Musterlösung zu Blatt 11 - Mathematik, TU Dortmund

Musterlösung zu Blatt 11
Hilberträume und Quantenmechanik, Sommersemester 2014
41 Nach Satz 12.20 (Schmidt-Darstellung) gibt es zu dem kompakten Operator S mit
der monoton fallenden Folge singulärer Zahlen (sj )j∈N0 = (sj (S))j∈N0 , bestehend aus
den nicht-negativen reellen Eigenwerten des positiven Operators |S|, Orthonormalsysteme {ej }j∈N0 in H und {fj }j∈N0 in G mit
Sx =
∞
X
sj hx|ej ifj
und |S|x =
j=0
∞
X
sj hx|ej iej
für x ∈ H .
j=0
a) zu zeigen: sj (S) = 0 ⇔ rk S ≤ j ,
j ∈ N0
Es ist rk S = dim R(S). Die Monotonie der Folge nicht-negativer Zahlen (sj )
impliziert
sj (S) = 0 ⇔ sk (S) = 0 für alle k ≥ j ,
und die Behauptung folgt unmittelbar aus der Schmidt-Darstellung.
b) zu zeigen: sj (λS) = |λ| sj (S) ,
λ ∈ K , j ∈ N0
Die Behauptung folgt unmittelbar aus
|λS| = ((λS)∗ (λS))1/2 = (λS ∗ λS)1/2 = |λ||S| .
Bemerkung: Die Behauptung folgt auch unmittelbar aus dem MiniMax-Prinzip
(vgl. Teil c).
c) zu zeigen: sj+k (S + T ) ≤ sj (S) + sk (T ) ,
j, k ∈ N0
Nach dem MiniMax-Prinzip (Satz 12.15) gilt
sj (S) =
min
dim V ⊥ = j
max{h|S|x|xi | kxk ≤ 1, x ∈ V } ,
j ∈ N0 ,
wobei das Minimum über alle abgeschlossenen Unterräume V mit dim V ⊥ = j
gebildet wird. Nach 12.18 c) ist
sj (S) =
min
dim V ⊥ = j
kS|V k ,
j ∈ N0 .
Daher lassen sich abgeschlossene Unterräume V und W von H wählen, so dass
sj (S) = kS|V k mit dim V ⊥ = j und sk (T ) = kS|W k mit dim W ⊥ = k. Wegen
dim(V ∩ W )⊥ = dim(V ⊥ + W ⊥ ) ≤ dim V ⊥ + dim W ⊥ = j + k
und der Monotonie der Folge (sj+k (S + T )) folgt:
sj+k (S + T ) ≤ k(S + T )|V ∩W k ≤ kS|V k + kT |W k = sj (S) + sk (T )
d) zu zeigen: |sj (S) − sj (T )| ≤ kS − T k ,
j ∈ N0
Teil c) mit k = 0 liefert:
sj (S + T ) ≤ sj (S) + s0 (T ) = sj (S) + kT k
und
sj (T + S) ≤ sj (T ) + s0 (S) = sj (T ) + kSk
Daraus ergibt sich mit Hilfe der (modifizierten) Dreiecksungleichung:
|sj (S) − sj (T )| ≤ | kSk − kT k | ≤ kS − T k
1
e) zu zeigen: sj+k (SC) ≤ sj (S) · sk (C) ,
j, k ∈ N0
Nach dem MiniMax-Prinzip lassen sich abgeschlossene Unterräume V von H
und W von E wählen, so dass sj (S) = kS|V k mit dim V ⊥ = j und sk (C) =
kC|W k mit dim W ⊥ = k. Da C stetig und V abgeschlossen ist, ist auch das
Urbild U := C −1 (V ) ein abgeschlossener Unterraum von E. Dann ist sicherlich
dim U ⊥ ≤ j, und wie in Teil c) folgt mit
dim(U ∩ W )⊥ ≤ j + k ,
dass gilt:
sj+k (SC) ≤ k(SC)|U ∩W k ≤ kS|V k · kC|W k = sj (S) · sk (C)
f ) zu zeigen: sj (BSA) ≤ kBksj (S)kAk ,
j ∈ N0
Teil e) mit k = 0 liefert
sj (SA) ≤ sj (S) · s0 (A) = sj (S)kAk
auch für nur stetige Operatoren A ∈ L(E, H), wie sich an der letzten Ungleichungskette von Teil e) mit k = 0 sehen lässt. Desweiteren ergibt sich
sj (BS) ≤ kBksj (S)
unmittelbar aus dem MiniMax-Prinzip, und es folgt die Behauptung.
42 Es ist T = S+ D mit dem Rechts-Shift-Operator S+ und dem Diagonaloperator
1
D = diag( j+1
). Da die zu D gehörige Folge eine Nullfolge ist, ist D nach Beispiel
11.9 a) kompakt, und nach Satz 11.3 b) ist auch T kompakt. Somit existiert der
eindeutig bestimmte Absolutbetrag
|T | = (T ∗ T )1/2 ∈ K(`2 ) .
Mit
T ∗ = D∗ S− = DS−
folgt:
T ∗ T = DS− S+ D = D2
Da der Absolutbetrag eindeutig bestimmt ist, ist |T | = D. Die singulären Zahlen
von T sind offensichtlich
sj (T ) = λj (|T |) =
1
j+1
für j ∈ N0 .
Bemerkung: Offenbar ist T = S+ D = S+ |T | die Polarzerlegung von T (vgl. 12.19).
43 a) i) Durch
S(t)x :=
∞
X
e−λj t hx|ej iej
j=0
wird nach den Satz 12.3 für t > 0 ein kompakter und normaler Operator definiert, da
(e−λj t )j∈N0 eine Nullfolge ist, und die Reihe konvergiert unbedingt in der Operatornorm (Satz 12.2). Desweiteren ist S(0) = I.
2
ii) zu zeigen: S(t + s) = S(t)S(s)
Für t, s ≥ 0 und x ∈ H gilt:
S(t)S(s)x = S(t)
∞
X
e
−λj s
∞
X
hx|ej iej =
j=0
e−λj t he−λj s x|ej iej = S(t + s)x
j=0
iii) zu zeigen: kS(t + τ ) − S(t)k → 0 für τ → 0
Es sei x ∈ H. Wähle j0 ∈ N mit λj ≥ 0 für alle j ≥ j0 . Zu ε > 0 gibt es j1 ≥ j0 mit
∞
X
|e−λj0 τ − 1|2 |hx|ej i|2 ≤ ε2
∞
X
|hx|ej i|2
j=j1
j=j1
und δ > 0, so dass
e−2λ0 t |e−λ0 τ − 1|2 ≤ ε2
für alle τ ∈ (0, δ) gilt. Damit folgt dann
2
kS(t + τ )x − S(t)xk
=
∞
X
e−2λj t |e−λj τ − 1|2 |hx|ej i|2
j=0
j1 −1
≤
X
e
−2λ0 t
|e
−λ0 τ
2
2
− 1| |hx|ej i| +
j=0
≤ ε
|e−λj0 τ − 1|2 |hx|ej i|2
j=j1
j1 −1
2
∞
X
X
2
|hx|ej i| + ε
2
j=0
∞
X
|hx|ej i|2
j=j1
= ε2 kxk2
und somit:
kS(t + τ )x − S(t)xk ≤ εkxk
Daraus ergibt sich
kS(t + τ ) − S(t)k ≤ ε ,
und es folgt die Behauptung.
b) Wähle j0 ∈ N mit λj ≥ 0 für alle j ≥ j0 . Dann gilt
∞
X
2
|λj | |e
−λj t
2
hx0 |ej i| ≤
j=j0
∞
X
|λj |2 |hx0 |ej i|2 < ∞
j=j0
und somit x(t) ∈ D(A) für t ≥ 0. Für t, t + h ≥ 0 ist
∞
X
x(t + h) − x(t)
+ Ax(t) =
δj (t, h)ej
h
j=0
mit
δj (t, h) =
e−λj (t+h) − e−λj t
h
−λj t
+λj e
1
hx0 |ej i =
h
3
Z
0
h
1 − e−λj s dsλj e−λj t hx0 |ej i .
Zu ε > 0 gibt es j1 ≥ j0 mit
∞
X
|λj |2 |hx0 |ej i|2 ≤ ε2
j=j1
und somit:
∞
X
|δj (t, h)|2 ≤ ε2
j=j1
Schließlich gibt es δ > 0, so dass auch
j1 −1
X
|δj (t, h)|2 ≤ ε2
j=0
für alle h ∈ (0, δ) ist, und daraus folgt die Behauptung.
c) Wähle j0 minimal, so dass λj > 0 für alle j ≥ j0 gilt. Dann ist
j0 −1
P : x 7→
X
hx|ej iej
j=0
die orthogonale Projektion auf den endlichdimensionalen Eigenraum N (A) zum
Eigenwert 0, und für x ∈ H folgt:
2
kS(t)x − P xk =
∞
X
e−2λj t |hx|ej i|2 ≤ e−2λj0 t kxk2
j=j0
Es gilt daher
kS(t) − P k → 0 für t → ∞
und somit:
lim S(t) = P
t→∞
sawo
4