Universität Tübingen Fachbereich Mathematik Professor Dr. R

Universität Tübingen
Fachbereich Mathematik
Professor Dr. R. Schätzle
Florian Skorzinski
13.07.16
Fourier-Analysis
SS 2016
12.Übung
AUFGABE 45:
X sei ein topologischer Vektorraum, dessen Topologie durch eine invariante Metrik erzeugt
wird, d.h. d(x + z, y + z) = d(x, y) für x, y, z ∈ X . Zeigen Sie eine Folge in X ist
eine Cauchyfolge in X als topologischem Vektorraum genau dann, wenn die Folge eine
Cauchyfolge bezüglich d ist, insbesondere ist X in einer invarianten, die Topologie
erzeugenden Metrik vollständig, so ist X in jeder invarianten, die Topologie erzeugenden
Metrik vollständig.
AUFGABE 46:
∞ (Ω) bzw. D , K ⊆ Ω kompakt, Ω ⊆ Rn offen, seien die lokalkonvexen topologischen
Cloc
K
Vektorräume mit der invarianten Metrik
d(ϕ, ψ) :=
∞
X
2−N min(1, k ϕ − ψ kN,ΩN ),
N =1
wobei ΩN ⊆ ΩN +1 offen, ΩN ⊆ Ω kompakt und Ω = ∪∞
N =1 ΩN . Zeigen Sie keiner der
Bälle
B̺ (0) bzw. B̺ (0) ∩ DK für ̺ > 0
∞ (Ω) bzw. D
ist in Cloc
K beschränkt.
AUFGABE 47:
Zeigen Sie die stetigen linearen Funktionale auf C0∞ (Ω) mit Ω ⊆ Rn offen, d.h. die
Distributionen auf Ω , sind separierend auf C0∞ (Ω) .
(Bemerkung: Mit dem Satz von Hahn-Banach ist für jeden lokalkonvexen topologischen
Vektorraum X der Dualraum X ∗ separierend.)
Zeigen Sie ϕk → ϕ konvergiert in der schwachen Topologie auf C0∞ (Ω) aus Aufgabe 43
genau dann, wenn
ϕk → ϕ in C0∞ (Ω).
Schliessen Sie
idC0∞ (Ω) : C0∞ (Ω) → C0∞ (Ω)w := C0∞ (Ω), schwache Topologie
ist stetig und die Inverse ist folgenstetig. Zeigen Sie idC0∞ (Ω) ist kein Homoemorphismus
6 C0∞ (Ω)w .
und schliessen Sie C0∞ (Ω) ∼
=
(Hinweis: Schliessen Sie aus ϕk → ϕ schwach in C0∞ (Ω) mit dem Prinzip der gleichmässigen Beschränkheit in L1 (Ω)∗ = L∞ (Ω) , dass {∂ γ ϕk }k∈N für alle Multiindices
γ beschränkt in L∞ (Ω) ist.
Zeigen Sie, falls ∪∞
k=1 supp ϕk 6⊆ K für alle kompakten K ⊆ Ω , so existiert nach Überk−1
gang zu einer Teilfolge xk ∈ Ω − ∪l=1
supp ϕl , ϕk (xk ) 6= 0 und xP
haben keik
∞
nen Häufungspunkt in Ω . Betrachten Sie nun die Distribution Λ :=
k=1 αk δxk ∈
C0∞ (Ω)∗ mit geeigneten αk ∈ C .
(Bemerkung: Da {ϕk |k ∈ N} in C0∞ (Ω) schwach beschränkt ist, ist diese Menge auch in
C0∞ (Ω) beschränkt, siehe [Ru-b] 3.18.)
Schliessen Sie, wenn idC0∞ (Ω) ein Homoemorphismus wäre, so wäre auch idDK : DK →
DK,w ein Homoemorphismus, was aber mit Aufagbe 47∗ nicht der Fall ist.)
AUFGABE 47∗ :
∞ (Ω) mit Ω ⊆ Rn offen, sind separieZeigen Sie die stetigen linearen Funktionale auf Cloc
∞
∞ (Ω) aus
rend auf Cloc (Ω) , und ϕk → ϕ konvergiert in der schwachen Topologie auf Cloc
Aufgabe 43 genau dann, wenn
∞
(Ω).
ϕk → ϕ in Cloc
Schliessen Sie
∞
∞
∞
∞ (Ω) : C
idCloc
loc (Ω) → Cloc (Ω)w := Cloc (Ω), schwache Topologie ,
idDK : DK → DK,w für K ⊆ Ω kompakt,
sind stetig und die Inversen sind folgenstetig. Zeigen Sie
∞
(Ω)w
Cloc
und DK,w für int(K) 6= ∅
∞ (Ω) ∼
6
besitzen keine abzählbaren lokalen Umgebungsbasen bei 0 , insbesondere Cloc
=
∞
∼
6 DK,w für int(K) 6= ∅ .
Cloc (Ω)w und DK =
∞ (Ω) mit dem Prinzip der gleichmässi(Hinweis: Schliessen Sie aus ϕk → ϕ schwach in Cloc
gen Beschränkheit in L1 (K)∗ = L∞ (K) für alle kompakten K ⊆ Ω , dass {∂ γ ϕk }k∈N
für alle Multiindices γ beschränkt in L∞ (K) ist.
Zeigen Sie, würden abzählbare viele Seminormen (k . kΛk )k∈N , Λk ∈ X ∗ , X =
∞ (Ω) oder D
Cloc
K , aus Aufgabe 43 bereits die schwache Topologie von X erzeugen,
so wäre X ∗ = span{Λk |k ∈ N} . Da aber {δx }x∈Ω oder int(K) ⊆ X ∗ linear unabhängig
∞ (Ω) oder D mit int(K) 6= ∅ ist, ist dies nicht möglich.)
und überabzählbar für X = Cloc
K
AUFGABE 48:
Zeigen Sie eine Folge von Distributionen Λk , Λ auf Ω ⊆ Rn offen, d.h. Λk , Λ ∈ C0∞ (Ω)∗ ,
konvergiert Λk → Λ in der schwach∗ Topologie auf C0∞ (Ω)∗ aus Aufgabe 43 genau dann,
wenn
Λk ϕ → Λϕ für alle ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Zeigen Sie in diesem Fall weiter für alle Multiindices γ
∂ γ Λk → ∂ γ Λ
schwach∗ in C0∞ (Ω)∗ .
AUFGABE 48∗ :
Für Distributionen Λk ∈ C0∞ (Ω)∗ mit Ω ⊆ Rn offen existiere
Λϕ := lim Λk ϕ für alle ϕ ∈ C0∞ (Ω).
k→∞
Zeigen Sie Λ ∈ C0∞ (Ω)∗ und Λk → Λ schwach∗ in C0∞ (Ω)∗
∞ (Ω) , dass
ψ in Cloc
ψk Λk → ψΛ schwach∗ in C0∞ (Ω)∗ .
und weiter für
ψk →
(Hinweis: Verwenden Sie das Prinzip der gleichmässigen Beschränkheit auf den FrechetRäumen DK .)
Keine Abgabe.
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