Skript zur Theoretischen Physik C

Skript zur Theoretischen Physik C
Autor: Marco Antoni
letzte Aktualisierung: 9. April 2009
Dieses Dokument ist ein kommentierter und ergänzter Mitschrieb einer Vorlesung "Theoretische Physik C" an der Universität Karlsruhe. Es hat Anspruch auf gar nix. Weder
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:o)
Wie immer gilt noch vor allen anderen Dingen: don't panic.
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Hilfsmittel
1.1
1.2
1.3
1
δ(x)
Die Dirac'sche Deltafunktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Explizite Denition (eine von vielen): . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.3
Eigenschaften der
δ -Funktion:
Taylorentwicklung von Feldern
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1
Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.2
Nablaoperator
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.3
Skalarfeld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.4
Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.5
Dierentialoperatoren
2
Flächenintegrale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1
Fluss des Vektorfelds
1.3.2
Zirkulation
~ r)
E(~
3
durch die Fläche S . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Bedeutung von grad, div und rot
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5.1
Gauÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5.2
Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 Elektrostatik
3
5
2.1
Coulombgesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Einheitensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Das elektrische Feld
2.3.1
2.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Gauÿ'sche Gesetz
6
Das elektrische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4.1
Lokalisierte Ladungsverteilungen (ohne Randächen) . . . . . . . . .
8
2.4.2
Problem mit Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4.3
Green'sche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4
Bestimmen von
2.4.5
Entwicklung nach orthogonalen Funktionen
2.4.6
Trennung der Variablen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4.7
Laplace'sche Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4.8
Legendrepolynome
12
2.4.9
GD
und
GN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Randwertprobleme mit azimutaler Symmetrie . . . . . . . . . . . . .
13
14
2.4.11 Kugelächenfunktionen
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.12 Entwicklung Green'scher Funktionen in Kugelächenfunktionen . . .
15
2.4.13 Entwicklung Green'scher Funktionen nach Eigenwerten . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.4.15 Multipolentwicklung einer Ladungsverteilung im äuÿeren Feld . . . .
17
Elektrostatik der Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1
Mikroskopisch↔Makroskopisch
2.5.2
Grenzächen
2.5.3
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Elektrostatische Energie in dielektrischen Medien . . . . . . . . . . .
19
1 → 2
3 Magnetostatik
3.1
9
10
2.4.10 zugeordnete Legendrepolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.14 Multipolentwicklung
2.5
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.1.1
magnetische Kraft
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.1.2
Ampère'sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.1.3
Verallgemeinerung
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.2
3.3
Dierentialgleichungen der Magnetostatik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2.1
Maxwellgleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2.2
Magnetisches Moment
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Makroskopische Gleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3.1
Einteilung magnetischer Stoe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3.2
Grenzächen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4 Elektrodynamik
26
4.1
Das Faraday'sche Induktionsgesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2
Energie des Magnetfelds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.3
Kurze Zusammenfassung der gesamten klassischen Physik
. . . . . . . . . .
27
4.4
Zerlegungs- und Eindeutigkeitssatz (Mathematik) . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.5
Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.6
Green'sche Funktionen der Wellengleichung
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
. . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.7
4.6.1
Zeitunabhängige Green'sche Funktion
4.6.2
Zeitabhängige Green'sche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erhaltung von Energie und Impuls (mikroskopische Felder)
. . . . . . . . .
31
31
4.7.1
Energie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.7.2
Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
(R
4.8
Harmonische Zeitabhängigkeit
vs.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.9
Ebene elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
C)
4.10 Ebene Trennächen zweier Dielektrika
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Spezielle Relativitätstheorie
35
36
5.1
Galileitransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.2
Lorentz-Transformation
37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1
Eindimensionaler Fall
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.2.2
Transformation von Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.2.3
Lorentztransformation allgemein (dreidimensional)
. . . . . . . . . .
38
. . . . . . . . . . . . . .
38
5.3
Einfache Anwendungen der Lorentztransformation
5.4
Vierervektoren, Minkowski-Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.4.1
Erinnerung Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.4.2
Vierervektoren
5.4.3
Rapidität
5.4.4
Invariantes Skalarprodukt
5.4.5
Minkowski-Raum(zeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.4.6
Zeitdilatation einer beliebig bewegten Uhr . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.4.7
Dopplerefekt
5.4.8
Vierergeschwindigkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.4.9
Impuls und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.4.10 Energie- und Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.4.11 c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Indexschreibweise, Summenkonvention ("Tensoranalysis")
5.5
5.6
ζ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(Zeta)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
40
40
41
. . . . . . . . . .
43
5.5.1
Einstein'sche Summenkonvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.5.2
Skalare (Tensoren nullter Stufe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.5.3
Vektoren (Tensoren erster Stufe)
43
5.5.4
Tensoren höherer Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.5.5
Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.5.6
Metrischer Tensor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
44
. . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.6.1
Ladung und Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.6.2
Potentiale und Feldstärketensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3
5.6.3
Kovariante Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.6.4
Transformation der Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.6.5
Kovariante Green'sche Funktionen der Wellengleichung . . . . . . . .
47
5.6.6
Kovariantes Wirkungsfunktional
5.6.7
Eichinvarianz von
S
S
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6 Erweiterung der bisherigen Theorie
50
4
1 Mathematische Hilfsmittel
1.1 Die Dirac'sche Deltafunktion δ(x)
(genau genommen:
δ -Distribution)
1.1.1 Denition
sei
x ∈ R, I ⊆ R
, dann gilt:
Z
(
1
dx δ(x − x0 ) =
0
I
wenn
wenn
x0 ∈ I
x0 ∈
/I
1.1.2 Explizite Denition (eine von vielen):
1
η
δ(x − a) = ”lim ” 2
π η→0 η + (x − a)2
1.1.3 Eigenschaften der δ-Funktion:
1.
2.
(
f (a) a ∈ (α, β)
dx [f (x) · δ(x − a)] =
0
a∈
/ (α, β)
α
P 1
δ(f (x)) =
|f 0 (xi )| · δ(x − xi )
Rβ
i
Dabei sind
3.
xi
die einfachen Nullstellen von f(x).
f (xi ) = 0, f 0 (xi ) 6= 0
f (x) · δ 0 (x − a) = −f 0 (a) · δ(x − a)
4. deniere Stufenfunktion
x=0
(
1 x>0
Θ(x) ≡
dy δ(y) =
0 x<0
−∞
Rx
ist Denitionslücke.
Die Eigenschaften 2 und 3 gelten dabei, wenn die linke Seite der Gleichung wie in Eigenschaft 1 an eine Funktion multipliziert und dieses Gesamtkonstrukt integriert wird.
1
1.2 Taylorentwicklung von Feldern
1.2.1 Funktion
f (x)
hat Taylorreihe um
x = x0 :
fT (x) ≡
+∞ X
1
n=0
n!
f (n) (x0 ) · (x − x0 )n
Dabei gilt:
• f (n)
• f
•
ist n-te Ableitung von
ist in
R
dn
dxn f (x)
f : f (n) (x) =
f ∈ C ∞ (R)
unendlich oft dierenzierbar:
im Konvergenzbereich
fT (x) = f (x)
1.2.2 Nablaoperator

~ ≡
∇

∂
 ∂x∂ 1 
 ∂x2 
∂
∂x3
1.2.3 Skalarfeld


x1
ϕ(~x) = ϕ(x1 , x2 , x3 ), ~x = x2 
x3
Taylorreihe von ϕ(~
x) um ~x:

n
3
∞
X
X
∂ 
1 
~
· ϕ(~x) = eδ~x·∇ · ϕ(~x)
δxj ·
ϕT (~x + δ~x) ≡
n!
∂xj
n=0
j=1
1.2.4 Vektorfeld


E1 (x1 , x2 , x3 )
~ x) ≡ E2 (x1 , x2 , x3 )
E(~
E3 (x1 , x2 , x3 )
Skalarprodukt:
Kreuzprodukt:
~x · ~y ≡ x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
3
P
(~x × ~y )k ≡ ijk xi yj =
ijk xi yj
!
Einstein'sche Summenkonvention
i,j=1
ijk =
= ±1
~
E(~x) um ~x:
Epsilontensor
Taylorreihe von
∞
X
1
~
ET (~x + δ~x) ≡
n!
n=0
3
X
i=3
∂
δxi ·
∂xi
!n
~
~ x) = eδ~x·∇
~ x)
· E(~
· E(~
1.2.5 Dierentialoperatoren
•
Gradient: gradϕ
~ ·ϕ
≡∇
(=Vektor)
•
~
Divergenz: divE
~ ·E
~
≡∇
(=Skalar)
•
~
Rotation: rotE
~ ×E
~
≡∇
(=Vektor)
•
LAPLACE-Operator:
~ ·∇
~ =
4=∇
∂2
∂x21
2
+
∂2
∂x22
+
∂2
∂x23
,
1.3 Flächenintegrale
F = {~r(u, v)|(u, v) ∈ D} ⊂ R3 u,v: Parameter, D: Denitionsmenge
~ = ∂~r × ∂~r dv du ≡ df · n̂
orientierte Flächenelemente: df
∂v
∂u
Fläche
~ r) durch die Fläche S
1.3.1 Fluss des Vektorfelds E(~
δ f~ =
Teiläche von S
~ ≡
ϕS (E)
Z
~ r) · df~ = lim
E(~
n→∞
S
~ ≡
ϕS (E)
Z
~ r(u, v)) ·
dvdu E(~
n
X
~ ri ) · δ f~(~ri )
E(~
i=1
S
∂~r
∂~r
×
∂v ∂u
1.3.2 Zirkulation
C: geschlossene, doppelpunktfreie Kurve
~ ≡
ZC (E)
I
~ r
Ed~
C
1.4 Bedeutung von grad, div und rot
• ~y ∈ R3 , h(~y ) ∈ R
⇒ grad h gibt die
Richtung des steilsten Anstiegs(!) an.
• δV Volumenstück, S(δVH) Oberäche (Surface) von δV
~ = lim 1
~ ~ =
⇒ (?) div E
ˆ Mittlere Quelldichte
δV S(δV ) E df
δV →0
• n̂ ist Normalenvektor der Fläche
FC , ∂FC
H
~ = lim 1
~ r
⇒ (??) n̂ · rotE
Ed~
FC
FC →0
~ ∼"Mittlere
rotE
des Vektorfelds
eine geschlossene Linie um
FC
∂FC
Flächendichte der Zirkulation von
~"
E
1.5 Integralsätze
1.5.1 Gauÿ
∂V :
Oberäche von V,
df~:
∂V
I
3
~ r) =
~ f~
d r · div E(~
Ed
Flächenelement von
Z
V
Herleitung mit
∂V
(?), Grenzächen benachbarter innitesimaler Volumenelemente heben sich
gegenseitig auf, so dass nur die Grenzäche übrig bleibt.
2 Anwendungen:
• ~j :
Stromdichte, S: Fläche,
%
Ladungsdichte
3
I
~jdf~ =
Strom durch S
S
= -Änderung der
Z
∂
%d3 r
=−
∂t
Z V
Gauß
=
div~j d3 r
Gesamtladung
V
(3),(4)
⇒
R
d3 r
V
•
∂%
∂t
+ div~j = 0∀V ⇒
Green'sche Identität:
∂%
∂t
~ ~j = 0
+∇
Kontinuitätsgleichung
ϕ, ψ :Skalarfelder
Z I
~ ∇ψ
~
~ df~
ϕ4ψ + ∇ϕ
d3 r =
ϕ∇ψ
V
∂V
1.5.2 Stokes
F:
eine Fläche,
∂F :
umschlieÿender Pfad der Fläche F,
I
∂F
~ r=
Ed~
Z
df~:
Flächenelement von F
~ f~
rotEd
F
Herleitung: Die Rotationen der Grenzächen benachbarter innitesimaler Flächenstücke
heben sich gegenseitig auf, so dass nur die Grenzlinie übrig bleibt.
4
2 Elektrostatik
2.1 Coulombgesetz
Die gesamte Elektrostatik basiert auf dem Coulombgesetz (1785):
~x1 − ~x2
F~1 = k · q1 q2 ·
|~x1 − x~2 |3
Die Gesamtkraft auf ein Teilchen ist die Vektorsumme der einzelnen Coulombschen Zweikörperkräfte:
F~i (~xi ) = qi ·
X
qj
j6=i
~xi − x~j
|~xi − x~j |3
2.2 Einheitensysteme
•
Gauss-cgs:
•
MKSA(SI):
k=1
k ≡
F
10−12 m
Ladungseinheit
1
4π0
≡ 10−7 c2 ,
≡
esE (esU)
Dielektrizitätskonstante des Vakuums
0 = 8, 854 ·
Wir verwenden das cgs-System.
2.3 Das elektrische Feld
Ein mathematisches Konzept
” lim ”
q→0+
F~ (~x)
~ x)
≡ E(~
q
Das E-Feld am Punkt
~x,
Elektrische Elementarladung
das eine Punktladung am Ort
~x1
≈ 5 · 10−16 esu
erzeugt:
~ x) =q1 · ~x − ~x1
E(~
|~x − ~x1 |3
Lineare Superposition:
~ x) =
E(~
N
X
qj ·
j=1
Z
=
~x − ~x1
|~x − ~x1 |3
d3x0 %(~x0 ) ·
~x − ~x1
|~x − ~x1 |3
Punktladung q, geschlossene Fläche S:
I
⇒
(
~ · n̂da = 4πq
E
0
S
5
q ∈ V (S)
q∈
/ V (S)
2.3.1 Das Gauÿ'sche Gesetz
Verallgemeinert obiges Integral:
I
~ · n̂da = 4π
E
Z
d3x%(~x)
V
S
Eine der Grundgleichungen der Elektrostatik. Sie folgt aus:
• F ∼
• F
•
1
r2
ist Zentralkraft
lineare Superposition der Wirkungen verschiedener Ladungen
Mit Gauÿschem Integralsatz:
Z
~ ·E
~ − 4π% = 0
d3x ∇
⇒
V
V beliebig
~ · E(~
~ x) = 4π%(x)
⇒∇
(1)
~x − ~x0
|~x − ~x0 |3
Z
1
3 0
0
(x)
~
= d x %(~x ) · −∇
|~x − ~x0 |
Z
0
%(~
x
)
(x)
3
0
~
=−∇
dx
|~x − ~x0 |
~ ×E
~ =0
⇒∇
~ x) Coulomb
E(~
=
Z
d3x0 %(~x0 ) ·
~ × E(~
~ x) = 0
⇒∇
(2) ⇒
(2)
Das Skalarpotential (f =
ˆ Freiheitsgrad)
~ x)
~ x) = −∇Φ(~
E(~
| {z } | {z }
f =3
f =1
⇒ Poisson-Gleichung: 4Φ(~x) = −4π%(~x)
2.4 Das elektrische Potential
Die beim Transport von A nach B aufzubringende Arbeit ist:
ZB
W =−
A
F~ d~l = −q
ZB
~ ~l = q
Ed
ZB
dΦ = q · (Φ(B) − Φ(A))
A
A
q · Φ(~x) ist die potentielle Energie der Probeladung q im elektrischen Feld.
~
~ + C) → Φ kann um beliebige Konstanten verschoben werden.
E(Φ)
= E(Φ
6
(3)
(4)
Konvention:
Φ(∞) = 0 ⇒ Wi = q ·
R~xi
∞
Superposition des el. Potentials:



dΦ = q · Φ(~xi ) 

Φ(~xi ) =
n−1
P
j=1

qj


|~
xi −~
xj | 
⇒ W i = qi ·
n−1
P
j=1
qj
|~
xi −~
xj |
Gesamte potentielle Energie:
n X
X
W =
i=1 j<i
qi qj
=
|~xi − ~xj |
1
2
P
i,j,i6=j
qi qj
|~
xi −~
xj |
(5)
Oder die potentielle Energie der Ladungsdichte:
Z
Z
1
%(~x)%(~x0 )
3
W =
d x d3x0
2
|~x − ~x0 |
Z
1
=
d3x%(~x)Φ(~x)
2
Z
1
Poisson
d3xΦ · 4Φ
= −
8π
Z
1
~
~
=
· ∇Φ
d3x ∇Φ
8π
2
=
R
d3x
|E~ |
Beispiel: idealisierter Plattenkondensator
Bestehend aus 2 Platten mit der Fläche F, eine
(6)
8π
(Q+ )
in der x,y-Ebene bei z=0, die zweite
(Q− ) parallel und exakt darüber bei z=d. Idealisierung: d Q
~
Ladungsdichte σ(0) =
F = −σ(d). Aus Symmetriegründen: E
√
F.
k ~ez . Oensichtlich bei z=0:
~ + (~x) = E+ (|z|)sgn(z)êz . Lege Gauÿ'sches Kästchen ∆V = ∆F · ∆z bei z=0 um die
E
R
~ + df~ = 2E+ (z = ± ∆z ) · ∆F = 4πσ∆F
untere Platte:
E
2
∆V
(
~ + = 2πσ · sgn(z)êz
E
⇒
~ − = −2πσ · sgn(z − d)êz
E
~ Kondensator =E
~+ + E
~−
E
(
4πσêz z ∈ (0, d)
=
0
z∈
/ (0, d)


z<0
0
⇒ ΦKondensator (x, y, z) = −4πσz 0 < z < d


−4πσd d < z
Weitere Gröÿen des Kondensators:
•
Spannung
U ≡ Φ(0) − Φ(d) = 4πσd = 4π Q
F ·d
•
Kapazität
C≡
•
Energie
E=
R
Q
U
=
F
4π·d
~2 3
E
8π d x
= 21 CU 2
7
2.4.1 Lokalisierte Ladungsverteilungen (ohne Randächen)
Hier ist die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung:
Z
Φ(~x) =
d3x0
%(~x)
|~x − ~x0 |
Erinnerung:
4(x)
1
= −4πδ(~x − ~x0 )
|~x − ~x0 |
z.B. in Kugelkoordinaten:
4ψ
4
1
r
∂ψ ∂ψ
1
2 ∂ψ
+O
= 2 ∂r r
+
r
∂r
∂ϑ
∂ϕ
1
1
= 2 ∂r −r2 2 = 0, r 6= 0
r
r
| {z }
const.
2.4.2 Problem mit Randbedingungen
Allgemein: 1. Green'sche Identität
→
2. Green'sche Identität: Vertausche
ψ, φ
und sub-
trahiere die beiden Terme voneinander
Z
d3x (ϕ4ψ − ψ4ϕ) =
⇒
V
I ∂ψ
∂ϕ
ϕ
−ψ
df
∂n
∂n
∂V
∂
∂n ist die Ableitung in Richtung der Flächennormale:
∂f
~ ·f
= ~n∇
∂n
Wähle
ϕ =Φ
ψ=
Z
→
3 0
dx
eine Lösung der Poissongleichung
1
1
≡ , ~x ∈ V
|~x − ~x0 |
R
0
−4πΦ(~x )δ(~x − ~x0 ) +
I
4π
0
%(~x ) =
...
|~x − ~x0 |
V
∂V
Z
⇒ Φ(~x) =
d3x0
%(~x0 )
R
+
1
4π
V
I 1 ∂Φ
∂ 1
−Φ 0
da0
0
R ∂n
∂n R
∂V
Ist die Lösung für Cauchy'sche Randbedingungen:
Φ|∂V
∂Φ ,
∂n0 ∂V
beliebig
Das ist zwar mathematisch korrekt, aber nicht physikalisch, da das Problem überbestimmt
ist, "Lösung für ein Problem, das nicht existiert".
Wenn die Fläche
und damit
Φ|∂V
∂V
und
selbst nicht Teil einer Ladungsverteilung
%
ist, gilt auf ihr
4Φ = 0
∂Φ ∂n ∂V sind nicht beliebig. Die Lösung der Poissongleichung innerhalb
eines Volumens V, dessen geschlossene Begrenzungsäche
dingungen erfüllt, ist eindeutig bestimmt:
8
∂V
eine der folgenden Randbe-
•
Φ|∂V = 0
• Neumann: ∂Φ
∂n ∂V = 0
Dirichlet:
Φ1 , Φ2 zwei unterschiedliche
4U = 0
∂V : U = 0 oder ∂U
∂n = 0
Beweis: Seien
Lösungen der Poissongleichung.
U ≡ Φ1 − Φ2
Innerhalb von V:
Auf
1. Green'sche Identität:

Z

~
d x U 4U + ∇U
|{z}
3
2
I
=
=0
V
Z
∂V
∂U
da U
∂n}
| {z
=0
d3x (gradU )2 = 0
⇒
V
⇒gradU = 0(x ∈ V )
⇒U = konstant ⇒ Φ1 = Φ2 + konstant
~ -Feld.
⇒Φ1 , Φ2 ergeben das gleiche E
2.4.3 Green'sche Funktionen
Der Green'sche Satz war keine Lösung eines Randwertproblems.
G(~x, ~x0 )
Green'sche Funktion
Operators
L
ψ =
1
1
|~
x−~
x0 | war eine
des Laplace-Operators. Eine Green'sche Funktion
erfüllt die Gleichung
L · G(t) = δ(t).
G
eines
Für den Laplaceoperator ergibt sich
demnach:
4G(~x, ~x0 ) = −4πδ(~x − ~x0 )
Die allgemeine Lösung beim Laplaceoperator ist:
G(~x, ~x0 ) =
1
+
|~x − ~x0 |
F (~x, ~x0 )
| {z }
Lösung von 4F =0
Damit haben wir eine zusätzliche Freiheit, die Randbedingungen des betrachteten Problems
zu erfüllen.
ϕ = Φ, ψ = G(~x, ~x0 ):
Z
I 1
∂G
3 0
0
0
0 ∂Φ
0
⇒ Φ(~x) = d x G(~x, ~x )%(~x ) +
G(~x, ~x ) 0 −
Φ(~x ) da0
4π
∂n
∂n0
Betrachte 2. Green'sche Identität mit
V
•
∂V
Dirichlet gegeben: Φ|∂V = 0
GD (~x, ~x0 ) = 0, ~x0 ∈ ∂V, x ∈ V
GD (~x, ~x0 ) = GD (~x0 , ~x)
Z
I
1
∂GD
3 0
0
0
⇒ Φ(~x) = d x GD (~x, ~x )%(~x ) −
Φ(~x0 )da0
4π
∂n0
V
∂V
Ist die formale Lösung des Dirichlet'schen Randwertproblems.
1
Es gibt unendlich viele
9
•
Neumann
nicht
∂Φ ∂n0 ∂V
gegeben:
∂GN einfach
∂n S
=0
=0
!Gauÿscher Integralsatz für
Z
⇒
da0
4G = −4πδ
∂G
= −4π 6= 0
∂n0
S
Einfachste erlaubte Randbedingung:
Z
⇒ Φ(~x) = hΦiS +
∂GN
∂n0
=
−4π
F∂V
1
d x GN (~x, ~x )%(x~0 ) −
4π
3 0
0
V
I
GN (~x, ~x0 )
∂Φ
∂n0
∂V
Ist die formale Lösung des Neumann'schen Randwertproblems.
2.4.4 Bestimmen von GD und GN
Zur Bestimmung von
GD
und
GN
gibt es keine Methode, die mit Sicherheit immer zum
Erfolg führt. Eine Möglichkeit ist die Methode der Interpretation von F als Potential von
Bildladungen auÿerhalb des betrachteten Volumens:
4F |∂V = 0 ⇒
Potential von Ladungen auÿerhalb von V
Bestimme die Bildladungen auÿerhalb von V, so dass auf
∂V
gerade die Randbedingungen
erfüllt sind.
Beispiel: Punktladung q
über geerdeter, unendlich groÿer Metallplatte
Vereinfachende Annahmen oBdA:
•
Die Metallplatte liegt in der x-y-Ebene
•
Die Punktladung bendet sich am Punkt
Randbedingung:
(0, 0, zq )
Φ(x, y, 0) = 0 (Dirichlet).
Ansatz: Ersetze Metallplatte durch leeren Raum+Bildladung qB
Φ(~r) =
an der Stelle
(0, 0, zB ).
q
qB
!
+
= 0 : ~r = (x, y, 0)∀x, y ∈ R
|~r − ~rq | |~r − ~rB |
q
qB
2
= −q
⇒ q = −qB , zq2 = zB
⇒q
2
2
2
2
2
2
x + y + zq
x + y + zB
(
zB = zq erfüllt
2 Lösungen:
zB = −zq
⇒ Φ(~r) = q ·
Randbedingungen, aber nicht das Ausgangsproblem:
1
1
−
|~r − ~rq | |~r − ~rB |
Verallgemeinerungen:
1.
~rq = (x, y, z) → ~rB = (x, y, −z)
2.
GD (~r, ~rq ) = 1q Φ(~r, ~rq )
• 4GD = −4πδ(~r − ~rq )
• symmetrisch in (~r, ~rq )
• Randbedingung: GD |~rq =(x,y,0) = 0
10
erfüllt die Randbedingungen
Φ = 0∀x, y, z
2.4.5 Entwicklung nach orthogonalen Funktionen
2
Betrachte quadratintegrierbare
Funktionen
f (x)
auf
I = [a, b].
Die Menge
{ UN : I → (C)| n ∈ N}
ist
•
orthonormal, wenn
Rb
Un∗ (x)Um (x)dx = δn,m
a
•
vollständig, wenn
∞
P
n=1
Un∗ (x0 )Un (x) = δ(x0 − x)
⇒ f (x) =
∞
X
Zb
αn Un (x) ,
αn =
n=1
f (x)Un∗ (x)dx
a
Beispiele:
•
Fourier-Reihen
I = [− a2 , a2 ], {Un } =




√1 ,
 a


•
r




r
2
2πnx
2
2πnx
sin(
),
cos(
)
a {z a
a }

| a

n≥1
Fourier-Integral
I = R, {Un } =
eikx
√
2π
k∈R
1
⇒ f (x) = √
2π
Z∞
A(k)eikx dk
−∞
2.4.6 Trennung der Variablen
Laplace-Gleichung in kartesischen Koordinaten:
(∂x2 + ∂y2 + ∂z2 )Φ = 0
Ansatz:
Φ(x, y, z) = X(x) · Y (y) · Z(z).
⇒
1
1 2
1 2
∂x2 X(x) +
∂y Y (y) +
∂ Z(z)
X(x)
Y (y)
Z(z) z
|
{z
} |
{z
}
|
{z
}
=const.=−α2
Nach einsetzen und teilen durch
=const.=−β 2
Φ.
=0
=const.=γ 2 =α2 +β 2
Die einzelnen Terme müssen konstant sein, da sonst
im Allgemeinen die Summe nicht Null ist.
√
2
2
⇒ Φ(x, y, z) = e±iαx e±iβy e± α +β z
Beispiel für Variablentrennung: Quader mit Kantenlängen (x=a,y=b,z=c)⇒ V=abc
Randbedingungen:
2
•
auf den vertikalen und auf der unteren Fläche
•
auf der verbleibenden Fläche
Quadratintegrabel:
Rb
Φ = ΦC
|f (x)|2 dx < ∞
a
11
Φ = 0,
Ansatz:
∞
P
Φ=
An,m · sin(αm x) · sin(βn y) · sinh(γm,n z)
mit
αm =
m,n=1
π
q
m2
a2
+
mπ
a ,
βn =
nπ
b ,
γn,m =
n2
b2
Randbedingungen:
• 5×Φ=0
•
obere Fläche:
ΦC (x, y) =
P
An,m sin(αm x) sin(βn y) sinh(γn,m c)
n,m
4
ab sinh(γn,m c)
⇒ An,m =
invertierte Fouriertransformation
Ra
Rb
dx dyΦC (x, y) sin(αm x) sin(βn y)
0
0
Das allgemeine Problem ist dann gelöst durch die lineare Superposition verschiedener
Einzelächen.
2.4.7 Laplace'sche Gleichung in Kugelkoordinaten
1
1
1
4Φ = ∂r2 (r · Φ) + 2
∂θ (sin θ · ∂θ Φ) + 2 2 ∂ϕ2 Φ = 0
r
r sin(θ)
r sin θ
Trennung der Variablen. Ansatz:
Φ(r, θ, ϕ) =
U (r)
r
· P (θ) · Q(ϕ).
Die Lösung beinhaltet 2
Konstanten:
• −m2
• l · (l + 1)
⇒







1 2
Q ∂ϕ Q
∂r2 U − l(l+1)
hr2 U
1
sin(θ) ∂θ (sin(θ)∂θ P )
+ l(l + 1) −
= −m2 (1)
m2
sin2 θ
i
P
=
0
(2)
=
0
(3)
(1) ⇒ Q = e±imϕ = e±im(ϕ+2π) ⇒ m ∈ Z
(2) ⇒ U = A · rl+1 + B · r−l
l ist zunächst unbestimmt, später: divU = 0
⇒ l ∈ Z+ ∪ {0}
(3)x ≡ cos θ, P = P (x)
d
m2
2 dP
⇒
(1 − x )
+ l(l + 1) −
P =0
dx
dx
1 − x2
•
m=0: gewöhnliche Legendre'sche Dierentialgleichung
•
m6=0: zugeordnete Legendre'sche Dierentialgleichung
2.4.8 Legendrepolynome
Normiert auf 1 bei x=1
Pl (x) =
1 dl 2
(x − 1)l ,
2l l! dxl
P0 = 1
P1 = x
P2 = 21 (3x2 − 1)...
Die Legendrepolynome sind (−1
≤ x ≤ 1):
12
l ∈ Z+ ∪ {0}
•
orthogonal
Z1
dxPl (x)Pl0 (x) =
2
δl,l0
2l+1
−1
•
vollständig
∞
X
2l + 1
2
l=1
Pl (x)Pl (x0 ) = δ(x − x0 )
f (x), x ∈ [−1, 1] ⇒ f (x) =
∞
X
Al Pl (x)
l=0
Vollständigkeit
→
Al =
Z
2l + 1
2
1dxf (x)Pl (x)
−1
Z1
dxPl (x)Pl0 (x) = C · δl,l0
−1
(
0 x<0
Beispiel: Θ(x) = 32 P1 − 78 P3 + 11
16 P5 ... =
1 x>0
2.4.9 Randwertprobleme mit azimutaler Symmetrie
Φ(r, θ, ϕ) = Φ(r, θ) ⇒ m = 0
∞ X
l
−l−1
Pl (cos θ)
Al r − B l r
⇒ Φ(r, θ) =
l=0
Beispiele
•
Gegeben:
V (θ)
Φ(r < a, θ)
P
!
Al al Pl (cos θ) = V (θ)
⇒ Bl = 0∀l,
auf r=a, gesucht:
Keine Ladung bei r=0
l
Vollständigkeit
⇒
2l + 1
Al =
2a2
Zπ
0
z.B.
(
V
V (θ) =
−V
Punktladung bei
Trick:
Φ(r, θ)
d cos θ
θ ∈ [0, π2 ]
θ ∈ ( π1 , π]
⇒Φ=V ·
•
dθ
sin θ} V (θ)Pl (cos θ)
| {z
3r
7 r3
P1 (cos θ) −
P
(cos
θ)...
3
2a
8 a3
~x0
ist eindeutig festgelegt durch
Wähle Koordinatensystem, so dass
Wähle Koordinatensystem, so dass
13
Φ(r, θ = 0)
 
0
~x0 = r0 · êz ⇒ ~x0 =  0 
r0
 
0
~x = r · êz ⇒ ~x = 0
r
Taylor:
∞ l
∞
l
X
r<
1
1
1
1 X r<
r> = max(r, r0 )
⇒
=
=
=
0
r< = min(r, r )
|r − r0 |
r> 1 − r< |r> |
rl
rl+1
l=0 >
l=0 >
r>
Vergleiche mit
P
Al rl + Bl r−l−1
l
r = r> ⇒
r = r< ⇒
Al = 0, Bl = q · (r0 )l
1
Bl = 0, Al = 0 l+1
(r )
Überall:
Φ(r, θ) = q
∞
l
X
r<
l=0
l+1
r>
Pl (cos θ)
2.4.10 zugeordnete Legendrepolynome
m 6= 0
⇒ Pl (x) → Pl,m (x)
m
Pl,m (x) = (−1)m (1 − x2 ) 2
Pl,m (x) = (−1)m
dm
Pl (x)
dxm
(l − m)!
Pl,−m (x)
(l + m)!
Z1
Pl,m (x) · Pl0 ,m (x)dx =
l≥m≥0
−l ≤m≤0
2 (l + m)!
δl,l0
2l + 1 (l − m)!
−1
2.4.11 Kugelächenfunktionen
s
Yl,m (θ, ϕ) =
2l + 1 (l − m)!
· Pl,m (cos θ)eimϕ
4π (l + m)!
m≥0
∗
(θ, ϕ)
Yl,m (θ, ϕ) = (−1)m Yl,−m
•
orthogonal:
Z2π
Zπ
dΦ
0
•
m≤0
dθ sin θYl∗0 ,m0 (θ, ϕ)Yl,m (θ, ϕ) = δl,l0 δm,m0
0
vollständig:
∞ X
l
X
∗
Yl,m
(θ, ϕ)Yl,m (θ0 , ϕ0 ) = δ(ϕ − ϕ0 )δ(cos θ − cos θ0 )
l=0 m=−l
• Additionstheorem:
l
4π X ∗ 0 0
Yl,m (θ , ϕ )Yl,m ( θ, ϕ ),
Pl (cos γ) =
| {z }
|{z}
2l + 1
m=−l
~
x0
14
~
x
γ = ~x∠~x0
2.4.12 Entwicklung Green'scher Funktionen in Kugelächenfunktionen
• Ohne Randbedingungen
∞
G(~x, ~x0 ) =
X rl
1
<
=
P (cos θ)
l+1 l
|~x − ~x0 |
r>
=
l=1
∞
X
l=1
l
l
4π X r<
Y ∗ (θ0 , ϕ0 )Yl,m (θ, ϕ)
l+1 l,m
2l + 1
r
m=−l >
• Mit Dirichlet-Randbedingungen

GD (~x, x~0 ) = 4π

l
1 
 r<
 l+1
2l + 1  r>
m=−l

l
r<
l+1
r>
Allgemein:

l
X X
l
"
auf r=a, für r>a:
1
−
a
a2
r · r0
1
−
a
|
a2
r · r0
{z
Spiegelladung:
l+1
}
2
rs = ar0 ,qs =−q ra0


 ∗ 0 0
·Yl,m (θ , ϕ )Yl,m (θ, ϕ)



 0 1l+1 rl − a2l+1
l+1
(r )
r
= 1
 (r0 )l − a2l+1
(r0 )l+1 rl+1
l+1 #
4(x) G(~x, ~x0 ) = −4πδ(~x − ~x0 ), ~x0
auf
∂V ,
r < r0
r > r0
V eine Kugel.
1
δ(r − r0 )δ(ϕ − ϕ0 )δ(cos θ − cos θ0 )
r2
∞ X
l
X
1
0
∗
(θ0 , ϕ0 )Yl,m (θ, ϕ)
= 2 δ(r − r )
Yl,m
r
δ(~x − ~x0 ) =
l=0 m=−l
G(~x, ~x0 ) =
0
0
0
Al,m (r, r , θ , ϕ )
∞
X
l
X
Al,m (r, r0 , θ0 , ϕ0 )Yl,m (θ, φ)
l=0 m=−l
∗
=gl (r, r0 )Yl,m
(θ0 , ϕ0 )
l(l + 1)
1 d2
4π
(rgl ) −
gl = − 2 δ(r − r0 )
2
r
r
r
(
l
−l−1
Ar + Br
r < r0
⇒gl (r, r0 ) =
A0 rl + B 0 r−l−1 r > r0
⇒
dr2
2.4.13 Entwicklung Green'scher Funktionen nach Eigenwerten
Elliptische Dierentialgleichung
∇2 ψ(x) + [f (x) + λ] · ψ(x) = 0
λ gibt es Lösungen, sie sowohl endlich als auch stetig sind.
λn . Die ψ(x), die die DGL mit λ = λn erfülle, heiÿen Eigen-
Nur für bestimmte Werte von
Diese
λ
heiÿen Eigenwerte
funktionen.
∇2 ψn (x) + [f (x) + λn ] · ψn (x) = 0
Sie sind
•
Orthogonal:
Z
∗
d3xψm
(x)ψn (x) = δm,n
V
15
•
Vollständig (gilt nicht immer, nehmen wir aber an).
∇2(x) G(~x, ~x0 ) + [f (x) + λ] G(~x, ~x0 ) = −4πδ(~x − ~x0 ) (λ 6= λn )
X
am (~x0 )ψm (~x)
G( |{z}
~x , |{z}
~x0 ) =
Variable Parameter
→
X
m
am (~x0 ) · (λ − λm )ψm (x) = −4πδ(~x − ~x0 )
m
ψn∗ (~x0 )
λn − λ
X ψ ∗ (~x0 )ψn (~x)
n
⇒ G(~x, ~x0 ) = 4π
λn − λ
n
Vollständigkeit
⇒
an (~x0 ) = 4π
Beispiel: f (x) + λ = 0
Wellengleichung:


~k 2
|{z}
4 +
 ψ~ (~x) = 0
k
kontinuierliche Eigenwerte
Eigenfunktionen:
ψ~k (~x) =
1
(2pi)
~
3
2
eik~x
Normierung
Z
d3x ψ~k∗0 (~x)ψ~k (~x) = δ(~k − ~k 0 )
R
1
1
= 2
G(~x, ~x ) =
|~x − ~x0 |
2π
0
Z
~
0
eik(~x−~x )
dk
~k 2
3
(Fourierintegral)
2.4.14 Multipolentwicklung
%(~x),
Lokalisierte Ladungsverteilung
⇒ Φ(~x) =
∞ X
l
X
l=0 m=−l
d.h.
%(~x) = 0∀|~x| ≥ R.
Yl,m (θ, ϕ)
4π
ql,m
2l + 1
rl+1
Sei
r = |~x| > R.
ist allgemeine Lösung von
4Φ = 0
R
x0 )
Φ = d3x |~x%(~
x| > |~x0 |:
−~
x0 | für |~
X Z
Yl,m (θ, ϕ) 1
3 0 0l ∗
0
0
0
⇒ Φ(~x) = 4π
d x r Yl,m (θ , ϕ )%(~x )
rl+1 2l + 1
Entwickle Coulombpotential
l,m
Koezientenvergleich
Z
⇒
Die Multipolmomente
Multipolmomente
ql,m
ql,m =
∗
d3x0 r0l Yl,m
(θ0 , ϕ0 )%(~x0 )
hängen im Allgemeinen von der Wahl des Koordinatensystems
ab. Beispiele:
q0,0
q1,1
q1,0
q2,0
q
d3 x0 %(~x0 )
q
R
3
· d3 x0 (x0 − iy 0 )%(~x0 )
− 8π
q
R 3 0 0
3
·
d x z %(~x0 )
4π
q
R
5
3 0
02
02
x0 )
16π · d x (3z − x )%(~
1
4π
·
R
16
q
3
· (Px − iPy )
− 8π
q
3
4π · Pz
q
5
16π · Q̃z,z
Z
d3x0 %(~x0 )
Z
d3x0 x0i %(~x)
Z
d3x0 3x0i x0j − ~x02 δi,j %(~x0 )
Q≡
Pi ≡
Q̃i,j ≡
In Kugelkoordinaten:
~ = ~er ∂r + ~eθ 1 ∂θ + ~eϕ 1 ∂ϕ
∇
r
r sin θ
Yl,m (θ, ϕ)
l+1
ql,m
2l + 1
rl+2
4π
1
Eθ = −
ql,m l+2 ∂θ Yl,m
2l + 1
r
4π
im Yl,m
Eϕ = −
ql,m l+2
2l + 1
sin θ
r
Er =4π
z.B. Monopol:
(Er , Eθ , Eϕ ) = ( rQ2 , 0, 0); Dipol auf z-Achse: (Er , Eθ , Eϕ ) =
P
(2 cos θ, sin θ, 0)
r3
2.4.15 Multipolentwicklung einer Ladungsverteilung im äuÿeren Feld
•
lokalisierte Ladungsverteilung
•
äuÿeres Feld
•
Annahme:
%(~x)
mit maximalem Durchmesser D
~ = −∇Φ(~
~ x)
E
−1
~ ∇Φ
Φ D
Elektrostatische Energie des Systems:
Z
W =
d3x %(~x) · Φ(~x)
1 X
∂2
~
~0 +
Φ(~x) =Φ ~0 + ~x · ∇Φ
Φ ~0
xi xj ·
2
∂xi ∂xj
i,j
X
∂Ej ~ ~ ~0 − 1
=Φ ~0 + ~x · E
xi xj ·
0
2
∂xi
i,j
1
~E
~ = 0 ⇒ r2 ∇
~E
~ ~0 = 0
∇
6
1X
∂Ej ~ 2
~
~
~
3xi xj − r δi,j ·
0
⇒ Φ(~x) =Φ 0 − ~xE 0 −
6
∂xi
i,j
~ ~0 − 1 Q̃i,j · ∂Ej
~0
W =q · Φ ~0 − p~ · E
6
∂xi
2.5 Elektrostatik der Dielektrika
2.5.1 Mikroskopisch↔Makroskopisch
Maxwellgleichungen im Vakuum (Mikroskopisch):
~ = 4π%
div E
17
~ =0
rot E
Für wenige Ladungen (O(1))
→ Lösung, für viele Ladungen (O(1023 )) → Mittelung notwendig,
bestimme Makrofeld.
~ Mikro = 0 ⇒ rot E
~ Makro = 0 ⇒ E
~ Makro = − grad ΦMakro
rot E
Problem: Äuÿeres Feld (Makrofeld) verändert mikroskopische Multipolmomente.
Dipolmoment, Ladung und Dichte vom Molekül des Typs i:
wert über ein kleines Volumen um
p~i , ei , Ni .
<...> ist der Mittel-
~x.
Makroladungsdichte
%(~x) =
X
Ni < ei > +%Frei
i
Makropolarisationsdichte
p(~x) =
X
Ni < pi >
i
Volumen
∆ V:
|{z}
Beitrag
Delta
Betrachte
%(~x) · ∆V
p~(~x) · (~x − ~x0 )
∆
Φ(~
x
)
=
+
∆V
·
|{z}
|~x − ~x0 |
|~x − ~x0 |3
Delta
∆V → 0: ∆V → d3x0 ,
P
→
R
%(~x0 )
~ (x0 ) 1
⇒ ΦMakro (~x) = d x
+ p~(~x0 ) · ∇
0
|~x − ~x |
|~x − ~x0 |
Z
h
i
1
0
~ (x0 ) p~(~x)
·
%(~
x
)
−
∇
= d3x
|~x − ~x0 |
h
i
~E
~ Makro =4π · % − ∇~
~p
⇒∇
Z
3
~ ×E
~ Makro =0
⇒∇
~ + 4π~
~D
~ ≡∇
~ E
p = 4π%
∇
Polarisationsladungsdichte
~ p,
%p = −∇~
einfachste Annahme: Das Medium ist
~
• linear |~
p| ∼ |E|
~
• isotrop p~kE
⇒ p~ =
~
·E
χe
|{z}
elektrische Suszeptibilitätskonstante
~ = (1 + 4πχe ) · E
~ ≡
D
|{z}
~
·E
Dielektrizitätskonstante
Wenn das Medium auch
homogen ist ((~x) = ):
~E
~ = 4π %
∇
← Abschirmung
freier Ladungen
2.5.2 Grenzächen 1 → 2
σ:
freie Ladungsdichte auf der Oberäche. Es gilt:
~2 −D
~ 1 · n̂1→2 =4πσ
D
~2 − E
~ 1 × n̂1→2 =0
E
18
2.5.3 Elektrostatische Energie in dielektrischen Medien
R
Z
δW = d3x δ% · Φ
1
~
~ δD
⇒ δW =
d3x Φ · ∇
~
~ δD
~D
~ = 4π% ⇒ δ% = 1 ∇
∇
4π
4π
Z
(partiell) 1
~
~ x) · δD
d3x E(~
=
4π
~ end (~x) = 1
⇒W D
4π
i
h
Z
3
~ end
D
Z
h i
~
~ · δD
~ D
E
dx
0
Ansatz:
~ = D(~
~ x, τ ),
D
~ x, 0) = ~0,
D(~
1
⇒W =
4π
~ x, 1) = D
~ end
D(~
Z
3
Z1
dx
i
h
~
~ x, τ ) · ∂ D
~ D(~
dτ E
∂τ
0
lineares, isotropes, homogenes Medium:
~ =·E
~ = 1δ E
~ = E
~ ⇒E
~ · δD
~ · δE
~ ·D
~
D
2
⇒ Wlin.M ed
1
=
8π
19
Z
~ ·D
~
d3x E
3 Magnetostatik
3.1 Einführung
Wesentlicher Unterschied zwischen Magneto- und Elektrostatik: es gibt keine magnetische Ladungen
(Monopole)
~j
•
stationäre, lokalisierte Stromdichte
•
Magnetischer Dipol mit magnetischem Moment
•
Magnetische Flussdichte (Induktion)
~
B
⇒ mechanisches
~ ∼m
~
N
~ ×B
~ ∼q·E
~
Elektrostatik F
Drehmoment
vgl.
•
m
~
Oersted (1819 Kopenhagen): Elektrische Ströme
Ladungserhaltung
Magnetostatik:
Magnetismus
∂% ~ ~
+ ∇j = 0
∂t
~ ~j = 0.
∇
Ampère (1820-25): Das vom Stromelement
Induktion:
↔
~
I · dl
induzierte Element
~
dB
der magnetischen
~ × ~x
dl
1
·I
c (cgs-Einheiten)
|~x|3
~ = q · dv
~ mit v 1 und ∂~v = 0:
I · dl
c
∂t
~ =
dB
Nichtrelativistisch:
~ x) = q ·
B(~
Weber&Kohlrausch:
~v
c
× ~x
q ~v × ~x
= ·
|~x|3
c |~x|3
Geschwindigkeit
z}|{
↔
emE
|{z}
Statik
esE
|{z}
Statik
3.1.1 magnetische Kraft
Die von einer magnetischen Induktion
~2
B
auf ein Stromelement
~1
I1 · dl
wirkende Kraft:
~ = I1 · dl
~1×B
~2
dF
c
Realistische Betrachtung: Stöme ieÿen in geschlossenen Schleifen. Wird
einem Strom
I2
durch eine Schleife 2 verursacht, so gilt
I1 I2
F~1 = 2
c
I I
1
~
~ 1 × dl2 × ~x12
dl
|~x12 |3
2
20
~2
B
nun selbst von
3.1.2 Ampère'sches Gesetz
mit
~ 1 × (dl
~ 2 × ~x12 ) = −(dl
~ 1 · dl
~ 2 ) · ~x12 + dl
~ 2 · (dl
~ · ~x ) = −(dl
~ 1 · dl
~ 2 ) · ~x12 :
dl
| 1H{z 12}
=0
Ampère'sches Gesetz:
I1 I2
F~1 = − 2
c
I I
~ 1 dl
~ 2 ) · ~x12
(dl
|~x12 |3
Erfüllt oensichtlich das 3. NEWTON'sche Axiom:
F~1 = −F~2 .
3.1.3 Verallgemeinerung
Stromdichte
~j(~x),
äuÿere magnetische Induktion
~ x ):
B(~
Z
1
~
~ x) (∗)
Kraft F =
d3x ~j(~x) × B(~
c
Z
1
~
~
Gesamtdrehmoment N =
d3x ~x × (~j × B)
c
3.2 Dierentialgleichungen der Magnetostatik
Ampère:
vgl.
Z
~x − ~x0
1
~
d3x0~j(~x0 ) ×
B(~x) =
c
|~x − ~x0 |3
Z
1~
1
= ∇
× d3x0~j(~x0 ) ·
c
|~x − ~x0 |
~B
~ =0
⇒∇
Z
0
~ x) = d3x0 %(~x0 ) · ~x − ~x
Elektrostatik E(~
0
|~x − ~x |3
Z
1
~ · d3x0 %(~x0 ) ·
=∇
|~x − ~x0 |
~ ×E
~ =0
⇒∇
~E
~ = 4π%
∇
mit
!
Z
0)
~
1
j(~
x
~ ×B
~ = ∇
~ × ∇
~ × d3x0
∇
c
|~x − ~x0 |
~ × ∇
~ ×X
~ =∇
~ ∇
~X
~ − 4X
~ und ∇
~ (x) ~j(~x0 )f (~x) = ~j(~x0 ) · ∇
~ (x) f (~x):
∇
~ (x) × B
~ =∇
~ (x)
c·∇
Z
~ (x) 1
d x j(~x) · ∇
−
|~x − ~x0 |
|
{z
}
3 0~
1
~ 0
=−∇
(x ) |~
x−~
x0 |

~ (x)
=∇
Z

d3x0 
Z
1
d3x0 ~j(~x) 4(x)
|~x − ~x0 |
|
{z
}
=4πδ(~
x−~
x0 )

~ (x0 )~j(~x0 )
∇
| {z }
=0:

·
Magnetostatik
21
1
+ 4π~j(~x)
|~x − ~x0 |
~ × B(~
~ x) = 4π ~j(~x)
⇒∇
c
Mit dem Satz von Stokes:
Z
S
Z
4π
~
~
dn ∇ × B · n̂ =
dn ~j · n̂
c
S
I
(Stokes)
~
~ dl
=
B
∂S
Ampère'sches Durchutungsgesetz:
I
⇒
~ = 4π ·
~ dl
B
c
∂S
IS
|{z}
Gesamtstrom auf Oberäche
3.2.1 Maxwellgleichungen der Magnetostatik
~ ×B
~ = 4π ~j
∇
c
~
~
∇B = 0
Lösung von (2):
~ ≡∇
~ ×A
~, A
~:
B
(1)
(2)
Vektorpotential. Eichtransformation:
~→A
~0 = A
~+∇
~ ψ̃
A
~ →B
~0 = B
~
B
ψ̃
~.
⇒ Freiheit bei der Bestimmung von A
~ × ∇
~ ×A
~ =∇
~ ∇
~A
~ − 4A
~=0
(1) → ∇
(10 )
ist eine beliebige skalare Funktion
Mit Coulombeichung: Wähle
ψ̃
so, dass
~A
~=0
∇
~=−
⇒ 4A
4π ~
j
c
(3)
= 3-fach Poisson
~ x) =
⇒ A(~
Check von (4): Ist
~ (x)
∇
Z
1
c
Z
d3x0
~j(~x0 )
|~x − ~x0 |
(4)
~A
~ = 0?
∇
Z
Z
~j(~x0 )
1
1
3 0~ 0 ~
~ (x0 )~j(~x0 ) = 0√
dx
= − d x j(~x )∇(x0 )
= d3x0
∇
0
0
0
|~x − ~x |
|~x − ~x |
|~x − ~x | | {z }
3 0
=0
Check von (3):
~A
~ =−
4 |{z}
∇
=0
4π ~ ~ √
∇j
c |{z}
22
=0
3.2.2 Magnetisches Moment
Lemma: lokalisiertes, quellenfreies ~j(~x), beliebige f (~x0 ), g(~x0 )
Z
⇒
f = 1, g =
x0i
h
i
~ (x0 ) g + g · ~j · ∇
~ (x0 ) f = 0
d3x0 f · ~j · ∇
Z
:
f = x0i , g = x0k :
Z
d3x0 ji (~x) = 0
(L1)
d3x0 x0i jk + x0k ji = 0
(L2)
Betrachte nun eine auf ein kleines Raumgebiet beschränkte Stromdichte
Taylor:
~j(~x0 ), |~x| |~x0 |.
1
1
~x · ~x0
=
+
+ O(|~x|−3 )
|~x − ~x0 |
|~x|
|~x|3
Z
Z
1
1
3 0
0
(10) → Ai (~x) =
d x ji (~x ) +
~x · d3x0 ji (~x0 ) · ~x0 +...
c|~x|
c|~x|3
|
{z
}
|
{z
}
~
=0 (L1)
Z
1
3 0 0
0 (L2)
3 0 0
~ ∼ xk d x xk ji (~x ) = − ~x × d x ~x × ~j
2
i
R
1
Moment m
~ ≡ 2c d3x0 ~x0 × ~j(~x0 )
Z
Das magnetische
~ × ~x
~ x) = m
⇒ A(~
+ O(|~x|−3 )
|~x|3
~ −m
~
~ x) = 3x̂ · (x̂ · m)
⇒ B(~
+ O(|~x|−4 ) Magnetisches Dipolfeld
3
|~x |
Beispiele
•
Strom I in einer Ebene, der die Fläche A einschlieÿt:
~ = I · A n̂
~x × dl
c
| {z }
I
I
⇒m
~ =
2c
=2An̂
•
Geladene Teilchen vom Typ i:
~j(~x) =
P
qi~vi δ(~x − ~xi ),
Drehimpuls
~i
L
i
⇒m
~ =
1
2c
P
qi ~xi × ~vi
i
~ i = Mi · ~xi × ~vi
L
)
⇒m
~ =
1 X qi ~
· Li
2c
Mi
i
Klassischer Zusammenhang zwischen Drehimpuls und magnetischem Moment
Quantenmechanik: Elektron hat Spin ~s (Eigenwerte ± 12 ), und ein magnetisches Moment
m
~ =g·
α≡
e
s,
2Me c ~
e2
~·c
|{z}
g = 2 · (1 + O(α)) ≡ |{z}
2 ·(1 + |{z}
a )
rel. QM
≈
1
137,035963... , theoretisch:
rel. QFT
a=
1α
2π
− [...]
α 2
π
+ [...]
dimensionslos
(1 + a)th = 1, 001159652460(±44)(±127)
(1 + a)exp = 1, 001159652211(±40)
(1 + a)2006
exp = 1, 00115965218085(±76)
23
α 4
...
π
3.3 Makroskopische Gleichungen der Magnetostatik
Mikroskopische Gleichungen:
~B
~ = 4π ~j
∇
c
~B
~ = 0,
∇
Elektronen im Atom
=
ˆ ~je
magnetische Momente von e,p und n
×1023 ⇒Mittelwert bilden: Betrachte statt eines
Punkts den Mittelwert in einem kleinen Volumen
∆V
um diesen Punkt:
~y → h~y i
~B
~ M akro = ∇h
~ B
~ M ikro i = h∇
~B
~ M ikro i = 0 ⇒ B
~ M akro = ∇
~ ×A
~ M akro
∇
Erinnerung: Lokalisierte Stromverteilung ~j
~ × ~x
~ x) = m
⇒ A(~
+ ... ,
|~x|2
1
m
~ =
2c
Z
d3x ~x × ~j(~x)
• mikroskopisch:
m(~
~ x) =
X
m
~ i δ(~x − ~xi )
i
• makroskopisch:
~ (~x) = hmi(~
M
~ x) =
X
Nk · hmi(~
~ x)
k
Nk
ist die Anzahl der Moleküle vom Typ k im jeweils betrachteten Volumen um
~ M akro (~x) = 1
⇒A
c
mit
~
x−~
x0
|~
x−~
x0 |3
~ (x0 ) 1 0
=∇
|~
x−~
x|
Z
"
d3x0
~ (~x0 ) × (~x − ~x0 )
~j(~x0 )
M
+
c
·
|~x − ~x0 |
|~x − ~x0 |3
und partieller Integration:

~ M akro (~x) = 1
A
c
Ab hier: kein Index
=
ˆ
#
Z
d3x0

1
~ 0
~ (x0 ) × M
~ (~x0 )
j(~x ) + c∇

|~x − ~x0 | |
{z
}
eektive Stromdichte
makroskopisch
~ ×B
~ = 4π ~j + 4π ∇
~ ×M
~
∇
c
~ ≡B
~ − 4π M
~ ⇒∇
~ ×H
~ = 4π ~j
H
c
~
~
~
H = H(B)
~B
~ =0 ,
∇
Verknüpfungsgleichungen
Einfachster Fall: Isotropes, lineares Medium:
~ = χm · H
~
M
~ =µ·H
~
B
χm :
Magnetische Suszeptibilität
µ : relative
Permeabilität
⇒ µ = 1 + 4πχm
3.3.1 Einteilung magnetischer Stoe
Diamagnetismus
χm < 0 , χm
•
|χm | ≈ 10−5 .
reiner Induktionseekt (Der Eekt benötigt keine magnetischen Dipole)
• →
•
ist temperaturunabhängig,
Alle Stoe sind Diamagneten
Spezialfall Supraleiter:
1
χm = − 4π
Ideale Diamagneten
24
~x.
Paramagnetismus
χm > 0, χm = χm (T ), |χm | ≈ 10−5 ..10−3 .
•
Magnetische Dipole werden im Feld ausgerichtet
Kollektiver Magnetismus
χm 0, χm
ist unterhalb von
TCurie
stark temperaturabhängig.
spontan parallel aus
•
Magnetische Dipole richten sich
•
Die wichtigsten Arten: Ferromagnetismus, Ferrimagnetismus, Antiferromagnetismus
3.3.2 Grenzächen
µ1
µ2 . Der Normalenvektor n̂ zeigt vom ersten zum zweiten Medium senkrecht zur Fläche.
Betrachte die Grenzäche A zwischen 2 Medien mit unterschiedlichen Permeabilitäten
und
• Gauÿ'scher Satz:
Z
0=
~B
~ d3x =
∇
V
Z
~ = (B
~ · da
~2 − B
~ 1 ) · n̂ · ∆A
B
∂V
~ 1 = n̂ · B
~2
⇒ n̂ · B
• Stokes'scher Satz, t̂ ist Normalenvektor
Z
I
~
~
~
~
~ · ds
∇ × H da = H
S
der Schleife:
~2 − H
~ 1 ) · ∆l
= t̂ × n̂ · (H
∂S
~2 − H
~ 1 ) · t̂ · ∆l
= n̂ × (H
=
4π
c
Z
~
~j da
=
~k
|{z}
Oberächenstromdichte
S
~2 − H
~ 1 ) = ~k
⇒ n̂ × (H
25
·t̂ · ∆l
4 Elektrodynamik
Stationäres Problem:
~ x) ,
%(~x) → E(~
~ x)
~j(~x) → B(~
Faraday:
~
~
∂B
~ , ∂E → B
~
→E
∂t
∂t
~ B
~ elektromagnetisches Feld
⇒ E,
4.1 Das Faraday'sche Induktionsgesetz
I
Die Elektromotorische Kraft (EMK):
ξ≡
~
~ 0 (~l)dl
E
C
Z
Der Magnetische Fluÿ:
Φ≡
~ · n̂ da
B
S
Faraday:
ξ=−
Mit konstanter Geschwindigkeit
~v
1 dΦ
c dt
in einem Magnetfeld
~
B
bewegte Schleife C:
~
~
~
dB
∂B
~ · ~v · B
~ = ∂B + ∇
~ × ∇
~ ×B
~ + ~v · ∇
~B
~
=
+ ∇
dt
∂t
∂t
|
| {z }
{z
}
Konvektionsstrom
Stokes
Faraday
−−−−−→
=0
I ~
~ = − 1 ∂ B n̂ da
~ 0 − ~v × B
~ dl
E
c
c ∂t
{z
}
C |
H
~
~ dl
= E
C
~0 = E
~+
⇒E
C in Ruhe:
~0 = E
~.
E
~v
~
×B
c
für
v 1
c
Im Laborsystem gilt (mit Stokes'schem Satz):
Z
~
~ ×E
~ + 1 ∂B
∇
c ∂t
!
· n̂ da = 0 ∀S
S
~ ×E
~ =−
⇒∇
~
1 ∂B
c ∂t
Faraday'sche Feldgleichung
4.2 Energie des Magnetfelds
Ströme müssen erzeugt werden
→
zeitveränderliche
~ -Felder →
B
verrichtet. Mit Ampère und Faraday:
1
⇒ δW = ... =
4π
Z
~
~ · δB
d3x H
Z
~ ·B
~
d3x H
in linearen Medien gilt demnach:
Wlin.M ed.
1
=
8π
26
EMK
→
Arbeit wird
Zusammenfassend
~ · D(~
~ x) = 4π%(~x)
∇
~ × H(~
~ x) = 4π ~j(~x)
Ampère: ∇
c
~
~
%mag = 0 ⇒ ∇B(~x) = 0
~
~ × E(~
~ x, t) + 1 ∂ B(~x, t) = 0
Faraday: ∇
c
∂t
h i
~ =D
~ E
~
noch die statischen Gleichungen mit D
Gauÿ:
(1),(2),(3) sind hier
(1)
(2)
(3)
(4)
und
Maxwell (1864): Inkonsistenz von (2), wenn die Gleichung dynamisch,
h i
~ =H
~ B
~
H
also mit (~
x, t)-
Abhängigkeit betrachtet wird:
? 4π ~
~ × H(~
~ x, t) =
j(~x, t)
∇
c
~
·∇
~ ~j 6= 0
⇒0=∇
Kontinuitätsgleichung:
Maxwell: Substitution
~ ~j +
0=∇
∂% (1)
∂t =
~ ~j +
∇
~
1 ∂D
4π ∂t
~
1 ∂D
|4π{z∂t}
~j → ~j +
in (2)
Maxwell'scher Verschiebungsstrom
4.3 Kurze Zusammenfassung der gesamten klassischen Physik
• Maxwell:
~D
~ = 4π%
∇
Mit gegebenen
~
~ ×H
~ = 4π ~j + 1 ∂ D
∇
c
c ∂t
~B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
h
i
h
i
~ =D
~ E(~
~ x) und H
~ =H
~ B(~
~ x) .
%(~x), ~j(~x), D
• Lorentz:
F~em
~ + ~v × B
~
=q· E
c
• Newton:
m · ~v
p~ = q
2
1 − ~vc2
,
d~
p
= F~
dt
m1 m2
F~Grav = −GN
· x̂12
|~x12 |2
4.4 Zerlegungs- und Eindeutigkeitssatz (Mathematik)
~V
~ und sein
Jedes Vektorfeld V~ (~x) ist eindeutig durch sein Quellenfeld ∇
~
~
Wirbelfeld ∇ × V bestimmt.
27
• Zerlegungssatz
Vektorfeld
~ r), lim E
~ =0
E(~
r→∞
~ =E
~l + E
~t :
⇒E
Mit
~ l = ∇α
~ ,E
~t = ∇
~ × β~
E
~ ×E
~ l = 0, ∇
~ ·E
~t = 0
∇
und
1
α(~r) = −
4π
Z
d3r0
~ r) = + 1
β(~
4π
Z
d3r0
~ · E(~
~ r0 )
∇
|~r − ~r0 |
~ × E(~
~ r0 )
∇
|~r − ~r0 |
Beweis: siehe Literatur (oder kommt vielleicht noch...)
~ = ∇α
~ +∇
~ × β~
⇒E
~ = ∇α
~ +∇
~ × β~ ist Eindeutig.
• Eindeutigkeitssatz Die Zerlegung E
~
~
~
~
~
~
~
~1 = ∇
~ ×E
~ 2.
Es gebe E1 (~
x), E2 (~x) mit ∇E1 = ∇E2 und ∇ × E
Beweis:
~ x) = E
~1 − E
~2 ⇒ ∇
~ ∆E
~ =0
∆E(~
~ × ∆E
~ =0
⇒∇
(6)
(5)
(6)
(5)
~ = ∇ψ
~ ⇒ 4ψ = 0 (50 )
⇒ ∆E
Mit 1. Green'scher Identität
(ϕ = ψ):

Z
V∞

~ 2 =
d3x ψ 4ψ +(∇ψ)
|{z}
=0
Z
⇒
~ 2=0
d3x (∇ψ)
I
S∞
⇒
~ df = 0
ψ ∇ψ
|{z}
=0
~ = 0 = ∆E
~
∇ψ
~1 = E
~2
⇒E
4.5 Potentiale
Mikroskopische Maxwellgleichungen:
~E
~ = 4π%
∇
(1)
~
~ ×B
~ = 4π ~j + 1 ∂ E
∇
c
c ∂t
~
~
∇B = 0
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
(1) ⇒
(2) ⇒
(3)
(4)
~ =∇
~ ×A
~
B
(3) ⇒
1∂ ~
~
~
(4) ⇒ ∇ × E +
A =0⇒
c ∂t
(2)
~ + 1 ∂A = −∇Φ
~
E
c ∂t
1∂ ~ ~
4Φ +
(∇A) = −4π%
c ∂t
2~
~ 1 ∂ A −∇
~ ∇
~A
~ + 1 ∂Φ = − 4π ~j
4A−
c2 ∂t2
c ∂t
c
28
(7)
(8)
Die unterstrichenen Terme sind Folge des
Verschiebungsstroms.
Statt 4 gekoppelten DGLs erster Ordnung (1),(2),(3) und (4) haben wir nun 2 gekoppelte
DGLs zweiter Ordnung (7) und (8), die wir mittels
Eichtransformation entkoppeln:
~→A
~0 = A
~ + ∇Λ(~
~ x, t)
A
1∂
Φ → Φ0 = Φ −
Λ(~x, t)
c ∂t
~ →B
~0 = B
~
⇒B
~ →E
~0 = E
~
⇒E
~A
~0 +
• Lorenz-Eichung3 : ∇
1 ∂ 0
c ∂t Φ
= 0 (∗)
1 ∂2
⇒ 4 − 2 2 Φ0 = −4π%
c ∂t
1 ∂2 ~0
4π
4− 2 2 A
= − ~j
c ∂t
c
|
{z
}
(70 )
(80 )
2
2 ist der d'Alembert'sche Operator: 2 = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 − c12 ∂t2 . Um die Lorenz-Eichung
h
i
~ x, t), Φ(~x, t) der Gleichung (∗):
zu erreichen, brauchen wir die Lösung Λ A(~
2
~A
~ + 1 ∂Φ + 4Λ − 1 ∂ Λ = 0
∇
2
c ∂t
c ∂t2
1
1 ∂2
∂Φ
~A
~−
⇒ 2Λ = 4 − 2 2 Λ = −∇
c ∂t
c ∂t
|
{z
}
|
{z
}
bekannt
gegeben
1 ∂Φ
−1
~
~
⇒ Λ = ”2 ” −∇A −
c ∂t
• Coulomb-Eichung
~A
~ 00 (~x, t) = 0
∇
(7)
(8)
Beweis: Vektorfeld
(transversale Eichung, Strahlungseichung,
⇒ 4Φ = −4π%(~x, t)
Z
%(~x0 , t)
⇒ Φ(~x, t) = d3x0
|~x − ~x0 |
4π
∗
~ 00 = − 4π ~j + 1 ∇
~ ∂Φ=
⇒ 2A
− ~jtrans
c
c ∂t
c
∗ : zu beweisen
~j = ~jl + ~jt
mit
~ × ~jl = 0 = ∇
~ ~jt :
∇
~ (x0 )~j(~x0 )
∇
|~x − ~x0 |
Z
~
~ ×∇
~ × d3x0 j(~x)
~jt = + 1 ∇
4π
|~x − ~x0 |
~
~jl = − 1 ∇
4π
3
~ 00 , Φ):
A
Z
d3x0
ohne T, das stimmt so.
29
Mit der Kontinuitätsgleichung
∂%
~ ~j = −∇
~ ~jl = − 1 ∂ 4Φ
= −∇
∂t
4π ∂t
~
⇒∇
1 ~ ∂Φ
∂Φ
4π
4π √
= 4π~jl ⇒ − (~jl + ~jt ) + ∇
= − ~jt
∂t
c | {z } c ∂t
c
=~j
Wenn
%=0
(Vakuum):
1 ∂A
c ∂t
~
~
~
B =∇×A
~ =−
Φ=0⇒E
4π ~
00
−1
~
A = ”2 ” − jt
c
4.6 Green'sche Funktionen der Wellengleichung
4ψ −
1 ∂2
ψ = −4πf (~x, t)
c2 ∂t2
(∗)
f: Quellenverteilung; Betrachte Problem ohne Randächen in einem dispersionsfreien Medium. Fouriertransformation:
1
ψ(~x, t) =
2π
+∞
Z
dω ψ̃(~x, ω) · e−iωt
−∞
+∞
Z
dt ψ(~x, t) · e+iωt
ψ(~x, ω) =
−∞
Helmholtz-Gleichung, k ≡
⇒ (4 + k 2 )ψ̃(~x, ω) = −4π f˜(~x, ω)
4.6.1 Zeitunabhängige Green'sche Funktion
Elliptische partielle Dierentialgleichung, lösen mit Green'schen Funktionen:
(4 + k 2 )Gk (~x, ~x0 ) = −4πδ(~x − ~x0 )
⇒ Gk = Gk (R ≡ |~x − ~x0 |)
Symmetrie
⇒
• R 6= 0:
1 d2
(R · Gk ) + k 2 Gk = −4πδ(R)
R dR2
"harmonischer Oszillator"⇒
• k · R 1:
R · Gk = A · eikR + B · e−ikR
"Poisson'sche Gleichung"⇒
iωt
G+
:
k ·e
Kugelwelle
lim Gk (R) =
kR→0
1
R
⇒B =1−A
−
⇒ Gk (R) = A · G+
k + (1 − A) · Gk
1 ±ikR
G±
k = Re
1 i(kR−ωt)
nach auÿen ≈
e
R
Die zeitlichen Randbedingungen bestimmen die Konstante A.
30
ω
c
4.6.2 Zeitabhängige Green'sche Funktion
1 ∂2
4(x) − 2 2 G(~x, t, ~x0 , t0 ) = −4πδ(~x − ~x0 )δ(t − t0 )
c ∂t
R ≡ |~x − ~x0 |, τ ≡ t − t0 , k =
Lösungen mit
1
G (R, τ ) =
2π
±
ω
c:
+∞
Z
e±ikR −iωt
dω
e
R
−∞
Kontrolle der Lösungen:
1 ∂2
4(x) − 2 2
c ∂t
Z Z
ω2
2
−iωt
−k + 2 ... + dω e|±ikR
G (R, τ ) =
{z } δ(R) e| {z }
c
=1
|
{z
}
=δ(τ )
±
=0
= −4πδ(R)δ(τ )
Für
k=
ω
c:
(
retardierte
R
1
G± (R, τ ) = δ τ ∓
R
c
avancierte
Green'sche Funktion
(∗):
Z
ψ(~x, t) = d3x0 dt0 G± (~x, t, ~x0 , t0 ) · f (~x0 , t0 ) + homogene
Allgemeine Lösung von
Lösung
4.7 Erhaltung von Energie und Impuls (mikroskopische Felder)
4.7.1 Energie
An einer einzelnen Ladung q geleistete Arbeit pro Zeiteinheit:
~ · F~
~v
dx
~
~
~
= ~v · q · E + × B = q · ~v · E
P =
dt
c
~.
d3x ~j · E
~ · (E
~ × B)
~ =B
~ · (∇
~ E)
~ −E
~ · (∇
~ × B)
~ (∗):
∇
"
#
Z
Z
~
∂
E
3 ~ ~ (2) 1
3
~ · (∇
~ × B)
~ −E
~·
d x cE
d xj · E =
4π
∂t
"
#
Z
~
∂
E
(∗) 1
3
~ · (∇
~ × E)
~ − c∇(
~ E
~ × B)
~ −E
~·
=
d x cB
4π
∂t
"
#
Z
~
~
(4) 1
~ E
~ × B)
~ +B
~ · ∂B + E
~ · ∂E
=
d3x c∇(
4π
∂t
∂t
Kontinuierliche Arbeit pro Zeiteinheit ist
Mit
R
•
gesamte elektromagnetische Energiedichte
•
Poynting'scher Vektor
~s ≡
c
4π
~ ×B
~
E
31
u≡
h
1
8π
~ 2 + |B|
~ 2
|E
Energie
Fläche·Zeit
i
(∗∗)
h
Energie
Volumen
i
(∗∗) ⇒
~
~j · E
∂u ~
~
+ ∇~s = −~j · E
∂t
beschreibt die Umwandlung elektromagnetischer Energie in mechanische Energie.
Z
~ = dEmech
d x ~j · E
dt
3
Z
,
Efeld ≡
d3x u
V
V
⇒
d
(Emech + Efeld ) = −
{z
}
dt |
I
n̂ · ~s da
∂V
V
4.7.2 Impuls


Z


d~
pmech
~ + 1~j × B
~
%E
= d3x 


|{z}
c
| dt{z } V
Coulomb | {z }
Newton
Lorentz
#
"
1
~
1
1
∂
E
~ + ~j × B
~E
~ + B
~ ×B
~
~ =
~· ∇
~×
~× ∇
%E
E
−B
c
4π
c
∂t

=
1
4π

~
~E
~ +B
~· ∇
~B
~ +
E · ∇

| {z }
=0
~
1 ~ ∂B
E×
|c {z ∂t}
−


1 ∂ ~
~ −B
~× ∇
~ ×B
~ 
E×B

c ∂t

~ (∇×
~ E
~ ) (4)
=−E×

=
1
4π



~· ∇
~E
~ +B
~· ∇
~B
~ −E
~× ∇
~ ×E
~ −B
~× ∇
~ ×B
~ − 1 ∂ E
~ ×B
~
E

 4πc ∂t
|
{z
}
Divergenz eines Tensors
Mit Summenkonvention,
Z
~s
1 ~
~
p~feld ≡ d x
E × B = d3x 2
4πc
c
V
1
1 ~ 2
2
~
Em En + Bm Bn −
|E| + |B| δm,n
Maxwell'schem Spannungstensor Tm,n ≡
4π
2
Z
I
d
∂
3
⇒
(~
pmech + p~feld )l = d x
Tl,m =
da Tl,m · n̂m
dt
∂xm
Z
und
3
V
n̂
∂V
zeigt nach auÿen.
4.8 Harmonische Zeitabhängigkeit (R vs. C)
h
i 1
−iωt
−iωt
∗ −iωt
~
~
~
~
ER (~x, t) = Re E(~x) · e
=
Ee
+E e
2
h
i h
i
~ x)e−iωt + E
~ ∗ (~x)e−iωt
~ x, t) = 1 ~j(~x)e−iωt + ~j ∗ (~x)e−iωt · E(~
~j(~x, t) · E(~
4


1
−2iωt
~ + ~j · E
~

= Re ~j ∗ · E
|e {z }
2
=0
32
(zeitl. Mittel)
~ =0
~ ×E
~ − iω B
∇
c
~ ×H
~ + iω D
~ = 4π ~j
∇
c
c
~B
~ =0
∇
~D
~ = 4π%
∇
Der Realteil von
1
2
R
~
d3x ~j ∗ · E
ist der zeitliche Mittelwert der von den Feldern geleistete
V
Arbeit.
Z
Z
I
1 ~∗ ~ 3
j · E d x + 2iω (Wel − Wmag ) d3x + ~s · n̂ d3 x = 0
2
c ~
~ ∗ , Wel ≡ 1 E
~ ·H
~ ∗ , Wmag ≡ 1 B
~ ·H
~∗
mit ~
s≡
E×H
8π
16π
16π
4.9 Ebene elektromagnetische Wellen
Betrachte Medium mit räumlich konstanter Permeabilität und Suszeptibilität:
~
~ =B
H
µ
~ = E,
~
D
Sei
% = ~j = 0.
~E
~ =∇
~B
~ =0
⇒ ∇
~
~ × E+
~ 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
~
~ × B−
~ µ ∂ E = 0
∇
c ∂t
mit
(
~
~ × (∇
~ × E
∇
~
B
(
~
~ ∇
~ E
) = ∇(
~
B
∂
~ ×
(9) ⇒ ∇
∂t
(9)
(10)
(11)
(
~
E
)−4
~
B
~ + 1 ∂t2 B
~ =0
∂t E
|{z}
c
c ~
~
= µ
∇×B
⇒−
∂
~ ×
(11) ⇒ ∇
∂t
c ~ 1 2~
4B + ∂t B = 0
µ
c
~ − µ ∂ 2 E
~ =0
∂t B
|{z}
c t
~ E
~
=−c∇×
~ =0
~ − µ ∂ 2 E
⇒ c4E
c t
( )
~
1 2
E
⇒ 4 − 2 ∂t
~ = 0 Wellengleichgung
v
B
•
Phasengeschwindigkeit
•
Brechungsindex
n≡
√
v≡
c
n und
µ
Lösung von (4 − v12 ∂t2 )u(~x, t) = 0 mit 1.Ansatz u(~x, t) = ei~k~x−iωt
⇒
Dispersionsbeziehung
33
k ≡ |~k| =
ω
ω
= ·n
v
c
Wähle Koordinatensystem:
~k||x̂
h
In dispersionsfreiem Medium:
Die Lösung ist linear
⇒
⇒ u(~x, t) = Ak eikx−iωt + Bk e−ikx−iωt
i
c
v(k) = = const.
= Ak eik(x−vt) + Bk e−ik(x+vt)
n
Allgemeine Lösung ist Superposition
Fouriertransformation, allgemeine Lösung ist (f und
g
⇒
Integrieren über
k ⇒
beliebige Funktionen):
u(~x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
2.Ansatz
~ x, t) = E
~ 0 · eik~x·n̂−iωt
E(~
~ x, t) = B
~ 0 · eik~x·n̂−iωt
B(~
~ 0, B
~0
E
2
n̂ sind zeitlich und räumlich konstant, k 2 = µ ωc2 . Aus den Divergenzgleichun~ = n̂ · B
~ = 0 ⇒ die betrachteten Wellen sind Transversalwellen. Aus den
gen (9) folgt n̂ · E
~0 ⇒ E
~ ⊥B
~0
~ 0 ∼ √µn̂ × E
Rotationsgleichungen (10) und (11) folgt B
und
~ 0 − 1 iω B
~0 = 0
(10) ikn̂ × E
c
~0
~ 0 = c k n̂ × E
⇒B
ω
~0
~ 0 = √µ · n̂ × E
⇒B
~ 0 + i µ ω E
~0 = 0
(11) ikn̂ × B
c
~ 0 = − √1 n̂ × B
~0
⇒E
µ
~ 0 = (n̂ · B
~
~ 0 ) = −√µ · n̂ × E
~
⇒ n̂ × (n̂ × B
| {z }) · n̂ − B0
=0
~0
~ 0 = √µ · n̂ × E
⇒B
Deniere orthogonale Einheitsvektoren
1 ⊥ 2 , 1 ⊥ n̂ ⊥ 2
und
n̂ =
~k
|~k|
• Lineare Polarisation
~ 0 = ˆ1 E1 ,
E
~ 0 = ˆ2 E2 ,
(E
E1 , E2 ∈ C,
zeitl. Mittel der
Hier:
~ 0 = ˆ2 √µ · E1
B
√
~ 0 = −ˆ
B
1 µ · E2 )
konstant.
!∗
r ~
c
1 c ~
B
~ 2
=
Energiestrom ~
s≡
E×
E1 · n̂
2 4π
µ
8π µ
1
1 ~ ~∗
~ 2
∗
~
~
Energiedichte u ≡
E · E + B · B =
E1 16π
µ
8π
vPhase = vGruppe ⇒ |~s| = u √cµ = u · v
• Allgemeine Polarisation
mit
ˆ1 , ˆ2 , n̂
als allgemeine Lösung:
~
~ x, t) = (ˆ
E(~
1 E1 + ˆ2 E2 ) eik·~x−iωt
~ x, t) = √µ · k̂ × E(~
~ x, t)
B(~
2
ω
k 2 ≡ |~k|2 = µ 2
c
34
E1 , E2 ∈ C
E1 , E2
E1 , E2
tion:
⇒
gleiche Phase
Lineare Polarisation
verschiedene Phasen
ϕ(E1 ) = ϕ(E2 ) ±
⇒
Elliptische Polarisation, z.B. Zirkulare Polarisa-
π
2
~
~ x, t) = E0 · (ˆ
⇒ E(~
1 ± iˆ
2 )eik·~x−iωt
Wähle
= +k̂}
ˆ1 × ˆ2 = |+n̂ {z
|{z}
|{z}
z
y
x


cos(kz − ωt)
~ x, t) = |E0 |  sin(kz − ωt) 
⇒ Re E(~
0
Bei
~
~ x, t) = E0 · (ˆ
E(~
1 + iˆ
2 )eik·~x−iωt
spricht man von positiver Helizität, d.h. die
Projektion des Drehimpulses auf die Bewegungsrichtung ist positiv.
4.10 Ebene Trennächen zweier Dielektrika
Betrachte zwei angrenzende Dielektrika mit den Suszeptibilitäten
, 0
und den Permeabil-
0
itäten µ, µ . Auf der Grenzebene (Normalenvektor
keine Ladung vorhanden. Die Welle komme in
n̂) bei z=0 leÿe kein Strom und sei
~k -Richtung im Winkel α zum Lot aus dem
ungestrichenen Medium; sie wird an der Grenze
•
gebrochen, d.h. läuft in
~k 0 -Richtung
α0
zum Lot im gestrichenen Medium
~k2 -Richtung im Winkel α2
zum Lot zurück in das ungestrich-
im Winkel
weiter
•
reektiert, d.h. läuft in
ene Medium.
Ansatz:
Einfallende Welle:
Gebrochene Welle:
~ = √µk̂ × E
~
B
p
~ 0 = µ0 0 k̂ 0 × E
~0
B
~ 2 = √µ2 2 k̂2 × E
~2
B
~ =E
~ 0 ei~k~x−iωt
E
~0 = E
~ 00 ei~k0 ~x−iωt
E
~2 = E
~ 2 ei~k2 ~x−iωt
E
0
~
~
~
ik~x
= ik ~x
= ik2 ~x
Reektierte Welle:
Grenzbedingungen (∀t):
•
Reexion:
⇒ α2 = α
•
Brechung:
⇒
•
Herleitung???
sin(α)
sin(α0 )
Flächenbedingungen:
⇒
z=0
für
=
z=0
z=0
n0
n (Snellius)
~ n̂ · B,
~ n̂ × E
~
n̂ · D,
und
~
n̂ × H
sind kontinuierlich.
~ k (k̂, n̂)-Ebene:
E
E00
=
E0
2nn0 cos(α)
p
µ
0 )2 cos(α) + n (n0 )2 − n2 sin2 (α)
(n
0
µ
p
µ
0 )2 cos(α) − n (n0 )2 − n2 sin2 (α)
(n
0
E2
µ
p
= µ
0 )2 cos(α) + n (n0 )2 − n2 sin2 (α)
E0
(n
0
µ
µ = µ0 = 1 ⇒ Fresnel-Formeln
⇒ Licht
ist eine EM-Welle, c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
35
5 Spezielle Relativitätstheorie
5.1 Galileitransformation
Eine Galileitransformation transformiert Koordinaten eines Inertialsystems k in die eines
IS k' (und/oder umgekehrt):
k : (x, y, z) ⇔ k 0 : (x0 , y 0 , z 0 )
Wählt man nun die Achsen der beiden Systeme parallel, also
êi = ê0i ∀i ∈ {i, 2, 3}
und die
Nullpunkte so, dass sie zur Zeit t=0 zusamenfallen, kann man mit der Relativgeschwindigkeit
~v
der Systeme zueinander einfach umrechnen:
~x0 = ~x − ~v · t
Die Newton'sche Mechanik ist invariant unter dieser Transformation:
k 0 : mi ·
X
d~vi0
0
0
~ (x0 )
= −∇
V
|~
x
−
~
x
|
i,j
i
j
i
dt
j6=i
Mit ~
vi0
~ (x ) = ∇
~ (x0 ) :
∇
i
i
X
d~vi
~ (x )
= −∇
Vi,j (|~xi − ~xj |)
k : mi ·
i
dt
= ~vi − ~v
und
j6=i
Die Elektrodynamik ist jedoch
0
k :
k:
nicht invariant unter dieser Transformation:
1 2
0
4 − 2 ∂t ϕ = 0
c
1 2
2
1 ~ 2
~
4 − 2 ∂t − 2 ~v · ∇∂t − 2 ~v · ∇
ϕ=0
c
c
c
Es gibt nun mehrere Erklärungsmöglichkeiten hierfür:
1.
2.
3.
•
•
•
Newton-Mechanik ist korrekt
•
•
•
Newton-Mechanik ist korrekt
•
•
•
Maxwellgleichungen sind falsch
Galileiinvarianz ist korrekt
Maxwellgleichungen sind richtig
⇒
Es gibt einen Äther
Galileiinvarianz ist korrekt
Newton-Mechanik ist falsch
Maxwellgleichungen sind korrekt
Galileitransformation ist keine fundamentale Symmetrie der Natur
Aus Experimenten weiÿ man, dass die Maxwellgleichungen korrekt sind
⇒
2 oder 3. Die
Äthertheorie wird allerdings umso absurder, je weiter man sie ausbaut.
Einstein 1905 (3): Spezielle Relativitätstheorie, aufbauend auf 2 Postulaten:
1. Die physikalischen Gesetze und die Ergebnisse aller Experimente, die in einem bestimmten Bezugssystem durchgeführt werden, sind unabhängig von der Translationsbewegung
~v
des Systems als ganzes, sofern gilt
d~v
dt
= 0.
Alle gleichförmig zueinander bewegten Bezugssysteme sind physikalisch äquivalent.
2. Die Geschwindigkeit des Lichts ist unabhängig von seiner Quelle.
36
5.2 Lorentz-Transformation
5.2.1 Eindimensionaler Fall
2 Bezugsysteme wie oben:
k : (x, y, z) ⇔ k 0 : (x0 , y 0 , z 0 )
k' bewegt sich von k aus gesehen mit v in die positive x-Richtung. Zur Zeit t=t'=0 fallen
die Ursprünge der beiden Systeme zusammen. Betrachte nun einen Lichtblitz, bei t=t'=0
am Ursprung:
Die Wellenfront lässt sich beschreiben durch
c2 t − (x2 + y 2 + z 2 ) = 0 (k)
c2 t0 − (x02 + y 02 + z 02 ) = 0 (k 0 )
Mit den Postulaten und der Forderung, dass die Transformation linear sein soll:
v
· x0 )
c2
x = γ · (x0 + v · t0 )
v
· x)
c2
x0 = γ · (x − v · t)
t = γ · (t0 +
⇒ t0 = γ · (t −
y0 = y
y = y0
z0 = z
z = z0
1
γ=q
2
1 − vc
1
γ=q
1−
v 2
c
Bemerkungen
• t 6= t0
• vc
oder
c → ∞:
Lorentz≈Galileitransformation
5.2.2 Transformation von Geschwindigkeiten
k:
dx
dx0
k 0 : u0x = 0
dt
dt
0 dt
dx
u
−
v
dt
x
u0x =
=q
0
2 dt0
dt dt
1 − vc
−1
x
1 − v·u
dt
dt0
2
c
=q
=
2
dt
dt0
1 − vc
ux − v
⇒ u0x =
1 − ucx2·v
ux =
37
5.2.3 Lorentztransformation allgemein (dreidimensional)
Nach wie vor zeigen die Achsen der betrachteten Koordinatensysteme in die gleiche Richtung, allerdings bewegen sie sich nun mit
~v
in einer beliebigen Richtung zueinander.
(~v · ~x) · ~v
v2
~x⊥ = ~x − ~xk
~v · ~x
0
t =γ· t− 2
c
0
~xk = γ · ~xk − ~v · t
~xk =
~x0⊥ = ~x⊥
1
γ=q
1 − ( ~vc )2
5.3 Einfache Anwendungen der Lorentztransformation
1. Zeitdilatation: Uhr im Ursprung von k, die zu den Zeiten t1 und t2 tickt.
k' bewegt sich in k mit
v
in
∆t = t2 −t1 .
x-Richtung.
k → k0
(γ · t1 , −γ · v · t1 , 0, 0)
(t1 , 0, 0, 0)
→
(γ · t2 , −γ · v · t2 , 0, 0)
(t2 , 0, 0, 0)
∆t → ∆t0 = t02 − t01 = γ · ∆t > ∆t
⇒ Bewegte Uhren gehen langsamer
2. Längenkontraktion: ähnlich
3. Addition von Geschwindigkeiten
w ≡ −v
u = ux
00
00
s= u+w =
s = u0x
u+w
1 + u·w
c2
• u, w c ⇒ s ≈ u + w
c+w
• u = c ⇒ s = 1+
w = c
c
4. Abberration (Bradley 1725): 2 Koordinatensysteme, k und k'; k' bewegt sich von k
aus gesehen mit
v
in
x-Richtung.
Das Licht eines Sterns, dessen Licht in k senkrecht
von oben (y -Richtung) kommt, hat in k' einen Winkel
tan θ0 = γ ·
θ0
zum Lot:
v
v
≈ (v c)
c
c
5. Fizeau-Experiment: Ein Medium strömt, parallel dazu wird Licht durch dieses Medium geschickt und dessen Geschwindigkeit im Medium gemessen. Im mitgeführten
System des Mediums:
u0 =
c
n
Und für einen Beobachter von auÿen:
c
n
+v
c
1
⇒u=
+ c · 1 − 2 + O(v 2 )
v ≈
1 + n·c
n
n
38
5.4 Vierervektoren, Minkowski-Raumzeit
5.4.1 Erinnerung Vektoren
•
Praktisch, um Kovarianz unter Rotation zu überprüfen. Beispiele:
√
Vektor=Vektor
√
Vektor·Vektor=Skalar
vx + vy + vz 6= wx + wy + wz
•
Ein Invariantes Produkt existiert:
 
 
1 0 0
w1
v1





0 1 0
w2 
~v · w
~=
v i wi ≡ v 2
i=1
0 0 1
w3
v3
3
X
Mit einer Drehmatrix R, für die gilt (Stichwort EULER-Winkel):
det(R) > 0,
R = R1,2 (ϕ1,2 )R1,3 (ϕ1,3 )R2,3 (ϕ2,3 )
Ist das oben denierte Produkt invariant:
(R · ~v ) · (R · w)
~ = ~v · w
~
5.4.2 Vierervektoren
Eine Lorentztransformation k→k' lässt sich als Matrix schreiben:
γ
− vc γ
v
− γ
γ
c
L(0,1) (v) = 
 0
0
0
0

0
0
1
0

0
0

0
1
(1,0) gibt dabei an, dass die Matrix eine Transformation in der (0,1)- bzw. (t, x)(α,β) mit α, β = 1, 2, 3 und α 6= β sind die erste Zeile und Spalte
Ebene beschreibt. Bei L
Der Index
der Matrix (1,0,0,0), der Rest der Matrix entspricht den bekannten dreidimensionalen
Drehmatrizen. Beispiel:
L(1,2)
Ein Vierervektor
unter k→k' für


1
0
0
0
0 cos(ϕ) sin(ϕ) 0

=
0 − sin(ϕ) cos(ϕ) 0
0
0
0
1
a ≡ (a0 , a1 , a2 , a3 ) ≡ (a0 , ~a)
~v k x̂
(mit
 
a1

~a = a2 )
a3
wie folgt transformiert:
a → L(0,1) (v) · a = a0
ν
aµ → L(0,1) (v)µ · a0ν
Analog für
~v k ŷ
und
~v k ẑ : a → L(0,[2 bzw. 3]) · a.
39
ist ein Vektor, der sich
5.4.3 Rapidität ζ (Zeta)
Man kann schreiben:
v
= tanh(ζ)
c
⇒ γ = cosh(ζ)
v
⇒ γ = sinh(ζ)
c
∈ [−1, 1]
∈ [1, +∞]
∈ [−∞, +∞]
Damit lässt sich obige Lorentztransformation auch wie folgt schreiben:

L(0,1)
cosh(ζ) − sinh(ζ)
− sinh(ζ) cosh(ζ)
=

0
0
0
0
0
0
1
0

0
0

0
1
5.4.4 Invariantes Skalarprodukt
Ein unter Lorentztransformation invariantes Produkt kann man denieren als:
a · b ≡ aµ bµ = a0 b0 − (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )
 
 
a0
b0
1 0
0
0
a1  0 −1 0
 b1 
0
 

=
a2  0 0 −1 0  b2 
0 0
0 −1
a3
b3
|
{z
}
η
= a0 b0 − ~a · ~b
⇒ (L · a) · (L · b) = a · b
η = diag(1, −1, −1, −1) bezeichnet man als (Minkowski-)Metrik
µ
Für ein gegebenes a gibt es demnach 3 Möglichkeiten:
• aµ aµ > 0: aµ
ist zeitartig:
> 0: aµ
a0 < 0: aµ
a0
der Raumzeit.
ist zukunftsgerichtet
ist vergangenheitsgerichtet
• aµ aµ = 0: aµ
ist lichtartig
• aµ aµ < 0: aµ
ist raumartig
5.4.5 Minkowski-Raum(zeit)
Die Menge aller zukunftsgerichteten Vektoren nennt man Zukunft, die Menge aller vergangenhaitsgerichteten Vektoren Vergangenkeit. Die Lichtartigen Vektoren bilden den Lichtkegel,
die raumartigen ein "Anderswo". Einzelne Punkte in der Raumzeit nennt man auch Ereignisse,
dabei sind die Ereignisse der Zukunft und des Lichtkegels, der die Grenze bildet, von der
Gegenwart beeinussbar. Diese wiederum beeinussen können nur Ereignisse aus der Vergangenheit und des Lichtkegels in der Vergangenheit, der auch hier wieder die Grenze
bildet. Ereignisse im Anderswo haben auf die Gegenwart überhaupt keinen Einuss (und
umgekehrt). Kurven in dieser Raumzeit mit zeitartigen Tangenten nennt man
~x(t) ∈ R3 ,
~u(t) =
40
d~x
dt
Weltlinien.
ds2 = c2 dt2 − |d~x|2
|~u|2
2 2
= c dt · 1 − 2
c
= c2 dτ 2
τ
ist die Eigenzeit eines Beobachters, der am Ereignis
(t, ~x)
ruht (sich instantan im mitbe-
wegten Inertialsystem bendet).
5.4.6 Zeitdilatation einer beliebig bewegten Uhr
~u =
d~
x
dt , Zeit des Beobachters:
Minkowskiraum
t,
Zeit der Uhr:
s:
Z
s=
ds = c ·
τ.
Z
Die Länge der Weltlinie der Uhr im
dτ
Für die verstrichene Zeit zwischen zwei Ereignissen ergibt sich für die beiden Beobachter:
Zτ2
t2 − t1 =
τ1
1
q
dτ ≥ τ2 − τ1
2 )
1 − ~u c(τ
2
Das heiÿt, die bewegte Uhr misst eine kürzere Zeitspanne als der "ruhende"Beobachter.
Beispiel:
Energiereiche kosmische Protonen, die auf die Atmosphäre der Erde treen,
werden in dieser stark abgebremst; durch die Wechselwirkung entstehen Myonen mit einer
Lebensdauer
τ.
τ ≈ 2 · 10−6 s
=600m
ˆ
γ ≈ 20
=12km
ˆ
Die Myonen, die eigentlich viel zu kurz leben, um die Eroberäche zu erreichen, können
dies doch aufgrund der Zeitdilatation.
5.4.7 Dopplerefekt
Betrachte eine Welle in zwei Inertialsystemen
(t, ~x) und (t0 , ~x0 ) mit der Relativgeschwindigkeit
~v 0 :
0 0
0 0
~
~
cos(ω · t − k · ~x) = cos ω · t(t , ~x ) − k · ~x(t , ~x )
~v 0 ~x0
0
0
0
= cos γω · (t + 2 ) − γ~k · ~x + ~v t
c
~v
0
0
~
~
= cos γ · (ω − k · ~v ) · t − γ · (k − ω 2 ) · ~x
c
0
0
0
~
≡ cos(ω · t − k · ~x )
Für
~v
⇒ ~k 0 ≡ γ · (~k − ω 2 )
ω 0 ≡ γ · (ω − ~k · ~v )
c
ω
⇒ kµ = (k0 , ~k) = ( , ~k) ist ein Vierervektor.
c
µ
⇒ cos(ω · t − ~k · ~x) ≡ cos(kµ k ) ist invariant unter Lorentztransformation.
Licht im Vakuum gilt |~
k| = ωc ⇒ kµ k µ = 0. Damit kann man schreiben:


v
ω 0 = γ · ω · (1 − · cos ](~k, ~v )
| {z }
c
Θ
Die SRT sagt also einen transversalen Dopplereekt voraus
beobachtet wird.
41
(Θ =
π
2
⇒ ω 0 = γω),
der
5.4.8 Vierergeschwindigkeit
~v =
d~
x
dt ist
nicht Raumkomponente eines Vierervektors. Deniere:
Uµ ≡ (U0 , ~u)
d~x dt
d~x
=
= γu · ~u
~u =
dτ
dt dτ
dx0
dx0 dt
U0 ≡
=
= γu · c
dτ
dt dτ
1
mit γu = q
2
1 − ~uc2
⇒ Uµ
ist ein Vierervektor.
5.4.9 Impuls und Energie
Plausible Annahme:
Pµ ≡ m0 · Uµ ="Impuls-Vierervektor"
Daraus folgt für den relativistischen Impuls
p~ = m0 · γu ·~u
| {z }
m
m nennt man die relativistische Masse.


dP0
d 
m0 c

q
=
2
dt
dt
1 − ~u c(t)
2


~u d
m0 ~u 
= · q
2
c dt
1 − uc2
|
{z
}
rel. Impuls
~u
~u d
= · p~ = · F~
c dt
c
1 dE
=
c dt
E
⇒ P0 =
+ const.
| {z }
c
=0
⇒ E = c · P0
= m0 · γu · c2
= m · c2
Bemerkungen
E→∞
•
u→c
m→∞
•
1
u4
E = m0 c2 + m0~v 2 + O( 2 )
2
c
= m0 c2 + Ekin
• pµ pµ =
E2
c2
− p~2 = m20 c2
ist unabhängig von der Wahl des Bezugssystems.
und Impuls sind abhängig vom Beobachter, die Ruhemasse
42
m0
⇒
Energie
dagegen nicht.
5.4.10 Energie- und Impulserhaltung
Es gilt für mehrere Teilchen:
Pµtot = const.
d X i
⇒
Pµ = 0 (µ = 1..4)
dt
i
5.4.11 c
In der SRT steht die Konstante
c
an vielen Stellen. Ursache dafür ist, dass die Einheiten
[T ] 6= [L].
von Raum und Zeit unterschiedlich sind:
[T ] = 1m = "Die
Man deniert daher:
Zeit, die Licht braucht, um diese Strecke zurückzulegen."
⇒ c = 1,
1
γ=√
,
1 − v2
v ∈ [0, 1],
t = c · x0 = x0
5.5 Indexschreibweise, Summenkonvention ("Tensoranalysis")
Deniere Raum-Zeit-Kontinuum mit den Koordinaten
x0 , x1 , x2 , x3
Betrachte eine beliebige Transformation (z.B. Lorentztransformation,
µ = 0, 1, 2, 3):
xµ → xµ0 = xµ0 (x0 , x1 , x2 , x3 )
5.5.1 Einstein'sche Summenkonvention
Taucht ein Index in einem Term mehrfach auf, so wird automatisch - ohne explizites Summenzeichen - über all dessen möglichen Werte summiert, falls der Index sowohl oben als
auch untenstehend vorhanden ist.
5.5.2 Skalare (Tensoren nullter Stufe)
Für Skalare gilt
ϕ0 (xµ0 ) = ϕ(xµ ), d.h. dem gleichen Ereignis wird die gleiche Zahl zugeord-
net, sowohl vor als auch nach der Transformation.
5.5.3 Vektoren (Tensoren erster Stufe)
kontravariante Vektoren
Aµ0 =
∂xµ0 ν
A
∂xν
Beispiel
∂xµ
∂τ
∂xµ0
∂xµ0 ∂xν
=
=
·
∂τ
∂xν ∂τ
∂xµ0
=
· Uν
∂xν
Uµ ≡
U µ0
43
kovariante Vektoren
A0µ =
∂xν0
Aν
∂xµ
Beispiel
∂
∂xµ
∂
∂µ0 =
∂xµ0
∂
∂xν
·
=
∂xµ0 ∂xν
∂µ ≡
Hierbei ist zu beachten: Ein obenstehender Index nach dem abgeleitet wird, behandelt man
wie einen untenstehenden, d.h. über
ν
wird von 1 bis 4 summiert.
5.5.4 Tensoren höherer Stufe
Der elektromagnetische Feldstärketensor ist ein kontravarianter Tensor zweiter Stufe:
F µν0 =
∂xµ0 ∂xν0 αβ
F
∂xα ∂xβ
Allgemein gilt für Tensoren (m+n)-ter Stufe vom Typ (m,n):
...αm 0
Tβα11...β
=
n
∂xα1 0 ∂xαm 0 ∂xδ1 ∂xδn
...
·
...
· T γ1 ...γm
∂xγ1 ∂xγm ∂xβ1 0 ∂xβn 0 δ1 ...δn
5.5.5 Rechenoperationen
Multiplikation
C µν = Aµ · B ν
Kontraktion
Insbesondere gilt:
C µ = Aµν · Bν
Aµ Bµ
ist ein Skalar.
5.5.6 Metrischer Tensor
ηµν nennt man metrischen
(∃η −1 .η −1 ≡ η µν ). Gegeben
Tensor. Er ist symmetrisch
ein
T µν ⇒ T µν · ηµν
(ηµν = ηνµ )
und nicht entartet
ist ein Skalar.
Aµ = ηµν Aν
B µ = η µν Bν
In der Speziellen Relativitätstheorie und der Elektrodynamik gilt im Inertialsystem:

ηµν

1 0
0
0
0 −1 0
0

≡
0 0 −1 0 
0 0
0 −1
ηµν Ortsabhängig (Raumzeitkrümmung).
µν
Aµ Aν η ist unter Lorentztransformationen invariant, d.h. die Metrik der Raumzeit
In der allgemeinen Relativitätstheorie ist
Aµ
Aµ
=
44
hängt nicht von der Wahl des Inertialsystems ab. Ein weiteres (fast) lorentzinvariantes Objekt ist der
-Tensor:
αβγδ


+1 : (α, β, γ, δ)gerade Permutation von (0, 1, 2, 3)
= −1 : (α, β, γ, δ)ungerade Permutation


0:
sonst.
Für die transformierte Gröÿe gilt:
0α1 α2 α3 α4 = Lβα11 ...Lβα44 · β1 β2 β3 β4
= α1 ...α4 · det(L)
T
L·η·L =η
⇒ (det(L))2 det η = det η
| {z }
=1
⇒ det(L) = ±1
⇒ 0α1 α2 α3 α4 = ±β1 β2 β3 β4
det(L) = −1 entspricht einer Spiegelung der Koordinatenachsen, für gewöhlich wählt man
det(L) = +1, so dass der -Tensor eektiv invariant unter Lorentztransformationen ist.
5.6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
5.6.1 Ladung und Strom
∂% ~ ~
+ ∇j = 0
∂t
∂%
+ ∂i j i = 0
∂x0
⇒ Vierervektor j µ = (c · %, ~j)
Es gilt also:
∂µ j µ = 0
5.6.2 Potentiale und Feldstärketensor
Man deniert das Viererpotential als
~
Aµ = (Φ, A)
In Lorenz-Eichung
~A
~ = 0):
( 1c ∂t Φ + ∇
⇒ ∂ µ Aµ = 0
d.h. die Lorenz-Eichung ist Lorentz-invariant; die Coulombeichung
~A
~ = 0)
(∇
nicht. Die Wellengleichung lässt sich mit dem Viererpotential ausdrücken:
1 2~
~ = 4π ~j
∂ A − 4A
c2 t
c
1 2
∂ Φ − 4Φ = 4π%
c2 t
4π ν
⇒ ∂µ ∂ µ Aν =
j
c
| {z }
2
45
dagegen
Für die Felder gilt:
~
~ =∇
~ ×A
~
~ = −∇Φ
~ − 1 ∂t A
E
B
c
1 ~
− ∂x Φ = −(∂ 0 A1 − ∂ 1 A0 )
⇒ Ex = − ∂t A
c
⇒ Bx = ∂y Az − ∂z Ay = −(∂ 2 A3 − ∂ 3 A2 )
µ
µν
~
mit ∂ = η ∂ν = (∂x0 , −∇)
Damit deniert man den elektromagnetischen Feldstärketensor wie folgt. Er ist antisymmetrisch und spurfrei:
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ


0 −Ex −Ey −Ez
Ex
0
−Bz By 

=
Ey Bz
0
−Bx 
Ez −By Bx
0
= −F νµ
F µµ = 0∀µ
Bemerkung der Feldstärketensor ist eichinvariant:
Aµ → Aµ + ∂ µ χ
⇒ F µν → F µν + ∂ µ ∂ ν χ − ∂ ν ∂ µ χ = F µν
Desweiteren deniert man den dualen Feldstärketensor:
1
F̃ µν = µναβ Fαβ
2


0 −Bx −By −Bz
Bx
0
Ez −Ey 

=
By −Ez
0
Ex 
Bz Ey −Ex
0
5.6.3 Kovariante Maxwellgleichungen
Mit den Tensoren
F µν
und
F̃ µν
lassen sich die inhomohenen Maxwellgleichtungen
~E
~ = 4π%
∇
~ = 4π ~j
~ ×B
~ − 1 ∂t E
∇
c
c
wie folgt schreiben:
∂µ F µν =
4π ν
j
c
Die homogenen
~B
~ =0
∇
~ ×E
~ + 1 ∂t B
~ =0
∇
c
lassen sich ebenfalls kovariant ausdrücken:
∂µ F̃ µν = 0
46
Beweis
(?):
4π
∂µ ∂ν |{z}
F µν =
∂ν j ν = 0
c
| {z }
sym. antisym.
|
{z
=0
}
1
∂µ F̃ µν = ∂µ µναβ Fαβ
2
1
= µναβ (∂µ ∂α Aβ − ∂µ ∂β Aα )
2
1 µναβ
(∂µ ∂α Aβ + ∂µ ∂α Aβ )
=
2 | {z } |
{z
}
antisym.
sym.
=0
Die auf ein Teilchen mit Impuls
P
und Eigenzeit
τ
wirkende Lorentzkraft kann man eben-
falls in der Tensorschreibweise ausdrücken:
d µ q µν
P = F Uν
dτ
c
Beispiel: ruhendes Teilchen: U = (c, 0, 0, 0)
dP µ
q
= F µ0 · c
dt
c
= q · Eµ
~ =
= (0, q · E)
ˆ Coulomb
5.6.4 Transformation der Felder
Das Transformationsverhalten der Felder ergibt sich aus dem Transformationsverhalten
des Feldstärketensors:
F µν0 = Lµα Lνβ F αβ
~
v
0
~ =γ· E
~ + ×B
~ −
⇒E
c
~v
0
~
~
~
⇒B =γ· B− ×E −
c
γ 2 ~v
~v ~
·
·E
γ+1c
c
γ 2 ~v
~v ~
·
·B
γ+1c
c
~ B
~ = 0) → (E
~ 0, B
~ 0 6= 0)
Beispiel: (E,
5.6.5 Kovariante Green'sche Funktionen der Wellengleichung
•
Es gilt (mit
•
Mit
x0 = c · t):
Z
Z
1
0 3 0
0 0
dt d x G(~x, t, ~x , t ) · ... =
d4 x0 G(x, x0 ) · ...
c
R = |~x − ~x0 |
kann man die Green'schen Funktionen wie folgt ausdrücken:
1 ±
1
R
0
0
G (R, t, t ) =
δ t−t ∓ )
c
Rc
c
0
00
1
x
x
R
=
δ
−
∓
Rc
c
c
c
1
= δ x0 − x00 ∓ R
R
47
•
Mit folgender Deltafunktion:
δ (xµ − x0µ ) · (xµ − xµ0 ) = δ (x00 − x0 )2 − R2

=


1 
00
0
00
0
δ x − x − R + δ x − x + R 
2R |
{z
} |
{z
}
≈G(−)
und der Stufenfunktion
Θ
≈G(+)
lassen sich die Green'schen Funktionen auch so schreiben:
1 ±
G = 2Θ ±(x0 − x00 ) · δ (xµ − x0µ ) · (xµ − xµ0 )
c
5.6.6 Kovariantes Wirkungsfunktional S
Das Wirkungsfunktional
Viererstrom
j
S
der Elektrodynamik hängt vom Viererpotential
ab. Es lässt sich mit der Lagrangefunktion
beschreiben:
Z
S [A, j] =
Sei
Aµ(0)
mit
µ
j(0)
Z
dt L [A, j] =
L
δA
und dem
L
d4 x L (A(x), j(x))
eine Lösung der Maxwellgleichungen, dann ist
für eine kleine Änderung
A
und der Lagrangedichte
L
so zu bestimmen, dass
in A gilt:
S A(0) + δA ≈ S A(0)
,
S
in
A(0)
also stationär ist.
• Funktionen sind stationär in ~x0 , wenn alle Richtungsableitungen bei ~x0 verschwinden:
d
f (~x0 + t · ~v )
= 0 ∀~v
dt
t=0
• Funktionale
sind stationär bei
A(0) ,
wenn alle Richtungsableitungen bei
A(0)
ver-
schwinden:
∀h(x) :
L
d S A(0) + t · h(x) =0
dt
t=0
Z
δs 4
=
d x h(x)
δA(x) A(0)
hat folgende Eigenschaften:
1.
S
ist Lorentz-Skalar
⇒L
ist auch Lorentzskalar
2. Die Maxwellgleichungen sind linear in
Aµ ⇒ L
ist quadratisch in
Aµ
Die "erratene" Lösung ist:
L=−
1 µν
1
F Fµν − jµ Aµ
16π
c
⇒L(Aµ + t · hµ ) =
1
1 µν
=−
F Fµν + 2tF µν · (∂µ hν − ∂ν hµ ) + t2 · (∂ µ hν − ∂ ν hµ ) · (∂µ hν − ∂ν hµ ) − (jµ Aµ + t · jµ hµ )
16π
c
= L + t · (...) + t2 · (− − −)
48
d
⇒
dt
Z
Z
=
d x L + t · (...) + t · (− − −) t=0

4
2

1
1


d4 x (− F µν · (∂µ hν − ∂ν hµ ) − jµ hµ 
8π
c
| {z }
=+∂µ hν
1
1 ν
4
µν
lim h = 0) : = d x + ∂µ F − j hν
x→∞
4π
c
= 0 ∀h
4π ν
⇒ ∂µ F µν =
j
c
Z
(wähle
Die Maxwellgleichungen folgen damit aus der Stationarität des betrachteten Funktionals.
5.6.7 Eichinvarianz von S
L
ist nicht eichinvariant:
Aµ → Aµ + ∂ µ χ
F µν → F µν
jµ Aµ → jµ Aµ + jµ ∂ µ χ
L → L + jµ ∂ µ χ
S von Interesse ist:
Z
1
d4 x j µ ∂µ χ
S [A + ∂µ χ] = S[A] −
c
Z
1
d4 x χ · (∂µ j µ )
= S[A] +
c
| {z }
Das ist aber kein Problem, da nicht
L,
sondern
∗
= S[A]
Die Eichinvarianz des elektrodynamischen Wirkungsfunktionals folgt aus der Kontinuitätsgleichung
∗
(Weyl 1918)
49
6 Erweiterung der bisherigen Theorie
50