Dr. Mykhaylo Evstigneev ¨Ubungen zur Supraleitung

Universität Bielefeld
Prof. Dr. Thomas Dahm
Tutor: Dr. Mykhaylo Evstigneev
Bielefeld, den 26.10.2011
Übungen zur Supraleitung und Bose-Einstein-Kondensation
WS 2011/2012
Blatt 2
Aufgabe 4: Bose-Gas in ein und zwei Dimensionen
Betrachten Sie ein zweidimensionales Bose-Gas in einem Kastenpotential mit periodischen Randbedingungen und zeigen Sie, dass es in diesem Fall keine Bose-EinsteinKondensation gibt. Was ergibt sich für ein eindimensionales Bose-Gas ?
Aufgabe 5:
Betrachten Sie wechselwirkungsfreie Bosonen in drei Dimensionen mit der Dispersionsrelation k = ak s , wobei a und s positive reelle Parameter seien.
a) Zunächst sei die Teilchenzahl nicht fest vorgegeben, d.h. das chemische Potential sei
µ = 0. Zeigen Sie, dass sich die spezifische Wärme bei tiefen Temperaturen wie T 3/s
verhält. Im Spezialfall s = 2 erhält man die spezifische Wärme eines Ferromagneten,
dessen Bosonen Spinwellen sind.
b) Die Teilchenzahl N sei nun fest vorgegeben. Warum ist Bose-Einstein-Kondensation
nur für s < 3 möglich? Betrachten Sie Bose-Einstein-Kondensation für 0 < s < 3 und
berechnen Sie den Kondensatanteil unterhalb der kritischen Temperatur Tc als Funktion
der Temperatur.
c) In der Vorlesung wurde für Bosonen im Kastenpotential (d.h. s = 2) gezeigt, dass bei
der Betrachtung der Bose-Einstein-Kondensation das unterste Energieniveau gesondert
behandelt werden muss, aber das erste angeregte Niveau nicht. Schätzen Sie ab, ob auch
im vorliegenden Fall das erste angeregte Niveau nicht gesondert behandelt werden muss.
Aufgabe 6: Zustandsdichte des harmonischen Oszillators
Der dreidimensionale anisotrope harmonische Oszillator besitzt die Energieeigenwerte
1
1
1
+ ~ωy ny +
+ ~ωz nz +
Enx ,ny ,nz = ~ωx nx +
2
2
2
wobei ωx , ωy und ωz die Oszillatorfrequenzen in den drei Raumrichtungen sind. Berechnen Sie die Zustandsdichte N () unter der Annahme, dass der Abstand der Energieniveaus hinreichend dicht ist, so dass man die Quantenzahlen nx , ny und nz als kontinuierliche Variablen ansehen darf. Die Variable sei dabei die Energie E bezogen auf den
Grundzustand, d.h.
~
= E − (ωx + ωy + ωz )
2
Besprechung am 2.11.2011