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Universität Paderborn
Institut für Informatik
Hochschuldozent Dr. Benno Stein
Sven Meyer zu Eißen
Paderborn, 2. November 2003
Wissensbasierte Systeme – Logik und Regelverarbeitung WS03/04
Übungsblatt 3 (Aussagenlogik: Normalformen, Erfüllbarkeit)
Aufgabe 1
Es seien die folgenden aussagenlogischen Formeln gegeben.
• "
• !
•
Bilden Sie hierzu jeweils nacheinander
(a) eine logisch äquivalente Formel in Negationsnormalform,
(b) eine logisch äquivalente Formel in KNF,
(c) eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in KNF nach Tseitin.
Aufgabe 2
(a) Zeigen Sie mit Induktion über den Formelaufbau, daß sich jede aussagenlogische Formel in NNF in eine
Formel in KNF transformieren läßt, und
(b) geben Sie einen Algorithmus dazu an.
Aufgabe 3
Im Folienskript ist die Negationsnormalform konstruktiv definiert. Geben Sie eine induktive Definition, vergleichbar der von Atoms (Seite VIII-5), an.
Aufgabe 4
Es sei eine Menge von
#
Atomen gegeben. Bestimmen Sie die Größe der folgenden Klauselmengen.
(a) Klauseln ohne Mehrfachvorkommen von Literalen,
(b) Klauseln ohne Mehrfachvorkommen von Literalen, die keine Tautologien sind,
(c) Klauseln mit genau einem Literal für jedes Atom.
Aufgabe 5
Es seinen ,
1
aussagenlogische Formeln. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
STEIN/MEYER ZU EISSEN 2003/2004
$% & ' ((
(b) %)*+ (c) , widerspruchsvoll *$%
(d) %*, , tautologisch
(e) , widerspruchsvoll *%.-/102
(f) % -3/10 *, , erfüllbar
(g) % -3/10 45%)
(a)
Aufgabe 6
Gegeben sei eine Formel
Bedingungen genügt:
in 3-KNF. Geben Sie ein Verfahren an, das ein
&6 aus konstruiert und den folgenden
'687 3-KNF,
(b) '6 besteht aus Klauseln mit jeweils genau 3 Literalen,
(c) '69% -/10 .
(a)
Bedenken Sie, daß in keiner Klausel gleiche Literale vorkommen dürfen.
Aufgabe 7
(a) Zeigen Sie, daß eine Formel
in KNF genau dann tautologisch ist, wenn jede Klausel tautologisch ist.
(b) Zeigen Sie weiter, daß eine Klausel tautologisch ist genau dann, wenn sie für ein Atom
enthält.
Aufgabe 8
Zu jeder Formel
Aufgabe 9
gibt es eine logisch äquivalente Formel
:
die Literale
und
in KNF. Stimmt das?
Es seinen , aussagenlogische Formeln. Zeigen oder widerlegen Sie:
Aufgabe 10
Sei
2
eine Formel in KNF. Läßt sich dann in
+ : *
= + >+ ;%< :
überprüfen, ob
tautologisch ist?
STEIN/MEYER ZU EISSEN 2003/2004