men aus. Drücken Sie das Ergebnis durch die Fermi-Energie F = 2m
, den FermiImpuls pF , die Teilchenzahl N und V0 aus. Hinweise: Ersetzen
kinetischen
R den
P Sie für
d3 p
Term für den Grenzfall großer Volumina V näherungsweise p~ → V (2π~)3 . Benutzen
Sie, dass näherungsweise gilt
2
X X
1
V
4π
→
6πpF p3F .
2
3
(~p1 − p~3 )
(2π~)
3
p
~ ∈F
p
~1 ∈F
3
p
~3 6=p
~1
3
Aufgabe K3 (40 Punkte)
Der Hamiltonoperator eines freien Dirac-Teilchens mit Masse m und Ladung e ist gegeben
durch H = α
~ · p~ + βm. Hinweis: Verwenden Sie im Folgenden rationalisierte Einheiten, d.h.
~ = 1 und c = 1.
~ wobei L
~ = ~r × p~ der Bahndrehima) (5 Punkte) Berechnen Sie den Kommutator [H, L],
pulsoperator ist. Was bedeutet das Ergebnis?
~ ] mit dem Dirac-Spinoperator für
b) (5 Punkte) Berechnen Sie den Kommutator [H, 21 Σ
1
das relativistische Spin- 2 -Teilchen. Was bedeutet dieses Ergebnis?
c) (2 Punkte) Aufgrund der Rotationsinvarianz der freien Dirac-Gleichung erwartet man,
dass der Drehimpuls erhalten ist. Wie lässt sich das mit dem Ergebnis aus a) und b)
vereinbaren? Wie lautet der erhaltene Drehimpuls?
Das Dirac-Teilchen bewege sich nun in einem zeitlich und räumlich konstanten magnetischen
~ = B0 ~ez mit zugehörigem Vektorpotential A(~
~ r ) = 1B
~ × ~r. Für das elektrische
Feld B
2
Potential gelte φ = 0.
d) (6 Punkte) Wie lautet jetzt der Dirac-Hamiltonoperator, der die Bewegung des Teilchens
im Magnetfeld beschreibt? Leiten
Sie aus der zeitunabhängigen Dirac-Gleichung Hψ =
ϕ
Eψ mit dem Ansatz ψ = χ das gekoppelte Gleichungssystem für die zweikomponentigen Spinoren ϕ und χ ab.
e) (10 Punkte) Eliminieren Sie die χ-Komponenten und zeigen Sie, dass ϕ im nichtrelativistischen Grenzfall der folgenden Pauli-Gleichung genügt (W = E − m):
2
1 ~ − e ~σ · B
~ ϕ = W ϕ.
p~ − eA
2m
f) (8 Punkte) Zeigen Sie, dass mit dem angegebenen Vektorpotential gilt
~ · p~ + p~ · A
~=B
~ · L.
~ Bestimmen Sie den entsprechenden Wechselwirkungsterm in der
A
Pauli-Gleichung aus e).
~ ·B
~ und S
~ ·B
~
g) (4 Punkte) Bestimmen Sie aus dem Vergleich der Kopplungsterme mit L
~ den Spin-g-Faktor des Teilchens.
mit dem nicht-relativistischen Spinoperator S
Hinweise:
~
σ
0
~ =
α
~=
, β=
, Σ
, ijk lmk = δ il δ jm − δ im δ jl
0 ~σ
[σ i , σ j ] = 2i ijk σ k , {σ i , σ j } = 2 δ ij 11, (~a · ~σ ) ~b · ~σ = ~a · ~b + i~σ · (~a × ~b)
0 ~σ
~σ 0
11
0
0 −11
4
