KLAUSURAUFGABEN ZUR THEORETISCHEN PHYSIK II (LAK)

KLAUSURAUFGABEN ZUR THEORETISCHEN PHYSIK II (LAK)
Sommersemester 2017, Dienstag, 11.7.17, 8:15 Uhr
Sie schreiben bitte ausschließlich auf die zusätzlich verteilten Schreibvorlagen!
Benutzen Sie davon wahlweise Vorder- oder Rückseiten oder beides.
Beginnen Sie für jede Aufgabe eine neue Seite! (Egal ob Vorder- oder Rückseite)
Am Ende befindet sich eine Formelsammlung.
Punkte: 6 / 6 / 8 / 6
Summe: 26 (bestanden ab 13 Punkten)
Aufgabe 1: Grundwissen (6 Punkte)
Warnung: Beantworten Sie auch dies alles auf den zusätzlichen Schreibvorlagen!
1. Schreiben Sie folgende Ausdrücke soweit möglich als natürliche Zahl und schreiben Sie ”Geht Nicht”,
wenn das Ergebnis keine natürliche Zahl ist: (1 Punkt)
(a)
log 8 64,
(b)
log 10 2000,
(c)
√
5+
√
20,
(d)
20/3
.
4/9
~ = (3, 2, −1) und B
~ = (1, −1, 1) aufeinander senkrecht? Mit Rechnung oder
2. Stehen die beiden Vektoren A
Begründung)! (0.5 Punkte)
3. Wie lautet das Coulombgesetz (in vektorieller Form)? Schreiben Sie die Formel und erstellen Sie eine
(einfache) Skizze, aus der alle verwendeten Größen (außer den Konstanten) hervorgehen – auch die Vektoren!
(1 Punkt)
4. Berechnen Sie die Gesamtladung Q eines Zylinders mit Höhe H und Radius R (Grundfläche in der
xy-Ebene, symmetrisch zur z-Achse) mit der Ladungsdichte ρ(r⊥ , ϕ, z) = ρ0 r⊥ z (2 Punkte).
5. Berechnen Sie: (0.5 Punkte)
(a)
d
sin2 (3x).
dx
6. Sind die folgenden Größen Vektorfelder oder Skalarfelder? (Am besten angeben mit Symbolen V/ S)
Nicht raten, falsche Antwort gibt Punktabzug (innerhalb dieser Teilaufgabe) (1 Punkt)
(a.) Ladungsdichte
(b.) Stromdichte
(d.) Maxwell’scher Verschiebungsstrom
(c.) Flächennormale
Aufgabe 2: Punktladungen (6 Punkte)
a und q0 sind positive Konstanten.
Gegeben sind die 3 Punktladungen Q1 = q0 am Ort ~r1 = (0, 0, 0), Q2 = 2q0 am Ort ~r2 = (a, a, a) und
Q3 = 3q0 am Ort ~r3 = (a, 2a, 2a) .
In den folgenden Aufgaben müssen diese Werte passend eingesetzt werden und alles so weit wie möglich
vereinfacht werden! Ausdrücke wie z. B. (x − a)2 dürfen stehenbleiben.
In jeder Teilaufgabe sollen nur diejenigen Ladungen vorhanden sein, die im jeweiligen Text erwähnt sind
(in (a.) also z.B. nur Q1 und Q2 )!
a.) Welches Feld wird von den beiden Ladungen Q1 und Q2 (im ganzen Raum) erzeugt? (1 Punkt)
b.) Welche Kraft übt die Ladung Q1 auf die Ladung Q2 aus? (1 Punkt)
c.) Welche Arbeit muss man verrichten, um die Ladung Q3 im Feld von Q1 vom Ort (0, a, a) zum Ort
(0, 2a, a) zu befördern? (2 Punkte)
Hinweis: Die benötigte Stammfunktion lässt sich leicht erraten.
d.) Welchen elektrischen Fluss erzeugt das (gemeinsame) Feld aller 3 Ladungen durch die Oberfläche einer
Kugel vom Radius 2a mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung? (Mit Begründung!) (2 Punkte)
1/2 Zusatzpunkt, wenn (fast) alles richtig ist.
1
Aufgabe 3: Maxwell-Gleichungen (8 Punkte)
q, ω, E0 und B0 sind positive Konstanten (ungleich Null), x, y, z sind kartesische Koordinaten.
a.) Ergänzen Sie die folgende Maxwell-Gleichung (im Vakuum). Schreiben Sie sie sowohl in differenzieller als auch in integraler Form! (1 Punkt)
~ ×B
~ =
∇
b.) Gegeben sind die beiden Felder
~ = E0 sin (qx − ωt) ~ey ,
E
~ = B0 sin (qx − ωt) ~ez ,
B
außerdem (erst jetzt!) ρ = 0, ~j = 0.
Überprüfen Sie, ob beide zusammen (als elektrisches Feld und Magnetfeld) die oben angegebene MaxwellGleichung in differenzieller Form erfüllen (können), und ob es ggf. Bedingungen zwischen den Konstanten
E0 , B0 , q, ω gibt. (2 Punkte)
c.) Überprüfen Sie, ob die beiden Felder aus b.) die oben angegebene Maxwell-Gleichung in integraler Form
erfüllen (ohne Verwendung der Integralsätze von Gauß und Stokes!). Erstellen Sie dazu eine Skizze, aus der
Ihre gewählten Integrationsgebiete eindeutig hervorgehen. Wählen Sie diese so, dass nicht beide Seiten der
Maxwell-Gleichung trivial Null werden. (3 Punkte)
d.) In welche Richtung bewegt sich die dargestellte Welle? (1 Punkt)
~
e.) Wie lautet das E-Feld
einer zirkular polarisierten Welle, die sich in die positive z-Richtung ausbreitet?
(1 Punkt)
1/2 Zusatzpunkt, wenn (fast) alles richtig ist.
Aufgabe 4: Magnetfelder: (6 Punkte)
B, d, v0 , I und R sind positive Konstanten.
Warnung: Diese Aufgabe ähnelt einer Hausaufgabe, hat aber auch einige Unterschiede, so z.B. keine eigene
Spannungsquelle!
Gegeben ist ein U-förmiger, nach rechts unendlich ausgedehnter Stromleiter vom Widerstand R = 0 mit
dem Abstand d zwischen den beiden parallelen Armen. Auf ihnen befinde sich ein leitender Draht mit
Widerstand R und Masse m, der den Stromkreis schließt (siehe Abb.). Sein Abstand zum linken Rand der
Anordnung sei x(t). Senkrecht zu dieser Anordnung wirke ein konstantes (über die gesamte Zeichenebene
~ das aus der Papierebene herauszeige. Der Draht werde mit der konstanten
ausgedehntes) Magnetfeld B,
Geschwindigkeit v0 nach rechts bewegt.
...
~v✲
0
0
~
B
.......·.......
d
...
x(t)
a.) Berechnen Sie den Strom I(t), der durch diese Anordnung fließt (in Abhängigkeit von den gegebenen
Konstanten). (3 Punkte)
b.) Durchläuft der Strom (technische Stromrichtung) den Stromkreis im Uhrzeigersinn oder entgegen dem
Uhrzeigersinn? Begründen Sie Ihre Antwort in 2-3 Sätzen mit Hilfe von passenden Formeln! (1.5 Punkte)
c.) Gegeben sei ein (neuer) Leiter, der durch die folgende Parametrisierung beschrieben wird. Skizzieren Sie
ihn in ein geeignetes Koordinatensystem und markieren Sie die Stromrichtung durch einen Pfeil: (1 Punkt)
~r = (cos ϕ, sin ϕ − 1, 0) für (Stromrichtug): ϕ ∈ [0, 2π].
d.) Der Leiter aus c.) soll vom Strom I durchflossen werden (technische Stromrichtung wie von ~r vorgegeben). Wie lautet das magnetische Moment m
~ dieser Anordnung? (0.5 Punkte)
1/2 Zusatzpunkt, wenn (fast) alles richtig ist.
2
Formelsammlung (darf abgerissen werden)
Zylinderkoordinaten:
~ · C(ρ,
~ ϕ, z) = 1 ∂(ρCρ ) + 1 ∂Cϕ + ∂Cz ,
~ (ρ, ϕ, z) = ~eρ ∂V + ~eϕ 1 ∂V + ~ez ∂V ,
∇
∇V
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
~ × C(ρ,
~ ϕ, z) = ~eρ 1 ∂Cz − ∂Cϕ + ~eϕ ∂Cρ − ∂Cz + ~ez 1 ∂(ρCϕ ) − ∂Cρ ,
∇
ρ ∂ϕ
∂z
∂z
∂ρ
ρ
∂ρ
∂ϕ
2
2
~ 2 V (ρ, ϕ, z) = 1 ∂ ρ ∂V + 1 ∂ V + ∂ V ,
∇
~r = r⊥ ~er⊥ + z~ez .
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ2 ∂ϕ2
∂z 2
Kugelkoordinaten:
x = r sin ϑ cos ϕ,
~er = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cosϑ),
y = r sin ϑ sin ϕ
~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0),
z = r cos ϑ
~eϑ = (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, − sin ϑ).
~ (r, ϑ, ϕ) = ~er ∂V + ~eϑ 1 ∂V + ~eϕ 1 ∂V ,
∇V
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
2
~ · C(r,
~ ϑ, ϕ) = 1 ∂(r Cr ) + 1 ∂(sin ϑCϑ ) + 1 ∂Cϕ ,
∇
r2 ∂r
r sin ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
~
~
∇ × C(r, ϑ, ϕ) =
1 ∂Cr
1
1 ∂(rCϑ ) ∂Cr
∂
∂Cϑ
1 ∂(rCϕ )
= ~er
+ ~eϑ
+ ~eϕ
,
(sin ϑCϕ ) −
−
−
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϕ
r sin ϑ ∂ϕ
r ∂r
r
∂r
∂ϑ
∂2V
1
∂V
1
∂
~ 2 V (r, ϑ, ϕ) = 1 ∂ r2 ∂V +
∇
sin
ϑ
+ 2 2
.
2
2
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ2
Kurven- und Flächenelemente (Richtungsvektoren bitte selbst überlegen!):
Kreislinie (Radius R) in oder parallel zu xy-Ebene: ds = R dϕ.
Kreislinie (Radius R) entlang Längengrad: ds = R dϑ
Kreisfläche in oder parallel zu xy-Ebene: df = r dr dϕ
Kugeloberfläche: df = R2 sin ϑ dϑ dϕ
Zylindermantel: df = R dϕ dz
Integralsätze:
Gauss:
ZZZ
ZZ
~ · df~,
~
~
∇ · A dV = A
Stokes:
1 X
qj
Potenzial: φ(~ri ) =
,
4πǫ0 j |~ri − ~rj |
Z Z
~ × A)
~ · df~ =
(∇
1
φ(~r) =
4πǫ0
Z
d3 r′
I
~ · d~r
A
ρV (~r ′ )
|~r − ~r ′ |
~r − ~r ′
1
~r
= −∇
′
3
|~r − ~r |
|~r − ~r ′ |
Z ~r2
~ r ) d~r
E(~
Spannung: U = −
~
r1
Z
und ~j = ρV (~r) ~v
Strom und Stromdichte: I = ~j · df~,
Z
ǫ0
~ r )|2
d3 r|E(~
Energie: Eg =
2
∞
X
1 (n)
f (x0 )(x − x0 )n
Taylor: f (x) =
n!
n=0
b.w.
3
Dipolmoment:
p~ =
X
j
~rj qj →
Dipolpotenzial: φDipol =
Z
~rρV (~r) dV
1 ~r · p~
4πǫ0 r3
p · ~r) − p~r2
~ Dipol = −∇φ
~ Dipol = −∇
~ ~r · p~ = 1 3~r(~
E
r3
4πǫ0
r5
~
~ = σ/(2ǫ0 )
E-Feld
einer Platte: |E|
Poisson-Gleichung: ∆φ(~r) = −
1
Magn. Moment: m
~ =
2
Z
d r ~r × ~j(~r)
3
ρV (~r)
ǫ0
1
m
~ = I
2
→
Z
~r × d~r,
... einer Leiterschleife: m
~ = IF ~n,
~ =m
~
Drehmoment: N
~ × B,
1. Ampère’sches Gesetz:
I I
µ0 I1 I2
~r12
d~r1 × (d~r2 × ~r12 )
=
−
(d~r1 d~r2 ) 3 ,
3
r
4π
r12
C1 C2
C1 C2
12
Z
Z
d~r2 × ~r12
~ 2 (~r1 ) = µ0 I2
~12 = I1
~ 2 (~r1 )
Biot-Savart: B
,
F
d~r1 × B
3
4π C2
r12
C1
µ0 I1 I2
F~12 = F~2→1 =
4π
I
I
~ =
Spule: |B|
µ0 N I
,
ℓ
Selbstinduktivität:
Kontinuitätsgleichung:
L = µr µ0
N2
f
ℓ
∂ρ(~r)
~ · ~j(~r)
= −∇
∂t
Wellengleichungen (falls ρ = 0, ~j = 0):
~ =
∆E
1
c′2
∂2 ~
E,
∂t2
~ =E
~ ×H
~ =
Poynting-Vektor: S
1 ~
µ0 E
~ =
∆B
1
c′2
∂2 ~
B,
∂t2
k=
ω
,
c′
1
c′ = √
ǫ 0 µ0 ǫ r µr
~
×B
Relativitätstheorie: LT:
Inv. LT:
x − vt
x′ = p
,
1 − v 2 /c2
x′ + vt′
x= p
,
1 − v 2 /c2
4
ct − vx/c
ct′ = p
1 − v 2 /c2
′
ct + vx′ /c
ct = p
1 − v 2 /c2