Theoretische Physik III (Thermodynamik und Statistik) für LA

PD Dr. Michael Seidl
26.6.12
Theoretische Physik III (Thermodynamik und Statistik) für LA
Übungsblatt 11
Hausaufgabe: Die Aufgaben 1 und 2.
Aufgabe 1: Die Funktion g5/2 (ξ)
(a) Zeigen Sie durch Entwicklung des Logarithmus, daß für −1 ≤ ξ < +1 gilt
4
g5/2 (ξ) := − √
π
Z
∞
0
2
−x2
dx x ln 1 − ξe
∞
X
ξν
.
=
5/2
ν
ν=1
(b) Folgern Sie:
lim g5/2 (ξ) = ζR ( 52 ),
′
g5/2
(0) = 1,
ξ→1
mit der Riemannschen Zetafunktion ζR (s).
Aufgabe 2: Energie der idealen Quantengase
Die Energie des BE- bzw. FD-Gases ist gegeben durch
U(T, V, µ) =
∞
X
ǫi (V ) Ni (T, V, µ) =
i=1
∞
X
ǫi
i=1
ζe−ǫi/kB T
,
1 ∓ ζe−ǫi /kB T
mit der Fugazität ζ := eµ/kB T .
(a) Gewinnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Zustandsdichte von Blatt 10 aus dieser
Summe das Integral
V
U(T, V, µ) = (2s + 1)
(2π~)3
Z
∞
2
p2 ζe−p /2mkB T
dp (4πp )
.
2m 1 ∓ ζe−p2/2mkB T
2
0
(b) Führen Sie dieses durch Substitution p2 /2mkB T → x2 und anschließende partielle
Integration über in
Z
4
V 3 ∞
2
−x2
U(T, V, µ) = ∓ √ kB T (2s + 1)
dx
x
ln
1
∓
ζe
.
π
λ(T )3 2 0
(c) Nutzen Sie aus der Vorlesung den Ausdruck P (T, V, µ) für den Druck, um zu zeigen,
daß allgemein gilt
U=
1
3
P V.
2
Aufgabe 3: Bosonen im harmonischen Potential
[Staatsexamen Frühjahr 2001; zweite Hälfte der Aufgabe von Blatt 5]
Seit kurzem ist es gelungen, wenige Atome bei tiefen Temperaturen in einer Magnetfalle
einzusperren und dabei die Bose-Einstein-Kondensation zu messen. Ein einfaches Modell
für eine Falle ist die statistische Mechanik von N Bosonen (ohne Spin), die nicht miteinander wechselwirken und sich im harmonischen Potential der Falle bewegen. Hier wollen wir
das Modell nur in einer Raumdimension studieren. Jedes Boson kann sich in einem Oszillatorniveau s mit der Energie ǫs = s · ~ω aufhalten, wobei wir die Ruheenergie ~ω/2
bei der Rechnung weglassen können. Der Vielteilchenzustand der Bosonen wird durch die
Besetzungszahlen ns eindeutig bestimmt, wobei ns = 0, 1, 2, ... die Anzahl der Bosonen
angibt, die sich im Orbital s befinden. Die Gesamtenergie E und die Teilchenzahl N eines
Zustands sind
E = ~ω
∞
X
sns ;
N=
s=0
∞
X
ns .
s=0
E/~ω ist also eine ganze Zahl n mit
n=
∞
X
s=1
sns ≥ 0.
In der Atomfalle sind E und N durch das Experiment fest vorgegeben, man muß daher
mikrokanonisch rechnen.
4. Berechnen Sie den Mittelwert und die Schwankungen (= Varianz) von n0 im mikrokanonischen Ensemble mit E = 4~ω und N = 5 durch direktes Abzählen der
Zustände (n0 , n1 , n2 , ...).
(18 Punkte)
5. P (n) sei die Anzahl der Möglichkeiten, die positive Zahl n als Summe von positiven
ganzen Zahlen zu schreiben. Beispielsweise gilt
P (4) = 5, denn 4 kann zerlegt werden in 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1 und 1 + 1 + 1 + 1.
Zeigen Sie, daß im mikrokanonischen Ensemble die Entropie S(E, N) der Bosonen
im Fall N ≥ E/~ω durch folgende Gleichung bestimmt ist:
S(E, N) = kB ln P (E/~ω).
(14 Punkte)
6. Mit diesem Zusammenhang zwischen Zahlentheorie und Bosegas ist es nun möglich,
die Wärmekapazität C der Bosonen zu berechnen. Die berühmten Mathematiker
Hardy und Ramanujan haben 1918 folgende asymptotische Gleichung für P (n) gefunden:
r 2n 1
P (n) ∼ √ exp π
.
3
4 3n
Zeigen Sie damit für den Fall 1 ≪ n ≪ N, daß die Wärmekapazität wie im Thermodynamikteil dieser Klausur linear mit der Temperatur anwächst, C = γ · T .
Berechnen Sie den Koeffizienten γ.
(18 Punkte)
2