¨Ubungen zu Stochastische Prozesse Prof. Wolfgang Woess, WS

Übungen zu Stochastische Prozesse
Prof. Wolfgang Woess, WS 2016/17
16.)
Erneuerungssatz von Blackwell, diskreter Fall.
Seien (Yn )n≥1 eine Folge nichtnegativer, ganzzahliger, unabhängiger & identisch verteilter
Zufallsvariablen (Wartezeiten), Sk = Y1 + · · · + Yk , und
Nn =
∞
∑
1[0,n] (Sk )
k=0
der zugeordnete Erneuerungsprozess (in diskreter Zeit, da die Erneuerungs-Ereignisse nur
zu ganzzahligen Momenten stattfinden können). Sei
fk = P[Yn = k] ,
k ∈ N0
und un = E(Nn − Nn−1 ).
Wir nehmen ohne Einschränkung der Allgemeinheit an dass ggT{k : fk > 0} = 1.
(a) [2 Punkte] Stellen Sie eine Beziehung zwischen un und den Wahrscheinlichkeiten
P[Sn = k] her, und berechnen Sie u0 mittels (einer) der Zahlen fk .
(b) [3 Punkte]
Zeigen Sie, dass für n ≥ 1,
un =
n
∑
fk un−k .
k=0
(c) [1 Punkt] Verwenden Sie (a), um zu verifizieren, dass sich die Zahlen fk∗ = u0 fk
(k ≥ 1) zu 1 summieren, definieren Sie u∗n = un /u0 , und führen Sie die Formel aus (b) in
eine für u∗n und fk∗ über.
(d) [3 Punkte]
Betrachten Sie die Markovkette auf N mit Übergangswahrscheinlichkeiten
p(1, k) = fk∗
und p(k + 1, k) = 1 ,
k ∈ N.
(Alle anderen Übergangswahrscheinlichkeiten = 0.) Benützen Sie diese, um lim u∗n mittels
n→∞
der Zahlen fk∗ auszudrücken. Leiten Sie daraus her, dass
lim un = 1/E(Y1 ) .
n→∞
17.) Seien (X , P ) der Zustandsraum und die Übergangsmatrix einer Markovkette (Xn )n≥0 ,
⊎
und X = i∈I Xi eine Partition von X , mit der natürlichen Projektion π : X → I.
(a) [2 Punkte] Zeigen Sie: wenn
p̄(i, j) =
∑
p(x, y)
y∈Xj
von der Wahl von x ∈ Xi unabhängig ist, so ist X̄n = π(Xn ) eine Markovkette mit
Übergangsmatrix P̄ .
(b) [2 Punkte] Wenn P eine stationäre Verteilung ν hat, verwenden Sie diese, um eine
stationäre Verteilung von P̄ zu finden.
18.) (a) [1 Punkt] Der Hypercubus der Dimension N ist der Graph mit Knotenmenge
{0, 1}N und (ungerichteten) Kanten zwischen jenen Knoten, die sich in genau einer Koordinate unterscheiden. Die einfache Irrfahrt auf dem Hyperkubus ist die Markovkette mit
Übergangswahrscheinlichkeiten 1/N zwischen benachbarten Knoten. Bestimmen Sie die stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Irrfahrt.
(b) [3 Punkte]
Das Ehrenfest-Modell (1911) Ein Behälter enthält N Moleküle.
Weiters ist er durch einen “Wand” mit einer kleinen Membran in zwei Hälften (Seiten) A
und B geteilt (siehe Skizze). Zu jedem der aufeinanderfolgenden Zeitpunkte passiert ein
zufällig (gleich wahrscheinlich) unter allen N ausgewähltes Molekül die Membran in die
andere Hälfte des Behälters.
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A ◦
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◦
◦
◦
◦ ◦
◦ ◦◦ ◦
◦
◦
B
◦
◦ ◦◦ ◦
◦
◦
◦ ◦ ◦
◦
◦
Unsere Markovkette Xn beschreibt die zufällige Anzahl der Moleküle im Teil A zum Zeitpunkt n. Beschreiben Sie den Zustandsraum und die Übergangswahrscheinlichkeiten. Kombinieren Sie (a) mit Beispiel 14, um die stationäre Verteilung zu finden.
[Hinweis: stellen Sie sich vor, dass die Moleküle die Nummern 1, 2, . . . , N tragen, und verfolgen Sie die Moleküle in Teil A ≡ label 0.]
19.) [3 Punkte] Betrachten Sie einen Galton-Watson-Prozess mit allgemeiner nichttrivialer Nachkommens-Verteilung µ, mit Anfangszustand 1 (= “Urahn”).
∑
Sei s = s0 die Zeit, zu der die Population ausstirbt. Wenn µ = ∞
k=1 kµ(k) ̸= 1, zeigen Sie,
dass
E(s | s < ∞) < ∞ .
Hinweis: Sei f (z) die Wahrscheinlichkeits-erzeugende Funktion von µ und p = P[s < ∞] die
Aussterbe-Wahrscheinlichkeit. Stellen Sie eine Beziehung zwischen P[s > n | s < ∞] und
f (z) (sowie den Iterierten dieser Funktion) her, und wenden Sie auf f (z) den Mittelwertsatz
an [ f (b) − f (a) = (b − a)f ′ (ξ) ].
20.) [3 Punkte] Betrachten Sie einen Galton-Watson-Prozess mit allgemeiner nichttrivialer Nachkommens-Verteilung µ, mit Anfangszustand 1. Nehmen Sie an, dass die Population fast sicher ausstirbt. Seien
Sn =
n
∑
k=0
Xk
und S =
∞
∑
Xk
k=0
die Anzahl der Population bis zum Zeitpunt n, bzw. die Gesamtzahl der Population bis zu
deren Aussterben. →
Seien
hn (z) = E(z Sn ) und h(z) = E(z S )
die zugeordneten Warscheinlichkeits-erzeugenden Funktionen. Finden Sie eine Rekursion
für hn (z) und eine implizite Gleichung für h(z), ausgedrückt durch die Warscheinlichkeitserzeugende Funktion f (z) von µ.
Hinweise: bedingen Sie auf die möglichen Werte von X1 und erinneren Sie sich daran, dass
jedes Mitglied der Population als der “Urahn” eines genealogischen Baums mit denselben
Charaktersitika gesehen werden kann.
21.) Wir betrachten den Galton-Watson-Prozess mit der folgenden Nachkommens-Verteilung: jedes Mitglied der Population führt sukzessive unabhängige Münzwürfe durch, wobei
die Wahrscheinlichkeit von “Kopf” θ ∈ (0 , 1) und die Wahrscheinlichkeit von “Zahl” 1 − θ
ist. Bei jedem Münzwurf von “Kopf” wird ein weiterer Nachkomme produziert, so lange bis
zum ersten Mal “Zahl” kommt. D.h., wenn k mal hintereinander “Kopf” und dann “Zahl”
geworfen wird, ist die Zahl der Nachkommen k.
(a) [2 Punkte] Schreiben Sie die Nachkommensverteilung an, bestimmen Sie ihre Wahrscheinlickeits-erzeugende Funktion und die Wahrscheinlichkeit, dass die Population ausstirbt.
(b) [3 Punkte] Berechnen Sie für dieses Beispiel die Funktion h(z) aus Aufgabe 18, und
verwenden Sie den binomischen Lehrsatz, um h(z) in eine Potenzreihe zu entwickeln, um so
explizite Formeln für P[S = n], n ∈ N0 zu erhalten.
22.) [3 Punkte]
Sei (Nt )t≥0 ein Erneuerungsprozess ohne anfängliche Verzögerung
(“pure”), dessen Wartezeiten gemäß der Dichtefunktion
f (x) = λ2 xe−λx 1(0 ,∞) (x)
verteilt sind. Berechnen sie die Verteilung von Nt .