¨Ubungen zur Theoretischen Physik F SS 09 Lösungsvorschlag zu

Karlsruher Institut
für Technologie (KIT)
Institut für Theorie der
Kondensierten Materie
Übungen zur Theoretischen Physik F
SS 09
Lösungsvorschlag zu Blatt 11
7.7.2009
Prof. Dr. A. Shnirman
Dr. S. Rachel
1. Zweite Quantisierung:
Für Einteilchen-Operatoren gab es zwei mögliche Matrixelemente, diagonale und nichtdigaonale. Für Zweiteilchen-Operatoren gibt es hingegen mehrere diagonale und nichtdiagonale Matrixelemente.
Fangen wir aber noch mal mit den Einteilchenoperatoren an. Wir haben die Einteilchenzustände φi (x), wobei i die Quantenzahl (z.B. Impuls) und x die Koordinate (z.B.
Ort) bezeichnet. Der symmetrische Produktzustand wird dann als
r
i
N1 !N2 ! . . . X h
Ψs (N1 , N2 , . . .) =
φP (1) (1)φP (2) (2) . . . φP (N ) (N)
N!
P ∈S ⋆
N
und der antisymmetrische Produktzustand als
h
i
1 X
χP
√
(−1) φP (1) (1)φP (2) (2) . . . φP (N ) (N)
Ψa (N1 , N2 , . . .) =
N! P ∈SN
geschrieben. χP ist gerade für eine gerade Permutation und ungerade für eine ungerade
Permutation. In dieser Notation sind die großen Zahlen als Abkürzung für die Koordinaten zu verstehen, z.B. 3 ≡ x3 . Nicht verwirrt sein, die Zahlen bei (bspw.) P (3)
bezeichnet eine Permutation der Quantenzahl an der Position a = 3.
Das Skalarprodukt ist wie üblich in der Quantenmechanik definiert, testen wir dies an
der Norm (und testen die Normiertheit der Produktzustände):
Z
Z
Z
hΨa | Ψa i =
d1 d2 . . . dN Ψ⋆a (N1 , N2 , . . .) Ψa (N1 , N2 , . . .)
Z
Z
X
1 X
⋆
χP̃
χP
d1φP (1) (1)φP̃ (1) (1) d2φ⋆P (2) (2)φP̃ (2) (2) . . .
(−1)
(−1)
=
N! P ∈S
|
{z
}|
{z
}
N
P̃ ∈SN
=1, wenn P (1)=P̃ (1)
=1, wenn P (2)=P̃ (2)
Wegen der Normiertheit und Orthogonalität der Einteilchenzustände erhalten wir alχP
χP̃
so δP,P̃ , was uns die hintere
P Summe erledigt. Desweiteren wird aus (−1) (−1) =
2χP
(−1)
= 1. Die Summe P ∈SN entspricht nun gerade der Anzahl aller Elemente der
symmetrischen Gruppe SN und, wer hätte es gedacht, das sind genau N! Elemente. Wir
finden also hΨa | Ψa i = 1. Wie üblich in der Physik sind wir aber zu faul, die ganzen
Integrale und Indizes auszuschreiben und führen die übliche Notation ein:
Z
dXφ⋆P (i) (X)φP̃ (j) (X) ≡ hP (i)|P̃ (j)i .
Berechnen wir dasselbe nochmal schnell für den bosonischen Zustand:
hΨs | Ψs i =
N1 !N2 ! . . . X
hP (1)|P̃ (1)ihP (2)|P̃ (2)i . . .
{z
}
|
N!
P,P̃
δP,P̃
=
N1 !N2 ! . . . X
N!
P
=
N1 !N2 ! . . .
N!
=1
N!
N1 !N2 ! . . .
Bleibt also die Frage, warum wir dieses mal nicht einfach wieder N! geschrieben haben für die Summe über alle Permutationen. Der Grund ist, dass man nur “erlaubte”
Permutationen betrachten darf (eine nicht erlaubte Permutation wäre es, wenn zwei
Zustände i und i′ identisch sind und wir permutieren würden). Für Fermionen kann es
so eine Situation wegen des Pauli-Prinzips natürlich nicht geben! Um nur die erlaubten
Permutationen mitzuzählen, dividiert man diese wieder raus, indem man die Fakultäten
der Besetzungszahlen in den Nenner schreibt. Da die Gruppe der “erlaubten” Permu⋆
tationen natürlich nicht mehr SN ist, haben wir in der Definition von Ψs “P ∈ SN
”
geschrieben. Der Vorfaktor bei diesem
Produktzustand
war also sinnvoll gewählt. Im
folgenden schreiben wir einfach Ψs/a (N1 , N2 , . . .) ≡ |N1 , N2 , . . .i und sagen immer
dazu, ob wir Fermionen oder Bosonen betrachten.
Nun fangen wir aber endlich mit Einteilchenoperatoren an, zuerst die Diagonalelemente
für Bosonen. Es gilt ja
N
X
(1)
i
hF i =
hfx(1)
a
a=1
daher berechnen wir jetzt erstmal nur das Matrixelement von f (1) .
|N1 , N2 , . . .i =
hN1 , N2 , . . .| fx(1)
a
=
N1 !N2 ! . . . X
|P̃ (a)i . . .
hP (1)|P̃ (1)i . . . hP (a)|fx(1)
a
N!
P,P̃
N1 !N2 ! . . . X
|P̃ (a)i
hP (a)|fx(1)
a
N!
P
Im letzten Schritt ist folgendes passiert: Der Operator sitzt bei der Position a, für alle
anderen Teilchen passiert gar nichts. Wegen der Orthonormiertheit der Einteilchenzustände muss gelten P (1) = P̃ (1), P (2) = P̃ (2) etc. Nur für P (a) und P̃ (a) muss das
nicht gelten, denn f (1) ist ja nicht notwendigerweise diagonal in den φi (X). Allerdings:
wenn P = P̃ für alle bis auf eine der Zahlen 1 . . . N gilt, dann liegt auch diese letzte
Zahl fest: P (a) = P̃ (a), also gilt doch P = P̃ für alle 1 . . . N.
Und so geht es jetzt weiter: eine Permutation P bauen wir auf, indem
P wir für i = P (a)
eine der Quantenzahlen 1, . . . , N wählen, das ergibt eine Summe N
i=1 . Jetzt läuft die
Summe über alle Permutationen also nur noch über die verbliebenen N − 1 Zahlen,
das ergibt (N − 1)! identische Beiträge, allerdings müssen wir wieder die “falschen”
Permutationen rausdividieren. Hierbei muss man beachten, dass von den ursprünglichen
Ni Teilchen im i-ten Zustand nur noch Ni −1 zur Verfügung stehen. Schließlich erhalten
wir
N
N1 !N2 ! . . . X
(N − 1)!
hN1 , N2 , . . .| fx(1a |N1 , N2 , . . .i =
hi|f (1) |ii
N!
N1 ! . . . (Ni − 1)! . . .
i=1
=
N
X
Ni
i=1
N
hi|f (1) |ii
Damit erhalten wir das Endresultat, indem wir die Summe über a ausführen. Dabei
stellen wir fest, dass jeder der N Beiträge in dieser Summe identisch aussieht und die
Summe einfach als Faktor N eingeht:
hN1 , N2 , . . .| F (1) |N1 , N2 , . . .i =
N X
N
X
Ni
a=1 i=1
N
hi|f (1) |ii =
X
i
Ni hi|f (1) |ii
Das Matrixelement für die Fermionen erhalten wir analog: die Faktoren (−1)χP gehen
wegen δP,P̃ quadratisch ein und fallen damit weg. Das war’s schon.
Nun zu den nicht-diagonalen Matrixelementen, wir fangen wieder mit den Bosonen an:
|. . . , Ni − 1, . . . , Nj , . . .i
h. . . , Ni , . . . , Nj − 1, . . .| fx(1)
a
=
q
N1 ! . . . Ni−1 !Ni+1 ! . . . Nj−1 !Nj+1 ! . . .
Ni !(Ni − 1)!Nj !(Nj − 1)! ×
N!
X
hP (1)|P̃ (1)i hP (2)|P̃ (2)i . . . hP (a)|fx(1)
|P̃ (a)i . . .
a
P,P̃
Diesmal müssen wir P (a) = i und P̃ (a) = j wählen desweiteren müssen alle Permutationen P und P̃ gleich sein (mit der selben Argumentation wie bei den Diagonalelementen):
q
X
N1 ! . . . Ni−1 !Ni+1 ! . . . Nj−1 !Nj+1 ! . . .
hi|f (1) |ji
=
Ni !(Ni − 1)!Nj !(Nj − 1)!
N!
P
Wiederum sind nur noch N − 1 Teilchen übrig zum Auspermutieren und beim Wegdividieren der “falschen” Permutationen haben wir nur Ni − 1 und Nj − 1 Teilchen:
q
N1 ! . . . Ni−1 !Ni+1 ! . . . Nj−1 !Nj+1 ! . . .
=
Ni !(Ni − 1)!Nj !(Nj − 1)!hi|f (1) |ji ×
N!
(N − 1)!
N1 ! . . . (Ni − 1)!(Nj − 1)! . . .
p
Ni Nj
hi|f (1) |ji
N
Ausführen der Summe über a eliminiert wieder die N im p
Nenner und wir finden wie
gewünscht das nicht-diagonale Matrixelement als hF (1) i = Ni Nj hi| f (1) |ji.
=
Nicht-Diagonalelemente für Fermionen:
| . . . 0i . . . 1j . . .i =
h. . . 1i . . . 0j . . . |fx(1)
a
=
1 X
|P̃ (a)i
hP (1)|P̃ (1)i . . . hP (a)|fx(1)
a
N!
P,P̃
Pj−1
1
1 X
hi|f (1) |ji(−1) k=i+1 Nk = hi|f (1) |ji(−1)θij
N! P
N
Wenn man hier die Identifikation P (a) = i und P̃ (a) = j durchführt, muss man das
Teilchen bei j zu der unbesetzten Stelle bei i bringen, also vertauscht man unterwegs
Fermionen, und zwar genauso viele, wie sich Teilchen zwischen i und j befinden. Dies
drückt sich genau in der Größe θij aus.
Um zu sehen, dass die beiden Ergebnisse kompakt als
X
F (1) =
hi| f (1) |ji a†i aj
ij
geschrieben werden können, berechnet man einfach damit die Matrixelemente:
X
hN1 , N2 , . . .| hi| f (1) |ji a†i aj |N1 , N2 , . . .i =
ij
X
ij
hi| f (1) |ji
p
Ni Nj δij =
X
i
hi| f (1) |ii Ni
Für Nicht-Diagonalelemente:
X
h. . . , Ni, . . . , Nj − 1, . . .| hi| f (1) |ji a†i aj |. . . , Ni − 1, . . . , Nj , . . .i
ij
= hi| f (1) |ji
p
Ni Nj
Die Summen fallen hier weg, da es nur genau einen Beitrag gibt, und zwar genau dann,
wenn a†i auf den Zustand i wirkt und aj auf den Zustand j, andererseits bekommt man
0 wegen der Orthogonalität der Zustände.
Für das fermionische Matrixelement läuft das ganz genauso, man muss nur die Definition
der Fermi-Operatoren berücksichtigen:
âi |. . . , 1i, . . .i = (−1)θi∞ |. . . , 0i , . . .i
bzw.
â†i |. . . , 0i , . . .i = (−1)θi∞ |. . . , 1i , . . .i .
Bitte nicht verwirren lassen: i und j sind zum einen Summationsindizes, zum anderen
sind aber i und j gerade die beiden Zustände, an denen ein Teilchen ausgetauscht wird
- man hätte also vielleicht (aus pädagogischer Sicht)besser i0 und j0 als Bezeichnung
der Zustände genommen...
Zwei-Teilchen Operatoren:
Nach diesem Vorspiel kommen wir nun endlich zu den Zwei-Teilchenoperatoren.
Dank
P
(2)
(2)
des Vorspiels sollte das jetzt recht schnell gehen. Es gilt F = a<b f - es wird sich
wieder zeigen, dass hf (2) i für beliebige Positionen
a und b identisch ist. Machen Sie sich
P
also schon einmal klar, dass die Summe a<b gerade einen Faktor N(N − 1)/2 liefern
wird!
Diagonalelemente für Bosonen:
hN1 , N2 , . . .| fx(2)
|N1 , N2 , . . .i =
a xb
=
N1 !N2 ! . . . X
. . . hP (a)P (b)|fx(2)
|P̃ (a)P̃ (b)i
a xb
N!
P,P̃
N1 !N2 ! . . . X
hP (a)P (b)|fx(2)
|P̃ (b)P̃ (a)i
a xb
N!
P
Hier muss man nun zwei Fälle unterscheiden: entweder wirkt f (2) auf zwei Einteilchenzustände mit derselben Quantenzahl i oder auf zwei Einteilchenzustände mit verschiedenen Quantenzahlen i und j.

P
P
(N −2)!
N1 !N2 !...
i −1)

= i NNi (N
hii|f (2) |iii
hii|f (2) |iii N1 !...(N

i
N
!
−2)!...
(N −1)
i

=

P Ni Nj 
(2)
(2)
 = ... =
hij|f |jii + hij|f |iji
ij N (N −1)
Also erhalten wir
hF (2) i =
X X Ni (Ni − 1)
a<b
i
N(N − 1)
hii|f (2) |iii =
1X
hii|f (2) |iiiNi (Ni − 1)
2 i
oder
1 X
hij|f (2) |jii + hij|f (2) |iji Ni Nj .
2 ij
P
Noch ein Wort zu den Permutationen. Die P haben wir wie folgt ausgeführt: Wir
wählen für i = P (a) und für j = P (b) (und umgekehrt) jeweils eine Zahl aus der Menge
1 . . . N aus, die verbleibenden (N − 2) Zahlen werden auspermutiert, das ergibt den
Faktor (N − 2)!.
hF (2) i =
Das erste Matrixelement kann es für Fermionen nicht geben (keine Doppelbesetzung
wegen Pauli-Prinzip), nur das zweite. Während für Fermionen die Ni ’s trivialerweise 1
sind, müssen wir jetzt mit den Minuszeichen aufpassen:
hN1 , N2 , . . .| fx(2)
|N1 , N2 , . . .i =
a xb
=
1 X
(−1)χP (−1)χP̃ . . .hP (a)P (b)|fx(2)
|P̃ (a)P̃ (b)i
a xb
N!
P,P̃
N
N
1 XX
hij|f (2) |iji − hij|f (2) |jii (N − 2)!
N! i=1 j=1
j6=i
hF (2) i =
X 1
hij|f (2) |iji − hij|f (2) |jii
2
i,j
Für eine gegebene Permutation P , also die Liste P (1), P (2), . . . , P (i), P (j), . . . P (N),
gilt nun P (1) = P̃ (1), P (2) = P̃ (2), . . ., außer für a und b. Hier bleiben zwei Möglichkeiten für P̃ übrig: P (a) = P̃ (a), P (b) = P̃ (b) und P (a) = P̃ (b), P (b) = P̃ (a), dabei hat
die erste ein positives Vorzeichen P
(keine Transposition relativ zu P ), die zweite ein negatives (eine Transposition). Die P haben wir dann wie folgt ausgeführt: Wir wählen
für i = P (a) eine Zahl aus der Menge 1 . . . N aus und für j = P (b) eine beliebige andere
(Fermionen!), die verbleibenden (N − 2) Zahlen werden auspermutiert, das ergibt den
Faktor (N − 2)!.
Nicht-Diagonalelemente für Bosonen:
hNi , . . . , Nj , . . . , Nl − 1| fx(2)
|Ni − 1, . . . , Nj , . . . , Nl i =
a xb
X
N1 ! . . . , Nj ! . . . p
Ni !(Ni − 1)!Nl !(Nl − 1)!
. . . hP (a)P (b)|fx(2)
|P̃ (a)P̃ (b)i
a xb
N!
P,P̃
=
X
(N − 2)!
··· √
(2)
(2)
···
hij|f |lji + hij|f |jli
···
N1 ! . . . (Ni − 1)!(Nj − 1)!(Nl − 1)! . . .
j
√
X Nj Ni Nl (2)
(2)
=
hij|f |lji + hij|f |jli
N(N − 1)
j
hF (2) i =
X1
j
2
Nj
p
Ni Nl hij|f (2) |lji + hij|f (2) |jli
Ganz analog findet man für Bosonen folgende nicht-diagonale Matrix-Elemente:
h. . . Ni . . . Nj − 1 . . . Nl . . . Nm − 1 . . .| F (2) |. . . Ni − 1 . . . Nj . . . Nl − 1 . . . Nm . . .i
1p
=
Ni Nj Nl Nm hil|f (2) |jmi + hil|f (2) |mji
2
und
h. . . Ni . . . Nl − 2 . . .| F (2) |. . . Ni − 2 . . . Nl . . .i
1p
Ni (Ni − 1)Nl (Nl − 1) hii|f (2) |lli
=
2
Nicht-Diagonalelemente für Fermionen:
Nun kommen wir zu den Fermionen. Die Buchhaltung mit den Ni ’s etc. können wir uns
jetzt zwar sparen, aber dafür müssen wir uns üeberlegen, wann und wo Minuszeichen
auftreten.
h1i , . . . , 1j , . . . , 0l | fx(2)
|0i , . . . , 1j , . . . , 1l i =
a xb
1 X
(−1)χP +χP̃ . . . hP (1)|P̃ (1)i . . . hP (a)P (b)|f (2) |P̃ (a)P̃ (b)i . . .
N!
P,P̃
=
1 X
(−1)θil hij|f (2) |lji − hij|f (2) |jli (N − 2)!
N! j
Hier ist zu beachten, dass der (−1)θ -Faktor durch das Vertauschen der Fermi-Operatoren
kommt und das Minuszeichen zwischen den Matrixelementen durch die Transposition
(=ungerade Permutation!).
Und dann gibt es noch dieses Matrixelement:
h. . . 1i . . . 0j . . . 1l . . . 0m . . .| fx(2)
|. . . 0i . . . 1j . . . 0l . . . 1m . . .i
a xb
1 X
=
(−1)χP +χP̃ . . . hP (1)|P̃ (1)i . . . hP (a)P (b)|f (2) |P̃ (a)P̃ (b)i . . .
N!
P,P̃
1 (−1)θij (−1)θlm hij|f (2) |lmi − (−1)θim (−1)θjl hij|f (2) |mli (N − 2)!
=
N!
Einsetzen des Operators in zweiter Quantisierung in die Matrixelemente sollte jetzt
dasselbe liefern. Dies zu überprüfen bleibt Ihnen als Übung überlassen.
2. Translationsinvarianz und Impulserhaltung:
Die Quantenzahlen i, k, l, m sind jetzt also Impulse, nennen wir sie k1 , k2 , k1′ , k2′ . Zu
zeigen ist nun, dass aus der Translationsinvarianz des Zweiteilchenoperators Impulserhaltung folgt. Betrachten wir also das Matrixelement:
hk1′ , k2′ |fˆ(2) |k1 , k2 i .
Impulserhaltung bedeutet nun nichts anderes, als dass k1 + k2 = k1′ + k2′ gilt.
Nun führen wir eine Fourier-Transformation des Zweiteilchenoperators durch:
Z
1
~
U(~r) =
d3 keik~r U(k) ,
V
später ersetzen wir ~r einfach durch ~r1 − ~r2 - an dieser Stelle kommt also die Translationsinvarianz ins Spiel! Der Einfachheit halber rechnen wir nun eindimensional weiter,
d.h. ~r → x. In 2D und 3D funktioniert es aber ganz genauso, ohne zusätzliche Schwierigkeiten!
Berechnung des Matrixelement:
hk1′ , k2′ |fˆ(2) |k1 , k2 i
1
=
V3
Z Z
1
=
V3
Z
−ik1′ x1 −ik2′ x2
dx1 dx2 e
dkU(k)
Z
|
e
Z
dkeik(x1 −x2 ) U(k) eik1 x1 eik2 x2
ix1 (−k1′ +k+K1 )
dx1 e
{z
δ(−k1′ +k+k1 )
Z
′
dx2 eix2 (−kx −k+k2 )
}|
{z
}
δ(−k2′ −k+k2 )
Die beiden Deltafunktionen (eigentlich sollte man hier Kronecker-Deltas schreiben und
auf k-Summen üebergehen, aber an dem Resultat ändert dies nichts) führen nun auf
die beiden Bedinungen
k = k1′ − k1
and k = k2 − k2′ .
Gleichsetzen der beiden Bedinungen führt zu
k1 + k2 = k1′ + k2′
und wir haben Impulserhaltung gezeigt.