Repetitorium zur Linearen Algebra I
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FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK,
Dipl.-Math. Frank Osterbrink
Dipl.-Math. Natascha Scheibke
14.03.16 - 18.03.16
Repetitorium zur Linearen Algebra I - Ein Quicky
Frage 1: Die Menge Z der ganzen Zahlen ist
2 mit der üblichen Addition eine abelsche Gruppe,
2 mit der üblichen Multiplikation eine abelsche Gruppe,
2 mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Ring mit Eins.
Frage 2: Seien V ein endlichdimensionaler K−Vektorraum und U, W ⊂ V Untervektorräume.
Dann gilt stets:
2 dim(U ) < dim(V ),
2 dim(U ) = dim(W ) =⇒ U = W ,
2 dim(U ∩ W ) = dim(U ) − dim(W ),
2 dim(U ) = dim(V ) =⇒ U = V .
Frage 3: Ist (v1 , v2 , v3 , . . . , vn ) eine Familie von paarweise linear unabhängigen Vektoren, so
2 ist (v1 , v2 , v3 , . . . , vn ) linear unabhängig,
2 sind die Vektoren in (v1 , v2 , v3 , . . . , vn ) paarweise verschieden,
2 kann jeder Vektor w ∈ span(v1 , v2 , v3 , . . . , vn ) eindeutig als Linearkombination der Vektoren v1 , v2 , v3 , . . . , vn dargestellt werden,
Frage 4: Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
2 N, + , · ist ein Ring,
2 R[X], + , · ist ein Vektorraum,
2 C, · ist eine Gruppe,
2 {−1, 1}, · ⊂ R \ {0}, · ist eine Untergruppe.
Frage 5: Ist n ≥ 3 und B = {v1 , v2 , v3 , . . . , vn } eine Basis des Vektorraums V, so gilt:
2 Die Familie (v1 , v2 , v3 , . . . , vn−2 ) ist linear abhängig,
2 B ist ein minimales Erzeugendensystem,
2 Es gibt w ∈ V \ {0}, so dass B ∪ {w} eine Basis von V ist,
2 Es gibt w ∈ V \ {0}, so dass B ∪ {w} ein Erzeugendensystem von V ist.
