Jenseits des Standardmodells: Supersymmetrie

Jenseits des Standardmodells:
Supersymmetrie
Christoph Bauermeister
Gliederung
1. Grenzen des Standardmodells
2. Was ist Supersymmetrie (SUSY)?
3. Das Minimale Supersymmetrische
Modell (MSSM)
4. Möglichkeiten der experimentellen
Verifikation
5. Abschließendes
1. Grenzen des Standardmodells
a) Gravitation
b) Das Hierarchie-Problem
a) Gravitation
Schwarzschildradius rS(M) = 2MG/c² - Gravitationseffekte
Compton-Wellenlänge (M) = /Mc - Quanteneffekte
(M) = rS(M)/2
M =
hc
≅ 10 19 GeV
G
Standardmodell bei spätestens 1019 GeV ungültig
b) Das Hierarchie-Problem
Berechnung von Massen m bei QFT führt oft auf Auswertung
divergenter Integrale.
Lösung:
- Integration bei
abbrechen
m( ) = m0 + m( )
- führe in Lagrange-Funktion Korrekturterme ein, die
zu Kompensation der Divergenz von m( ) führen
Beispiel: Fermion und massives Higgs-Teilchen
µ
2
2
L = Ψ iγ ∂ µ Ψ + ∂ µ Φ − mS2 Φ −
(
λF
2
)
Ψ ΨΦ + h.c .
Spontane Symmetriebrechung
Φ = (h +v ) / 2
gibt dem Fermion die Masse mF ,0 = λ F v / 2
Der Prozess
führt zu Massenkorrektur
mF = mF ,0
3λ2F mF ,0 Λ2 F =e
λ2F
−
ln 2 ≈ me −
me
64π²
mF
2
Fermionenmasse
natürlich
Betrachten nun Korrekturen zur Higgs-Masse:
M ≈M
2
h
2
h ,0
Beitrag von Fermionen-Loop
M ≈M
2
h
Beitrag von zwei skalaren Loops
(
2
2

2
 L → L + ∑ ∂ µ Φ i − ms2i Φ 2i + λ S Φ Φ i
i =1

Korrekturen nicht mehr natürlich
2
2
h ,0
λ
−
Λ²
8π²
2
F
λS
+
2Λ²
16π²
)
außerordentlich groß im Vergleich zu
Mh < 860 GeV
M ≈M
2
h
2
h ,0
λ2F
−
Λ²
8π²
M ≈M
2
h
2
h ,0
λS
+
2Λ²
16 π²
Korrekturen nicht mehr natürlich
außerordentlich groß im Vergleich zu
Mh < 860 GeV
Counter-Terme notwendig, die sehr genau justiert sein müssen, um die
erwartete kleine Higgs-Masse zu ermöglichen
Higgs-Masse unnatürlich klein = Hierarchie-Problem
Lösung:
oder
kleiner wählen (SM bricht bei kleinen Energien
zusammen)
- Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen
(wird durch die Struktur der Korrekturen von Fermionen
und skalaren Teilchen suggeriert)
= Supersymmetrie
-
2. Was ist Supersymmetrie?
a) Konzeptionelle Grundlagen
b) Der SUSY-Oszillator
a) Konzeptionelle Grundlagen
Supersymmetrie ist eine Symmetrie zwischen bosonischen und
fermionischen Zuständen.
Die Transformation zwischen bosonischen und fermionischen Zuständen
wird durch einen Operator Q vermittelt:
Q Fermion> ~ Boson>
Q Boson> ~ Fermion>
Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Bosonen (b+ und b-)
und Fermionen (f+ und f-) erfüllen dabei die Kommutatorrelationen:
Bosonen:
[b-,b+] = 1, [b+,b+] = [b-,b-] = 0
Fermionen:
{f-,f+} = 1, {f+,f+} = {f-,f-} = 0
[b,f] = 0
Außerdem:
(b+)† = b- , (f+)† = f-
Den SUSY-Zustandsraum kann man aus den Produktzuständen
nB nF> = nB> nF>
aufbauen.
nB 0 >
nB 1 >
… bosonischer Zustand
… fermionischer Zustand
SUSY-Operatoren:
Q+ nB nF> = nB - 1, nF + 1>
Q- nB nF> = nB + 1, nF - 1>
Q+ = b-f+
Q- = b+f(Q+)† = Q-, (Q-)† = Q+
Erzeugung von Fermionen
Erzeugung von Bosonen
Supersymmetrie heißt Symmetrie bzgl. der Transformation Q+ bzw. Q-:
[H,Q± ] = 0
Der Ansatz
H = {Q+,Q-}
führt wegen
[{Q+,Q-},Q± ] = 0
(einfache Übung)
auf einen supersymmetrischen Hamilton-Operator.
Q+, Q- sind nicht hermitesch
Q1 := Q+ + QQ2 := -i(Q+ - Q-)
Q1, Q2 sind hermitesch
Damit wird [H,Q±] = 0 zu
[H,Qi] = 0
(i = 1,2)
und H = {Q+,Q-} zu
H = Q1² = Q2²
b) Der SUSY-Oszillator
Der Hamilton-Operator muss die Form haben
H=
{Q+,Q-} =
(b-f+b+f- + b+f-b-f+ )
=
(b-b+f+f- + b+b-f-f+ )
=
((1+b+b-)f+f- + b+b-(1-f+f-))
=
(f+f- + b+b- )
=
(b+b- + f+f- ) =
=
(b+b- + ½) +
HB
+
!! Keine Nullpunktsenergien !!
(NB + NF)
(f+f- - ½)
HF
3. Das Minimale Supersymmetrische Modell
Die Lagrange-Funktion des Dirac-Feldes
L = Ψ ( i ∂/ − m ) Ψ
lässt sich bei Verwendung der Weyl-Darstellung
σµ 

0 
0
µ
γ =  µ
σ
-1 0

γ = 
 0 1
5
 ΨL 

Ψ = 
 ΨR 
schreiben als
µ
µ
L = Ψ i σ ∂ µ ΨL + Ψ iσ ∂ µ ΨR − m( Ψ ΨL + Ψ ΨR )
†
L
†
R
†
R
†
L
Mit der c-Matrix
0
c : = − iσ = 
1
2
− 1

0 
gelten in Bezug auf Transformationsverhalten folgende Relationen:
c Ψ R∗
= χL
− Ψ RT c = χ †L
− c χ ∗L = Ψ R
χ TL c = Ψ R†
Außerdem gilt:
µ
χ L = σ Aµ ΨR
µ
χ R = σ Aµ ΨL
Betrachten nun System aus links-chiralem Fermion und komplexem Boson:
L = ∂
µ Φ
∗
∂
µ
Φ + Ψ
iσ
†
µ
∂
µ
Ψ
Fermion
y
x
Boson
∆x = y ∆
∆
= 21/2 Tc
∆y = -x ∆
∆
= 21/2i ∂
∆x, ∆y, ∆ ,x,y … Zahlen
∆ ,
c *
… Skalare
∆ , , … linkshändige Weyl-Spinoren
L = x² + y ²
bleibt invariant
L = ∂ µ Φ ∗∂ µ Φ + Ψ † iσ µ ∂ µ Ψ
bleibt invariant (modulo ∂)
Beweis der Invarianz (Rechnung modulo Randterme):
∆L = ∂ µ Φ * ∂ µ ∆Φ + ∆Ψ † iσ µ ∂ µ Ψ + ( ξ*)
= 2( ∂ µ Φ * ∂ µ ξT cΨ + [ iσµ ∂ µ Φcξ*] † iσ ν ∂ ν Ψ ) + ( ξ*)
= 2 (∂ µ Φ * ∂ µ ξT cΨ + [ −iξT c † σµ ∂ µ Φ*]iσ ν ∂ ν Ψ ) + ( ξ*)
= 2 (∂ µ Φ * ∂ µ ξT cΨ − ξT cσµ ∂ µ Φ * σ ν ∂ ν Ψ ) + ( ξ*)
2x p.I.
=
2Φ * (-ξ T c∂ ²Ψ + ξT cσ ⋅ ∂σ ⋅ ∂Ψ ) + ( ξ*)
= 2Φ * ( −ξT c∂ ²Ψ + ξ T c∂ ²Ψ ) + ( ξ*)
= 0 (ersichtlich)
Dabei benutzt:
σ ⋅ ∂σ ⋅ ∂ = ∂²
= 0 (analog zu rechnen)
Das Duplett ( , ,F) wird als chirales Supermultiplett bezeichnet.
… komplex-skalares Teilchen (Spin 0, dim = 1)
… Weyl-Fermion (Spin ½, dim = 3/2)
F … komplex-skalares Hilfsfeld (Spin 0, dim = 2)
Weiterer Bestandteil des MSSM ist das Vektor-Supermultiplett (v, ,D):
v … Eichboson (Spin 1, dim = 1)
… Weyl-Fermion (Spin ½, dim = 3/2)
D … reell-skalares Hilfsfeld (Spin 0, dim = 2)
Diese zwei Multipletts sind ausreichend, um alle Teilchen des
Standardmodells unterzubringen
MSSM
SUSY-Teilchen-Zoo:
Superfeld
SU(3)
Q̂
3
ÛC
3
3
D̂
C
L
ÊC
Ĥ1
Ĥ 2
Ĝ a
Ŵ
B̂
i
1
1
1
1
8
1
1
SU(2)L
2
1
1
2
1
2
2
1
3
1
U(1)Y
1/6
-2/3
1/3
-1/2
1
-1/2
1/2
0
0
0
Bosonen | Fermionen
~ , d~ ) ( u , d )
(u
L
L
L
L
~∗
u
R
~∗
dR
uR
dR
~ ) ( ν ,e )
(~
νL ,e
L
L
L
~∗
eR
e
R
H1
H2
Gµ
Wi µ
B
µ
~
h1
~
h2
g~
~
ωi
~
b
SUSY-Teilchen-Zoo:
Superfeld
SU(3)
Q̂
3
ÛC
3
3
D̂C
L
ÊC
Ĥ1
Ĥ 2
Ĝ a
Ŵ
B̂
i
1
1
1
1
8
1
1
Sfermionen (Squarks, Selektronen, …)
SU(2)L
2
1
1
2
1
2
2
1
3
1
U(1)Y
Bosonen | Fermionen
~ , d~ ) ( u , d )
(u
1/6
L
L
L
L
∗
~
uR
u
-2/3
R
~∗
dR
dR
1/3
~ ) ( ν ,e )
(~
νL ,e
-1/2
L
L
L
~∗
eR
e
1
R
~
H1
h1
-1/2
~
H
h2
1/2
2
Higgsinos
g~
0
Gµ
~
ωi
Wi µ
0
~
µ
0
b
B
Gauginos (Gluinos, Winos, Binos)
Lagrange-Dichten (schematisch):
Chirales Multiplett:
L = Dµ Φ ∗j D µ Φ j + Ψ j† i σ µDµ Ψ j
- 2ig ( Φ j λTa t a cΨ j − Ψ j† t a cλ∗a Φ j )
Vektor-Multiplett:
Wechselwirkung:
L=−
1 a
( Fµν )² + λ† a i σ µ Dµ λa
4
∂W
L=−
∂Φ j
2
(a = 1,2,3)
1 T
 g2 † a
∂ 2W
−  2 Ψj cΨk
+ h.c. − 2 ( Φ j t Φ j )2
∂Φ j ∂Φ k


W = λiju u i h2 ⋅ Q j + λijd d i h1 ⋅ Q j + λijl e i h1Lj + µh1h2
(+ λ
ijk
B
u i d j d k + λijkLQ i ⋅ Lj d k + λijke Li ⋅ Lj e k + µ Li Li ⋅ h2
)
Bemerkung: Terme mit Verletzung der Baryonen- oder Leptonenzahlerhaltung stehen nicht im Widerspruch zu SUSY und Eichsymmetrie
SUSY-Brechung
Einerseits:
Supersymmetrie perfekt
SUSY Partner haben gleiche Massen
m(Selektron) = 511 keV
SUSY muss gebrochen sein
Andererseits: Hierarchie-Problem muss berücksichtigt werden
Kompromiss:
L
L + Lsoft
Lsoft beschreibt SUSY-Brechung, beinhaltet nur Terme,
die die Lösung des Hierarchie-Problems unberührt lassen
(z. B. Gaugino-Massen, Sfermion-Massen)
Konsequenz: Viele neue Parameter (
100)
4. Möglichkeiten der
experimentellen Verifikation
a) R-Parität
b) Higgs-Sektor
c) SUSY
UED
a) R-Parität
Allgemeiner Ausdruck für Superpotential W enthält Terme, die Baryonenoder Leptonenzahlerhaltung verletzten.
Es gibt aber durch das Experiment vorgegebene Grenzen für solche
Prozesse.
Führe neue Symmetrie ein, die entsprechende Terme verbietet
R-Parität (multiplikativ)
R = (-1)L+Q+2J
Standardmodell-Teilchen: R = 1
SUSY-Partner:
R = -1
Bei der Betrachtung experimenteller Konsequenzen der SUSY
unterscheidet man zwischen R-erhaltenden und –verletztenden Szenarien.
R-Parität ist erhalten:
SUSY-Teilchen immer paarweise produziert
SUSY-Teilchen können nicht allein in SM-Teilchen zerfallen
leichtestes SUSY-Teilchen (LSP) ist absolut stabil
Eigenschaften: - nur schwach wechselwirkend
Signal:
- fehlender Impuls in Reaktionen
R-Parität nicht erhalten:
Signal: Verletzung von Baryonen- oder Leptonenzahlerhaltung
b) Higgs-Sektor
Es gibt fünf Higgs-Teilchen: H±, A, h, H
Beschreibung zunächst durch 3 Parameter:
v1 = <H10>, v2 = <H20>, MA
Mit
M
2
W
g² 2
=
( v 1 + v 22 )
2
bleiben zwei Parameter: tan
Wichtig:
= v2/v1 und MA
MSSM sagt (parameterunabhängig) die Existenz eines
neutralen Higgs-Teilchens voraus mit
m < ca. 150 GeV
Muss (wahrscheinlich) am LHC gesehen werden, auf jeden Fall aber
am NLC
Test des Minimalen Supersymmetrischen Modells !
c) SUSY
UED
UED = Universal Extra Dimensions
UED:
- Einführung von Extra-Dimensionen
- Anregung von Teilchen in Extra-Dimension liefert
neues schwereres Teilchen
- KK-Parität analog zu R-Parität
Spinuntersuchung bei Reaktionen von Bedeutung
5. Abschließendes
a) Coleman-Mandula-Theorem
b) Zusammenfassung
a) Coleman-Mandula-Theorem
Coleman-Mandula-Theorem:
Die allgemeinst mögliche Symmetrie-Algebra der S-Matrix ist ein
direktes Produkt aus der Poincaré-Algebra und einer Algebra interner
Symmetrien, wenn man voraussetzt, dass es sich um eine Lie-Algebra
handelt.
Erweiterung der Lie-Algebra durch Zulassen von Anti-Kommutatoren
Super-Lie-Algebren
Theorem von Haag-Lopuszanski-Sohnius besagt dann, dass bei Super-LieAlgebren nur Supersymmetrie hinzukommt.
b) Zusammenfassung
SUSY-Motivation:
- Lösung des Hierarchie-Problems
- natürliche Erweiterung der Symmetriegruppe
der S-Matrix (Haag-Lopuszanski-Sohnius)
Konsequenzen:
- Verdopplung des Teilchenspektrums
- LSP natürlicher Kandidat für Dunkle Materie
Literatur:
Stephen P. Martin:
„A Supersymmetry Primer“ – hep-ph/9709356
Michael E. Peskin:
„Beyond the Standard Model“ – hep-ph/9705479
Jennifer M. Smillie, Bryan R. Webber:
„Distinguishing Spins in Supersymmetric and
Universal Extra Dimension Models at the Large
Hadron Collider“ – hep-ph/0507170
Sidney Coleman and Jeffrey Mandula:
"All Possible Symmetries if the S Matrix“ Phys.
Rev. 159: 1251–1256.
R. Haag, J. T. Lopuszanski and M. Sohnius:
"All Possible Generators Of Supersymmetries Of
The S Matrix", Nucl. Phys. B 88 (1975) 257.
S. Dawson:
„The MSSM and Why it Works“ – hep-ph/9712464