Blatt 1 - Institut für Informatik - Justus-Liebig
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Institut für Informatik im Fachbereich Mathematik und Informatik, Physik, Geographie Justus-Liebig-Universität Gießen Übungen zur Vorlesung Logik Sommersemester 2011 21. April 2011 Blatt 1 Aufgabe 1.1 Die Semantik der binären Operatoren Y (XOR) und Z (NAND) sei definiert als ( ( 1 falls α(F ) 6= α(G), 0 falls α(F ) = α(G) = 1, α((F Y G)) = α((F Z G)) = 0 sonst, 1 sonst. Zeigen Sie, dass es zu jeder aussagenlogischen Formel eine semantisch äquivalente Formel gibt, die neben atomaren Aussagen und Klammern nur Z verwendet. Gilt diese Aussage für Y ebenfalls? Aufgabe 1.2 Verwenden Sie den Algorithmus aus der Vorlesung um eine zu F1 = (x ⇔ (y ∧ ¬z)) ∧ (¬y ⇒ x) äquivalente Formel in KNF herzuleiten. Geben Sie dabei für jede Umformung an, welcher Schritt des Algorithmus ausgeführt wird. Besitzt F ein Modell? Aufgabe 1.3 Geben Sie in Anlehnung an den Algorithmus zur Erzeugung einer KNF einen Algorithmus an, der eine gegebene aussagenlogische Formel in DNF überführt. Wenden Sie Ihren Algorithmus auf die Formel F2 = ¬(x ∧ (y ⇔ z)) ⇒ ¬(¬x ⇒ (y ∨ ¬z)) an und überprüfen Sie, ob F ein Modell besitzt. In welcher Form (KNF oder DNF) lässt sich die Erfüllbarkeit einer Formel leichter entscheiden? Aufgabe 1.4 Betrachten Sie folgende aussagenlogische Formel in KNF: F3 = (x1 ∨ y1 ) ∧ (x2 ∨ y2 ) ∧ · · · ∧ (xn ∨ yn ). Wie lang ist eine zu F3 äquivalente Formel in DNF mindestens? Wie könnte eine kurze“ aussagenlogische Formel in DNF aussehen, die eine lange“ KNF ” ” erzwingt?
