¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 12

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Universität Heidelberg / Institut für Informatik
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Martin Monath
26. Januar 2017
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Logik
Blatt 12
Klausurvorbereitungsblatt
mit Bonusaufgaben
Hinweis: Dies ist das letzte Übungsblatt vor der Klausur.
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Seien A und B zwei L(2) -Strukturen über der Prädikatenlogik zweiter Stufe und f ein Isomor(n )
(n )
phismus von A nach B. Zeigen Sie, dass dann für jede Formel ϕ(x1 , . . . , xn , X1 1 , . . . , Xm m )
(n1 )
(nm )
gilt:
und jede Belegung B der Variablen x1 , . . . , xn , X1 , . . . , Xm
A (2) ϕ[B] ⇔ B (2) ϕ[f (B)],
wobei f (B) die Belegung B 0 mit B 0 (xi ) = f (B(xi )) und
(ni )
B 0 (Xi
(ni )
) = {(f (a1 ), . . . , f (ani )) : (a1 , . . . , ani ) ∈ B(Xi
)}
ist.
Folgern Sie, dass die Richtung ⇐ des Satzes von Dedekind (Kap. 4.6.2, Folie 128) gilt.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Beweisen Sie die Richtung ⇒ des Satzes von Dedekind. Sei dafür A = (A; S A ; 0A ) ein Modell
der Peano-Axiome P1, P2 und IND. Zeigen Sie, dass f : N → A, definiert durch
f (0) = 0A
f (n + 1) = S A (f (n)),
ein Isomorphismus von N = (N; S; 0) nach A ist.
1
Bitte wenden.
Aufgabe 3 (2+2=4 Punkte)
Es sei L0 = L(+, ·) die Sprache mit zwei zweistelligen Funktionssymbolen + und · und es
sei R0 = (R; +R , ·R ) die L0 -Struktur mit den reellen Zahlen als Trägermenge, wobei +R und
·R die gewöhnliche Addition bzw. Multiplikation in R sind.
(a) Geben Sie eine L0 -Formel ϕ(x, y) in zwei freien Variablen an, welche die Ordnungsrelation
auf R definiert, d.h., sodass für all reellen Zahlen r1 , r2 ∈ R gilt:
R0 ϕ[r1 , r2 ] ⇔ r1 ≤ r2 .
(1)
(b) Sei nun L1 = L(+) das Redukt von L0 , indem nur noch das zweistellige Funktionssymbol
+ vorkommt und R1 = R0 L1 . Zeigen Sie, dass es keine Formel ψ(x, y) wie in (a) gibt,
welche die Ordnung auf R definiert.
Hinweis zu (b): Zeigen Sie zunächst, dass die Abbildung f : R → R mit f (x) = −x ein
L1 -Isomorphismus von R1 nach R1 ist.
Aufgabe 4 (1+2+1=4 Punkte)
Wir betrachten die Sprache L := L(Q; +, · ; 0, 1) mit einstelligem Relationszeichen Q, den
jeweils zweistelligen Funktionszeichen + und · und den beiden Konstantensymbolen 0 und 1.
Weiterhin sei die Struktur R := (R; QR ; +R , ·R ; 0R , 1R ) mit den reellen Zahlen als Träger,
QR := Q und den üblichen Interpretationen der Symbole +, ·, 0, 1 gegeben.
Geben Sie L-Sätze an, die besagen, dass
√
• 2 eine irrationale Zahl ist,
• zwischen je zwei reellen Zahlen eine rationale Zahl liegt und
• dass für jede rationale Zahl auch deren (multiplikatives) Inverses wieder rational ist.
Hinweis: Definieren Sie zunächst Hilfsformeln ϕ< (x, y) und ϕinv (x, y), welche die Ordnungsrelation beschreiben (vgl. Aufgabe 3(a)) bzw. welche besagen, dass x das multiplikativ Inverse zu y ist.
2
Bonusaufgaben
Aufgabe 5 (2 Bonuspunkte)
Gegeben sei die Boolesche Funktion f : {0, 1}4 → {0, 1} durch
(
1; falls x0 x1 x2 x3 = rev(x0 x1 x2 x3 )
f (x0 , x1 , x2 , x3 ) :=
0; sonst
,
wobei rev : {0, 1}4 → {0, 1} jedem Wort sein Spiegelwort zuordnet. Es gilt also z.B.
rev(0101) = 1010.
Bestimmen Sie mit Hilfe des in der Vorlesung vorgestellten Verfahrens eine aussagenlogische
Formel ϕ in disjunktiver Normalform, die f darstellt.
Aufgabe 6 (1+2+3=6 Bonuspunkte)
Sei L(∼) die Sprache mit einem zweistelligem Relationssymbol ∼ und K die Klasse der
L(∼)-Strukturen A = (A; ∼A ), für die ∼A eine Äquivalenzrelation ist.
(a) Zeigen Sie, dass K elementar ist und geben Sie einen L(∼)-Satz σ an, sodass K = Mod(σ)
gilt.
(b) Für eine L(∼)-Struktur A = (A; ∼A ) mit A |= σ und a ∈ A nennen wir die Menge
[a]∼ := {b ∈ A| b ∼A a} die Äquivalenzklasse von a (bzgl. ∼A ). Geben Sie für n ≥ 0
L(∼)-Formeln χ≥n (x) an, sodass für a ∈ A gilt:
A |= χ≥n [a] :⇔ |[a]∼ | ≥ n.
Folgern Sie hieraus, dass die Klasse der L(∼)-Strukturen K0 mit
K0 := {A| ∼A ist Äquivalenzrelation und jede Äquivalenzklasse ist unendlich}
∆-elementar ist.
(c) Ist die Klasse K00 mit
K00 := {A| ∼A ist Äquivalenzrelation und jede Äquivalenzklasse ist endlich}
auch ∆-elementar? Beweisen Sie Ihre Aussage!
Aufgabe 7 (2 Bonuspunkte)
Betrachten Sie die Sprache L = L(E) mit einem zweistelligem Relationssymbol E und die
Klasse K der zusammenhängenden Graphen aus Blatt 11, Aufgabe 3 (c). Zeigen Sie, dass
K elementar über der Prädikatenlogik zweiter Stufe ist und geben Sie einen L(2) -Satz σ an,
sodass K = M od(σ) gilt.
Abgabe: Bis Donnerstag, den 02. Februar 2017, 14 Uhr in den Briefkästen im 1.
Obergeschoss des Mathematikon (INF 205) auf der Seite des Haupteingangs. Homepage der
Vorlesung:
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/ws16/mathlogik_ws16.html
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