Hochschule Karlsruhe Fakultät für Elektro

Hochschule Karlsruhe
Fakultät für Elektro- und Informationstechnik
Prof. Dr. Stefan Ritter
Übungsblatt 5
Höhere Mathematik 1 für Ingenieure der Informationstechnik
Aufgabe 1
Ein Schienenfahrzeug wird gemäß der Skizze gezogen mit
|F~1 | = 200N, α1 = 45◦ ,
|F~2 | = 400N, α2 = −30◦ .
Ermitteln Sie die resultierende Kraft F~R und ihre Richtung
gegen die Schienen
a) durch trigonometrische Berechnung,
b) durch Rechnung in einem geeigneten Koordinatensystem.
Aufgabe 2
Gegeben sind die Vektoren ~a = (−2, 3, 1), ~b = (2, −3, −1).
a) Berechnen Sie den Vektor ~c so, daß gilt: 2~a − 3~c = 4~b.
b) Bestimmen Sie die Einheitsvektoren in Richtung von ~a und ~b.
Aufgabe 3
Zum Vektor ~a soll ein Vielfaches des Vektors ~b addiert werden, so daß die Summe von ~a und
λ~b auf ~c senkrecht steht. Wie muß man λ wählen?
Geben Sie zunächst die allgemeine Lösung an und berechnen Sie λ anschließend für die speziellen Vektoren
 




6
0
−2
~a =  1  , ~b =  3  , ~c =  3  .
1
−1
5
Aufgabe 4
Gegeben ist der Vektor ~a = (1, 2, 0). Bestimmen Sie alle Vektoren ~v für die gilt ~a · ~v = 0.
Aufgabe 5
Gegeben sind die Vektoren ~a und ~b. Bestimmen Sie die Projektion w
~ 1 und das Lot w
~ 2 von ~a
auf ~b:
a) ~a = (−2, −1, 2) und ~b = (−5, 3, 4),
b) ~a = (7, −2, 2) und ~b = (1, 1, −2).
Aufgabe 6
Gegeben sind die Vektoren ~a = (1, −2, 1), ~b = (1, 0, 1) und ~c = (1, 0, −1). Berechnen Sie:
a) die Skalarprodukte ~a · ~b, ~b · ~c und ~a · ~c,
b) die Vektorprodukte ~a × ~c, ~b × ~c und (~a + ~c) × (~b + ~c),
c) das Spatprodukt [~a, ~b, ~c].
Aufgabe 7
Beweisen Sie:
a) ~a + ~b + ~c = ~0 ⇒ ~a × ~b = ~b × ~c = ~c × ~a,
b) ~a ⊥ ~b ⇒ ~a × (~a × (~a × (~a × ~b))) = |~a|4 ~b.
Aufgabe 8
Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Geraden g : 8x + 15y + 170 = 0 im R2 .
Aufgabe 9
Gegeben sind die Gerade g : 4x − 3y + 15 = 0 im R2 sowie die Punkte P1 (2, 1), P2 (−3, 6)
und P3 (−6, −3). Welche der Punkte Pi , i = 1, 2, 3 und O(0, 0) liegen auf g? Berechnen Sie
den Abstand di von Pi und g, i = 1, 2, 3.
Aufgabe 10
E sei die Ebene im R3 , die durch die Punkte P1 (0, 0, 1), P2 (1, −1, 0) und P3 (−2, 1, 1) geht.
a) Bestimmen Sie die Punkt-Richtungsform von E,
b) Bestimmen Sie eine (Koordinaten-)Gleichung von E,
c) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform von E.
Aufgabe 11
Die Ebene E gehe durch den Schnittpunkt der drei Ebenen 2x + y − z = 2, x − 3y + z = −1,
x + y + z = 3 und verläuft parallel zur Ebene x + 2y + z = 0. Bestimmen Sie die PunktRichtungsform von E.
Aufgabe 12
Falls die Ebenen E1 und E2 im R3 sich schneiden, so bestimmen Sie die Punkt-Richtungsform
der Schnittgeraden g sowie den Winkel ϕ ∈ [0, π2 ) zwischen E1 und E2 . Falls die Ebenen
zueinander parallel sind, berechnen Sie deren Abstand d:
a) E1 : 4x + 11y − 9z = 6, E2 : x + 14y − 6z = 9,
b) E1 : 2x − 5y + 3z = 5, E2 : − 4x + 10y − 6z = 8,
c) E1 : x − 3y + 3z = −2, E2 : 3x + 2y + z = 5.
Aufgabe 13
Gegeben sei die Gerade g, die von den Punkten P1 (2, 1, 1) und P2 (5, 2, 3) aufgespannt wird.
Bestimmen Sie:
a) eine Parameterdarstellung von g,
b) die Koordinaten den Schnittpunkts S von g mit der y, z-Ebene,
c) die Koordinaten des Fußpunkts Q des Lots von P0 (−1, 3, −1) auf g,
d) den Abstand d des Punkts P0 (−1, 3, −1) von g.
Aufgabe 14
Ein in Richtung ~a = −~e3 durch den Punkt P1 (1, 2, 4) im Medium M1 verlaufender Lichtstrahl
wird an der Ebene E : x + y − z = 2 gebrochen und verläuft im Medium M2 durch den Punkt
P2 (2, 3, −3).
a) Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes A in dem der Lichtstrahl die Ebene E
trifft,
b) Geben Sie eine Gleichung des Lichtstrahls im Medium M2 an,
sin α1
, wobei α1 und α2 diejenigen Winkel sein
c) Bestimmen Sie das Brechungsverhältnis sin
α2
sollen, die der Lichtstrahl in den Medien M1 und M2 mit der Ebenennormalen bildet 0 ≤
α1 , α2 ≤ π2 .
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