Übungen zur Linearen Algebra I Blatt 6 = B f1 := e1(e1 − e0)2, f2

Fakultät für Mathematik
Fachgebiet Mathematische Informatik
Donnerstag, 24. November 2011
Prof. Dr. dr. h. c. Heiner Gonska
Maria Rusu, M.Sc.
Dipl.-Math. Dimitri Drapkin
Übungen zur Linearen Algebra I
Blatt 6
Aufgabe 6.1 (5 Punkte). Die konjugiert-transponierte Matrix C ∗ einer Matrix C mit komplexen
Einträgen Cij ist definiert durch Cji∗ := Cij . Seien m, n, p ∈ N und A ∈ Cm×n , B ∈ Cn× p . Zeigen
Sie, dass
( AB)∗ = B∗ A∗ .
Aufgabe 6.2 (4+2 Punkte). Sei V ein Vektorraum über dem Körper F ⊂ C. Zeigen Sie:
(a) Wird V von endlich vielen Vektoren aufgespannt, so ist V von endlicher Dimension.
(b) Sind v1 , v2 , v3 ∈ V linear unabhängig, so sind auch v1 + v2 , v2 + v3 und v3 + v1 linear
unabhängig.
Aufgabe 6.3 (3 Punkte). Betrachten Sie die Vektoren
α1 = (1, 0, −1, −2), α2 = (−1, −4, 0, −9), α3 = (−3, −4, 2, −5)
im R4 und finden Sie ein homogenes Gleichungssystem dessen Lösungsraum genau durch
die drei gegebenen Vektoren aufgespannt wird.
Aufgabe 6.4 (4+4+4 Punkte). Für i ∈ N0 sei ei : R 3 x 7→ xi ∈ R. Ferner seien
f 1 := e1 (e1 − e0 )2 , f 2 := (3e0 − 2e1 )e2 , f 3 := (e1 − e0 )e2 .
Schließlich bezeichne W1 := span{e0 , e1 } und W2 := span{ f 1 , f 2 , f 3 }.
(a) Weisen Sie die lineare Unabhängigkeit der Menge A := { f 1 , f 2 , f 3 } nach, indem Sie ein
geeignetes homogenes lineares Gleichungssystem lösen.
(b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Funktion e3 bezüglich der geordneten Basis { f 1 , f 2 , f 3 }
von W2 oder zeigen Sie, dass e3 ∈
/ W2 .
(c) Bestimmen Sie dim W1 , dim W2 , dim(W1 ∩ W2 ) sowie dim(W1 + W2 ).
Abgabetermin: Donnerstag, 1. Dezember 2011 bis 10:00 Uhr, Postkästen, 4. Etage, Gebäude LE.