Aufgabenblatt 4 (09.05.2017)

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2/W449
Theoretische Physik (Quantenmechanik, Thermodynamik & Statistische Physik)
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Aufgabenblatt 4 (09.05.2017)
– Vielteilchenzustände –
Präsenzaufgaben
Aufgabe P4.1: Dreiteilchen-Zustände
Die orthogonalen Einteilchenzustände mit den Wellenfunktionen u(~r), v(~r) und w(~r) werden
von drei Teilchen besetzt.
(a) Konstruieren Sie explizit die total symmetrischen und antisymmetrischen Wellenfunktionen Ŝ± u(~r1 )v(~r2 )w(~r3 ).
(b) Betrachten Sie ununterscheidbare Spin- 12 -Fermionen. Prüfen Sie, ob der DreiteilchenZustand
Ψ(~r1 , σ1 , ~r2 , σ2 , ~r3 , σ3 ) = χ(σ1 , σ2 , σ3 )Ŝ+ u(~r1 )v(~r2 )w(~r3 ),
erlaubt ist. Hierbei beschreibt χ(σ1 , σ2 , σ3 ) den Spin-Anteil der Wellenfunktion.
Aufgabe P4.2: Gravitationspotential für zwei ununterscheidbare Teilchen
Zwei ununterscheidbare Teilchen (Masse m) wirken aufeinander durch die Gravitationskraft.
Schreiben Sie den Hamilton-Operator Ĥ dieses Systems auf und zeigen Sie, dass er zum
Hamilton-Operator des Wasserstoffatoms mathematisch äquivalent ist. Bestimmen Sie daraus die erlaubten Wellenfunktionen für
(a) Spinlose Bosonen
(b) Spin- 21 -Fermionen.
Sie sollen nicht die Schrödinger-Gleichung explizit lösen.
Hinweis: Die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms erfüllen Ψnlm (~r) = (−1)l Ψnlm (−~r)
Hausaufgaben - Abgabe 16.05.2017
Aufgabe H4.1: Besetzungszahlzustände
Schreiben Sie die Besetzungszahlzustände zu
(i) a†6 a†2 a†4 a†1 a†7 |0i
(ii) a†5 a†8 a4 a1 a†2 a†4 a†7 |0i
(iii) a†5 a†8 a4 a1 a†1 a†2 a†4 a†7 |0i
(iv) a†5 a†1 a†8 a4 a†1 a†2 a†4 a†7 |0i
für (a) Bosonen und (b) Fermionen.
Aufgabe H4.2: Teilchenzahloperator
Der Teilchenzahloperator ist durch
X †
N̂ =
ai ai
i
definiert.
(a) Prüfen Sie, dass für Bosonen und Fermionen die Vertauschungsrelationen
i
h
i
h
N̂ , aj = −aj
N̂ , a†j = a†j
gelten.
(b) Zeigen Sie damit, dass für Bosonen und Fermionen der Teilchenzahloperator N̂ mit dem
allgemeinen Hamilton-Operator
X
1X
Ĥ =
tij a†i aj +
Vijkl a†i a†j al ak
2
ij
ijkl
vertauscht. Was bedeutet das physikalisch?