Ubungen zur T2p Quantenmechanik Blatt 4

LMU München / Fakultät für Physik WS 2011/12
Übungen zur T2p Quantenmechanik
Blatt 4
07.11.2011
4.1 Wiederholung/Kurzfragen
1.) Wie lautet die an den Hamiltonoperator Ĥ zu stellende Bedingung damit die Normierungsbedingung zeitunabhängig ist?
2.) Wie lautet die Definition für die Stromdichte ~j und welcher lokale Erhaltungsatz läßt sich
mit ihrer Hilfe beschreiben?
3.) Wie lautet die darstellungsunabhängige Definition für den Erwartungswert?
4.) Zeichnen Sie den Realteil zweier Wellenfunktionen im Ortsraum zu einer festen Zeit. Beide
Wellenfunktionen sollen einen festen Impuls besitzen. Die eine Wellenfunktion soll eine
hohe kinetische Energie besitzen, die andere eine niedrige.
4.2 Kurzaufgaben
1.) Berechnen Sie die Fouriertransformierte der 3-dimensionalen ebenen Welle, d.h.
Z
Z
1
~
~
~
ψ(k, ω) = dV dt 2 ψ0 ei(ω0 t−k0~r) ei(ωt−k~r) .
4π
(1)
Wieso erhalten wir im Fourierraum keine Funktion? Beschreiben wir mit einer ebene Welle
ein Teilchen? Warum?
2.) Zeigen Sie, dass die Fourier-Transformierte φ(p, t) einer normierten Wellenfunktion ψ(x, t)
normiert ist.
4.3 Aufgaben
1.) Gegeben sei die Wellenfunktion
ψ = Ae−a|x|−iωt ,
A, a, ω ∈ R .
Normieren Sie ψ und berechnen Sie die Erwartungswerte hxi, hx2 i,hpiund hHi = hp2 /2mi.
2.) Seien ψ1,2 zwei quadrat-integrable Wellenfunktionen auf R1 . Für einen hermiteschen Operator Ô gilt:
Z
Z
∗
dx ψ1 (Ôψ2 ) = dx (Ôψ1 )∗ ψ2 , ∀ ψ1 , ψ2 .
(2)
a) Zeigen Sie, dass die Bedingung (2) äquivalent ist zur Bedingung
Z
Z
dx ψ ∗ (Ôψ) = dx (Ôψ)∗ ψ , ∀ψ.
b)
c)
d)
e)
f)
Hinweis: Setzen Sie ψ als geeignete Linearkombination zweier Wellenfunktionen an.
Zeigen Sie dass der Ortsoperator, der Impulsoperator und der Hamiltonoperator hermitesch sind.
Zeigen Sie dass der Operator fˆα = αp̂q̂+(1−α)q̂ p̂ mit α ∈ R nur für α = 21 hermitesch
ist.
Sei fˆ hermitesch. Geben Sie den adjungierten Operator des Operators ĝ := ifˆ an.
Seien fˆ und ĝ zwei hermitesche Operatoren. Zeigen Sie dass der Kommutator i[fˆ, ĝ]
hermitesch ist.
Zeigen Sie dass das Produkt fˆĝ zweier hermitescher Operatoren hermitesch ist, wenn
der Kommutator [fˆ, ĝ] verschwindet.