Hausaufgabe zur Vorlesung Statistik für Hydrowissenschaften Abgabe

Hausaufgabe zur Vorlesung
Statistik für Hydrowissenschaften
Abgabe: 25. Woche (19.06.-23.06.17) in der Übung oder in der Vorlesung
1. a) Berechnen Sie für die Werte des Datensatzes 2 (Durchschnittliche
Lufttemperatur für die Monate Juni, Juli und August) pro Monat die
statistischen Maßzahlen arithmetisches Mittel, Median, empirische Varianz s2n−1 , Standardabweichung und Quartilsabstand. Stellen Sie die
Datenverteilungen pro Monat als Boxplots dar.
b) Berechnen Sie die Reihe der Differenzen di , i = 1, ..., 48, aller
Messwerte von den zugehörigen Monatsmittelwerten xj (aus Aufgabenteil a)). Stellen Sie die Verteilung der Differenzen durch ein Histogramm und einen QQ-Plot dar.
Hinweis: Verwenden Sie die Tabelle im Anhang.
c) Welche Schlussfolgerung ziehen Sie aus diesen Graphiken im Hinblick auf die Gültigkeit der folgenden Verteilungsannahme (VA): Die
Differenzen di sind Realisierungen von unabhänigig und identisch verteilten Zufallsgrößen Di , i = 1, 2, ...48, (Di ∼ N(0, σ 2 ))?
2. Unter der Verteilungsannahme (VA) aus Aufgabe 1 bestimme man pro
Monat ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 - α = 0.95 für
die erwarteten Lufttemperaturen pro Monat j, j = 1, 2, 3.
3. Unter der Verteilungsannahme (VA) aus Aufgabe 1 prüfe man für
jeden Monat, ob die erwartete Lufttemperatur
a) gleich 80o F
b) größer als 75o F
ist. Wählen Sie das Signifikanzniveau α = 0.05.
4. Mit den Werten von Datensatz 2 prüfe man, ob sich die 3 Monate
bezüglich der Lufttemperatur wesentlich voneinander unterscheiden
(paarweise Vergleiche aller Monate mit dem doppelten t-Test).
5. Die Ereignisse A und B seien unabhängig und P(A)=0.4, P(B)=0.6.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt und A nicht
eintritt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt genau eines der Ereignisse ein?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt mindestens eines der Ereignisse
ein?
d) Es werden n = 200 Teilversuche durchgeführt und die Anzahl, wie
oft das Ereignis A in diesen Versuchen eintritt, beobachtet. Die zufällige Anzahl Xn wird als binominalverteilt mit p = 0.4 angenommen.
1
Bekanntlich folgt aus dem Zentralem Grenzwertsatz von Moivre - Laplace, dass folgendes für alle x ∈ R
lim P
n→∞
X −n·p
p n
≤x
n · p(1 − p)
!
= Φ(x)
gilt, wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
bezeichnet.
Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten näherungsweise mit
Hilfe der Funktion Φ.
P(X n ≤ 70)
P(X n > 90)
P(| X n − 80 |≤ 6)
6. Unter Verwendung der Maximum-Likelihood-Methode ist der Parameter λ (λ > 0) der Poissonverteilung zu schätzen (vgl. Aufgabe 3.4 aus
dem Übungsheft).
Hinweis: Die Log-Likelihood-Funktion lautet
l(λ) =
n
X
(xi ln(λ) − ln(xi )) − n · λ
i=1
Datensatz 2.
Nr. Jahr
1
1944
2
1945
3
1946
4
1947
5
1948
6
1949
7
1950
8
1951
9
1952
10 1953
11 1954
12 1955
13 1956
14 1957
15 1958
16 1959
Juni
77
72
76
74
78
75
75
73
82
79
78
69
74
75
72
72
Juli
77
76
78
74
80
79
73
78
81
80
83
80
77
76
76
75
August
77
76
74
83
76
74
70
78
77
78
80
79
77
74
74
76
2