¨Ubungen zur Thermodynamik

Übungen zur Thermodynamik
21.06.07
40. Berechnen Sie für N nichtrelativistische Teilchen in einem äußeren harmonischen Oszillatorpotential die kanonische Zustandssumme:
Z(T, N) = h−3N
Z
d3N r d3N p exp −
N ~
pj2
1 X
m
+ ω 2~rj2 .
kT j=1 2m
2
(1)
Leiten Sie hieraus die kalorische Zustandsgleichung U = U(T, N) und den Ausdruck für
die Entropie S = S(T, N) ab. Wie lautet die zugehörige großkanonische Zustandssumme
P
µN
Y (T, µ) = ∞
Z(T, N)? Welches Problem stellen Sie dabei fest?
N =0 e
41. Berechnen Sie für ultrarelativistische nicht wechselwirkende Teilchen die großkanonische
Zustandssumme:
N
X
1
V N Z 3N
c|~pj |
d p exp
µN −
Y (T, V, µ) =
3N N!
kT
j=1
N =0 h
∞
X
.
(2)
Leiten Sie hieraus die thermische Zustandsgleichung p = p(T, V, N) und die kalorische
Zustandsgleichung U = U(T, V, N) des Systems her.
42. Berechnen Sie für ein ideales Quantengas aus Bosonen oder Fermionen die Schwankung ∆nν
der Besetzungszahl in einem Einteilchenniveau der Energie ǫν . Das Schwankungsquadrat ist
definiert als: (∆nν )2 = h(nν − hnν i)2 i = hn2ν i − hnν i2 , wobei h...i stets einen Mittelwert
bezeichnet. Zeigen Sie, daß die relative Schwankung in beiden Fällen gleich ist: ∆nν /hnν i =
eβ(ǫν −µ)/2 .
43. Die kosmische Hintergrundstrahlung besitzt (momentan) eine Planck’sche Spektralverteilung
mit einer Temperatur von T = 2.725 Kelvin. Wie groß ist die mittlere Dichte der Photonen
im Universum? Wieviele Photonen der Hintergrundstrahlung würden Sie in einem Volumen
von einem Kubikzentimeter im Mittel zählen? Zur Kontrolle: N/V = 2ζ(3)π −2(kT /h̄c)3 .
44. Drei Teilchen befinden sich in zwei Niveaus mit den Energien ǫ1 = 0 und ǫ2 = ǫ > 0.
Wie lauten die Zustandssummen für Bosonen mit Spin 0 und für Fermionen mit Spin 1/2?
Diskutieren Sie auch die entsprechenden Zustandsummen für vier Teilchen. Skizzieren Sie
alle erlaubten Mikrozustände.
45. Zeigen Sie für Bosonen mit der Energie-Impuls-Beziehung ǫ(~p ) = a|~p |b und µ = 0, daß sich
die Wärmekapazität CV bei tiefen Temperaturen im Dreidimensionalen wie T 3/b verhält.
46. Zeigen Sie, daß sich die Entropie eines idealen Bose/Fermi-Gases in folgender Form darstellen
läßt:
i
Xh
− hnν i lnhnν i ± (1 ± hnν i) ln(1 ± hnν i) ,
(3)
S=k
ν
β(ǫν −µ)
wobei hnν i = [e
angibt.
∓ 1]
−1
die mittlere Besetzungszahl des Niveaus ν mit der Energie ǫν