KAPITEL II DYNAMIK

KAPITEL II
DYNAMIK
1. NEWTON’SCHE GRUNDGESETZE
1.1 TRÄGHEITSGESETZ (1. Newton’sches Gesetz)
Wir beobachten die Bewegung einer rollenden Stahlkugel auf einer ebenen, waagerechten Fläche:
Auf rauer Auflagefläche, z.B. auf einem mit Schmirgelpapier belegtem Brett, kommt die Kugel nach
kurzer Wegstrecke zum Stillstand. Je geringer die Rauhigkeit der Auflagefläche aber wird, desto
weiter rollt die Kugel. Schließlich können wir bei ganz glatter Auflagefläche ohne aufwendige
Messverfahren keine Änderung der Geschwindigkeit beobachten.
Daraus folgern wir: Wenn es gelänge, alle äußeren Einflüsse von einem Körper fernzuhalten, dann
müsste er sich geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit weiterbewegen. Sein Bewegungszustand würde sich unter diesen idealisierten Bedingungen nicht ändern. Die Erfahrung zeigt: Von
selbst erhöht ein Körper seine Geschwindigkeit nicht, von selbst vermindert er seine
Geschwindigkeit nicht, von selbst ändert er seine Bewegungsrichtung nicht. Wir sagen dazu: Der
Körper ist träge. Beobachten wir aber, dass sich sein Bewegungszustand ändert, so schreiben wir
dieser Reaktion einer Ursache zu. Diese Ursache heißt Kraft.
Damit haben wir die Begriffe Trägheit und Kraft eng miteinander verknüpft.
1. Newton’sches Gesetz: Trägheitsgesetz
Wirkt auf einen Körper keine resultierende Kraft ein, so bleibt er entweder in Ruhe oder er
bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.
Die Masse m ist ein Maß für die Trägheit eines Körpers.
Das Trägheitsverhalten von Körpern lässt sich an einer Fülle von Beispielen aufzeigen:
BEISPIEL 1
Beim Anfahren oder Abbremsen von Fahrzeugen können wir die Trägheit des eigenen Körpers unmittelbar
erleben. Der Körper macht die Geschwindigkeitsänderung des Fahrzeuges nicht „freiwillig“ mit.
Beim Anfahren verharrt der Fahrgast aufgrund seiner Trägheit im Zustand der Ruhe, bis ihn eine Kraft
beschleunigt. Sitzt er dabei, spürt er, wie er „in die Rückenlehne gedrückt“ wird, oder richtiger, wie die
Rückenlehne „von hinten drückt“. Steht er in einem Fahrzeug, so kann die beschleunigende Kraft nur über
die Standfläche an den Füßen angreifen. Damit der Oberkörper im gleichen Maße wie die Füße mit
beschleunigt wird, muss sich der Fahrgast festhalten, sonst kippt er nach hinten.
Beim kräftigen Bremsen eines Fahrzeuges werden wir nach vorne geschleudert, da unser Körper seine
Geschwindigkeit beibehalten will. Sicherheitsgurte sollen dies verhindern, sie übertragen auf unseren
Körper die notwendige verzögernde Kraft.
BEISPIEL 2
Aus einem fast randvoll gefüllten Glas schwappt das Wasser über, wenn das Glas schnell in Bewegung
gesetzt wird.
BEISPIEL 3
Beim raschen Aufziehen einer Schublade rutschen lose liegende Gegenstände scheinbar nach hinten. In
Wirklichkeit verharren die Gegenstände aufgrund ihrer Trägheit in Ruhe, während die Schublade sich nach
vorne bewegt.
BEISPIEL 4
Unter einer gefüllten Wasserschale kann ein Blatt Papier ruckartig weggezogen werden, ohne dass sich
die Schale bewegt und ohne dass Flüssigkeit überschwappt.
BEISPIEL 5
Eine antriebslose Raumsonde, die sich weit entfernt von irgendwelchen Himmelskörpern bewegt, fliegt in
fast vollkommener Weise mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig weiter. Erst wenn sie sich einem
Himmelskörper so weit nähert, dass dessen Anziehungskraft deutlich wirksam wird, kann eine
Beschleunigung der Sonde registriert werden.
DYNAMIK 2
1.2 GRUNDGLEICHUNG DER MECHANIK (2. Newton’sches Gesetz)
Die Beschleunigung eines Körpers (= Wirkung) geht immer auf Kräfte (= Ursachen) zurück. Bei
konstanter Kraft ist die Beschleunigung umso geringer, je größer die Masse und damit die Trägheit
des beschleunigten Körpers sind. Da die Kraft einergerichtete Größe darstellt, die in Richtung der
Beschleunigung zeigt, müssen wir den Kraftvektor F definieren.
2. Newton’sches Gesetz: Grundgleichung der Mechanik
Die Kraft ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung :
r
F
r
= m⋅a
Aus obiger Formel ergibt sich als Einheit der Kraft 1kg‚m/s2. Mit dieser dynamischen Definition wird
die Kraft zur abgeleiteten Größe, die sich aus der Messung der mechanischen Grundgrößen Masse,
Länge und Zeit ergibt. Wegen der Bedeutung der Kraft wurde für sie eine eigene Maßeinheit
eingeführt, das Newton.
Die Einheit der Kraft ist 1 Newton (1 N)
1 N
= 1
kg ⋅ m
s2
1.3 WECHSELWIRKUNGSPRINZIP (3. Newton’sches Gesetz)
Betrachten wir ein System von Körpern, also mindestens zwei, die Kräfte aufeinander ausüben. Da
kein Körper von dem anderen ausgezeichnet ist, stellt uns das sofort vor die Frage der Symmetrie:
Wenn Körper 1 auf Körper 2 eine Kraft ausübt, dann sollte umgekehrt der 2. auch auf den
1. Körper eine Kraft ausüben. Dies lässt sich in einem einfachen Versuch überprüfen.
r
F1, 2
Zwei Schüler etwa gleicher Masse stehen sich auf
Skateboards gegenüber. Die Skateboards sind so
ausgerichtet, dass sie sich längs derselben Geraden
bewegen können. Beide Schüler halten jeweils einen
Kraftmesser in der Hand. Die Kraftmesser sind durch ein
Seil verbunden. Die Schüler ziehen einzeln nacheinander,
danach beide zugleich.
r
F2,1
1
In jedem Falle bewegen sich die Schüler beschleunigt
aufeinander zu und treffen sich etwa in der Mitte. Beide
Kraftmesser zeigen den gleichen Betrag an.
2
Besitzen die beiden Schüler stark unterschiedliche
Massen, so treffen sie sich nicht in der Mitte, sondern
näher am schweren Schüler. Auch hier zeigen beide
Kraftmesser den gleichen Betrag an.
Die Kraft (actio) ist stets der Gegenkraft (reactio) gleich, oder die Kräfte zweier Körper
aufeinander sind stets gleich und von entgegen gesetzter Richtung.
Wechselwirkungsprinzip : actio = reactio
In Vektorform lautet das Wechselwirkungsprinzip:
r
Die Kraft F1, 2 , die ein Körper 1 auf einen Körper 2 ausführt, geht immer mit einer gleich
r
großen entgegen gesetzt gerichteten Kraft F2,1 einher, die der Körper 2 auf den Körper 1
ausübt. Die Summe aus Kraft und Gegenkraft ist Null.
r
F1, 2
r
= – F2,1
oder
r
r
F1, 2 + F2,1 = 0
Kraft und Gegenkraft greifen an verschiedenen Körpern an.
DYNAMIK 3
Das Experiment zeigt, dass Kraft und Gegenkraft an zwei verschiedenen Körpern angreifen. Das
Prinzip actio gleich reactio darf nicht mit dem Kräftegleichgewicht verwechselt werden. Beim
Kräftegleichgewicht greifen an einem Körper zwei Kräfte an, die zu zwei verschiedenen
Wechselwirkungen gehören, und sich in ihrer Wirkung gegenseitig aufheben.
Kommt beispielsweise ein Heißluftballon bei ruhigem Wetter nach einer Steigphase in einer
bestimmten Höhe relativ zur Erdoberfläche zur Ruhe, dann gilt für diesen Zustand:
Wechselwirkung 1 : Der Ballon wird mit der Gewichtskraft FG von der Erde
angezogen. Diese Gewichtskraft ist zum Erdmittelpunkt gerichtet und folgt
aus der Wechselwirkung Erde – Ballon.
Wechselwirkung 2 : Auf den Ballon wirkt die nach oben gerichtete Auftriebskraft FA als Folge der Wechselwirkung Luft – Ballon. (Die Luft steht wiederum
in Wechselwirkung zur Erde).
Das Kräftegleichgewicht folgt daraus, dass die Kräfte aus den Wechselwirkungen 1 (FG) und 2 (FA) gleichen Betrag, aber entgegen gesetzte
Richtungen besitzen. FG und FA greifen beide am gleichen Körper (Ballon) an.
MERKE
Nach unserem heutigen Erkenntnisstand beruhen alle in der Natur auftretenden Kräfte auf vier
fundamentalen Wechselwirkungen:
• der Gravitation als anziehende Kraft zwischen allen Objekten, die eine Masse besitzen;
• der schwachen Wechselwirkung als Kraft zwischen Elementarteilchen;
• der elektromagnetischen Wechselwirkung als Kraft zwischen ruhenden und bewegten
Ladungsträgern;
• der starken Wechselwirkung als Kraft zwischen einigen Bausteinen der Atomkerne.
Die starke Wechselwirkung tritt nur in Atomkernen, also in Entfernungen von etwa 10-15 m auf,
die schwache Wechselwirkung sogar nur in Entfernungen von etwa 10-17 m.
Die Kräfte der elektromagnetischen bzw. der Gravitationswechselwirkung reichen sehr weit. Sie
nehmen umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der wechselwirkenden Körper ab
und ihr Betrag steigt proportional zur deren Ladung bzw. Masse an.
DYNAMIK 4
2. KRÄFTE
2.1 GEWICHTSKRAFT
r
r
r
wirkende Kraft F = m ⋅ a geschlossen werden. Im freien Fall, fällt ein Körper der Masse m
r r
ortsabhängigen Beschleunigung a = g (Gravitationswechselwirkung). Folglich wirkt auf ihn
r
r
r
r
eine ortsabhängige Kraft F = m ⋅ g , nämlich die Gewichtskraft G = m ⋅ g .
r
Die ortsabhängige Gewichtskraft G , die auf einen Körper der Masse m wirkt,
r
Produkt aus seiner Masse m und der Fallbeschleunigung g am Beobachtungsort :
r
r
G = m ⋅ g.
r
r
Die Gewichtskraft G hat stets die gleiche Richtung wie die Fallbeschleunigung g
Aus der beobachteten Beschleunigung a , die ein Körper bekannter Masse m erfährt, kann auf die
mit der
ständig
ist das
und ist
somit zum Zentrum des Himmelskörpers gerichtet, mit dem er aufgrund der Gravitation in
Wechselwirkung steht.
2.2 REIBUNGSKRÄFTE
Ein Holzklotz liegt auf einer waagerechten Unterlage. Ziehen wir mit
einem Kraftmesser vorsichtig an ihm, bleibt er zunächst in Ruhe. Er
haftet. Die hier auftretende Kraft, die die Zugkraft kompensiert, ist
die Haftkraft. (a)
Steigern wir die Zugkraft immer mehr, so beginnt der Holzklotz
plötzlich zu gleiten. Die Haftkraft ist also auf einen bestimmten
Höchstwert, die maximale Haftkraft
r
Fh
angewachsen. (b)
Die beim Gleiten auftretende Kraft, die der Zugkraft entgegenwirkt,
heißt Gleitreibungskraft
die maximale Haftkraft
r
rFGl
Fh .
r
oder allgemein FR . Sie ist kleiner als
r
Die maximale
Haftkraft Fh und die Gleitreibungsr
r
kraft FR sind direkt proportional zur Normalkraft FN ,
mit der ein Körper rechtwinklig auf seine Unterlage
drückt :
r
FR
=
r
f Gl ⋅ FN
r
Fh
=
r
f h ⋅ FN
Die Haftreibungszahl f h und die Gleitreibungszahl
f Gl hängen nur von der Beschaffenheit der Berührungsflächen zwischen Körper und Unterlage ab. Sie sind
unabhängig von der Größe der Berührungsflächen.
Die Gleitreibungskraft ist unabhängig
Geschwindigkeit des gleitenden Körpers.
von
der
Die Haftkräfte sind unerlässlich für die Fortbewegung an Land. An den Berührungsstellen eines
Fahrzeuges bzw. einer Person mit dem Boden greifen die Rauhigkeiten des Bodens und die der
Radoberfläche bzw. der Fußsohle ineinander. Wenn das Rad bzw. der Fuß den Boden, letztlich die
ganze Erde nach hinten drückt („actio“ auf Erde), dann erfährt nach dem Wechselwirkungssatz das
DYNAMIK 5
Fahrzeug bzw. die Person eine gleich starke „reactio“ in Vorwärtsrichtung. Diese Reaktionskraft
bewirkt also den Antrieb und ermöglicht so die Fortbewegung. Die auf den Boden ausgeübte Kraft
kann so weit gesteigert werden, bis die Verhackungen der Berührungsflächen schließlich
auseinander reißen. Die größte Kraft, die ein Rad zum Antrieb und auch zum Bremsen auf eine
Unterlage übertragen kann, ist gleich dem Betrag der maximalen Haftkraft. Bei Glatteis ist die
maximale Haftkraft sehr klein. Daher können sowohl Anfahren als auch Bremsen nur sehr
behutsam erfolgen.
Die Gleitreibung ist meistens unerwünscht. Gleitreibungskräfte, z.B. zwischen Kolben und Zylinderwand oder in Rollen- und Kugellagern, werden gezielt durch Schmiermittel vermindert.
r
Die Rollreibungskraft FR tritt auf durch die Verformung der Rollen oder Reifen und durch den
Zustand der Unterlage. Sie ist proportional zur Normalkraft ist aber von der Geschwindigkeit
unabhängig.
r
FR
=
r
f R ⋅ FN
Die Rollreibungszahl liegt bei guten Reifen und normaler Straße bei 0,01 bis 0,03 und ist demnach
wesentlich kleiner als Haft- und Gleitreibungszahl.
2.3 KRÄFTE AN DER SCHIEFEN EBENE
r
Die Gewichtskraft G der Kiste, gezeichnet als im Schwerpunkt S angreifender Vektor, wird in die
r
r
beiden Komponenten Normalkraft FN senkrecht und Hangabtriebskraft FH parallel zur schiefen
r
r
Ebene zerlegt. Die Normalkraft FN = G ⋅ cos α
r
wird durch die Wechselwirkungskraft F
der
r
r
Unterlage kompensiert. Die Hangabtriebskraft FH = G ⋅ sin α ist diejenige Kraft, welche die Kiste
hangabwärts beschleunigt.
Ist die Reibung vernachlässigbar, folgt mit Hilfe der Grundgleichung der Mechanik für den Betrag
der Beschleunigung
m ⋅ a = FH
⇒
m ⋅ a = G ⋅ sin α = m ⋅ g ⋅ sin α
⇒
a = g ⋅ sin α .
DYNAMIK 6
Dürfen wir die Reibung nicht vernachlässigen, müssen wir bedenken, dass die Reibungskraft der
Hangabtriebskraft entgegen gesetzt gerichtet ist, dass also nur die ihre Differenz als beschleunigende Kraft wirkt :
m ⋅ a = FH − FR
⇒
m ⋅ a = G ⋅ sin α − f G ⋅ FN = G ⋅ sin α − f G ⋅ G ⋅ cos α = m ⋅ g ⋅ (sin α − f G ⋅ cos α )
⇒
a = g ⋅ (sin α − f G ⋅ cos α )
2.4 FEDERKRAFT – GESETZ VON HOOKE
Wirkt eine Gewichtskraft auf eine fest aufgehängte Schraubenfeder,
so verformt bzw. dehnt sich die Feder so lange, bis die durch die
r
r
Dehnung erzeugte Kraft der Feder F der Gewichtskraft G das Gleichgewicht hält.
r
G
r
F
r
G
Die auf die Feder wirkende Gewichtskraft und die auf das
Wägestück wirkende Federkraft sind Wechselwirkungskräfte, die im
Gleichgewichtszustand entgegengesetzt gleich groß sind.
Wird eine elastische Schraubenfeder innerhalb ihres Elastizitätsbereiches um die Strecke x
verlängert, so ist der Betrag der Federkraft F der Verlängerung oder Dehnung x direkt
proportional :
r
F
r
= − D⋅x
Gesetz von Hooke
r
r
Federkraft F und Dehnung x sind entgegengesetzt gerichtet, daher das Minuszeichen. Der
Proportionalitätsfaktor D ist die Federkonstante, Einheit 1 N/m.
2.5 ZENTRIPETALKRAFT
Wenn sich ein Körper gleichförmig auf einer Kreisbahn bewegt, ändert sich fortlaufend die
Richtung seiner Geschwindigkeit. Daraus resultiert eine radial zum Kreiszentrum gerichtete
konstante Beschleunigung, die Zentripetalbeschleunigung
aZ
= ω2 ⋅r
=
v2
.
r
Nach der Grundgleichung der Mechanik F = m ⋅ a folgt daher für den Betrag der Zentripetalkraft
FZ
= m ⋅ω 2 ⋅ r
=
m ⋅ v2
.
r
Die zum Zentrum gerichtete Zentripetalkraft, die einen Körper der Masse m bei konstanter
Winkelgeschwindigkeit ω bzw. Bahngeschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r
hält hat den Betrag
FZ
= m ⋅ω 2 ⋅ r
=
m ⋅ v2
r
Hört die Wirkung der Zentripetalkraft auf, so behält der Körper nach dem Trägheitsgesetz seinen
momentanen Bewegungszustand bei: Er bewegt sich auf gerader Linie tangential zur Kreisbahn
weiter.
DYNAMIK 7
3. IMPULS UND KRAFTSTOSS
3.1 IMPULS
r
Unter dem Impuls (Bewegungsgröße) p eines Körpers versteht der Physiker das Produkt
r
aus Masse m und Geschwindigkeit v eines in Bewegung befindlichen Körpers :
r
p
r
m⋅v
=
Der Impuls ist ein Vektor der gleichen Richtung wir der Geschwindigkeitsvektor.
Als Einheit für die physikalische Größe Impuls erhalten wir :
[ pr ]
=
[m]⋅ [vr ]
m
s
kg ⋅ m s
= 1
⋅
s
s
kg ⋅ m
= 1 2 ⋅s
s
= 1N ⋅s
= 1 kg ⋅1
[ pr ]
Der Impuls hat als Einheit die Newtonsekunde (1 N‚s).
3.2 ANDERE FORMEN DER GRUNDGLEICHUNG DER MECHANIK
Unter Verwendung der eben eingeführten physikalischen Größe Impuls lässt sich das
r
r
2. Newton’sche Gesetz F = m ⋅ a noch anders formulieren :
r
F
r
= m⋅a
r
F
r
Δv
= m⋅
Δt
r
r Δv
a=
Δt
r
r
Da die Masse m des Körpers während der Bewegung konstant bleibt, gilt m ⋅ Δv = Δ (m ⋅ v ) und
somit erhalten wir :
r
F
=
r
F
=
r
Δ(m ⋅ v )
Δt
r
Δp
Δt
r r
m⋅v = p
r
r
Die beschleunigende Kraft F ist gleich der im Zeitintervall Δ t erfolgten Änderung Δ p des
Impulses des bewegten Körpers
r
F
=
r
Δp
Δt
Andere Form der Grundgleichung der Mechanik
Durch Umstellung dieser Formel ergibt sich :
r
Δp
=
r
F ⋅Δt
123
KRAFTSTOSS
DYNAMIK 8
r
Das Produkt aus beschleunigender Kraft F und ihrer Einwirkzeit Δ t auf den Körper stellt eine
r
neue eigenständige physikalische Größe dar, den Kraftstoß F ⋅ Δ t . Der Kraftstoß ist eine Größe
ohne spezifisches Formelzeichen, seine Einheit ist 1 N‚s (Newtonsekunde).
r
In einem nicht abgeschlossenen System ist die Impulsänderung Δ p des Körpers gleich dem
r
auf ihn ausgeübten Kraftstoß F ⋅ Δ t
r
F ⋅Δt
r
= Δp
Andere Form der Grundgleichung der Mechanik
3.3 IMPULSERHALTUNG IM ABGESCHLOSSENEN SYSTEM
Wir betrachten dazu den zentralen Stoß zweier Kugeln auf horizontaler Ebene. Beim zentralen
Stoß. Beim zentralen Stoß bewegen sich die Schwerpunkte der beiden Kugeln stets entlang der
gleichen Geraden. In einem abgeschlossenen System (hier Ebene mit den zwei Kugeln) gibt es
keinen Austausch mit der Umwelt.
mA r
A
vA
r
vB
r
FB
mB
B
vor dem Stoß
r
FA
beim Stoß
r
v 'B
r
v 'A
A
B
nach dem Stoß
Beim Stoß üben beide Massen Kräfte aufeinander aus, deren Eigenschaften unbekannt sind. Nach
r
dem Wechselwirkungsprinzip (3. Newton’sches Gesetz) gilt: Übt die Masse m A eine Kraft FA auf
die Masse m B aus, so übt auch die Masse mB eine gleich große entgegen gesetzt gerichtete Kraft
r
FB auf die Masse m A aus, mit
r
FA
r
= − FB .
Sei Δ t die Dauer der Einwirkung der Kräfte beim Stoß, so folgt
r
FA ⋅ Δ t
r
= − FB ⋅ Δ t .
r
Nach dem 2. Newton’sches Gesetz ist der Kraftstoß F ⋅ Δ t gleich der bewirkten Impulsänderung
r
Δ p . So erhalten wir :
r
Δ pA
r
Δ (m A ⋅ v A )
=
=
r
− Δ pB
r
Δ (m B ⋅ vB )
Da die Massen sich während des Stoßvorgangs nicht ändern, können wir schreiben
r
m A ⋅ Δv A
r
r
m A ⋅ (v ' A − v A )
r
r
mA ⋅ v ' A − mA ⋅ vA
r
r
m A ⋅ v ' A + mB ⋅ v ' B
r
r
p' A + p' B
r
∑ pnach
r
= − mB ⋅ Δv B
r
r
= − mB ⋅ (v ' B − v B )
r
r
= − mB ⋅ v ' B + mB ⋅ v B
r
r
= m A ⋅ v A + mB ⋅ v B
r
r
= p A + pB
r
= ∑ pvor
Bei Stoßvorgängen im abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls erhalten. Die
Summe aller Einzelimpulse nach dem Stoß ist gleich der Summe aller Einzelimpulse vor dem
Stoß
r
∑p
nach
=
r
∑p
vor
Impuls(erhaltungs)satz
DYNAMIK 9