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Übungen zur Vorlesung Quantentheorie 2
WS 2004/05
Prof. Dr. G. Mahler
Blatt 11
a) Zeigen Sie, dass keine zwei Fermionen im selben Zustand erzeugt werden können,
d. h. (â†n )2 |0i = 0, während dies für Bosonen möglich ist.
(1 Punkt)
b) Mithilfe der Wellenfunktion ϕn (r) kann man von der Modendarstellung in Ortsdarstellung übergehen. Die Felderzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind definiert durch
X
X
â†n ϕ∗n (r), Ψ̂(r) =
ân ϕn (r).
Ψ̂† (r) =
Aufgabe 35. Zweiteilchenzustände
a) Zeigen Sie, dass für die Zweiteilchenzustände
n
n
Leiten Sie daraus die (Anti-) Vertauschungsrelationen für Ψ̂ und Ψ̂† her.
|r 1 , r 2 i = Ψ̂† (r 2 )Ψ̂† (r 1 ) |0i
(1 Punkt)
â†k âk
gilt:
hr 01 , r02 |r1 , r2 i = δ(r1 − r01 )δ(r 2 − r 02 ) + δ(r 1 − r 02 )δ(r 2 − r 01 )
(2 Punkte)
b) Sei
|Ci =
ZZ
d) Ein Zweiteilchenzustand ist gegeben
durch â†2 â†1 |0i. Zeigen Sie, dass der Erwar√
tungswert h0| Ψ̂(r1 )Ψ̂(r2 )â†2 â†1 |0i/ 2 die Zweiteilchen-Wellenfunktion mit der korrekten Symmetrie liefert, d. h. symmetrisch ist für Bosonen und antisymmetrisch für
Fermionen.
(2 Punkte)
d3 r1 d3 r2 C(r 1 , r 2 )Ψ̂† (r 2 )Ψ̂† (r 1 ) |0i
mit Ĥ |Ci = E |Ci wobei
Ĥ =
Z
h̄2
∆r0 + V (r 0 ) Ψ̂(r 0 ).
d3 r 0 Ψ̂† (r 0 ) −
2m
Aufgabe 37. Vielteilchenwellenfunktion und Schrödingergleichung
Zeigen Sie, dass dann gelten muss
h̄2
h̄2
−
∆r1 + V (r 1 ) −
∆r2 + V (r2 ) C(r 1 , r 2 ) = E C(r 1 , r 2 )
2m
2m
(2 Punkte)
Aufgabe 36. Bose- und Fermioperatoren
(schriftlich)
Vom harmonischen Oszillator kennen Sie Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.
Dieses Konzept ist sehr fruchtbar für Vielteilchensysteme aus Fermionen oder Bosonen. In dieser Aufgabe sollen einige Eigenschaften solcher Operatoren untersucht
werden. Im Folgenden beschreibe der Operator â†n die Erzeugung eines Teilchens
im Zustand ϕn (r) und ân seine Vernichtung. Diese Operatoren erfüllen die (Anti-)
Vertauschungsrelationen
[ân , â†m ]± = δnm ,
c) Der Operator
beschreibt die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Zustand k
zu finden. Entsprechend liefert der Operator Ψ̂† (r)Ψ̂(r) die Wahrscheinlichkeitsdichte, es am Ort r zu finden. Zeigen Sie dies explizit durch Berechnung
der Erwartungs√
werte von â†k âk und Ψ̂† (r)Ψ̂(r) im Zustand (â†1 + â†2 ) |0i/ 2.
(2 Punkte)
Es seien gegeben die Operatoren Ψ̂† (x) und Ψ̂(x) mit
X
X †
Ψ̂(x) =
âk gk (x) und Ψ̂† (x) =
âk gk∗ (x),
k
k
wobei die gk (x) ein vollständiges, orthonormales Funktionensystem im endlichen
Intervall [α, β] darstellen.
a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass
Ψ̂(x)Ψ̂† (x1 )Ψ̂† (x2 ) · · · Ψ̂† (xN ) =
=
N
X
k=1
δ(x − xk )Ψ̂† (x1 ) · · · Ψ̂† (xk−1 )Ψ̂† (xk+1 ) · · · Ψ̂† (xN )(−1)k+1
+ (−1)N Ψ̂† (x1 )Ψ̂† (x2 ) · · · Ψ̂† (xN )Ψ̂(x)
wobei Ψ̂ und Ψ̂† die Fermi-Vertauschungsrelationen erfüllen sollen.
(2 Punkte)
[ân , âm ]± = [â†n , â†m ]± = 0.
Hierbei steht + für Fermionen und − für Bosonen. Der Vakuumzustand |0i ist
definiert durch ân |0i = 0. Die Basis {ϕn } erfülle die Orthogonalitäts- und Vollständigkeitsrelationen
Z
X
ϕn (r)ϕ∗n (r̃) = δ(r − r̃).
d3 r ϕ∗n (r)ϕm (r) = δnm ,
n
Bitte wenden. . .
b) Der Hamiltonoperator mit Wechselwirkungsterm hat die Form
Z
h̄2
∆ + V (x) Ψ̂(x)
Ĥ = dx Ψ̂† (x) −
2m
ZZ
1
e2
dx dx̃ Ψ̂† (x)Ψ̂† (x̃)
+
Ψ̂(x̃)Ψ̂(x).
2
|x − x̃|
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert des Teilchenzahloperators
Z
N̂ = dx Ψ̂† (x)Ψ̂(x)
eine Erhaltungsgröße ist.
(3 Punkte)
c) Der allgemeine N -Teilchen Fermi-Zustand zu b) werde beschrieben durch
Z
|N i = dx1 · · · dxN f (x1 , . . . , xN )Ψ̂† (x1 )Ψ̂† (x2 ) · · · Ψ̂† (xN ) |0i .
Zeigen Sie mithilfe der Beziehung aus a), dass f (x1 , . . . , xN ) die zu Ĥ aus b) gehörende Vielteilchen-Schrödingergleichung löst, wenn
Ĥ |N i = E |N i
gilt.
(4 Punkte)
Kontrollfragen
a) Wie kann man erreichen, dass eine Quantenfeldtheorie Bosonen bzw. Fermionen
beschreibt?
b) Durch welche Operator-Bedingungen kann man das Pauli-Prinzip ausdrücken?
c) Was bedeutet Besetzungszahl-Darstellung?
d) Was versteht man unter dem Fock-Raum (Fock-Basis)?