WS 2008/2009 Priv.-Doz. Dr. Axel Pelster Blatt 4

Übungen zur Vorlesung ”Theoretische Festkörperphysik”
Priv.-Doz. Dr. Axel Pelster
WS 2008/2009
Blatt 4
Aufgabe 8: Schwach gekoppeltes Bose-Gas (14 Punkte)
Ein System von Bosonen mit Zwei-Teilchen-Wechselwirkung werde in der zweiten Quantisierung im Schrödinger-Bild
durch folgenden Hamilton-Operator beschrieben:
Z
Z
Z
~2
1
3
†
3
Ĥ = d x âx −
∆ âx +
d x d3 x′ â†x â†x′ V (int) (x − x′ ) âx′ âx .
(1)
2M
2
Hierbei genügen die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren den Kommutatorrelationen
i
i
h
h
= 0,
âx , â†x′
= δ(x − x′ ) .
[âx , âx′ ]− = â†x , â†x′
−
(2)
−
a) Entwickeln Sie die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein endliches Volumen V nach ebenen Wellen
1 X −ikx
âx = √
e
âk ,
V k
1 X ikx †
â†x = √
e âk .
V k
(3)
Wie lauten dann die Kommutatorrelationen
[âk , âk′ ]− =? ,
i
h
â†k , â†k′
=? ,
−
Zeigen Sie, daß der Hamilton-Operator (1) dadurch übergeht in
Ĥ =
X
Ek â†k âk +
k
h
âk , â†k′
i
−
=? .
1 X X X (int)
V
(q) â†k′ +q â†k−q âk âk′ ,
2
′
q
k
(4)
(5)
k
und geben Sie Ek sowie V (int) (q) an. Welche Eigenschaft besitzt V (int) (q), falls V (int) (x − x′ ) = v (int) (|x − x′ |)?
Interpretieren Sie die durch (5) beschriebene Wechselwirkung.
(2 Punkte)
b) Nehmen Sie an, daß die Bosonen kondensiert sind, d.h. daß die Anzahl N0 der Teilchen im Grundzustand k = 0
sehr groß ist. In diesem Fall können Sie die Operatoren â0 und â†0 näherungsweise als c-Zahlen betrachten, wobei
√
â0 ≃ â†0 ≃ N0 gilt. Zeigen Sie, daß sich dann der Hamilton-Operator (5) nähern läßt durch
o
X n (1) † †
(2)
,
(6)
Ĥ = C +
Hk âk â−k + âk â−k + Hk â†k âk + â†−k â−k
k6=0
(1)
(2)
und geben Sie Hk , Hk
sowie C an.
(2 Punkte)
c) Bei einem wechselwirkenden Bose-Gas stimmt die Zahl N aller Bosonen nicht mit der Zahl N0 der kondensierten
Bosonen überein. Ersetzen Sie daher in (6) die Zahl N0 der kondensierten Bosonen durch die Zahl N aller Bosonen
gemäß
1 X †
N = N0 +
âk âk + â†−k â−k
(7)
2
k6=0
und berücksichtigen Sie dabei nur die in den Operatoren â†k , âk bilinearen Terme. Zeigen Sie, daß sich dann wieder
ein Hamilton-Operator der Form
o
X n (1) † †
(2)
.
(8)
Ĥ = C̄ +
H̄k âk â−k + âk â−k + H̄k â†k âk + â†−k â−k
k6=0
ergibt.
(1 Punkt)
ǫk /kB K
40
30
freies Teilchen
20
10
1.0
2.0
3.0
|k|/Å−1
FIG. 1: Spektrum der elementaren Anregungen in superflüssigem Helium bei 1.12 K normalem Dampfdruck, gemessen durch
inelastische Streuung mit Neutronen der Wellenlänge λ = 4.04.
d) Führen Sie nun eine lineare Transformation
b̂k = Ak âk + Bk â†−k ,
b̂†k = A∗k â†k + Bk∗ â−k ,
(9)
durch, bei der die Ak und Bk den Einschränkungen
Ak = A∗k ,
Ak = A−k ,
Bk = Bk∗ ,
Bk = B−k
genügen. Wenn Sie fordern, daß die Bose-Operatoren âk , â†k mit (4) wieder in Bose-Operatoren b̂k , b̂†k mit
i
h
i
h
h
i
= b̂†k , b̂†k′
= 0,
b̂k , b̂k′
b̂k , b̂†k′
= δk,k′
−
−
−
(10)
(11)
überführt werden, erhalten Sie eine weitere Einschränkung für Ak und Bk . Wie lautet diese und was ergibt sich für
die zu (9) inverse Transformation?
(2 Punkte)
e) Zeigen Sie, daß sich der Hamilton-Operator (8) durch eine lineare Transformation (9) diagonalisieren läßt:
X
Ĥ = C ′ +
ǫk b̂†k b̂k .
(12)
k6=0
Wie lautet die Dispersionsrelation ǫk der Quasiteilchen? Welche Vereinfachung ergibt sich durch die Wahl
V (int) (x − x′ ) = g δ(x − x′ )? Zeigen Sie in diesem Fall, daß die Dispersionsrelation ǫk für k → 0 einem Phonon mit
einer Ausbreitungsgeschwindigkeit c entspricht, und geben Sie c an. Wie verhält sich die Dispersionsrelation ǫk für
große k?
(3 Punkte)
f ) Das schwach gekoppelte Bose-Gas kann als Modell für die Superfluidität verwendet werden. Vergleichen Sie
die Dispersionsrelation ǫk aus Aufgabenteil e) mit dem experimentellen Spektrum der elementaren Anregungen in
superflüssigem Helium in Abbildung 1. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede treten auf? Lesen Sie aus
Abbildung 1 den Wert für die Schallgeschwindigkeit c ab.
(2 Punkte)
g) Betrachten Sie einen Körper der Masse m und der Geschwindigkeit v, der sich in superflüssigem Helium bewegt.
Stellen Sie Energie- und Impulserhaltungssatz für den Fall auf, daß der Körper eine elementare Anregung erzeugt.
Leiten Sie daraus ab, daß der Körper eine minimale Geschwindigkeit haben muß, um kinetische Energie an das
superflüssige Helium abgeben zu können. Diskutieren Sie im Grenzübergang m → ∞ den Zusammenhang mit dem in
Abbildung 1 gezeigten experimentellen Spektrum der elementaren Anregungen. Wann liegt demnach Superfluidität
vor?
(2 Punkte)
Aufgabe 9: Bilanzgleichungen (10 Punkte)
Ein System von Bosonen bzw. Fermionen mit Zwei-Teilchen-Wechselwirkung werde in der zweiten Quantisierung im
Schrödinger-Bild durch den Hamilton-Operator (5) beschrieben.
a) Transformieren Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung im Schrödinger-Bild
i~
∂
|ψS (t)i = Ĥ |ψS (t)i
∂t
(13)
durch die unitäre Transformation
|ψS (t)i = exp
(
)
iX
†
−
Ek âk âk t |ψI (t)i
~
(14)
k
in das Wechselwirkungsbild
i~
∂
(int)
|ψI (t)i = ĤI (t) |ψI (t)i .
∂t
(15)
(int)
Wie lautet der Wechselwirkungsoperator ĤI (t) im Wechselwirkungsbild?
Hinweis: Berechnen Sie zunächst
(
)
(
)
iX
iX
†
†
(âk )I (t) = exp
Ek′ âk′ âk′ t âk exp −
Ek′ âk′ âk′ t
~ ′
~ ′
k
(16)
k
unter Berücksichtigung der Relationen
i
h
[âk , âk′ ]−ξ = â†k , â†k′
−ξ
= 0,
i
h
âk , â†k′
−ξ
wobei ξ = +1 für Bosonen und ξ = −1 für Fermionen gilt.
= δk,k′ ,
(17)
(3 Punkte)
b) Berechnen Sie |ψI (t)i durch Lösung von (15) in Störungstheorie erster Ordnung mit der Anfangsbedingung
|ψI (0)i = |ψ (i) i. Wie lautet dann die Amplitude hψ (f) |ψI (t)i für einen Übergang von |ψ (i) i nach |ψ (f) i zur Zeit t?
(1 Punkt)
c) Durch die Wechselwirkung zwischen Teilchen des Bose- bzw. Fermi-Gases kommt es zu einer zeitlichen Änderung
der Anzahl N (k) der Teilchen im Zustand k. Die Prozeße k − q, k′ + q → k, k′ erzeugen Teilchen im Zustand k,
während die Prozeße k, k′ → k − q, k′ + q Teilchen im Zustand k vernichten. Die Bilanzgleichung für N (k) lautet
demnach:
X
X
∂
N (k) =
w (k, k′ ; k − q, k′ + q) −
w (k′ + q, k − q; k, k′ ) .
(18)
∂t
′
′
q,k
q,k
Berechnen Sie die in (18) auftretenden Übergangsraten w in Störungstheorie erster Ordnung mit Hilfe der Aufgabenteile a) und b) gemäß
w = lim
t→∞
d
|hψ (f) |ψI (t)i|2
dt
(19)
unter Verwendung der folgenden Darstellung der Deltafunktion:
δ(α) = lim
t→∞
sin2 αt
.
πα2 t
(20)
Hinweis: Die Wirkung der Bose- bzw. Fermi-Operatoren âk , â†k auf einen Zustand in der Besetzungszahldarstellung
lautet:
âk | . . . , N (k), . . .i =
â†k
| . . . , N (k), . . .i =
p
p
N (k)| . . . , ξ {N (k) − 1} , . . .i ,
(21)
1 + ξN (k)| . . . , 1 + ξN (k), . . .i ,
(22)
wobei wieder ξ = +1 für Bosonen und ξ = −1 für Fermionen gilt.
(4 Punkte)
d) Zeigen Sie, daß eine stationäre Lösung von (18) die Form
N (k) =
hat. Wie können Sie (23) physikalisch interpretieren?
1
C
eβEk
−ξ
(23)
(2 Punkte)