Universität Heidelberg / Institut für Informatik Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Dipl.-Math. Martin Monath 26. Januar 2017 Übungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 12 Klausurvorbereitungsblatt mit Bonusaufgaben Hinweis: Dies ist das letzte Übungsblatt vor der Klausur. Aufgabe 1 (4 Punkte) Seien A und B zwei L(2) -Strukturen über der Prädikatenlogik zweiter Stufe und f ein Isomor(n ) (n ) phismus von A nach B. Zeigen Sie, dass dann für jede Formel ϕ(x1 , . . . , xn , X1 1 , . . . , Xm m ) (n1 ) (nm ) gilt: und jede Belegung B der Variablen x1 , . . . , xn , X1 , . . . , Xm A (2) ϕ[B] ⇔ B (2) ϕ[f (B)], wobei f (B) die Belegung B 0 mit B 0 (xi ) = f (B(xi )) und (ni ) B 0 (Xi (ni ) ) = {(f (a1 ), . . . , f (ani )) : (a1 , . . . , ani ) ∈ B(Xi )} ist. Folgern Sie, dass die Richtung ⇐ des Satzes von Dedekind (Kap. 4.6.2, Folie 128) gilt. Aufgabe 2 (4 Punkte) Beweisen Sie die Richtung ⇒ des Satzes von Dedekind. Sei dafür A = (A; S A ; 0A ) ein Modell der Peano-Axiome P1, P2 und IND. Zeigen Sie, dass f : N → A, definiert durch f (0) = 0A f (n + 1) = S A (f (n)), ein Isomorphismus von N = (N; S; 0) nach A ist. 1 Bitte wenden. Aufgabe 3 (2+2=4 Punkte) Es sei L0 = L(+, ·) die Sprache mit zwei zweistelligen Funktionssymbolen + und · und es sei R0 = (R; +R , ·R ) die L0 -Struktur mit den reellen Zahlen als Trägermenge, wobei +R und ·R die gewöhnliche Addition bzw. Multiplikation in R sind. (a) Geben Sie eine L0 -Formel ϕ(x, y) in zwei freien Variablen an, welche die Ordnungsrelation auf R definiert, d.h., sodass für all reellen Zahlen r1 , r2 ∈ R gilt: R0 ϕ[r1 , r2 ] ⇔ r1 ≤ r2 . (1) (b) Sei nun L1 = L(+) das Redukt von L0 , indem nur noch das zweistellige Funktionssymbol + vorkommt und R1 = R0 L1 . Zeigen Sie, dass es keine Formel ψ(x, y) wie in (a) gibt, welche die Ordnung auf R definiert. Hinweis zu (b): Zeigen Sie zunächst, dass die Abbildung f : R → R mit f (x) = −x ein L1 -Isomorphismus von R1 nach R1 ist. Aufgabe 4 (1+2+1=4 Punkte) Wir betrachten die Sprache L := L(Q; +, · ; 0, 1) mit einstelligem Relationszeichen Q, den jeweils zweistelligen Funktionszeichen + und · und den beiden Konstantensymbolen 0 und 1. Weiterhin sei die Struktur R := (R; QR ; +R , ·R ; 0R , 1R ) mit den reellen Zahlen als Träger, QR := Q und den üblichen Interpretationen der Symbole +, ·, 0, 1 gegeben. Geben Sie L-Sätze an, die besagen, dass √ • 2 eine irrationale Zahl ist, • zwischen je zwei reellen Zahlen eine rationale Zahl liegt und • dass für jede rationale Zahl auch deren (multiplikatives) Inverses wieder rational ist. Hinweis: Definieren Sie zunächst Hilfsformeln ϕ< (x, y) und ϕinv (x, y), welche die Ordnungsrelation beschreiben (vgl. Aufgabe 3(a)) bzw. welche besagen, dass x das multiplikativ Inverse zu y ist. 2 Bonusaufgaben Aufgabe 5 (2 Bonuspunkte) Gegeben sei die Boolesche Funktion f : {0, 1}4 → {0, 1} durch ( 1; falls x0 x1 x2 x3 = rev(x0 x1 x2 x3 ) f (x0 , x1 , x2 , x3 ) := 0; sonst , wobei rev : {0, 1}4 → {0, 1} jedem Wort sein Spiegelwort zuordnet. Es gilt also z.B. rev(0101) = 1010. Bestimmen Sie mit Hilfe des in der Vorlesung vorgestellten Verfahrens eine aussagenlogische Formel ϕ in disjunktiver Normalform, die f darstellt. Aufgabe 6 (1+2+3=6 Bonuspunkte) Sei L(∼) die Sprache mit einem zweistelligem Relationssymbol ∼ und K die Klasse der L(∼)-Strukturen A = (A; ∼A ), für die ∼A eine Äquivalenzrelation ist. (a) Zeigen Sie, dass K elementar ist und geben Sie einen L(∼)-Satz σ an, sodass K = Mod(σ) gilt. (b) Für eine L(∼)-Struktur A = (A; ∼A ) mit A |= σ und a ∈ A nennen wir die Menge [a]∼ := {b ∈ A| b ∼A a} die Äquivalenzklasse von a (bzgl. ∼A ). Geben Sie für n ≥ 0 L(∼)-Formeln χ≥n (x) an, sodass für a ∈ A gilt: A |= χ≥n [a] :⇔ |[a]∼ | ≥ n. Folgern Sie hieraus, dass die Klasse der L(∼)-Strukturen K0 mit K0 := {A| ∼A ist Äquivalenzrelation und jede Äquivalenzklasse ist unendlich} ∆-elementar ist. (c) Ist die Klasse K00 mit K00 := {A| ∼A ist Äquivalenzrelation und jede Äquivalenzklasse ist endlich} auch ∆-elementar? Beweisen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 7 (2 Bonuspunkte) Betrachten Sie die Sprache L = L(E) mit einem zweistelligem Relationssymbol E und die Klasse K der zusammenhängenden Graphen aus Blatt 11, Aufgabe 3 (c). Zeigen Sie, dass K elementar über der Prädikatenlogik zweiter Stufe ist und geben Sie einen L(2) -Satz σ an, sodass K = M od(σ) gilt. Abgabe: Bis Donnerstag, den 02. Februar 2017, 14 Uhr in den Briefkästen im 1. Obergeschoss des Mathematikon (INF 205) auf der Seite des Haupteingangs. Homepage der Vorlesung: http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/ws16/mathlogik_ws16.html 3