Das Relaxationsverhalten eines RC

Versuch 353
Das Relaxationsverhalten eines
RC-Schwingkreises
Thorben Linneweber∗
Marcel C. Strzys∗∗
28.10.2008
Technische Universität Dortmund
Zusammenfassung
Protokoll zum Versuch zur Bestimmung der Zeitkonstanten eines
RC-Gliedes, der Amplitude und der Phase einer anliegenden Kondensatorspannung in Abhängigkeit zur Frequenz und der Eignung des RCGliedes als intigrierender Schaltkreis.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theorie
2.1 Die allgemeine Relaxationsgleichung . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Anwendung auf den RC-Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
3
3 Auswertung
3.1 Berechnung des RC-Gliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Abhängigkeit der Kondesatorspannungsamplitude von der Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Phasenverschiebung der Kondesatorspannung bei variirender
Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Das RC-Glied als Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
9
12
4 Diskussion
13
5 Literatur
13
∗
∗∗
[email protected]
[email protected]
1
7
1
EINLEITUNG
1
1
Einleitung
Unter Relaxation versteht man den Vorgang der Rückkehr eines ausgelenkten Systems in seinen Ausgangszustand. Der vorliegende Versuch befasst
sich mit dem Relaxationsverhalten eines RC-Gliedes unter verschiedenen
Bedingungen. Die Ergebnisse dieses Versuchs lassen sich auf andere physikalische Gebiete (z.B. der Mechanik) übertragen. Die Möglichkeit der präzisen
Messung der Parameter mit Hilfe moderner Messgeräte machen die Untersuchung der Relaxation anhand einer elektronischen Schaltung sinnvoll.
2
Theorie
2.1
Die allgemeine Relaxationsgleichung
Es wird angenommen, dass die Geschwindigkeit der Rückkehr eines Systems
in seinen Ausgangszustand proportional zur Auslenkung ist:
dA
= c[A(t) − A(∞)]
(1)
dt
Nach multiplizieren mit dt und integrieren von 0 bis zum Zeitpunkt t ergibt
sich:
ln
A(t) − A(∞)
= ct
A(0) − A(∞)
Durch Anwenden der e-Funktion erhält man schließlich eine allgemein gültige
Formel für die Relaxation eines ausgelenkten Systems:
A(t) = A(∞) + [A(0) − A(∞)]ect
(2)
Bei c handelt es sich um die so genannte Zeitkonstante. Sie ist charakteristisch für den jeweiligen Relaxationsvorgang und muss negativ sein, damit
Gleichung (2) beschränkt ist.
2.2
Anwendung auf den RC-Kreis
Die gefundene allgemeine Relaxationsgleichung wird jetzt auf den RC-Kreis
angewendet.
2.2.1
Auf- und Entladevorgang des Kondensators
Abbildung 1 mit aufgeladenem Kondensator in Schalterstellung 1 wird betrachtet.
Über die Beziehung I = URC und UC = Q
C folgt:
dQ
1
=−
Q(t)
dt
RC
A (0 )
0
oder
ln
A( t ) − A ( ∞ )
= ct
A( 0 ) − A( ∞ )
und schließlich
A( t) = A( ∞) + [ A(0) − A( ∞ )] e ct .
(2)
2
InTHEORIE
(2) muss c < 0 sein, damit A beschränkt bleibt.
Beispiele für Relaxationsvorgänge stellen die Ent- und die Aufladung eines Kondensators über einen Widerstand dar.
2
I
R
C
Abb.1:
+Q
-Q
2
1
=
UC
U0
Entladung (Stellung 1) und Aufladung (Stellung 2) eines Kondensators über einen Widerstand
Abbildung 1: RC-Kreis
Entladevorgang:
Angenommen auf den Platten des Kondensators mit der Kapazität C in Abb.1 befinde
Analog
Gleichung
mit ihnen
Q(∞)
= Spannung
0 hierraus:
sich diezu
Ladung
Q. Dann(2)
liegtfolgt
zwischen
eine
UC, die durch
t
Q(t) = Q(0)e− RC
(3)
1 Symmetriegründen gilt für die Aufladung in Schalterstellung 2:
Aus
Diese Bedingung ist bei mechanischen Systemen erfüllt, wenn Trägheitskräfte gegenüber anderen
Kräften vernachlässigt werden können.
Q(t)
t
= CU0 (1 − e− RC )
(4)
Dies bedeutet, dass die Zeitkonstante, die ein Maß für die Geschwindigkeit
1
ist.
der Relaxation darstellt, hier RC
2.2.2
Auf- und Entladevorgang mit gleichzeitiger periodischer
Anregung
Liegt eine Wechselspannung U (t) = U0 cos ωt wie in Abbildung 2 gezeigt an
das RC-Glied an, so kann man über folgenden Ansatz:
UC (t) = A(ω) cos (ωt + ϕ(ω))
(5)
und der 1.Kirchhoffschen-Regel folgende Beziehung herleiten:
U0 (t) cos ωt = −AωRC sin (ωt + ϕ) + Aω cos (ωt + ϕ)
(6)
π
2
Gleichung (6) muss für alle t gelten. Mit ωt = erhält man dann:
π
π
0 = −ωRC sin
+ ϕ + cos
+ϕ
2
2
und daraus über einige Umformungen folgende Gleichung für die Phasenverschiebung zwischen Kondensatorspannung und Generatorspannung in Abhängigkeit
zur Kreisfrequenz:
ϕ(ω) = arctan (−ωRC)
(7)
Mit ωt + ϕ = π2 erhält man dann aus Gleichung (6) und (7) die Amplitude
der Kondensatorspannung wieder in Abhängigkeit zur Kreisfrequenz:
U0
A(ω) = √
(8)
1 + ω 2 R2 C 2
Hier zeigt sich auch, dass die Generatorspannung umgekehrt proportional
zur Kreisfrequenz ist, und somit der RC-Kreis einen Tiefpass darstellt.
Solange die Kreisfrequenz ω der äußeren Wechselspannung U(t) mit
U(t) = U0 cos ωt
in der Schaltung nach Abb.2 hinreichend niedrig ist, das heißt ω<<1/RC, wird die Spannung UC (t) am Kondensator in jedem Zeitpunkt praktisch gleich U(t) sein. Mit zuneh-
2
mender Frequenz bleibt jedoch die Auf- und Entladung des Kondensators über den Widerstand R immer weiter hinter dem zeitlichen Verlauf der Generatorspannung zurück.
Es wird sich also eine Phasenverschiebung ϕ zwischen beiden Spannungen ausbilden,
und die Amplitude A der Kondensatorspannung wird abnehmen. Die FrequenzabhänTHEORIE
gigkeit der Phase und der Amplitude von UC sollen nun im Folgenden näher betrachtet
3
werden.
I (t)
U(t) = U0 cos ωt
~
R
UR (t)
C
UC (t)
Abb.2: Schaltungsbeispiel zur Diskussion von Relaxationsphänomenen, die unter dem Einfluss einer
periodischen Auslenkung
auftreten
Abbildung 2: RC-Kreis
mit harmonischer
Anregung
Mit dem Ansatz
2.2.3
(7) Der RC-Kreis Uals
= A (ω) cos ( ωt + ϕ { ω} )
C( t) Integrator
man,
eine Lösung des Problems zu
finden.man
Nach für
demden
zweiten
Kirchhoffschen
Mit versucht
Hilfe der
1.Kirchhoffschen-Regel
erhält
RC-Kreis:
Gesetz ( siehe V302, Kap.2) gilt für den Stromkreis in Abb.2
dU
U(t)
(t) + UcC(t)
Ut==URRC
(7a)
.
(9)
dt
oder ausführlich geschrieben
Da für genügend große ω (ω >> RC) |UC | << |UR | und
|UC | << |U | ist,
2
(8)
U 0 cos ωt = I ( t) R + A(ω) cos ( ωt + ϕ )
.
gilt näherungsweise:
I (t) lässt sich mit Hilfe der Gleichungen (3) und (5) durch UC ausdrücken
dUc
dU
dQ
I ( t) =U (t)==C RCC .
(9)
dt
dt dt
bzw.Damit folgt aus (7), (8) und (9)
U 0 cos ωt = − A ωRC sin ( ωZt +t ϕ ) + A(ω) cos ( ωt + ϕ ) .
1
U (t0 )dt0
UC (t) =
RC 0
2
Der Innenwiderstand R der Spannungsquelle (V301) soll null sein; sonst wäre U (t) = (R + R )⋅ I (t) .
(10)
i
R
(10)
i
Dies bedeuted, dass die am Kondensator abgegriffende Spannung proportional zum Integral der Generatorspannung ist.
2.3
Durchführung
Die Aufgaben und Zielsetzungen des Versuches sollen im Folgenden kurz
beschrieben werden:
a) Die Zeitkonstante eines RC-Gliedes wird bestimmt. Dafür wird eine Rechteckspannung an einem RC-Kreis angeschlossen und die Kondensatorspannung gemessen. Es sollte somit möglich sein, über die gemessenen Spannungen während der Auf- und Entladung die Zeitkonstante zu ermitteln.
b) Die Amplitude der Kondensatorspannung soll für ein gewisses Frequenzspektrum bestimmt werden. Hierfür wird ein Millivoltmeter benutzt.
c) Die Phasenverschiebung zwischen Generator- und Kondensatorspannung
wird ermittelt. Hierfür werden beide sinusförmigen Spannungskurven gleichzeitig auf einem Oszilloskop dargestellt und mit Hilfe der Differenz der Nulldurchgänge die gesuchte zeitliche Verschiebung ermittelt.
3
AUSWERTUNG
4
d) Es werden mit Hilfe des Frequenzgenerators für hohe Kreisfrequenz verschiedene Spannungen unterschiedlicher Form (Sägezahnspannung, Rechteckspannung und Sinusspannung) an den RC-Kreis angelegt und mit der
Kondensatorspannung auf dem Oszilloskop verglichen.
3
Auswertung
Im Folgenden soll mit Hilfe der Messergebnisse aus den obigen Experimenten nun das verwendete, unbekannte RC-Glied genauer bestimmt, sowie die
Abhängigkeit der Spannungsamplitude am RC-Glied und die Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der Frequenz des Generators analysiert werden.
3.1
Berechnung des RC-Gliedes
In diesem Teil soll mit Hilfe einer linearen Ausgleichsrechnung das RC-Glied
aus den gemessenen Werten bestimmt werden. Bei der Messung ergeben
sich die in der Tabelle enthaltenen Werte der Spannung in Abhängigkeit zur
Zeit t, wobei alles Messungen bei einer Generatorfrequenz von f = 40, 7Hz
genommen werden. Zudem werden die Werte normiert, was bedeuted, dass
der Beginn der Messung auf t = 0 und die Endspannung auf Uend = 0
gesetzt wird. Die Spannungswerte werden dabei mit einem Oszillographen
gemessen. Zur Erhöhung der Messgenauigkeit wird die Cursor-Funktion“
”
des Oszillographen verwendet.
Zur Auswertung benutzt man nun Gleichung 3 und es ergibt sich mit dem
Zusammenhang U (0) = Q(0)
C :
−t
U (t) = U (0)e RC
−1
t + ln U (0)
ln(U (t)) =
RC
(11)
(12)
Stellt man nun die Messwerte aus Tabelle 1 nach dieser Gleichung graphisch
mit halblogarithmischer Skalierung dar, erhält man den Graphen aus Abbildung 3.
Aus der obigen Gleichung kann man nun erkennen, dass wir durch die Be1
rechnung der Steigung einer Ausgleichgeraden an den Faktor RC
gelangen
und so unser RC-Glied betimmen können. Für die Auswertung ist folglich
auch nicht die gemessenen Spannung selbst, sondern der natürliche Logarithmus der Spannung zu verwenden.
Zur Bestimmung der Regressionsgeraden werden die folgenden Gleichungen
verwendet, wobei m für die Steigung der Geraden und b für den y- Achsenabschnitt steht:
3
AUSWERTUNG
t [ms]
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1
1,3
1,5
1,8
2,1
2,4
2,6
3
3,2
3,5
4
4,5
5,5
Tabelle 1: Normierte Messwerte - Kondensatorspannung
U [V] ln(U/1V)
10,56
2,36
9,76
2,28
9,04
2,20
8,4
2,13
7,76
2,05
7,2
1,97
6,64
1,89
6,16
1,82
5,68
1,74
4,8
1,57
3,76
1,32
3,12
1,14
2,4
0,88
1,84
0,61
1,36
0,31
1,12
0,11
0,72
-0,33
0,56
-0,58
0,4
-0,923
0,16
-1,83
0,08
-2,53
0
n.def
5
3
AUSWERTUNG
6
U in [V]
10
1
0,1
0,01
0
1
2
3
4
5
6
t in [ms]
Abbildung 3: Entladungskurve des RC-Gliedes
xy − x̄ȳ
=
m = ¯2
x − x̄2
b = ȳ − m · x̄ =
P
P
N
N
1
1
x
y
−
x
y
k
k
k
k
k=1
k=1
k=1
N
N
2
P
P
N
N
1
1
2
k=1 xk − N
k=1 xk
N
!
!
N
N
1 X
1 X
yk − m
xk
N
N
1
N
PN
k=1
(13)
(14)
k=1
Mit den Werten aus der Tabelle ergeben sich somit die nachstehenden Werte,
wobei t = x und ln(U (t)/[V ]) = y ist:
x̄ = 1, 64ms
ȳ = 4, 36
xy
¯ = −0, 43ms
x¯2 = 4, 52ms2
1
ΩmF
b = 2, 54
m = −1, 02 ·
Der statistische Fehler von m und b berechnet sich nach:
3
AUSWERTUNG
7
v
u
N
u 1 X
u
∆m = t
(yk − b − m · xk )2 · N −2
k=1
N
N
P
2 (15)
N
2 −
x
x
k=1 k
k=1 k
PN
v
u
N
u1 X
∆b = ∆m · t
x2k
N
(16)
k=1
Somit ist:
1
ms
b = (2, 54 ± 0, 06)
m = −(1, 02 ± 0, 03)
1
Wie oben genannt ist die Steigung m der gesuchte Faktor RC
. Wir können
also den Wert von m einsetzten und nach RC umformen und erhalten:
RC =
1
ms ≈ 0, 98ms
1, 02
(17)
(18)
Das in dieser Rechnung enthaltenen R stellt jedoch den gesammten Widerstand dar, der sich aus dem Widerstand des RC-Gliedes und dem Innenwiderstand des Generators von Ri = 600Ω zusammensetzt Rges. = R + Ri .
Dieser Innenwiderstand soll nun herausgerechnet werden, wobei der Widerstand des RC-Gliedes R = 15, 058kΩ beträgt.
CR = R
Rges
R + Ri
(19)
Der Wert des Widerstandes R soll in diesem Fall keine Fehler aufweisen,
wodurch sich der obige relative Fehler für CR nicht ändert und es ergibt
sich für das RC-Glied letztlich:
CR = (0, 981 ± 0, 03)ms
3.2
(20)
Abhängigkeit der Kondesatorspannungsamplitude von der
Frequenz
Nun soll untersucht werden, wie sich die Amplitude der Kondesatorspannung bei einer Änderung der Generatorfrequenz verhält. Dazu nehmen wir
die Werte für die Spannungamplitude U bei gegebener Frequenz f auf. Zudem
3
AUSWERTUNG
f [Hz]
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
150
200
250
300
350
400
450
500
600
700
800
900
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
Tabelle 2: Frequenzabhängigkeit der Kondensatorspannung
U [V] U0 [V] U/U0
6,9
7
0,99
6,6
6,85
0,96
6,5
6,8
0,96
6,3
6,8
0,93
6,1
6,8
0,90
5,9
6,8
0,87
5,7
6,8
0,84
5,45
6,8
0,80
5,25
6,8
0,77
5
6,8
0,74
4,05
6,8
0,60
3,3
6,8
0,49
2,8
6,8
0,41
2,35
6,8
0,35
2,05
6,8
0,30
1,8
6,8
0,26
1,6
6,8
0,24
1,45
6,8
0,21
1,25
6,8
0,18
1,05
6,8
0,15
0,94
6,8
0,14
0,84
6,8
0,12
0,76
6,8
0,11
0,64
6,8
0,09
0,54
6,8
0,08
0,475
6,8
0,07
0,42
6,8
0,06
0,38
6,75
0,06
0,305
6,75
0,05
0,252
6,75
0,04
0,215
6,75
0,03
0,19
6,75
0,03
0,17
6,75
0,03
0,153
6,75
0,02
8
3
AUSWERTUNG
9
100
1,2
Phasenverschiebung in °
1
Spannung in V
0,8
Messwerte
Theoriewerte
0,6
90
Messwerte
80
Theoriewerte
70
60
50
40
30
20
0,4
10
0
0,2
1
0
1
10
100
1000
10000
Generatorfrequenz in Hz
Abbildung 4: Relativamplitude des RC Gliedes in Abhängigkeit von der
Generatorfrequenz
wird die Amplitude der Generatorspannung in gleichen Abständen festgehalten, da nicht garantiert ist, dass diese konstant bleibt.
Auch diese Werte (siehe Tabelle 2) werden zur Veranschaulichung graphisch
mit halblogarithmischer Skalierung dargestellt. Hierbei wird statt A(ω), A(ω)
U (0)
aufgetragen, um Fehler durch die - wenn auch nur geringfügig - variirende
Generatorspannung weiter zu minimieren.
Die Theoriekurve wird dabei mit der Gleichung 8 aus dem Theorieteil berechnet.
Die theoretische Kurve stimmt dabei nahezu mit den Messwerten überein,
auch wenn die theoretischen Werte dabei stets etwas höher als die Messwerte liegen. Da bei der Messung jedoch wieder Rges. und nicht R gemessen
wurde, erniedrigt der zusätzliche Widerstand Ri die Messwerte gegenüber
der Theorie. Da dieser zusätzliche Widerstand mit RRi = 0, 04 jedoch äußerst
gering ist, vermag er nicht die Abweichungen der beiden Kurven zu erklären
(näheres siehe Diskussion).
3.3
Phasenverschiebung der Kondesatorspannung bei variirender Frequenz
In diesem Teil der Auswertung wird die Abhängigkeit der Phasenverschiebung ϕ zwischen der eingespeisten Spannung und der Kondensatorspannung
3
AUSWERTUNG
10
Phasenverschiebung in °
100
90
Messwerte
80
Theoriewerte
70
60
50
40
30
20
10
0
1
10
100
1000
10000
Generatorfrequenz in Hz
Abbildung 5: Phase ϕ in Abhängigkeit zur Generatorfrequenz
näher betrachtet. Die bei der Messung bestimmten Werte finden sich in der
folgenden Tabelle:
Die Größe a ist dabei der Zeitunterschied zwischen den Nulldurchgängen der
Spannungen und b die Schwingungsdauer. Mit deren Hilfe sich der Phasenwinkel nach
ϕ=
a
· 360
b
(21)
berechnen lässt. Zum Vergleich soll ϕ zudem über die Formel ϕ = arctan (−ωRC)
aus Kapitel 2.2.2. berechnet werden. Beide Kurven finden sich im Koordinatensystem in Abbildung 5.
Auch hier weicht die Messkurve leicht von der Theorie ab, und zwar liegt
jene zu Beginn stets oberhalb der Theorie. Das Absinken der Messwerte ist
jedoch als untypisch anzusehen.
Der Einfluss von Ri bei dieser Messung ist durch die relativ stark abweichenden Kurven schwieriger zu bewerten, da wie oben beschrieben Ri klein
gegenüber R ist dürfte die Differenz auch in diesem Fall als Erklärung für
die Unteschiede der Graphen alleine nicht ausreichen.
Die Untschiede zwischen der Einbeziehung von Ri sind maginal und eine
genauere Berechnung von RC mit den Werten dieser Messsung ist nicht
3
AUSWERTUNG
a [ms]
1,4
1,15
1,15
1,3
1,2
1,16
1,04
0,96
0,98
1
1,02
0,96
0,84
0,73
0,64
0,58
0,52
0,48
0,39
0,31
0,29
0,26
0,223
0,19
0,16
0,14
0,12
0,11
0,08
0,07
0,06
0,05
0,045
0,04
b [ms]
100,00
50,00
33m33
25,00
20,00
16,67
14,29
12,50
11,11
10,0
6,67
5,00
4,00
3,33
2,86
2,50
2,22
2,00
1,67
1,43
1,25
1,11
1,00
0,83
0,71
0,63
0,56
0,50
0,40
0,33
0,29
0,25
0,22
0,20
Phase [◦ ]
5,04
8,28
12,42
18,72
21,6
25,056
26,208
27,648
31,752
36
55,08
69,12
75,6
78,84
80,64
83,52
84,24
86,4
84,24
78,12
83,52
84,24
80,28
82,08
80,64
80,64
77,76
79,2
72
75,6
75,6
72
72,9
72
11
Theorie Phase [◦ ]
3,527
7,028
10,476
13,850
17,129
20,296
23,338
26,248
29,019
31,649
42,756
50,951
57,018
61,596
65,131
67,923
70,174
72,023
74,870
76,951
78,536
79,781
80,785
82,300
83,390
84,210
84,850
85,362
86,287
86,905
87,346
87,677
87,935
88,142
Tabelle 3: Nulldurchgänge von Erreger- und Kondensatorspannung, theoretische und gemessene Phase
3
AUSWERTUNG
12
Abbildung 6: Relativamplitude
ten
A(ϕ)
U0
aufgetragen gegen ϕ in Polarkoordina-
Abbildung 7: Oszillographenbilder
möglich.
Um auch den Zusammenhang zwischen Phasenverschiebung und Amplitude zu zeigen, soll nun auch noch zusätzlich die Relativamplitude A(ω)
U0 in
Abhängigkeit zu der Phase gesetzt werden. Diese Darstellung erfolgt zur
Veranschaulichung in Polarkoordinaten. Auch hier werden wieder sowohl eine Messkurve (grün) und eine Theoriekurve(schwarz) in das Diagramm in
Abbildung 6 eingefügt.
3.4
Das RC-Glied als Integrator
Die Bilder in Abbildung 7 sollen veranschaulichen, wie ein RC-Glied nach
Gleichung 10 zur Integration von Spannungen genutzt werden kann. Die
gelben Kurven stellen darbei immer die eingespeiste bzw. zu integrierende
Spannung, die grünen Kurven die dazugehörige integrierte Spannung dar.
4
4
DISKUSSION
13
Diskussion
• Bei der Darstellung der Werte für den Entladungsvorgang des Kondensators in 3.1 zeigt sich ab etwa 3ms eine geringfügige Abweichung
der gemessenen Spannung von den erwarteten Werten (vergleiche Abbildung 3 auf Seite 6). Eine Ursache für diesen Sachverhalt könnte
sein, dass zusätzliche -ungewollte- Impedanzen (z.B. durch Zuleitungen) auftreten.
• Die Abweichung der Wertekurve von der Theorie in Teil 3.2 lässt
sich nicht alleine mit dem Innenwiderstand des Generator erklären,
da dieser im Verhältnis zu R sehr klein ist. Eventuell kommen jedoch
noch zusätzliche Widerstände der Kabel als Erklärung in Frage. Auch
ein systematischer Messfehler ist nicht ganz auszuschließen. Insgesamt
kann die Abweichung aber als gering angesehen werden.
• Die Unterschiede der Kurven in Teil 3.3 sind ebenso zu erklären wie in
3.2. Das Absinken der Messwerte für hohe Frequnezen dürfte auf eine
fehlerhafte Messung in dem Bereich zurückzuführen sein.
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Literatur
1 Skript zum Versuch 353 des physikalischen Anfängerpraktikums an der
TU Dortmund zu finden unter:
http://praktikum.physik.uni-dortmund.de/neu/a-praktikum/anleitungen.html
(Stand 03.11.2008)