Ubungsblatt 12 - Department Mathematik

Mathematisches Institut
LMU München
Prof. Dr. Nikita Semenov
SoSe 2016
Vorlesung Algebraische Geometrie II
Abgabe: 06.07.2016
Übungsblatt 12
(1) (a) Sei A ein Hauptidealring. Zeige: Pic(Spec A) = 0. Folgere daraus, dass
Pic(Gm ) = 0 ist, wobei Gm = A1k \ {0} und k ein Körper ist.
Hinweis: Untersuche endlich erzeugte projektive Moduln über A.
(b) Sei X Gerade mit doppeltem Punkt aus Blatt 7, Aufgabe 3.
Zeige: Pic(X) = Z.
∗
Hinweis: Sei (X, OX ) ein geringter topologischer Raum. Definiere eine Garbe OX
∗
von abelschen Gruppen auf X als OX
(U ) := OX (U )∗ für alle offenen U ⊂ X,
∗
wobei OX (U ) als Gruppe (bzgl. der Multiplikation) der invertierbaren Elemente
∗
) gilt.
in OX (U ) aufgefasst wird. Benutze ohne Beweis, dass Pic(X) = H 1 (X, OX
(2) Seien f (x0 , x1 , x2 ) ein beliebiges homogenes Polynom vom Grad d und X ein
Unterschema von P2k über einem Körper k, das durch f = 0 gegeben ist.
Zeige: dim H 0 (X, OX ) = 1 und dim H 1 (X, OX ) = 21 (d−1)(d−2) (arithmetisches
Geschlecht von X).
(3) Seien k ein Körper, X = A2k = Spec k[x, y] und U = X \ {(0, 0)}.
Zeige: H 1 (U, OU ) ist isomorph zu k-Vektorraum mit Basis {xi y j | i, j < 0}.
Folgere daraus, dass U nicht affin ist.