Testat 2008 - TU Bergakademie Freiberg

Institut für Theoretische Physik
Quantentheorie I
1. Februar 2008
Testat 2008
1. Geben Sie die stationäre Schrödingergleichung für ein Teilchen der Masse m an, das
sich im eindimensionalen Potenzial V (x) = ax4 (a > 0) befindet!
(a) Skizzieren Sie das Potenzial und die stationären Wellenfunktionen ψn (x) für den
Grundzustand (n = 0) und die zwei ersten Anregungszustände!
(b) Was lässt sich über die Parität und die Knotenzahl der Wellenfunktionen sagen?
(c) Wie groß sind die Erwartungswerte der x-Koordinate und des Impulses px ?
2. Untersuchen Sie folgende Operatoren auf die Eigenschaften der Linearität, Hermitizität (Selbstadjungiertheit)
und Unitarität!
!
1
d2 ψ(x)
d
ψ(x) B̂ψ(x) =
Ĉψ(x) = 5i
D̂ψ(x) = ψ(x + 2)
Âψ(x) = x2 + i
dx
ψ(x)
dx2
Die bekannten Eigenschaften von Koordinaten- und Impulsoperatoren dürfen verwendet werden.
3. Berechnen Sie folgende Kommutatoren aus Koordinaten-, Impuls- und Drehimpulsoperatoren, wobei L̂− = L̂x − iL̂y , [L̂x , L̂y ] = ih̄L̂z und [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂
gegeben seien:
a) [p̂y , L̂z ]
b) [p̂x , eix ]
c) [p̂y , x2 + y 2 + z 2 ] d) [L̂z , L̂− ] !
e∗ ) Was folgt aus dem Ergebnis von d) für die Wirkung von L̂− auf eine Wasserstoffelektronenwellenfunktion ψnlm (r, ϑ, ϕ) mit der Magnetquantenzahl m? Wie groß ist
L̂− ψnlm (r, ϑ, ϕ) und speziell L̂− ψ322 ?
4. Gegeben seien zwei orthonormierte (was heißt das?) Zustandstandsfunktionen ψ1 und
ψ2 . Bestimmen Sie die Norm sowie das Skalarprodukt der beiden Linearkombinationen
(Mischungen) φ+ = 2ψ1 + iψ2 und φ− = ψ1 − 2iψ2 !
5. Ein Hamilton-Operator Ĥ habe das Energiespektrum {Ei } mit orthonormierten Eigenfunktionen {ψi }. Mit welcher Warscheinlichkeit werden für einen Zustand
3
i
|φi = |ψ1 i + |ψ2 i − |ψ3 i die Werte E1 , E2 und E3 gemessen, und wie groß ist der
2
2
Energieerwartungswert < E >φ ?
6. Angenommen ein Fußball bleibt gleichwahrscheinlich auf allen seinen 32 Flächen (12
Fünf- und 20 Sechsecke) liegen und diese sind mit den natürlichen Zahlen von 1 bis
32 beschriftet. Wie groß sind Mittelwert und Standardabweichung, wenn mit einem
solchen Ball ”gewürfelt” würde?
n
n
X
X
1
1
i2 = n(n + 1)(2n + 1)
Hinweis:
i = n(n + 1)
2
6
i=1
i=1
7. Berechnen Sie folgende Integrale mit der Dirac’schen Delta-Funktion δ(x):
Z 4
Z π
Z 6
I1 =
δ(2x − 4)(x2 − 3x)dx I2 =
δ(cos x)eix dx I3 =
δ(x2 − π 2 ) cos xdx
0
Hinweis: δ(g(x)) =
0
X
n
1
δ(x − xn )
|g 0 (xn )|
−3
für alle xn mit g(xn ) = 0