Übung 12 - Fakultät Physik

12. Übungsblatt zur Thermodynamik & Statistik
http://t1.physik.tu-dortmund.de/kierfeld/teaching/TuS_1213/TuS.htm
Wintersemester 2012
Prof. Dr. Jan Kierfeld
Abgabe bis 24.1.2013, 10:00
Aufgabe 36: Bose-Einstein-Kondensation
(5 Punkte)
In einer dreidimensionalen Atomfalle wird ein Gas aus N Bosonen in einem parabolischen Potential eingeschlossen. Die Quantenzahlen nx , ny und nz lassen sich näherungsweise als kontinuierliche Freiheitsgrade auffassen.
Man erhält damit für die Zustandsdichte den Ausdruck
D() '
2
Θ().
2 (~ω)3
(1)
Hinweis: Sie werden als Teil Ihrer Rechnung die Zeta-Funktion ζ(x) und Polylogarithmen gα (x) erhalten. Diese
Funktionen lassen sich nicht weiter umformen und sind Teil des Ergebnisses.
a) Stellen Sie mit Hilfe der angegebenen Zustandsdichte einen Zusammenhang zwischen der Teilchenzahl N
und dem chemischen Potential µ her.
Kontrollergebnis: Teilchenzahl N (~ωβ)3 = g3 (z) im Bereich T > Tc
b) Untersuchen Sie den Wertebereich der Funktion N (z(µ)). Begründen Sie mathematisch, warum in diesem
System Bose-Einstein-Kondensation auftreten muss.
c) Berechnen Sie die kritische Temperatur Tc für eine Bose-Einstein-Kondensation des Systems sowie den
Anteil der Bosonen in der kondensierten Phase f0 .
Kontrollergebnis: kritische Temperatur gegeben durch N (~ωβc )3 = ζ(3) mit βc :=
d) Bestimmen Sie die Entropie
Kontrollergebnis:
S
kB N
S
kB N
1
kB Tc .
f"ur T < Tc als Funktion des Kondensatanteils f0 .
ζ(4)
= 4 ζ(3)
(1 − f0 ).
Aufgabe 37: Spezifische Wärme von Pseudobosonen
(5 Punkte)
Betrachten Sie ein Gas aus Pseudobosonen (z.B. Phononen oder Magnonen) mit der Dispersionsrelation
b
ω(~k) = c · ~k mit b ∈
N
(2)
in d Dimensionen. Die Anzahl der Pseudobosonen ist nicht fest, so dass für das chemische Potential µ ≡ 0 gilt.
Bestimmen Sie den funktionalen Zusammenhang der spezifischen Wärmekapazität CV (T ) von der Temperatur
und den Konstanten b und d. Für die Aufgabenteile a) bis c) genügt es, lediglich die Proportionalität zu den
Parametern zu berechnen; die Bestimmung der konstanten Vorfaktoren ist nicht erforderlich. Gehen Sie wie folgt
vor:
a) Berechnen Sie die Zustandsdichte ρ().
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Abgabe bis 24.1.2013
b) Bestimmen die temperaturabhängige innere Energie E(T ).
c) Ermitteln Sie hieraus die spezifische Wärmekapazität CV (T ).
d) Bestimmen Sie nun auch den exakten Vorfaktor für die spezifische Wärmekapazität CV (T ).
Hinweise:
• Die Oberfläche einer einer n-dimensionalen Kugel (n-Ball) mit Radius r wird durch eine sogenannte (n−1)Sphäre mit Flächeninhalt Sn−1 (r) beschrieben.
n
• Sn−1 (r) =
•
R∞ xy−1
0
ex −1 dx
2π 2 n−1
r
Γ( n
2)
= Γ(y)ζ(y)
Aufgabe 38: Einfache Modelle zur Beschreibung von Phononen (5 Punkte)
Wir betrachten einen dreidimensionalen Festkörper. Im Folgenden sollen zwei einfache Modelle zur Beschreibung
von Gitterschwingungen betrachtet werden. Hierbei nähert man einmal den akustischen und einmal den optischen
Zweig der phononischen Anregungen an.
a) Der akustische Zweig wird durch das Debye-Modell genähert. Dabei wird über den gesamten Bereich linear
interpoliert und die Anregungsenergie ist entsprechend durch
ω(k) = cs |k|
(3)
gegeben. Die erste Brillouinzone wird durch eine Kugel mit dem Radius kD ersetzt, wobei die Zahl der
Zustände in dieser Kugel der Anzahl der Atome N entsprechen soll:
X
1=N
(4)
k,|k|≤kD
Bestimmen Sie zunächst die Debye-Wellenzahl kD im thermodynamischen Limes, indem Sie die diskrete
Summe durch ein Integral im Impulsraum annähern.
b) Bestimmen Sie zudem die Temperaturabhängigkeit der inneren Energie E(T ) und die spezifischen Wärs
me CV (N ) für niedrige Temperaturen, indem Sie x = k~c
k substituieren. Die temperaturunabhängigen
BT
Integrale können Sie unbestimmt lassen oder ggf. auf die ζ-Funktion zurückführen.
c) Nun soll noch kurz die Einstein-Näherung für den optischen Zweig betrachtet werden. Die Phononen werden
hierbei einfach durch eine konstante Energie
ω(k) = ω0
(5)
genähert. Berechnen sie die für diesen Fall die innere Energie E(T ) und die spezifische Wärme CV (T ).
Wie verhält sie sich im Grenzfall tiefer Temperaturen?
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