Diskrete Strukturen - Universität Münster
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WESTFÄLISCHE
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Diskrete Strukturen
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Dietmar Lammers
Vorlesung SoSe 2010
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Diskrete Strukturen
313/328
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> Primzahlen
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313/328
> Primzahlen
... gehören sie trotz ihrer einfachen Definition zu
den willkürlichsten, widerspenstigsten Objekten, die
der Mathematiker studiert. Sie wachsen wie
Unkraut unter den natürlichen Zahlen, scheinen
keinem anderen Gesetz als dem Zufall unterworfen
... [Zugleich zeigten sie aber] ... die
ungeheuerlichste Regelmäßigkeit auf und sind
durchaus Gesetzen unterworfen, denen sie mit fast
peinlicher Genauigkeit gehorchen.
Aus: http://www.spektrum.de/artikel/972374&_z=798888
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Laut Don Zagier, Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn:
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> Primzahlen
Definition
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Eine natürliche Zahl p > 1 heisst Primzahl oder prim, wenn
nur p selbst und 1 p teilen.
,
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> Primzahlen
Definition
Formaler: p ∈ N, p > 1 ∧ (∀n ∈ N, 0 < n < p : ggT (n, p) = 1)
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Eine natürliche Zahl p > 1 heisst Primzahl oder prim, wenn
nur p selbst und 1 p teilen.
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> Primzahlen
Definition
Formaler: p ∈ N, p > 1 ∧ (∀n ∈ N, 0 < n < p : ggT (n, p) = 1)
Beachte: 1 ist keine Primzahl
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Eine natürliche Zahl p > 1 heisst Primzahl oder prim, wenn
nur p selbst und 1 p teilen.
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> Primzahlen
Satz
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(Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl ist
(bis auf die Reihenfolge eindeutig) als Produkt von
Primzahlpotzenzen darstellbar.
,
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> Primzahlen
Satz
(Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl ist
(bis auf die Reihenfolge eindeutig) als Produkt von
Primzahlpotzenzen darstellbar.
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Beweis.
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315/328
> Primzahlen
Satz
(Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl ist
(bis auf die Reihenfolge eindeutig) als Produkt von
Primzahlpotzenzen darstellbar.
1. (Existenz - Induktion nach n:) IA: n=1 ist prim. IS: n prim
- ok, sonst n=k*m, beide kleine. Mit IS - q.e.d.
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Beweis.
,
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> Primzahlen
Satz
(Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl ist
(bis auf die Reihenfolge eindeutig) als Produkt von
Primzahlpotzenzen darstellbar.
1. (Existenz - Induktion nach n:) IA: n=1 ist prim. IS: n prim
- ok, sonst n=k*m, beide kleine. Mit IS - q.e.d.
2. (Eindeutigkeit - Widersprich:) In beiden Darstellungen
schreiben, kürzen - dann muss ein Primzahlprodukt
übrig bleiben, was aber durch eine anderer Primzahl
teilbar ist - Widerspruch!
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Beweis.
,
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> Primzahlen
Satz
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(Euklid): Es gibt unendlich viele Primzahlen
,
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> Primzahlen
Satz
(Euklid): Es gibt unendlich viele Primzahlen
(Widerspruch:) Angenommen, es gäbe nur k < ∞ viele
Primzahlen p1 , ..., pk . Es ist dann q := (p1 ∗ p2 ∗ .... ∗ pk ) + 1
eine Zahl, die nicht durch p1 , ...pk teilbar ist. Es muss aber
eine Darstellung von q als Produkt von Primzahlpotenzen
geben - Widerspruch!
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Beweis.
,
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> Primzahlen
Definition
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π(n) := |{p ≤ n : p ist prim}| bezeichnet die Anzahl der
Primzahlen kleiner oder gleich n.
,
,
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> Primzahlen
Definition
BSP: π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168, ...
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π(n) := |{p ≤ n : p ist prim}| bezeichnet die Anzahl der
Primzahlen kleiner oder gleich n.
,
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> Primzahlen
Satz
(Primzahlsatz) Für alle n ∈ N gilt:
(1 + o(1)) ∗ n
ln(n)
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π(n) =
,
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> Primzahlen
Satz
(Primzahlsatz) Für alle n ∈ N gilt:
(1 + o(1)) ∗ n
ln(n)
In der Praxis ignoriert man den o(1)-Term meist, und schätzt
π(n) direkt mit n/ln(n) ab.
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π(n) =
,
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> Primzahlen
Satz
(Primzahlsatz) Für alle n ∈ N gilt:
(1 + o(1)) ∗ n
ln(n)
In der Praxis ignoriert man den o(1)-Term meist, und schätzt
π(n) direkt mit n/ln(n) ab.
BSP: Es ist exp(10) ∼ 22062, ln(exp(10)) = 10, also gibt es
etwa 2206 Primzahlen die kleiner als 22062 sind.
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π(n) =
,
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> Primzahlen
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Goldbach-Vermutung:
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> Primzahlen
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Goldbach-Vermutung:
Jede gerade Zahl > 3 lässt sich als Summe zweier
Primzahlen ausdrücken.
,
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319/328
Goldbach-Vermutung:
Jede gerade Zahl > 3 lässt sich als Summe zweier
Primzahlen ausdrücken.
4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=7+5, 14=7+7. 16=11+5,
18=11+7, 20=13+7, ...
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> Primzahlen
,
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> Primzahlen
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Vermutung:
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320/328
> Primzahlen
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Vermutung:
Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also Paare
(p, p + 2), wobei p und p + 2 prim sind.
,
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320/328
> Primzahlen
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Vermutung:
Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also Paare
(p, p + 2), wobei p und p + 2 prim sind.
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), ...
,
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320/328
Vermutung:
Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also Paare
(p, p + 2), wobei p und p + 2 prim sind.
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), ...
Primzahlzwillinge müssen die Form 6n − 1, 6n + 1 haben.
Anfang 2009 sind zwei Zahlen mit fast 59000 Dezimalstellen
das grösste bekannte Zwillingspaar. Im Juli 2010 steht im
wiki als derzeit grösste bekannte Paar von
Primzahlzwillingen
65516468355 ∗ 2333333 ± 1(= 111659...716160 ± 1), das
sind Zahlen mit 100355 Stellen.
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> Primzahlen
,
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321/328
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> Primzahlen
,
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322/328
> Fermatsche Primzahlen
Fermat vermutete, er habe eine gute Methode gefunden,
grosse Primzahlen zu finden:
Definition
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Eine Primzahl der Form p = 2n + 1 für n ∈ N heisst
Fermatsche Primzahl
,
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322/328
> Fermatsche Primzahlen
Fermat vermutete, er habe eine gute Methode gefunden,
grosse Primzahlen zu finden:
Definition
Natürlich sind nicht alle Zahlen der Form Primzahlen!
BSP: 3 = 2 + 1, 5 = 22 + 1, 17 = 24 + 1 sind prim,
9 = 23 + 1 nicht.
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Eine Primzahl der Form p = 2n + 1 für n ∈ N heisst
Fermatsche Primzahl
,
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322/328
> Fermatsche Primzahlen
Fermat vermutete, er habe eine gute Methode gefunden,
grosse Primzahlen zu finden:
Definition
Natürlich sind nicht alle Zahlen der Form Primzahlen!
BSP: 3 = 2 + 1, 5 = 22 + 1, 17 = 24 + 1 sind prim,
9 = 23 + 1 nicht.
Definition
n
Eine Zahl F (n) = 22 + 1 mit n ∈ N, heisst n-te Fermatsche
Zahl
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Eine Primzahl der Form p = 2n + 1 für n ∈ N heisst
Fermatsche Primzahl
,
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> Fermatsche Primzahlen
Satz
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Eine Fermatsche Primzahl ist eine Fermatsche Zahl
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> Fermatsche Primzahlen
Satz
Eine Fermatsche Primzahl ist eine Fermatsche Zahl
(Widerspruch) Annahme, eine Fermatsche Primzahl enthalte
im Exponenten einen ungeraden Faktor
u
u : p = 2u∗v + 1 = 2v + 1 = au + 1, mit a = 2v . Für
ungerade Exponenten (und nur für solche) kann man aber
eine Zahl der Form au + 1 zerlegen:
au + 1 = (a + 1) ∗ (au−1 − au−2 + ... + a2 − a + 1) Also ist p
nicht prim - Widerspruch!
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Beweis.
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> Fermatsche Primzahlen
wissen leben
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F (0) = 3, F (1) = 5, F (2) = 17, F (3) = 257, F (4) = 65537
sind prim.
,
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324/328
> Fermatsche Primzahlen
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F (0) = 3, F (1) = 5, F (2) = 17, F (3) = 257, F (4) = 65537
sind prim.
F (5) = 4294967297 = 641 ∗ 6700417 ist nicht prim (Euler,
1732)
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324/328
> Fermatsche Primzahlen
wissen leben
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F (0) = 3, F (1) = 5, F (2) = 17, F (3) = 257, F (4) = 65537
sind prim.
F (5) = 4294967297 = 641 ∗ 6700417 ist nicht prim (Euler,
1732)
F(6) = 274177 * 67280421310721 ist nicht prim (Landry,
1880)
,
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F (0) = 3, F (1) = 5, F (2) = 17, F (3) = 257, F (4) = 65537
sind prim.
F (5) = 4294967297 = 641 ∗ 6700417 ist nicht prim (Euler,
1732)
F(6) = 274177 * 67280421310721 ist nicht prim (Landry,
1880)
F(7) = 59649589127497217 * 5704689200685129054721
(Morrison/Brillhart, 1970)
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> Fermatsche Primzahlen
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F (0) = 3, F (1) = 5, F (2) = 17, F (3) = 257, F (4) = 65537
sind prim.
F (5) = 4294967297 = 641 ∗ 6700417 ist nicht prim (Euler,
1732)
F(6) = 274177 * 67280421310721 ist nicht prim (Landry,
1880)
F(7) = 59649589127497217 * 5704689200685129054721
(Morrison/Brillhart, 1970)
Auch für einige grösserer Fermatsche Zahlen sind
Zerlegungen bekannt. Man vermutet inzwischen, das nur
F(0), ..., F(4) Primzahlen sind.
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> Fermatsche Primzahlen
,
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> Mersenne-Primzahlen
Definition
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Eine Primzahl p = 2n − 1 für ein n ∈ N heisst
Mersenne-Primzahl
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> Mersenne-Primzahlen
Definition
Natürlich sind nicht alle Zahlen der Form Primzahlen!
BSP: 3, 7, 63 sind prim, 15 nicht
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Eine Primzahl p = 2n − 1 für ein n ∈ N heisst
Mersenne-Primzahl
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> Mersenne-Primzahlen
Definition
Natürlich sind nicht alle Zahlen der Form Primzahlen!
BSP: 3, 7, 63 sind prim, 15 nicht
Für Mersenne-Zahlen lässt ist ein relativ einfacher,
effizienter Primzahltest, der Lucas-Lehmer-Test, anwenden.
Deswegen sind die grössten bekannten Primzahlen sind
meistens Mersenne-Primzahlen.
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Eine Primzahl p = 2n − 1 für ein n ∈ N heisst
Mersenne-Primzahl
,
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> Mersenne-Primzahlen
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Gemeldet wurden 2008 zwei neue grösste bekannte
Primzahlen:
237156667 − 1 mit 11185272 Stellen, und
243112609 − 1 mit 12978189 Stellen.
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Diskrete Strukturen
326/328
Gemeldet wurden 2008 zwei neue grösste bekannte
Primzahlen:
237156667 − 1 mit 11185272 Stellen, und
243112609 − 1 mit 12978189 Stellen.
Bei der Suche nach grossen Primzahlen werden seit 1951
Computer eingesetzt. Bis 1996 waren das idR einzelne
(Super-)Computer, danach ein per Internet verteilt
rechnendes System GIMPS (Great Internet Mersenne Prime
Search), das die Leerlaufzeiten von Rechnern ausnutzt. Dem
steht imzwischen etwas der Energiespargedanke entgegen.
(http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl#Gr.C3.B6.C3.9Fte_bekannte_Primzahl)
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> Mersenne-Primzahlen
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> Primzahltests
Primzahltests:
brute force: Dividieren bis zum Wert der Wurzel
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I
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> Primzahltests
I
brute force: Dividieren bis zum Wert der Wurzel
I
Mit einem Sieb:
http://de.wikipedia.org/wiki/Sieb_des_Eratosthenes
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Primzahltests:
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> Primzahltests
I
brute force: Dividieren bis zum Wert der Wurzel
I
Mit einem Sieb:
http://de.wikipedia.org/wiki/Sieb_des_Eratosthenes
I
Lukas-Lehmer-Test: Nur für Mersenne-Zahlen. (u.a.
GIMPS)
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Primzahltests:
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327/328
> Primzahltests
I
brute force: Dividieren bis zum Wert der Wurzel
I
Mit einem Sieb:
http://de.wikipedia.org/wiki/Sieb_des_Eratosthenes
I
Lukas-Lehmer-Test: Nur für Mersenne-Zahlen. (u.a.
GIMPS)
I
...
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Primzahltests:
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328/328
> Primzahltests
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Der Fermatscher Primzahltest beruht auf dem kleinen
Fermatscher Satz. Er sagt aus, das eine Zahl n nicht prim
ist, wenn für alle 1 < a < n nicht gilt an−1 ≡ 1 (mod n).
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328/328
Der Fermatscher Primzahltest beruht auf dem kleinen
Fermatscher Satz. Er sagt aus, das eine Zahl n nicht prim
ist, wenn für alle 1 < a < n nicht gilt an−1 ≡ 1 (mod n).
Das ist nur eine hinreichende, keine notwendige Bedingung.
Es gibt also zerlegbare Zahlen, die die obige Bedingung
auch erfüllen.
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> Primzahltests
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328/328
Der Fermatscher Primzahltest beruht auf dem kleinen
Fermatscher Satz. Er sagt aus, das eine Zahl n nicht prim
ist, wenn für alle 1 < a < n nicht gilt an−1 ≡ 1 (mod n).
Das ist nur eine hinreichende, keine notwendige Bedingung.
Es gibt also zerlegbare Zahlen, die die obige Bedingung
auch erfüllen.
Auf einer Verfeinerung davon, die die Anzahl der zu
prüfenden Faktoren herabsetzt, beruht auch der
Lukas-Lehmer-Test, der dann für Zahlen mit einer einfachen
und kleinen Primfaktorzerlegung gut funktioniert.
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> Primzahltests
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329/328
> Primzahltests
Der Wahrscheinlichkeitstest nach Solovay-Strassen
beruht auf einem Satz von Euler und liefert Eulersche
Pseudoprimzahlen.
wissen leben
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I
,
,
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I
Der Wahrscheinlichkeitstest nach Solovay-Strassen
beruht auf einem Satz von Euler und liefert Eulersche
Pseudoprimzahlen.
I
Der Miller-Rabin-Test beruht auf einem Satz von Miller
und liefert starke Pseudoprimzahlen.
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> Primzahltests
,
,
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330/328
> Der kleine Fermat
Lemma
Sei p ein Primzahl, k ∈ N, dann ist
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ϕ(pk ) = pk (1 − 1/p)
,
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330/328
> Der kleine Fermat
Lemma
Sei p ein Primzahl, k ∈ N, dann ist
Beweis.
Es gibt pk Zahlen, die kleiner oder gleich pk sind. Von diesen
wird pk genau von den Vielfachen von p geteilt. Davon gibt
es genau pk −1 . Also sind die teilerfremden Zahlen die
Differenz:
ϕ(pk ) = pk − pk −1 = pk (1 − 1/p)
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ϕ(pk ) = pk (1 − 1/p)
,
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331/328
> Der kleine Fermat
Lemma
Sei n ∈ N, n > 1 mit folgender Primzahlzerlegung:
n = p1m1 p2m2 ...pkmk
ϕ(n) = (p1 − 1)p1m1 −1 ∗ (p2 − 1)p2m2 −1 ∗ ... ∗ (pk − 1)pkmk −1
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Dann ist
,
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331/328
> Der kleine Fermat
Lemma
Sei n ∈ N, n > 1 mit folgender Primzahlzerlegung:
n = p1m1 p2m2 ...pkmk
ϕ(n) = (p1 − 1)p1m1 −1 ∗ (p2 − 1)p2m2 −1 ∗ ... ∗ (pk − 1)pkmk −1
Beweis.
direkt mit dem obigen Lemma.
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Dann ist
,
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332/328
> Der kleine Fermat
Satz
aϕ(n) ≡ 1 (mod n)
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(Euler): Für alle natürlichen Zahlen n > 1 gilt für alle a mit
n > a > 0 und ggT (n, a) = 1:
,
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> Der kleine Fermat
Satz
aϕ(n) ≡ 1 (mod n)
Für Primzahlen gilt natürlich ϕ(p) = p − 1
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(Euler): Für alle natürlichen Zahlen n > 1 gilt für alle a mit
n > a > 0 und ggT (n, a) = 1:
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> Der kleine Fermat
Satz
(“kleiner Fermat”): Für alle natürlichen Zahlen p > 1 gilt:
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p ist eine Primzahl ⇐⇒ ∀m ∈ Zp − 0: mp−1 ≡ 1 (mod p)
,
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Satz
(“kleiner Fermat”): Für alle natürlichen Zahlen p > 1 gilt:
Beweis.
(→:) aus der Bemerkung und dem Satz von Euler
(←:) Sei q ein beliebiger Teiler von p, dann gibt es k , l mit
q p−1 = 1 + k ∗ p, und l ∗ q = p, also
q p−1 − 1 = k ∗ l ∗ q. Das kann nur für q = 1 allgemein gelten,
also ist p prim.
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p ist eine Primzahl ⇐⇒ ∀m ∈ Zp − 0: mp−1 ≡ 1 (mod p)
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Beispiel: p = 4, Zp = {0, 1, 2, 3},
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Beispiel: p = 4, Zp = {0, 1, 2, 3},
13 = 1, 1 ≡ 1 (mod 4)
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Beispiel: p = 4, Zp = {0, 1, 2, 3},
13 = 1, 1 ≡ 1 (mod 4)
23 = 8, 8 ≡ 0 (mod 4)
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Beispiel: p = 4, Zp = {0, 1, 2, 3},
13 = 1, 1 ≡ 1 (mod 4)
23 = 8, 8 ≡ 0 (mod 4)
33 = 27, 27 ≡ 3 (mod 4)
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> Der kleine Fermat
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Beispiel: p = 5, Zp = {0, 1, 2, 3, 5},
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Beispiel: p = 5, Zp = {0, 1, 2, 3, 5},
14 = 1, 1 ≡ 1 (mod 5)
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> Der kleine Fermat
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Beispiel: p = 5, Zp = {0, 1, 2, 3, 5},
14 = 1, 1 ≡ 1 (mod 5)
24 = 16, 16 ≡ 1 (mod 5)
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Beispiel: p = 5, Zp = {0, 1, 2, 3, 5},
14 = 1, 1 ≡ 1 (mod 5)
24 = 16, 16 ≡ 1 (mod 5)
34 = 81, 81 ≡ 1 (mod 5)
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Beispiel: p = 5, Zp = {0, 1, 2, 3, 5},
14 = 1, 1 ≡ 1 (mod 5)
24 = 16, 16 ≡ 1 (mod 5)
34 = 81, 81 ≡ 1 (mod 5)
44 = 256, 256 ≡ 1 (mod 5)
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