3. ¨Ubungsblatt 506.556 Statistik, WS 2007/2008

3. Übungsblatt 506.556 Statistik, WS 2007/2008
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Univ.-Prof. DI Dr. Ernst Stadlober
1.) [T] χ2 -Verteilung, Student-t-Verteilung.
(a) Man beweise Satz A1:
iid
Sind die Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn ∼ N (0, 1)–verteilt, dann ist
Y =
n
X
Xi2
χ2n –verteilt.
i=1
Das heißt, die Zufallsvariable Y hat die Dichte
1
xn/2−1 e−x/2
2n/2 Γ(n/2)
hn (x) =
0
x>0
.
x<0
(b) Man beweise Satz A.2:
Falls X und Y unabhängige Zufallsvariable mit X ∼ N (0, 1) und Y ∼ χ2n ,
dann hat die Zufallsvariable
X
T =p
Y /n
die Dichte
tn (t) =
−(n+1)/2
Γ((n + 1)/2)
√
1 + t2 /n
, −∞ < t < ∞ .
Γ(n/2) nπ
2.) [P] Konfidenzintervalle für µ und σ 2 .
Eine Stichprobe aus einer Normalverteilung vom Umfang n = 10 sei gegeben durch
11.3 10.2 9.5 10.4 9.8 11.0 10.2 10.9 9.9 9.8
(a) Wie lautet das zweiseitige 95%–Konfidenzintervall für µ?
(b) Es kommen zwei weitere Messwerte 10.3 dazu. Wird dadurch das Konfidenzintervall länger oder kürzer?
(c) Geben Sie aufgrund der 10 Messwerte ein einseitiges 95%–Konfidenzintervall
für σ 2 an.
3.) [P] Gauß-Test für µ.
Das Gewicht G [in g] von Semmeln sei N (µ, 6) verteilt. Für n = 81 Semmeln ergab
sich das Durchschnittsgewicht von x = 37 g.
(a) Man überprüfe mittels eines zweiseitigen Tests, ob die Daten mit der Hypothese
H0 : µ0 = 38 g vereinbar sind (α = 0.05).
(b) Sei µ1 = 37 g der wahre Wert von µ. Wie groß ist dann der Fehler 2. Art beim
Test in (a)?
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(c) Wie groß muss der Stichprobenumfang n mindestens gewählt werden, damit
der Fehler 2. Art des Tests H0 : µ0 = 38 g gegen H1 : µ1 = 37 g kleiner gleich
0.05 wird?
4.) [P] Konfidenzintervalle und Tests für Anteil p.
(a) Bei der Produktion von bestimmten Bauteilen für elektronische Geräte entstehen mit einer (unbekannten) Wahrscheinlichkeit p defekte Stücke. Um Aufschluß über die Wahrscheinlichkeit p zu bekommen, wird bei laufender Produktion eine Stichprobe von n Bauteilen entnommen, die auf ihre Funktionstüchtigkeit überprüft werden. Unter geeigneten Annahmen
i. bestimme man für n = 600 ein konkretes Konfidenzintervall zum (approximativen) Konfidenzniveau 0.95 für p , wenn 69 der 600 überprüften
Bauteile defekt sind.
ii. Der Ausschußanteil x sei wie in i. Welchen Stichprobenumfang n benötigt
man mindestens, damit die Länge des 95%–Konfidenzintervalls für p kleiner gleich 0.05 wird?
iii. Wie groß muß n gemäß Fragestellung ii. mindestens sein, wenn der Ausschußanteil x beliebig ist?
(b) Ein Unternehmen bezieht seit langem von einem bestimmten Lieferanten einen
Massenartikel, wobei der Ausschussanteil 5% beträgt. Ein Konkurrenzangebot
verspricht bei gleichem Preis einen Ausschussanteil unter 5%. Unter 100 zufällig
ausgewählten Artikeln des Konkurrenzangebotes waren 2 Ausschussstücke.
i. Formulieren Sie einen statistischen Test als Entscheidungsgrundlage. Dabei
wird die Umstellung auf ein schlechteres Konkurrenzangebot als schwerwiegender erachtet. Bestimmen Sie dann den kritischen Bereich des Tests
zum Niveau α = 0.05; wie ist zu entscheiden?
ii. Skizzieren Sie die Operationscharakteristik (OC) des Tests. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art 1 − β, falls der tatsächliche
Ausschuss anteil des Konkurrenzartikels 3% ist.
iii. Welchen Test schlagen Sie bei einem Stichprobenumfang von n = 500 vor?
Wie ist bei 10 Ausschussstücken zu entscheiden?
5.) [C] Konfidenzintervalle und Tests bei Lungenfunktionsdaten aimu 1985.sav
aus Bsp. 3 [R 2.6.0].
(a) Analysieren Sie die Variablen fev1, fvc mit Hilfe von Stengel-Blatt-Diagrammen, Box-Plots, Fehlerbalken und Q-Q-Plots. Was liefert der t-Test bzgl. der
Nullhypothesen µf vc = 5.4 und µf ev1 = 4.5?
(b) Man definiere die kategorische Variable jung alt(1,2) (16–30 Jahre, 31–59
Jahre) und führe eine explorative Analyse der Variablen fvc bzgl. der Kategorien region und jung alt durch, indem man Stengel-Blatt-Diagramme,
Box-Plots, Fehlerbalken und Q-Q-Plots erzeuge.
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(c) Was liefern der Welch-Test und der t-Test beim Vergleich der beiden Altersgruppen bzw. beim Vergleich der beiden Regionen?
(d) Was liefert der F -Test als Test auf gleichheit der Varianzen? (händische Berechnung)?
(e) Testen Sie die Gleichheit des Lokationsparameters für fvc bzgl. der Regionen
und bzgl. der Altersgruppen mit Hilfe des Mann-Whitney-U-Tests
(f) Fassen Sie die Ergebnisse in Form eines Dokuments (max. 4 Seiten) zusammen.
6.) [P] Konfidenzintervalle und Tests bei zwei unabhängigen Stichproben.
Der Prozentsatz von Körperfett ist ein guter Indikator für den metabolischen Energiestatus und den allgemeinen Gesundheitszustand eines Menschen. Es wurden 2
Gruppen von gesunden Studenten untersucht und deren Prozentsatz an Körperfett
festgestellt. Gruppe A bestand aus n = 80 Studenten aus städtischen Regionen und
Gruppe B setzte sich aus m = 60 Studenten aus ländlichen Gegenden zusammen.
Es ergaben sich die folgenden Stichprobenwerte. x = 12.07 [%], sX = 3.04 [%],
y = 11.04 [%], sY = 2.63 [%]. Die Meßwerte seien Realisierungen von unabhängigen
Stichprobenvariablen Xi ∼ N (µX , σX ), Yj ∼ N (µY , σY ).
(a) Man bestimmte ein 95%–Konfidenzintervall für die Differenz µD = µX − µY .
Läßt sich ein signifikanter Unterschied zwischen den mittleren Prozentsätzen
µX und µY zum Niveau α = 0.05 nachweisen?
2
/σY2 ? Ist H0 : θ = 1 zum
(b) Wie lautet das 95%–Konfidenzintervall für θ = σX
Niveau von α = 0.05 zu verwerfen?
7.) [CS, optional] Simulation von Konfidenzintervallen [R 2.6.0]
(a) Man erzeuge m = 50 Stichprobenvektoren (X1 , . . . , Xn ) der Länge n = 20
iid
mit Xi ∼ N (µ = 0, σ = 1).
(b) Man berechne für jeden Vektor das arithmetische Mittel X und je ein 95%–
Konfidenzinterall für den Erwartungswert µ bei bekanntem σ = 1 und für
unbekanntes σ.
(c) Stellen Sie diese Konfidenzintervalle graphisch in Form von Tabellen und Linienplots dar. Wie oft wird der wahre Parameter µ = 0 durch die Konfidenzintervalle überdeckt?
Hinweis:
Speichern Sie Ihre Übungsaufgaben (mit entsprechenden Kommentaren) unter folgenden
File–Namen ab: Statistik Nachname1aufgabenr.* z.B. Statistik schiefer31.pdf
und übermitteln Sie die Files per e-mail mit dem Betreff stat an [email protected].
Transfer der Files bis spätestens: Di. 11. 12. 2007, 10.00 Uhr
Besprechungstermin: Mi. 12. 12. 2007, 16.15–17.45, HS BE01