Ubungsaufgaben zur Vorlesung

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Höhere Quantenmechanik und Quantenelektrodynamik“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
KOMET 337, Institut für Physik, Johannes Gutenberg-Universität
Aufgabenblatt 07, Abgabe: 14. 12. 2004
Aufgabe 13. Gauß’sche Integrationen (6 Punkte)
Gauß’sche Integrationen bilden die Basis der Störungstheorie. Deshalb werden die in dieser
Aufgabe betrachteten Integrale im Folgenden eine wichtige und in gewissem Sinne zentrale Rolle
spielen.
(a) Zeigen Sie, dass für alle reellen, symmetrischen, positiv definiten n × n-Matrizen A und alle
reellen n-Vektoren B gilt:
Z
IRn
−1
−x·A·x+2B·x
dx e
π n/2 eB·A ·B
= p
.
det(A)
(b) Zeigen Sie, dass eine zweidimensionale Integration über die reellen Variablen (φR , φI ) mittels
der linearen Transformation φR + iφI ≡ φ, φR − iφI ≡ φ∗ wie folgt auch als zweidimensionale
komplexe Integration geschrieben werden kann:
ZZ
ZZ
φ + φ∗ φ − φ∗
dφ∗ dφ
dφR dφI
f (φR , φI ) =
f
,
.
π
2πi
2
2i
(c) Zeigen Sie unter Verwendung von Teil (b), dass für alle Hermiteschen, positiv definiten
n × n-Matrizen A und alle komplexen n-Vektoren B gilt:
Z
∗
−1
eB ·A ·B
dx∗ dx −x∗ ·A·x+B∗·x+B·x∗
e
=
.
n
det(A)
C
I n (2πi)
Aufgabe 14. Das Wick’sche Theorem (6 Punkte)
In der Störungstheorie berechnet man typischerweise Korrelationsfunktionen einer gaußischen
Verteilung der Form:
R
∗ · · · ψ ∗ ψ ∗ e−ψ∗ ·A·ψ
D (ψℓ∗ ψℓ ) ψℓ1 ψℓ2 · · · ψℓn ψm
∗
∗
∗
n ∗ m2 m1
R
ψℓ1 ψℓ2 · · · ψℓn ψmn · · · ψm2 ψm1 A ≡
.
D ψℓ∗ ψℓ e−ψ ·A·ψ
Hierbei sind die Integrationsvariablen ψℓ∗ und ψℓ entweder komplexe Zahlen (für Bosonen) oder
Generatoren einer Graßmann-Algebra (für Fermionen). Hier beschränken wir uns auf den bosonischen Fall. Der Nenner des rechten Gliedes ist im komplexen (bosonischen) Fall bereits
aus Aufgabe 13 bekannt und durch [det(A)]−1 gegeben. Das Integrationsmaß D (ψℓ∗ ψℓ ) hat die
übliche Form:
Y dψ ∗ dψ ∗
ℓ
ℓ
D(ψℓ ψℓ ) =
.
2πi
ℓ
∗ · · · ψ∗
wird ungemein
Die Auswertung von Korrelationsfunktionen der Form ψℓ1 · · · ψℓn ψm
m
n
1 A
vereinfacht durch das sog. Wick’sche Theorem, das besagt,
dass
solche
Korrelationen
als Summe
von Produkten von Matrixelementen der Form A−1 ℓm darstellbar sind:
X
∗
∗
ψℓ1 ψℓ2 · · · ψℓn ψm
A−1 ℓ
· · · ψm
ψ∗
=
n
2 m1 A
P
Pn
· · · A−1
,mn
ℓP 2 ,m2
A−1
ℓP 1 ,m1
.
Hierbei ist P eine beliebige Permutation der Zahlen (1, 2, · · · , n). Beweisen Sie dieses Theorem
mit Hilfe der erzeugenden Funktion
R
∗
∗
∗
D (ψℓ∗ ψℓ ) e−ψ ·A·ψ+J ·ψ+ψ·J
∗
R
G (J , J) ≡
∗
D ψℓ∗ ψℓ e−ψ ·A·ψ
E
D ∗
∗
=
eJ ·ψ+ψ·J
,
A
wobei J und J∗ komplexe n-Vektoren darstellen. Hinweis: Betrachten Sie die Ableitungen der
erzeugenden Funktion G(J∗ , J) bezüglich entsprechender Jm - bzw. Jℓ∗ -Komponenten, wobei Sie
einmal von der Definition von G und alternativ von ihrem expliziten Wert ausgehen.
Aufgabe 15. Bosonisches 2-Platz-Hubbard-Modell (8 Punkte)
Wir betrachten den folgenden einfachen Hamilton-Operator für spinlose Bosonen (S = 0), die
sich in einem von insgesamt nur zwei möglichen Quantenzuständen aufhalten können:
H = −t(a†1 a2 + a†2 a1 ) + U (n21 + n22 ) ,
ni ≡ a†i ai
(i = 1, 2) .
Die Bosonen in einem Quantenniveau ziehen sich an oder stoßen sich ab, abhängig davon, ob
die Wechselwirkungsstärke U negativ oder positiv ist.
(a) Bestimmen Sie die Dimension des N -Boson-Hilbert-Raums BN für beliebiges N ∈ N. Geben
Sie eine mögliche orthonormale Basis von BN an.
(b) Bestimmen Sie die möglichen Energieeigenwerte und die entsprechenden Eigenvektoren des
Hamilton-Operators für N = 0, 1 und 2.
(c) Geben Sie die Grundzustandsenergie und den Grundzustand des verwandten Modells
H = −t(a†1 a2 + a†2 a1 ) + 21 U (n1 − n2 )2
für den Spezialfall zweier Bosonen (N = 2) an. Wie verhalten sich die Grundzustandsenergie
und der Grundzustand im Limes U → ∞?